第二章 信号与系统

第2章连续信号与系统的时域分析2.0引言2.1连续时间基本信号2.2卷积积分2.3系统的微分算子方程2.4连续系统的零输入响应2.5连续系统的零状态响应2.6系统微分方程的经典解法2.0引言信号与系统分析的基本任务是在给定系统和输入的条件下，求解系统的输出响应。连续信号与系统的时域分析是指信号与系统的整个分析过程都在连续时间域进行，即所涉及的函数自变量均为连续时间t的一种分析方法。自20世纪60年代以来，随着状态变量概念的引入，现代系统理论的确立以及计算技术的不断进步，时域分析法正在许多领域获得越来越广泛的应用。2.1连续时间基本信号2.1.1奇异信号证明δ(t)的n次积分为ε(t)，容易证明δ(t)的n次积分为结合考虑δ函数的微分运算,可以得到以下系列函数：它是由δ(t)及其各次积分和各阶导数组成的。自左至右，每一项都是前一项的导数，或者每一项都是后一项的积分。这样得到的函数族统称为奇异函数或奇异信号。在连续信号与系统的时域分析中，δ(t)和δ(-1)(t)=ε(t)是经常使用的两种基本信号。或者表示为2.1.2正弦信号随连续时间t按正弦规律变化的信号称为连续时间正弦信号，简称正弦信号。数学上，正弦信号可用时间的sin函数或cos函数表示，本书统一采用cos函数。正弦信号的一般形式表示为式中，A、ω和φ分别为正弦信号的振幅、角频率和初相。(2.1-1)图2.1–1正弦信号正弦信号是周期信号，其周期T、频率f和角频率ω之间的关系为根据欧拉公式，式(2.1-1)可写成(2.1-2)(2.1-3)即一个正弦信号可以表示为两个相同周期和异号频率的虚指数信号的加权和。注意式中出现的负(角)频率实际上是不存在的，这里仅仅是一种数学表示。正弦信号或虚指数信号作为一种基本信号用于连续信号与系统的频域分析。2.1.3指数信号连续时间指数信号，简称指数信号，其一般形式为根据式中A和s的不同取值，具体有下面三种情况。

(1)若A=a1和s=σ均为实常数，则f(t)为实指数信号，即(2.1-4)(2.1-5)其波形如图2.1－2所示。当σ＞0时，f(t)随时间增大按指数增长；当σ<0时，f(t)随时间增大按指数衰减；当σ=0时，f(t)等于常数a1。图2.1–2实指数信号(2)若A=1，s=jω，则f(t)为虚指数信号，即根据欧拉公式，虚指数信号可以表示为表明ejωt的实部和虚部都是角频率为ω的正弦振荡。显然，ejωt也是周期信号，其周期T=2π/|ω|。

(3)当A和s均为复数时，

f(t)为复指数信号。若设

A=|A|ejφ， s=σ+jω则f(t)可表示为(2.1-7)可见，复指数信号f(t)的实部和虚部都是振幅按指数规律变化的正弦振荡。如图2.1－3所示，当σ>0(σ<0)时，f(t)的实部和虚部都是振幅按指数增长(衰减)的正弦振荡；当σ=0时，则f(t)的实部和虚部都是等幅的正弦振荡。图2.1–3复指数信号实部和虚部的波形通常，称复指数信号Aest中的s为复频率，s在复平面中的不同位置，反映了指数信号在时域中的不同变化规律。复指数信号est是连续信号与系统S域分析中使用的一种基本信号。2.2卷积积分2.2.1卷积的定义设f1(t)和f2(t)是定义在(-∞，∞)区间上的两个连续时间信号，我们将积分定义为f1(t)和f2(t)的卷积(Convolution)，简记为即式中，τ为虚设积分变量，积分的结果为另一个新的连续时间信号。2.2.2卷积的图解机理信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成：第一步，画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成τ轴，分别得到f1(τ)和f2(τ)的波形。第二步，将f2(τ)波形以纵轴为中心轴翻转180°，得到f2(-τ)波形。第三步，给定一个t值，将f2(-τ)波形沿τ轴平移|t|。在t<0时，波形往左移；在t>0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-τ)的波形。第四步，将f1(τ)和f2(t-τ)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1(τ)f2(t-τ)。第五步，计算乘积信号f1(τ)f2(t-τ)波形与τ轴之间包含的净面积，便是式(2.2-1)卷积在t时刻的值。第六步，令变量t在(-∞，∞)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t),它是时间变量t的函数。例2.2–1

