2023年福建省泉州市高考数学质检试卷及答案解析

2023年福建省泉州市高考数学质检试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1.(5分)已知集合A={x6N∣2x+lW6},B={x∣4x2-14x+6<0},则A∩B=()

A.{1,2}B.{0,1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3)

2.（5分）在复平面内，复数」-对应的点位于（）

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（5分）6一声）】。的展开式中，/的系数等于（）

A.-45B.-10C.IOD.45

欢粤卒”它@来衡量人体胖瘦程度以

4.（5分）目前，国际上常用身体质量指数BMI=

身高（单位:m2）

及是否健康.某公司对员工的BM/值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为三；

100

女员工中，肥胖者的占比为二，已知公司男、女员工的人数比例为2：1,若从该公司

100

中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）

3933

A.---B.---C.-D.-

10020054

5.（5分）如图，函数/（x）=ASin（（ox+φ）（A>0,ω>0,OVφVπ）图象与X轴交于/?（3，0）,

6.（5分）已知抛物线C的焦点为尸，准线为/,过户的直线机与C交于A、8两点，点A

在/上的投影为D若IABl=I3£>|,则券=（）

35

-2C-a3

A.2B.2

7.（5分）已知矩形ABCO中，AB=2,BC=\,将ACBO沿8。折起至ACBD,当CB与

4。所成角最大时，三棱锥C-AB。的体积等于（)

8.（5分）已知定又在R上的奇函数/（x）满足/（x+2）=-ʃ（ɪ）,当lWx<2时，/（x）

=X-2,若y=*∙∙∣与f（x）的图象交于点（X”yι）,（必丫2），…，（即”切）（"∈N"）,

则Σ%（W）=（）

A.6B.8C.10D.14

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知直线/：x+y-2=0与圆C：/+/=4交于4,8两点，点M为圆C

上的一动点，点N（-2,-2）,记M到/的距离为乩则（）

A.∖AB∖=2√2B.d的最大值为2√Σ

C.AABN是等腰三角形D∙IMM+"的最小值为3√Σ

（多选）10.（5分）某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调

查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不

是奇数？"，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏？已知被调查的150名学

生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）

A.这150名学生中，约有50人回答问题''投掷点数是不是奇数？”

B.这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏

C.该校约有5%的学生迷恋电子游戏

D.该校约有2%的学生迷恋电子游戏

（多选）IL（5分）设函数/（x）=InX-（χ-a）2,则下列判断正确的是（）

A.f（x）存在两个极值点

B.当α>g时，f（%）存在两个零点

C.当α<l时，/（x）存在一个零点

D.若/（x）有两个零点Xi，X2，则xι+M>24

（多选）12.（5分）已知正四棱台ABCo-AlBlClDl的所有顶点都在球。的球面上，AB=

2A1B1=2,AA1=√2,E为ABOCi内部（含边界）的动点，则（）

A.AAi〃平面BCCj

B.球。的表面积为6π

C.EA+EA↑的最小值为2√Σ

D.AE与平面Cl所成角的最大值为60°

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）己知a,b为单位向量，∣α-b∣=l,则∣a-2b∣=.

14.（5分）曲线y=%+cosx在X=O处的切线方程为.

15.（5分）已知等比数列｛如｝的公比q>l,ɪ+ɪ=I.a1∙as=8,贝U。2〃=.

X2y2

16.（5分）在平面直角坐标系xθy中，已知Fι,Fi为双曲线C：下■一后=1的左、右焦

点，Aι,A2为C的左、右顶点，P为C左支上一点，若PO平分NAlPP2，直线PFI与

∕¾1的斜率分别为幻，42，且自=—七=Y正，则C的离心率等于.

四、解答题，本题共6小题，共0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

22

17.（10分）己知数列｛（⅛｝各项均为正数，且“ι=2,an+ι-2απ+∣=a,1+2an.

（1）求｛斯｝的通项公式

（2）设b"=（-1）"an,求加+历+b∣+∙+⅛2o∙

"2cosACOSBCOSC

18.（12分）.在aABC中，角A,B,C所对的边分别是α",c.已知----=-----+-----.

beabac

（1）求A；

（2）若α=√X求AABC的周长的取值范围.

