平面向量-五年2018-2022高考数学真题汇编

五年2018-2022高考数学真题按知识点分类汇编9-平面向量

（含解析）

一、单选题

1.（2022♦全国•统考高考真题）在ABC中，点。在边AB匕3D=2ZM.记CA=m,CO=〃,

则CB=（）

A.3m-2nB.-2∕n+3nC.3m÷2nD.2m+3π

2.（2022・全国・统考高考真题）已知向量4,8满足|〃|=1,屹|=6,必-26|=3,则4力=（）

A.-2B.-1C.1D.2

3.（2022.全国•统考高考真题）已知向量α=（3,4）,b=（l,0）,c=α+仍，若<α,c>=<b,c>,

则，=（）

A.-6B.-5C.5D.6

4.（2022•全国•统考高考真题）已知向量”=（2,1）0=（-2,4）,则，（）

A.2B.3C.4D.5

5.（2022.北京.统考高考真题）在中，AC=3,8C=4,NC=90。.P为.ABC所在

平面内的动点，且PC=1,则/%.PB的取值范围是（）

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[-4,61

6.（2021・浙江•统考高考真题）己知非零向量”,4c,贝=是"α=b''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件

7.（2020∙全国•统考高考真题）已知向量a,Z;满足1。1=5,∣⅛∣=6,q∙b=-6,贝IJ

cos<a9a+b>=（）

A.-∣1B.YC,ɪɪD.火

35353535

8.（2020.全国•统考高考真题）已知单位向量〃，匕的夹角为60。，则在下列向量中，与

b垂直的是（）

A.a+2bB.2a+hC.a-2bD.2a—b

9.（2020・海南・统考高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCOEF内的一点，则

AP-AB的取值范围是（）

A.（-2,6）B.（-6,2）

C.(-2,4)D.(Y,6)

10.（2020•海南•高考真题）在√1BC中，。是AB边上的中点，则ɑ=（）

A.2CD+CAB.CD-2CAC.2CD-CAD.CD+2CA

11.（2020・山东・统考高考真题）已知平行四边形4BCD,点E,F分别是AB,BC的

中点（如图所示），设A8=α,AD=b,则E尸等于（）

D.—a+b

2

12.（2020.山东.统考高考真题）已知点A（4,3）,8(T,2),点P在函数y=∕-4x-3图

象的对称轴上，若PALPB，则点尸的坐标是（）

A.（2,-6）或（2,1）B.（-2,-6）∏g（-2,1）

C.（2,6）或（2,-1）D.（-2,6）或（-2,-1）

13.（2019•全国•高考真题）已知非零向量αb满足H=2W,且⑦-始ɪb,则α与b的

夹角为

πC兀-2πC5π

A.-B.-C.—D.—

6336

14.（2018・全国•高考真题）在44?C中，AD为BC边上的中线，E为AO的中点，则

EB=

3113

A.二AB——ACB.-AB--AC

4444

3——ɪ…1…―3一

C.-AB-F-ACD.-AB-I--AC

4444

15.(2019•全国,高考真题)已知AB=(2,3),AC=(3,。，忸。卜1,则AB∙3C=

A.-3B.-2

C.2D.3

16.（2018・全国•高考真题）已知向量a,b满足∣a∣=l,ab=-l,则a∙（2a-b）=

A.4B.3C.2D.0

17.(2019∙全国•高考真题)已知向量2=(2,3)石=(3,2),^A∖a-b∖=

A.√2B.2

C.5母D.50

18.（2018•北京•高考真题）设向量。力均为单位向量，则“∣α-35∣=∣3Z+耳|”是"a_Lb”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不