给定信号求y(t)=f1(t)*f2(t)。

解

f1(t)和f2(t)波形如图2.2－1(a)和(b)所示。在图2.2－2中，图(a)是f1(τ)波形，图(b)是f2(-τ)波形，也就是f2(t-τ)在t=0时刻的波形。对于不同时刻t，将f2(-τ)沿τ轴平移(t<0时左移，t>0时右移)一个时间|t|，得到f2(t-τ)波形。再将乘积信号f1(τ)f2(t-τ)沿τ轴积分，得到t时刻的卷积值。随自变量t从-∞到+∞变化，就可得到不同时刻t的卷积值y(t)，显然，它是t的函数。下面给出具体计算过程。当t<0时，f2(t-τ)波形如图2.2－2(c)所示，对任一τ，乘积f1(τ)f2(t-τ)恒为零，故y(t)=0。图2.2–1f1(t)和f2(t)波形图2.2–2卷积的图解表示当0<t<3时，f2(t-)波形如图2.2-2(d)所示。从图中可以看出，在τ<0时，f1(τ)=0；在τ>t时，f2(t-τ)=0。且考虑到在0<τ<t范围内f1(τ)值为1，于是，t时刻的卷积值就是f2(t-τ)波形与τ轴在(0,t)区间所包围的面积(图中画斜线部分)，即当t>3时，f2(t-τ)波形如图2.2-2(e)所示，此时，仅在0<τ<3范围内，乘积f1(τ)f2(t-τ)不为零，故有总之，有t<00<t<3t>32.2.3卷积性质性质1

卷积代数卷积运算满足三个基本代数运算律，即

交换律结合律分配律(2.2－2)(2.2－3)(2.2－4)性质2

f(t)与奇异信号的卷积(1)信号f(t)与冲激信号δ(t)的卷积等于f(t)本身，即(2.2-5)(2.2-6)(2)信号f(t)与冲激偶δ′(t)的卷积等于f(t)的导函数，即(2.2-7)证根据式(1.4－29)及卷积运算定义和交换律，有(3)信号f(t)与阶跃信号ε(t)的卷积等于信号f(t)的积分，即证因为所以，式（2.2-8）成立（2.2-8）性质3

卷积的微分和积分证(2.2－9)(2.2－10)(2.2－11)(2)应用式(2.2-8)及卷积运算的结合律，可得卷积的微分性质表明，两信号卷积后求导与先对其中一个信号求导后再同另一个信号卷积，其结果相同。(3)因为(2.2-12)同理，可将f2(t)表示为并进一步得到当f1(t)和f2(t)满足(2.2-13)(2.2-14)时，式(2.2－11)成立。必须指出，使用卷积的微积分性质是有条件的，条件式(2.2－14)要求：被求导的函数(f1(t)或f2(t))在t=-∞处为零值，或者被积分的函数(f2(t)或f1(t))在(-∞，∞)区间上的积分值(即函数波形的净面积)为零。而且，这里的两个条件是“或”的关系，只要满足其中一个条件，式(2.2－11)即成立。自然，式(2.2－9)～式(2.2－11)也可推广用于对一个函数进行k次求导，对另一个函数进行k次积分的情况，即(2.2-15)(2.2-16)(2.2-17)性质4卷积时移(2.2-18)(2.2-19)又因为(2.2-20)由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：若f1(t)*f2(t)=y(t)，则式中，t1和t2为实常数。(2.2-21)例2.2–2

计算常数K与信号f(t)的卷积积分。解直接按卷积定义，可得常数K与任意信号f(t)的卷积值等于该信号波形净面积值的K倍。如果应用卷积运算的微积分性质来求解，将导致(2.2-22)例2.2–3