19.（12分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱.茶水的口感与茶叶类型和水的温度

有关.某数学建模小组为了获得茶水温度关于时间XCmin）的回归方程模型，通过

实验收集在25C室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并

对数据做初步处理得到如图所示散点图.

温度/匕

1

表中：Wi="-25),W=γ∑∕=lWi.

(I)根据散点图判断.①y="+法与②y=dY+25哪一个更适宜作为该莱水温度y关于

时间X的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立该杀水温度y关于时间X的回归方程；

(3)已知该杀水温度降至60°C口感最佳.根据(2)中的回归方程，求在相同余件下

冲泡的余水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

附：(1)对于一组数据(“1，Vi),(w2>v2)>(‰>V"),其回归直线V=α+0u的斜

ς

率和截距的最小二乘估计分别为夕=与IQ「五)(”行团,=v-βu,

∑%(Ui-U)2a

(2)参考数据：6^O∙O8≈O.92,¢4O9≈6O,/∕Z7≈1.9,∕n3≈l.l,!*2=0.7.

20.(12分)三棱柱A8C-AiBiCi中，AAl=AB=2次，CAI=4,CB∣=2√7,ZBAA∣=60°.

(1)证明：CA=CB-.

(2)若C4=4,求二面角A∣-CBl-C1的余弦值.

%V

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>O)过点4(-2,0),右焦点为F,纵坐标

3

为5的点何在C上，且A凡L例尸.

(1)求C的方程；

(2)设过A与X轴垂直的直线为/,纵坐标不为O的点P为C上一动点，过F作直线办

的垂线交/于点。，证明：直线尸。过定点.

22.(12分)已知函数/(x)=ex[x2-(a+2)x+α+3J.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若f(x)在(0,2)有两个极值点X”*2，求证：/(ɪi)/(ɪz)<⅛e2∙

2023年福建省泉州市高考数学质检试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1.（5分）己知集合A={x∈N∣2x+l<6},B={x∣4√-14x+6<0},则4∩8=（）

A.{1,2]B.{0,1,2)C.{1,2,3}{0,1,2,3)

【解答】解：集合A={x∈N∣2x+l<6}={0,1,2),

91

B={X∖4JT-14X+6<0}={A^∣(2χ-6)(2χ-1)<0}={x∣^<x<3}.

故A∩B={1,2}.

故选：A.

2.(5分)在复平面内，复数工对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

111

.∙.复数—:对应的点的坐标为（;，；），位于第一象限.

1+122

故选：A.

3.（5分）6-y）1°的展开式中，）的系数等于（）

A.-45B.-10C.10

【解答】解：©-«）】。的通项为7；+1=CΓoφlθ~r（-√ɪ）r=（-l）rCfo^r^1°-

令Ir-10=2,解得r=8,

所以7项的系数为：（-1）8CK=45.

故选：D.

4.（5分）目前，国际上常用身体质量指数BMI=供考成一：来衡量人体胖瘦程度以

身高（单位:m2）

3

及是否健康.某公司对员工的BM/值调查结果显示，男员工中，肥胖者的占比为f；

100

女员工中，肥胖者的占比为正已知公司男、女员工的人数比例为2：1,若从该公司

100

中任选一名肥胖的员工，则该员工为男性的概率为（）

39

100200

【解答】解：设公司男、女员工的人数分别为2〃和〃，

则男员工中，肥胖者有2nX恚=鬻人，

女员工中，肥胖者有nX高=5人，

设任选一名员工为肥胖者为事件A,肥胖者为男性为事件B,

3∏3n._n_

则P(AB)=第=右,PG)=需=后

则P(BM)=鬻=事=*

故选：D.