必要条件

19.（2018•天津•高考真题）如图，在平面四边形ABCZ）中，

AB_LBC,AO_LC£>,NBW=I20,AB=AC=I,

若点E为边C。上的动点，则AEBE的最小值为

二、多选题

20.（2022•全国•统考高考真题）已知。为坐标原点，过抛物线C:y2=2px（p>0）焦点

F的直线与C交于A,B两点，其中A在第一象限，点例（P,O）,若IAFl=IAM∣,则（）

A.直线AB的斜率为2尚B.∣OB∣=∣OF∣

C.∖AB∖>4∖OF∖D.ZOAM+ZOBM<∖80o

21.（2021♦全国•统考高考真题）已知。为坐标原点，点耳（COSe,sinα）,鸟（CoSP,-sin/）,

6（cos（α+/）,sin（α+万）），A（l,0）,则（）

A∙|。耳=|。闾B.卜止IAq

C.OAOP3=OPcOP2D.OA∙OP{=OP2OP3

三、填空题

22.（2022•全国•统考高考真题）设向量α,。的夹角的余弦值为g,且M=I,M=3,

则（2a+可力=.

23.（2022♦全国•统考高考真题）已知向量α=（m,3）力=（LM+1）.若皿,则加=

24.（2022・浙江•统考高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形A44的边A4上,

2

则尸箫+PA2++漏的取值范围是.

25.（2021•全国•统考高考真题）已知向量α=（l,3）,6=（3,4）,若（α-助）J_6,贝∣]2=

26.（2021•全国•统考高考真题）已知向量”=（3,l）,b=（l,0）,c=α+A^∙若Cc,则％=

27.（2021•全国•统考高考真题）已知向量α+6+c=0,W=I,W=H=2,

ab+b∙c+c∙a=・

28.（2021・全国•高考真题）若向量”,6满足卜|=3,卜-0=5,“2=1,则W=.

29.（202卜全国・统考高考真题）已知向量4=（2,5）力=（44）,若：/4，则；1=.

30.（2021・浙江•统考高考真题）已知平面向量”,4c,（c≠0）满足

W=1,忖=2,4/=0,（。-%）,。=0.记向量"在4,%方向上的投影分别为*，y，2-“在C方

向上的投影为Z,则f+V+Z?的最小值为.

31.（2020•全国•统考高考真题）设6为单位向量，且∣4+b|=1,贝IJla-6|=

32.（2020•全国•统考高考真题）已知单位向量；工的夹角为45。，与:垂直，则

k=.

33.（2020•全国•统考高考真题）设向量α=（1,-1）,6=QW+1,2"L4）,若H,则加=

34.（2020•江苏•统考高考真题）在AABC中，AB=4,AC=3,Nfi4C=90。,。在边BC上，

延长AO到P,使得AP=9,若尸A=机尸8+（5-MPC（而为常数）,则CZ）的长度是.

35.（2020•浙江•统考高考真题）设e；,e2为单位向量，满足∣2e∣-e2∣≤√∑,a=et+e2,

2

b=3el+e2,设α,h的夹角为θ,则cosθ的最小值为.

36.（2019•全国•统考高考真题）已知α,b为单位向量，且ab=。，若c=2α-J豆，则

cos<a,c>=.

37.（2018•全国•高考真题）已知向量4=（l,2）,6=（2,-2）,C=（I"）.若C（2a+〃），则

λ=.

38.（2019•全国♦高考真题）已知向量α=（2,2）,6=（-8,6）,则CoS（a,6）=.

39.（2019•天津•高考真题）在四边形ABcD中，AD/∕BC,AB=2√3,AD=S,

ZA=30°,点E在线段CB的延长线上，且AE=BE,贝∣J8O∙AE=.

四、解答题

40.（2020∙山东•统考高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点O,椭圆上+y2=ι的顶

4

点分别为A，Λ,B∣,B2,其中点4为抛物线的焦点，如图所示.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）若过点4的直线/与抛物线交于M,N两点，且（OM+6W）∕∕44,求直线/的

方程.

五、双空题

41.（2022∙天津•统考高考真题）在A8C中，CA=a,C8=h,O是AC中点，CB=IBE,

试用a,b表示为,若ABLDE，则N>AC8的最大值为

42.（2021•天津.统考高考真题）在边长为1的等边三角形A8C中，。为线段BC上的动

点，DEIA8且交AB于点E.r>∕7∕AB且交4C于点匕则∣2BE+OF∣的值为；

（DE+DF）-DA的最小值为.