计算下列卷积积分：解

(1)先计算ε(t)*ε(t)。因为ε(-∞)=0，故可应用卷积运算的微积分性质求得

(2)利用卷积运算的分配律和时移性质，可将给定的卷积计算式表示为(2.2-23)(3)由于因此，可直接利用卷积时移性质得到(2.2-24)这一结果表明，位于t=t0(t0>0)处的单位冲激信号与另一信号f(t)的卷积运算，相当于“复制”f(t)波形并沿t轴正方向平移t0，如图2.2－3所示。图2.2–3例2.2-3图图2.2–4应用δT(t)产生周期信号利用式(2.2－24)所具有的“复制”和“平移”信号波形的功能，我们可以通过卷积运算产生一个周期信号。设一脉冲信号f1(t)如图2.2－4(a)所示。另一周期为T的周期性单位冲激函数序列如图2.2－4(b)所示，通常称为梳状函数，用符号δT(t)表示，它可写为(2.2-25)式中，m为整数。现在，计算f1(t)与δT(t)的卷积积分。根据卷积运算的分配律和式(2.2－24)可得(2.2－26)例2.2–4

图2.2-5(a)所示为门函数，在电子技术中常称矩形脉冲，用符号gτ(t)表示，其幅度为1，宽度为τ，求卷积积分gτ(t)*gτ(t)。解方法一图解法。由于门函数是偶函数，故其波形绕纵轴翻转180°后与原波形重叠，图中用虚线表示。注意，t=0时，门函数左边沿位于x=-τ/2位置，右边沿位于x=τ/2位置，如图2.2-5(b)所示。在任一t时刻，移动门函数左边沿位于x=t-τ/2位置，右边沿则位于x=t+τ/2位置，如图2.2-5(c)所示。按照图2.2-5中卷积过程的图解表示，可计算求得：图2.2–5例2.2-4方法一图方法二应用卷积运算的微积分和时移性质，可得图2.2–6例2.2-4方法二图2.2.4常用信号的卷积公式表2.1常用信号的卷积公式2.3系统的微分算子方程2.3.1微分算子和积分算子式中，p称为微分算子，1/p称为微分逆算子或积分算子。这样，可以应用微分或积分算子简化表示微分和积分运算。例如：(2.3-1)(2.3-2)(2.3-3)(2.3-4)这种含微分算子的方程称为微分算子方程。必须强调指出，微分算子方程仅仅是微分方程的一种简化表示，式(2.3－4)中等号两边表达式的含义是分别对函数y(t)和f(t)进行相应的微分运算。这种形式上与代数方程类似的表示方法，将用于系统描述和分析，特别是在时域中建立与变换域相一致的系统分析方法方面带来方便和好处。性质1

以p的正幂多项式出现的运算式，在形式上可以像代数多项式那样进行展开和因式分解。例如：性质2

设A(p)和B(p)是p的正幂多项式，则(2.3-5)

性质3

微分算子方程等号两边p的公因式不能随便消去。例如，由下面方程不能随意消去公因子p而得到y(t)=f(t)的结果。因为y(t)与f(t)之间可以相差一个常数c。正确的结果应写为也不能由方程通过直接消去方程两边的公因式(p+a)得到y(t)=f(t)，因为y(t)与f(t)之间可以相差ce-at，其正确的关系是性质4(2.3-6)(2.3-7)2.3.2LTI系统的微分算子方程对于LTIn阶连续系统，其输入输出方程是线性、常系数n阶微分方程。若系统输入为f(t)，输出为y(t)，则可表示为(2.3-8)(2.3-9(a))(2.3-9(b))它代表了系统将输入转变为输出的作用，或系统对输入的传输作用，故称H(p)为响应y(t)

对激励f(t)的传输算子或系统的传输算子。(2.3-10)(2.3-11)图2.3–1用H(p)表示的系统输入输出模型例2.3–1

设某连续系统的传输算子为

解选图中右端积分器的输出为中间变量x(t)，则其输入为x′(t)，左端积分器的输入为x″(t)，如图所示。写出左端加法器的输出试写出系统的输入输出微分方程。

解令系统输入为f(t)，输出为y(t)。由给定传输算子H(p)写出系统算子方程该方程所代表的y(t)与f(t)之间的实际关系是故系统的输入输出微分方程为y(3)(t)+2y(2)(t)+3y(1)(t)+4y(t)=f(1)(t)+2f(t)右端加法器的输出例2.3－2某连续系统如图2.3－2所示，写出该系统的传输算子。