5.(5分)如图，函数/(X)=Asin(ωx+φ)(A>O,ω>0,O<φ<π)图象与x轴交于R(I，0),

与)，轴交于P,其最高点为Q(⅛,4)∙若PQLPR，则A的值等于()

51T

【解答】解：由图可知：得7=2,

634

所以3=至=TT,

将/?(亮，0)代入方程得：Asin(^-÷(p)=O,

一，5τr

所以—+φ=kπ,

6

又因为0<φVπ,

所以3=Qk=1,

所以f(%)=Asin(πx+卷)，/(O)=ɪ,

所以P(0,当，PQ=0，今)，PR=(。-2)1

因为PQ_LPR,

→→1ςJ

所以PQ∙PR="着一上=O,

解得：A=孚或一年（舍）.

故选：B.

6.（5分）已知抛物线C的焦点为产，准线为/,过F的直线机与C交于A、8两点，点A

在,上的投影为D若朋=IQ,则踹=

()

35

A.—B.2C.一D.3

22

【解答】解：过点3作2EL/,垂足为点E,作BHLAO,垂足为点H,

`:ADLI,

四边形BEDH为矩形，则|8EI=DHI,

因为IABI=I即I,

所以∣∕）Hl=H"|,故IA£>|=2|。印=2出E∣,

由抛物线的定义可得HFl=HQI，IBFl=IBE

所以HFl=2∣B用，即怨=2.

∖BF∖

故选：B.

7.（5分）己.知矩形ABC。中，A8=2,BC=I,将ACBO沿BD折起至ACBO,当CB与

AO所成角最大时，三棱锥C-A8。的体积等于（）

√5√5√3√3

A.—B.—C.—D.—

301562

【解答】解：因为异面直线最大角为直角，故当CBJ时，CB与AD所成角最大,

因为四边形ABCC是矩形，所以AeAB,

XCBVAD,ABDCB=B,AB,CBcffiABC,

故AdEfABC,又因为AeU面ABC,所以A。_LAC',

在Rt∆ACD中，AD=1,CD=2,所以AC'=y∣C'D2-AD2=√4→=√3,

又BC'=1,AC'-V3,AB—2,

所以AB2=BC+AC∙2,故BC_LAC,

[11

所以％,-4BD=VD-ABC，=WSAABC，-AD=WXlXlXWXI=^g^∙

故选：C.

8.(5分)已知定又在R上的奇函数/(x)满足/(x+2)=-/(X),当Vx<2时，/(x)

—X-2,若y=W与f(x)的图象交于点(XI，yι)>(X2，”)，…，(X>>1)(∕z∈N*),

则ΣILι(χi+v∙)=()

A.6B.8C.10D.14

【解答】解：因为f(x+2)=-/(x),

所以f(X+4)=-f(X+2)=/(x),

所以函数/(x)是以4为周期的周期函数，

又因为/(x)是R上的奇函数，

所以/(X+2)=-f(X)-f{-χ')=于(x+l)=/(1-x),

所以直线x=l是函数/(x)图象的一条对称轴，

且/(x+4)=-f(x+2)=-/(-Λ∙),

故点(2,0)是函数f(X)图象的一个对称中心，

作出函数/(X)的图象如图所示：

1111

且当xN8时，w≥8,当XW-4时，y=gx-g≤-1,

且直线)=∕T关于点(2,0)对称，

由图可知，直线y=y=∣r—寺与曲线好(X)有7个不同的公共点，

故XI+JQ+…+X7=7X2=14,y1+γ2+…+)I7=7X0=0,

Σ∏=l(x∕+j∕)=Xl÷X2+∙∙∙⅛7÷yi+}72+,•,+>7=14,

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

（多选）9.（5分）已知直线/：x+y-2=0与圆C：/+/=4交于A,8两点，点M为圆C

上的一动点，点N（-2,-2）,记M到/的距离为d,则（）

A.∖AB∖=2√2B.d的最大值为2a

C.AABN是等腰三角形D.∣WV∣+d的最小值为3鱼

【解答】解：对于A，由圆C/+y2=4,可得C（0,0）,半径为2,

点C到直线/的距离为胃J==√L则∣4B∣=2√Σ故A正确；

点。为弦AB的中点，直线CD_LA8,^∖dmax=MD=2+2√2,故B错误;