解选图中右端积分器的输出为中间变量x(t)，则其输入为x′(t)，左端积分器的输入为x″(t)，如图所示。写出左端加法器的输出(2.3-12)即(2.3-13)图2.3–2例2.3-2图应用第1章中介绍的方法，消去式(2.3－12)和式(2.3－13)中的中间变量x(t)及其各阶导数，或者利用两方程系数与微分方程系数之间的对应关系，直接写出系统的微分方程为相应的算子方程于是，系统的传输算子为表2.2电路元件的算子模型2.3.3电路系统算子方程的建立把电路系统中各基本元件(R、L、C)上的伏安关系(VAR)用微分、积分算子形式表示，可以得到相应的算子模型，如表2.2所示。表中pL和有尽有分别称为算子感抗和算子容抗。例2.3–3

电路如图2.3-3(a)所示，试写出u1(t)对f(t)的传输算子。图2.3–3例2.3-3图

解画出算子模型电路如图2.3-3(b)所示。由节点电压法列出u1(t)的方程为所以u1(t)对f(t)的传输算子为它代表的实际含义是(2.3-14)(2.3-15)

例2.3–4

如图2.3-4(a)所示电路，电路输入为f(t)，输出为i2(t)，试建立该电路的输入输出算子方程。图2.3–4例2.3-4图

解画出算子模型电路如图2.3-4(b)所示。列出网孔电流方程如下：该方程组对新设变量而言是一个微分方程组，可以用代数方法求解，得2.4连续系统的零输入响应2.4.1系统初始条件根据线性系统的分解性，LTI系统的完全响应y(t)可分解为零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，即分别令t=0-和t=0+，可得(2.4-1)(2.4-2)(2.4-3)对于因果系统，由于激励在t=0时接入，故有yf(0-)=0；对于时不变系统，内部参数不随时间变化，故有yx(0+)=yx(0-)。因此，式(2.4-2)和式(2.4-3)可改写为同理，可推得y(t)的各阶导数满足(2.4-4)(2.4-5)(2.4-6)(2.4-7)对于n阶系统，分别称y(j)(0-)(j=0,1,…,n-1)和y(j)(0+)(j=0,1,…,n-1)为系统的0-和0+初始条件。式(2.4－7)给出了系统0+与0-初始条件之间的相互关系，即系统的0+初始条件可通过0-初始条件和零状态响应及其各阶导数的初始值来确定。根据状态和状态变量的概念，系统在任一时刻的响应都由这一时刻的状态和激励共同决定。对于因果系统，由于在t=0-时刻，输入激励没有接入系统，故0-初始条件是完全由系统在0-时刻的状态所决定的。或者说，0-初始条件反映了系统初始状态的作用效果。在以“状态”概念为基础的现代系统理论中，一般采用0-初始条件。这是因为一方面，它直接体现了历史输入信号的作用；另一方面对于实际的系统，其0-初始条件也比较容易求得。相反，在传统的微分方程经典解法中，通常采用0+初始条件，这时y

(j)(0+)(j=0,1,…,n-1)可利用式(2.4－7)，由0-初始条件和y(j)f(0+)(j=0,1,…,n-1)来确定。2.4.2零输入响应算子方程

设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算子为H(p)，且y(t)和f(t)满足的算子方程为(2.4-8)式中，A(p)=pn+an-1pn-1+…+a1p+a0为p的n次多项式，通常称为系统的特征多项式，方程A(p)=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。B(p)=bmpm+bm-1pm-1+…+b1p+b0为p的m次多项式。(2.4-9)根据零输入响应yx(t)的定义，它是输入为零时，仅由系统的初始状态(或历史输入信号)所引起的响应。所以,yx(t)满足的算子方程为(2.4-10)或者具体地说，零输入响应yx(t)是式(2.4－10)齐次算子方程满足0-初始条件的解。2.4.3简单系统的零输入响应简单系统1