对于C,由选项B与题意，如图：

易知A(2,O),B(O,2),则直线AB的斜率心3=麴=一1，

1

由C£>_LAB,则直线CD的斜率媪。=一点=1，由。(1，1)，

则直线CD的方程为γ-I=IX(%-1),则y=x,

即点N(-2,-2)在直线CQ上，∙.∙CC为AB的中垂线，.∙.A4BN是等腰三角形,

故C正确；

则d=ME,显然d+∖MN∖=∖ME∖+∖MN∖∣2VD∣,则IMDl==3班,

V1+1

故。正确;

故选：ACD

(多选)10.(5分)某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调

查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题”投掷点数是不

是奇数？"，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏？已知被调查的150名学

生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是()

A.这150名学生中，约有50人回答问题”投掷点数是不是奇数？”

B.这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏

C.该校约有5%的学生迷恋电子游戏

D.该校约有2%的学生迷恋电子游戏

【解答】解：由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6,

故掷出点数为3的倍数的概率为3

故理论上回答问题一的人数为150×∣=50人.

掷出点数为奇数的概率为点理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，

故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.

对于A,抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故4正确.

对于B,抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B

错.

对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，

有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为-∣7=5%,故C正确.

对于。，由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为三=5%,故。错.

100

故选：AC.

(多选)11.(5分)设函数/(x)=Inx-(X-α)2,则下列判断正确的是()

A.f(x)存在两个极值点

B.当α>g时，f(x)存在两个零点

C.当时，∕∞存在一个零点

D.若/(x)有两个零点Xi,X2,则xι+M>2α

【解答】解：由函数八D="X-(X-α)2,可得定义域为(0,+8)"ω=i-2G-

、—2x2+2ax+l

Cl)=，

X

令/(x)=0,可得2x2-2or-1=0,

■A>0,.∙.方程有两个根制,X2(XlVX2)，

ɪ

且XlX2=-'，故XI<0<X2,

ΛO<x<xι,f'(X)>0,f(x)单调递增，当x>X2,f'(x)<0,f(x)单调递减,

故/(X)存在唯一极大值点X2，故4错误;

ɪɪ

又2据-Iaxi-1=0,/.6f=X2-2^^,/(X)max=f(X2)=InXl-(X2-。)2=/心—4.2,

又g(x)=X-/在(0，+8)单调递增，且g(|)=y∣<a=g(X2)，

C1551

.*.Λ2>2,易知(P(X)=/初一12为增函数，∙V(X)wαv=φ(尤2)=φ(一)=In--------

*ɪ2225

1

>lny[e—石2'

又当XfO+时，f(X)f-8,当χf+8时，f(χ)f-8,

：.f(x)存在两个零点，故3正确;

当α<l时，X2<2,.∙√(x),,,αr<∕∏2-⅛,无法判断有多少个零点，故C不正确;

若/（X）有两个零点XI，Xl（XlVX2），则X”JQ为方程/"X=（X-"）2的两解,

作出函数y=∕nx,y=（X-α）2的图象，

作出点（XI，（XI-«）2）关于直线X=”的对称点（X3，J3），

故选：BD.

（多选）12.（5分）已知正四棱台ABC。-A向CDi的所有顶点都在球。的球面上，AB=

24∕ι=2,AA1=√2,E为48OCl内部（含边界）的动点，贝U（）

A.441〃平面

B.球。的表面积为6π

C.EA+E4ι的最小值为2√Σ

D.AE与平面80。所成角的最大值为60°

图1

由棱台的结构特征易知AAI与CCI的延长线必交于一点，故A,Aι,C,Cl共面，

又面AIBlCIOI〃面ABCID,而面AAICICn面AIBlCI£>i=AICι,面AΛιC∣CC面ABCO

=AC,故4C∣"AC,即AICI〃A02;

由平面几何易得4G=√ΣAO2=∣½C=∣×2√2=√2,即AlCI=Ao2；

所以四边形AAlCIo2是平行四边形，故A4i〃CIO2，

而AAIC面8Z)Cι,C∣O2⊂ffiBDCi,故AAl〃平面8f>Cι,故A正确；

对于8,如图2,

图2

设。1为4G的中点，O为正四棱台外接球的球心，则AiO=AO=R,

在等腰梯形MCIC中，易得。W=Λ4J一却c—4©)]2=(√¾2一哈2=|,即

OiO2=当，

为方便计算，不妨设。1。=4,。2。=6则由41。/+。2=&。2=4。2=4。22+人2,

22222

即(苧)2+a=(V2)+b,EPa—b=^,又a+b=O1O2=ɪ.