若A(p)=p-λ，则yx(t)=c0eλt。此时系统特征方程A(p)=0仅有一个特征根p=λ。将A(p)=p-λ代入式(2.4-10)可得其实际含义是两边乘以e-λt，并整理得式中，c0为待定系数,其值由初始条件yx(0-)确定。因此，可得结论为含义是：A(p)=p-λ对应的零输入响应yx(t)为c0eλt。两边取积分，可求得(2.4-11)简单系统2若A(p)=(p-λ)2，则yx(t)=(c0+c1t)eλt。此时，系统特征方程在p=λ处具有一个二阶重根。将A(p)=(p-λ)2代入式(2.4－10)有将上式改写为根据式(2.4－11)，有或者两边乘以e-λt，再取积分式中，c0和c1由系统0-初始条件确定。将上述结论推广到一般情况，有(2.4-12)式中，系数c0,c1,…,cd-1由yx(t)的初始条件确定。2.4.4一般系统的零输入响应对于一般情况，设n阶LTI连续系统，其特征方程A(p)=0具有l个不同的特征根λi(i=1,2,…,l)，且λi是di阶重根，那么，A(p)可以因式分解为式中，d1+d2+…+dl=n的解yxi(t)也一定满足方程根据线性微分方程解的结构定理，令i=1,2,….,l,将相应方程求和，便得所以方程A(p)yx(t)=0第一步，将A（p）进行因式分解，即综上所述，对于一般n阶LTI连续系统零输入响应的求解步骤是：(2.4-13)式中，λi和di分别是系统特征方程的第i个根及其相应的重根阶数。第二步，求出第i个根对应的零输入响应yxi(t)第三步，将所有的yxi(t)(i=1,2,…,l)相加，得到系统的零输入响应，即第四步，根据给定的零输入响应初始条或者0-系统的初始条件，确定常数(2.4-14)(2.4-15)例2.4–1某系统输入输出微分算子方程为已知系统的初始条件y(0-)=3,y′(0-)=-6，y″(0-)=13,求系统的零输入响应yx(t)。解由题意知A(p)=(p+1)(p+2)2所以（2.4-16）其一阶和二阶导函数为(2.4-18)(2.4-17)代入初始条件值并整理得在式（2.4-16）~(2.4-18)中，令t=0-,并考虑到联立求解得c10=1，c20=2，c21=-1。将各系数值代入式(2.4-16)，最后求得系统的零输入响应为例2.4－2已知系统微分方程和初始条件求该系统的零输入响应。

解附录A结论表明，特征方程A(p)=0含有复根时，必以共轭成对方式出现。若设方程A(p)=0的共轭复根为λ1,2=a±jω,则由式(2.4－15)求得系统零输入响应令c1=k1+k2,c2=j(k1-k2),并结合三角函数关系，可得(2.4-19)式中。这就是表2.3中序号3公式。本例中，因方程A(p)=p2+2p+2=0的特征根λ1,2=σ+jω=-1±j1,代入式(2.4－19)，有代入初始条件得解以上两方程得A=-1,φ=90°,故系统的零输入响应为例2.4-3

电路如图2.4-1(a)所示，激励为is(t)，响应为iL(t)。已知R1=1Ω，R2=5Ω，C=0.25F，L=2H，电容上初始电压uC(0-)=6V，电感中初始电流iL(0-)=2A。试求t≥0时的零输入响应iLx(t)。图2.4-1例2.4-3图解画出给定电路的算子电路模型如图2.4-1(b)所示，列出电路的回路电流方程(2.4-20)(2.4-21)为确定式(2.4-19)中的待定常数，除应用电感初始电流iLx(0-)=iL(0-)=2A外，还需计算iLx’(0-)值。为此，画出t=0-时的等效电路如图2.4-1(c)所示，由KVL可得令式(2.4－20)和式(2.4－21)中的t=0-，并代入iL(0-)和iL′(0-)值，整理得联立求解得c10=c20=1，并代入式(2.4－20)，得到电路的零输入响应2.5连续系统的零状态响应2.5.1连续信号的δ(t)分解任一连续信号f(t)与单位冲激信号δ(t)卷积运算的结果等于信号f(t)本身，即(2.5-1)对式(2.5－1)，从信号的时间域分解观点出发可作如下解释：δ(t-τ)是位于t=τ处的单位冲激信号，f(τ)dτ与时间t无关，可以看成是δ(t-τ)的加权系数，积分号∫∞-∞实质上代表求和运算，这样式(2.5－1)表明任何一个连续信号f(t)都可以分解为众多δ(t-τ)冲激信号分量的线性组合。图2.5-1连续信号的δ(t)分解可以从图形上定性地说明式(2.5-1)的正确性。(2.5-2)其波形如图2.5－1(b)所示。应用pΔτ(t)信号，可将图2.5－1(a)中的台阶信号f(t)表示为^(2.5-3)由图2.5-1可见，当Δτ→0，即趋于无穷小量dτ时，离散变量kΔτ将趋于连续变量τ，式(2.5-3)中的各量将发生如下变化：2.5.2基本信号δ(t)激励下的零状态响应

1.冲激响应

设初始观察时刻t0=0。对一个初始状态为零的LTI因果连续系统，输入为单位冲激信号时所产生的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，记为h(t)，如图2.5－2所示。即(2.5－4)图2.5-2冲激响应的定义

2.冲激响应的计算

设LTI连续系统的传输算子为H(p)，现在讨论从H(p)出发计算冲激响应h(t)的方法。具体做法是先研究若干简单系统的冲激响应，再在此基础上推导出一般系统冲激响应的计算步骤。简单系统1此时，响应y(t)和输入f(t)满足的微分方程为当系统的初始状态为零时，y(t)为零状态响应，上式可表示为根据h(t)的定义，若在上式中令f(t)=δ(t)，则yf(t)=h(t)，所以有这是关于h(t)的一阶微分方程，容易求得于是式中，符号“→”表示“系统H(p)对应的冲激响应h(t)为…”。(2.5-6)将这一结果推广到特征方程A(p)=0在p=λ处有r重根的情况，有(2.5-7)简单系统3此时，由于因此即(2.5－8)对于一般的传输算子H(p)，根据本书附录A的讨论结果，当H(p)为p的真分式时，可将它展开成如下形式的部分分式之和，即(2.5－9)(2.5-10)综上所述，可以得到计算系统冲激响应h(t)的一般步骤是：(2.5－11)表2.4

h(t)与H(p)对应关系例2.5-1

描述系统的微分方程为求其冲激响应h(t)。解由系统微分方程得到相应的输入输出算子方程为(2.5-12)其H(p)可表示为再将各冲激分量相加，得到给定系统的冲激响应根据表2.4,有(2.5－13)例2.5-2二阶电路如图2.5-3所示，已知L=0.4H，C=0.1F，G=0.6S，若以us(t)为输入，以uC(t)为输出，求该电路的冲激响应h(t)。图2.5-3例2.5-2图解

(1)列写电路输入输出方程。按图2.5-3，由KCL和KVL有(2.5－14)(2)求冲激响应。电路的输入输出算子方程为根据式(2.5-5)，求得2.5.3一般信号f(t)激励下的零状态响应在前面的讨论中，我们已经得到了连续信号f(t)的δ(t)分解表达式，还有系统在基本信号δ(t)激励下的零状态响应，即冲激响应h(t)的计算方法。下面将进一步利用LTI的线性和时不变特性，导出一般信号f(t)激励下系统零状态响应的求解方法。设LTI连续系统如图2.5－4所示。图中，h(t)为系统的冲激响应，yf(t)为系统在一般信号f(t)激励下产生的零状态响应。为了叙述方便，我们采用如下简化符号：f(t)→y(t)［C］图2.5-4系统的零状态响应其含义是：系统在f(t)激励下产生的零状态响应是y(t)，［Ｃ］中的C代表f(t)→y(t)成立所依据的理由。由于它是激励f(t)与冲激响应h(t)的卷积积分。2.5.4零状态响应的另一个计算公式1.连续信号的ε(t)分解根据卷积运算的微积分性质，有按照卷积运算的定义，信号f(t)可表示为(2.5-17)与对式(2.5－1)的理解方式一样，式(2.5－17)可理解为将信号f(t)分解为单位阶跃信号ε(t)的线性组合。图2.5-5连续信号的ε(t)分解(2.5－18)上面在f(t)=f(t)*δ(t)的基础上，应用卷积的微积分性质得到了ε(t)分解公式(2.5-17)。如果在该式的基础上，再应用一次卷积的微积分性质，可得到单位斜升信号tε(t)形式的分解公式，即(2.5－19)如此等等，可以得到将信号f(t)分解为δ(t)的一次、二次、…多次积分的奇异信号的分解公式。其中，最常用的是δ(t)和ε(t)的分解公式。