解得a=苧，b=0,即0与O2重合，故R=力。=V∑,

故球0的表面积为4TΓR2=4兀X(√2)2=8ττ,故B错误；

对于C,由图2易得BDJ_Olo2，BDLAC,Olo2ΓIAC=O2,OlO2、ACU面ΛACC,

故BD_1面44CIC,

不妨设E落在图3E处，过E作EEi〃8£>,则EEi，面AAIeIC,故EE∣LE∣A,

故在Rt中，EiA<EA(勾股边小于斜边)；同理，E∖A∖<EA∖,

所以EM+EιAι<EA+E4,故动点E只有落在CiO上，EA+E4才有可能取得最小值；

再看图4,由AI关于CIO对称点为C可知，EA+FTl1≥AC=2√2,故C正确，

对于。，由选项C可知，8。_L面AAlCIC,BD<∑∖^BDCi,故而AAIeIUL面BCe”

在面AAIelC内过A作AFLCI。交CiO于凡如图5,

则AFU面AAICIC,面AAICICC面BDel=CI0,故A尸_1_面Br)Cι,故NAEF为AE与平

面BDCi所成角，

在RtZ∖AEF中，sin∆AEF=,故当AE取得最小值时，sin/AEF取得最大值，即/

AE尸取得最大值，

显然，动点E与。重合时，AE取得最小值，即NAEF取得最大值，且NAEF=NAoF

=ZCiOC,

在ACiOC中，CIo=A4i=√LCC1=AA1=√2,OC=∣∕1C=√2,

故ACiOC为正三角形，即NCOC=60°,即AE与平面BOCl所成角的最大值为60°,

故力正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.（5分）已知a,b为单位向量，∣α-b∣=1,则|Q—2b∣=_V3_.

【解答】解：因为看『为单位向量，加一&=1,

J2—2ab=I

所以IQ-b∖=a2-2a∙b+b2f

TT1

所以Q∙b=],

2

则值-2b∖=y∕(a-2b)=Jl+4-4α∙h=√3.

故答案为：√3.

14.（5分）曲线y=x+cos尤在X=O处的切线方程为y=x+l

【解答】解：y=x+cosx的导数为y'=I-Sin‰

可得曲线y=x+cosx在X=O处的切线斜率为1-0=1,

切点为（0,1）,则切线的方程为y=x+l.

故答案为：y=x+l.

15.（5分）已知等比数列｛斯｝的公比q〉l,ɪ+=2,α1∙α5=8,则办'2"

。44

【解答】解：在等比数列｛〃〃｝中，。2。4=〃1〃5=8,

113

V—÷—=

。2。44

a+a3

24即42+04=6,

α2^4屋

V<7>l,

・・=2,44=4,

∙∙q2=黑=2,解得q=√∑,

a2

n1n

ʌa1=粤=V2,an-a1q~=(√2),

.,.¾n=(√2)2n=2"∙

故答案为：2”.

_X2V2

16.(5分)在平面直角坐标系无0y中，已知尸1,乃为双曲线C：/■-至=1的左、右焦

点，Aι,A2为C的左、右顶点，P为C左支上一点,若尸。平分NA∣P∕⅛,直线PA与

的斜率分别为所，依，且七=-七=代，则C的离心率等于，

【解答】解：如图所示：IoAlI=α,IoF2∣=c,

易知：SPQJH1：SPOF2=a：C,

11

而Spo4ι=0∣P4∕X∖P0∖Xsin∆OPA1,SP0F2=∖PF2∖X∖P0∖Xsin∆OPF2,

又∕O∕¾1=∕OPF2,所以有照小∣PF2∣=a:c，

过点P作PBJ_x轴，垂足为8,

因为的=-k2=√15,所以PF∖和PAi关于PB对称,

即有IPFll=解11，.∙∙∣PFι∣:∖PF2∖=a:c,

又因为仍尸2卜IPFII=〃，解得：IPFIl=誓,∣A∣F∣∣=c：.\BFX\=~,

设直线PFI的倾斜角为a,则tcma=∙√T^,CoSa=

4

IBFIl1Uc-ac-a1

所以在Rt∆PBF∣中,一，即---X—-=一,

两422a24

化简得：「2,即离心率e=2∙

故答案为：2.

四、解答题，本题共6小题，共0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

2

17.(10分)已知数列｛〃〃｝各项均为正数，且〃ι=2,an+1-2aft+∖=a,^+2an.

(1)求｛斯｝的通项公式

(2)设加=(-1)na∏9求加+历+加+τ⅛20∙

【解答】解：(1)*.*6∕I=2,斯+/-2如+1=+2。〃，

•∙an+l~an=(αn+l—αn)(αn+l+ɑn)=^∙(,an+l+an)9

♦数列｛斯｝各项均为正数,即即+1+%>0,

Cln+1-。〃=2,

，数列｛加｝是首项为2,公差为2的等差数列，

•∙Cin~~2+(〃-1)X2=2n；

n

(2)由(1)得斯=2小且公差d=2,则bn=(-l)%n=(-l)∙2m

.β.b1+Zn+⅛1÷',÷⅛20=(+(-。3+。4)+",+(-。19+。20)=Iod=20.

"2cosAcosBcosC

18.(12分).在AABC中，角A,B,C所对的边分别是”,4c.已知一;一=---+-----.

beabac

(1)求A；

(2)若α=√5,求BC的周长的取值范围.

2cos√4cosBcosC

【解答】解：(1)在AABC中，角A,8,C所对的边分别是①"C.已知F—=+——,

beabac

则2〃COSA=CCOSCOSC

则2sinAcosA=sinCcosB+cosCsin3,

即2sinAcosA=sin(B÷C)=SinA,

又sinA>0,

1

即COSA=2，

又A∈(0,π),

则A=ɪ;

(2)由Q=V3,

abc

由正弦定理二~-=——=-rʒ:可得：⅛=2sinB,c=2si∏C,

SinAStnBSinC

则b+c=2sinB+2sinC=2y∕3cos^=2√3cos(β—分

又一C<B—-<Γ-,

乂333,

即COS(B—ɜ-)E(21]>

即b+cC（√3,2√3],

则α+b+ce（2√3,3√3],

则BC的周长的取值范围为（2我，3√3].

19.（12分）中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱.茶水的口感与茶叶类型和水的温度

有关.某数学建模小组为了获得茶水温度），℃关于时间X（min）的回归方程模型，通过

实验收集在25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，茶水温度随时间变化的数据，并

对数据做初步处理得到如图所示散点图.

▲温度/匕

90r

80--

70-,

60-

50-

40

IlIlA

0123456时间∕min

yW∑Lι(χi-χ)(yz-y)∑7=ι(X-X)(W1-UT)

73.53.85-95-2.24

表中：wi-ln(yi-25),iv=ɪwi.

（1）根据散点图判断.①y="+⅛x与②y=d∕+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于

时间X的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立该杀水温度y关于时间X的回归方程；

（3）已知该杀水温度降至60°C口感最佳.根据（2）中的回归方程，求在相同余件下

冲泡的余水，大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？

附：（1）对于一组数据（"i，vɪ）,（W2.打），…，（出”vn）,其回归直线V=α+6”的斜

率和截距的最小二乘估计分别为S=Q「动（勺丁）,a^v-βu-,

∑陶（Uie

（2）参考数据：e-o∙o8≈O.92,e409≈60,/"7F.9,∕M2≈0.7.

【解答】解：（1）根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选②》

=d∙∕+25更适宜此散点的回归方程.