2.系统的阶跃响应一个LTI连续系统，在基本信号ε(t)激励下产生的零状态响应称为系统的阶跃响应，通常记为g(t)。

按照g(t)的定义，由式(2.5-16)知再根据卷积运算的微积分性质和δ(t)的有关性质，有所以阶跃响应g(t)与冲激响应h(t)之间的关系为或者(2.5-20)(2.5-21)

3.利用g(t)计算零状态响应根据信号f(t)的ε(t)分解公式(2.5－17)和LTI的线性、时不变特性，我们有如下推导：

(2.5－22)例2.5-3

某LTI连续系统N由A、B、C三部分组成，如图2.5-6所示。已知子系统A的冲激响应 ，子系统B和C的阶跃响应分别为gB(t)=(1-e-t)ε(t)，gC(t)=2e-3tε(t)，系统输入f(t)=ε(t)-ε(t-2)，试求系统N的冲激响应、阶跃响应和零状态响应。图2.5-6例2.5-3图解

(1)系统N的冲激响应。设子系统B、C的冲激响应为hB(t)和hC(t)，由式(2.5-21)可得按照冲激响应的定义，它是f(t)=δ(t)时系统的零状态响应，故由图2.5-6可知，系统N的冲激响应为

(2)系统N的阶跃响应。设系统N的阶跃响应为gN(t)，根据式(2.5-20)，有(3)系统的零状态响应。方法二因为已经求得系统的阶跃响应它是输入为ε(t)时对应的零状态响应。现在题中给定f(x)=ε(t)-ε(t-2)，是一个阶跃信号与另一个位移阶跃信号的组合。所以，可利用阶跃响应和系统的线性、时不变特性直接求得例2.5-4已知某连续系统的微分方程为若系统的初始条件y(0-)=y′(0-)=1，输入f(t)=e-tε(t)，求系统的零输入响应yx(t)，零状态响应yf(t)和完全响应y(t)。解(2)零状态响应。按附录A方法将H(p)展开为(3)完全响应。例2.5-5描述某LTI系统的微分方程为已知f(t)=ε(t),y(0+)=3,

y′(0+)=1，求该系统的零输入响应和零状态响应。

解本例中已知的是0+初始条件，由式(2.4－1)及其导数式，令其t=0+时有(2.5－23)写出系统传输算子，并进行部分分式展开，有再由式(2.5－16)，求得系统的零状态响应(2.5－24)由式(2.5－5)，求得冲激响应h(t)=(4e-t-2e-2t)ε(t)t≥0由上式可求得yf(0+)=0,yf′(0+)=2。将它们代入式(2.5－23)得到yx(0+)=3,yx′(0+)=-1。本例中，A(p)=p2+3p+2。根据式(2.4-15)可得系统的零输入响应为例2.5-6

已知某LTI连续系统的冲激响应h(t)=ε(t)-ε(t-1)，输入f(t)=ε(t+2)-ε(t-2)。若以t=0为初始观察时刻，试求系统的零输入响应yx(t)和零状态响应yf(t)，并画出波形。解以初始观察时刻t=0为时间分界点，将输入区分为历史输入f1(t)和当前输入f2(t)，即所谓零输入响应，是指历史输入f１(t)作用于系统，在t≥0区间上产生的响应，即先计算式中画出g(t)波形如图2.5-7(a)所示。再画出［g(t+2)-g(t)］波形如图2.5-7(b)所示，其中t≥0部分代表yx(t)。于是图2.5-7例2.5-6图当输入f2(t)作用于系统，在t≥0区间上产生的响应为零状态响应，即