（2）由y=dcv+25有：y-25=dcx,

两边取自然对数得：In（y-25）=In（dcx'）=lnd+χ-Inc,

设3=历（y-25）,a=Ind,b=lnc,

则/〃(y-25)=Ind+xTnc化为:ω=bx+a9

0+1+2+3+4+5+6ɔ

又τ7X-------Q-------------=3,

∙∙∙∑J1(Xi-X)2=28,=ς,1(Xir)3i「)=琮1=_0.08,

∑7=1(ɪi-ɪ)28

.∖a=ω—bx=3.85÷0.08×3=4.09,

(U49

：・由b=-0.OS=Inc得：C=G)8,由4=4.09=历d得J=e0,

・•.回归方程为：y=d∙c&25=/09∙e-。.。8a25=e4∙°9一()∙08q25,

即y=J09-°∙°8r+25.

(3)当y=60时，代入回归方程了=。4()9-0.081+25得：60=¢409^008Λ+25,

化简得：35=∕09^008Λ',即4.09-0.08X=∕"35,

Λ4.09-0.08x=∕n35约化为：加60-0.08x=∕〃35,

即0.08x=ln60-ln35=》学=lnl2-ln7=(2仇2+∕∏3)-ln7≈2×0.7+1.1-

1.9=0.6,

・

••X合0丽∙6=7.5c,

.∙.大约需要放置7.5分钟才能达到最佳饮用口感.

20.(12分)三棱柱48C-A向Cl中，A4ι=A5=2√5,CAl=4,CB∣=2√7,ZBAAi=60°.

(1)证明：CA=CB;

(2)若CA=A,求二面角Ai-CBI-Ci的余弦值.

CCl

【解答】（I）证明：取AB的中点M,连接CM和M41,如图:

Cl

因为AlBl=2√5,CAl=4,CBι=2√7,

根据勾股定理得到AlBl_LCAι,

因为A8〃Ai8i，

所以A8J"CA∣,

因为A4=AB=2√5,ZBΛΛι=60o，

所以aABAl是等边三角形，

因为M是AB中点，

所以AB_LM4i，

因为C4ι∩M4ι=4,

所以ABJ_面CMA∖,

所以AB_LCM,

因为M是AB中点，

所以CA=CB;

(2)解：在面CMAl平面内，过M作MAl的垂线作为Z轴,

因为ABJ■面CM4，

所以LZ轴，

因为

所以可以建立如图所示空间直角坐标系，

Z

过C作CMLΛM1交M41于N点，设.MN=t,CN=h,

则尸+〃2=13,(37)2+Λ2=16,

解得f=l,A=2√3,

所以点C(0,1,2√3),Al(0,3,0),B1(-2√3,3,0),B(-√3,0,0),

设面CAiBi的法向量为％=(x,y,z),

4；C=(0,-2,2√3),CB1=(-2√3,2,-2√3),

w∣-2y+2√3z=0,

1-2√3x+2y-2√3z=0

不妨设z=l,则法向量蔡=(0,√3,1),

面CBQ即面CM1，设面C88ι的法向量益=(s,q,r),

CB=(-√3,-1,-2√3),

...∫-2√3s+2q-2√3r=0

^sfwji-√3s-g-2√3r=0'

不妨设r=1,则法向量益=(-3,-√3,2),

从图像可得二面角4-CBi-Ci是钝二面角，

→→

〜,m∙n

所以cos<Aι-CBi-C∖>=-\—------=r∣=—

∖m∖×∖n∖

即二面角A∣-CB∣-Ci的余弦值是一会

O

X2V2

21.(12分)已知椭圆C：—+—=1(a>b>ω过点A(-2,0),右焦点为尸，纵坐标

3

为一的点M在C上，且AnLMF.

2

(1)求C的方程；

(2)设过A与X轴垂直的直线为/,纵坐标不为。的点P为C上一动点，过尸作直线附

的垂线交/于点。，证明：直线PQ过定点.

【解答】解：(1)由A(-2,0),可得a=2,

t)23

再由题意可得一=二，可得庐=3,

a2

χ2y2

所以椭圆的方程为：—÷⅞-=l;

43

(2)证明：由(1)