43.（2021.北京・统考高考真题）已知向量°,Ac在正方形网格中的位置如图所示.若网

格纸上小正方形的边长为1,则

(d+b)∙c=;a∙b=•

44.（2020.天津.统考高考真题）如图，在四边形ABC。中，N8=60°,AB=3,BC=6,

一3

且m=MC,AO∙"=W,则实数2的值为——'若",N是线段BC上的动点,

且IMNl=1,则DM∙DN的最小值为

45.（2020•北京•统考高考真题）已知正方形ABCD的边长为2,点P满足

1

AP=-(AB+AC),则IPOI=.；PBPD=

参考答案：

1.B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边48上，BD=2DA,所以80=204,即CO-C8=2(C4-CQ),

所以CB=3CO-2CA=3〃-2机=-2m+3〃.

故选:B.

2.C

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】M：V∣α-2⅛∣2=∣a∣2-4α∙⅛+4∣⅛∣2,

XV∣α∣=l,∣ft∣=λ^,∣β-2⅛|=3,

∙*∙9=l-4α∙b+4×3=13-4d∙⅛>

∙'∙a`b=1

故选：C.

3.C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

/、,,,,9+3f+163+r

【详解】解：e=(3+f,4),cos(a,e)=cos(A,c),即一乖一二-pp,解得f=5,

故选：C

4.D

【分析】先求得α-6,然后求得口-4.

【详解】因为4d=(2,1)—(—2,4)=(4,-3),所以卜-N=J4?+(-3)?=5.

故选：D

5.D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设P(COSaSin0),表示出外，依，根据数量积的

坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得;

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则C(O⑼，A(3,0),B(0,4),

因为尸C=I,所以P在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设尸(CoSaSine),夕∈[0,2司,

所以∕¾=(3-cosΘ.-sin0),PB=(-cosθ,4-sinθ),

所以PA-P3=(-cos6)χ(3-COSe)+(4-Sine)X(-sin8)

=Cos20-3cos4sin0+sin2θ

=1-3cos6—4sin6

34

=1-5sin(夕+0),其中Sine=g,C0S^9=-,

因为一l≤sin(e+0)≤l,所以一4≤l-5sin(e+e)≤6,即PA∙PB∈[-4,6]；

故选：D

6.B

【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.

【详解】如图所小，QA=",OB=b,OC=C,8A=α-〃，当AS_LoC时，。―。与C垂直,

I4/-Λ∣∙<-0,所以J一九；.成立，此时QWb,

：.ac_VZ不是α=6的充分条件，

∕Γ■rrr

当&=人时，α-b=O,叫∙c=O∙c=O,.∙.>;_.成立,

•••>£="；.是α=b的必要条件，

综上，-小，”是““一/；”的必要不充分条件

故选：B.

7.D

【分析】计算出α∙(α+b)∖∣α+W的值，利用平面向量数量积可计算出cos<〃,〃+%>的值.

【详解】Jd=5,|4=6,a∙b=-6，6f∙+⅛)=∣fl,∣2÷6f∙⅛=52-6=19.

∣<7÷⅛∣=J(a+b)=y∣a~+2a∙b+b=,25-2x6+36=7,

a∖aΛ-b∖1919

因此，cos<a,a+h>=-∣-∩-----r=-~—=—.

∣α∣∙∣α+∕j∣5x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向

量模的计算，考查计算能力，属于中等题.

8.D

【分析】根据平面向量数量积的定义、运算性质，结合两平面向量垂直数量积为零这一性质

逐一判断即可.

【详解】由已知可得：α∙⅛=∣α∣∙∣⅛∣∙cos60=I×1×1=1.

215

A：因为(α+2Z0∙A=α∙4+2Z?=ɪ+2×l=^≠0,所以本选项不符合题意；

21

B：因为(2a+b)∙b=2α∙Z?+/?=2×-÷l=2≠0,所以本选项不符合题意；

213

C：因为（。—2Z?）。—2。=--2×l=--≠0,所以本选项不符合题意;

D：因为（2"-b）m=2ɑ∙6-z∕=2xg-l=0,所以本选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义和运算性质，考查了两平面向量数量积为零则这

两个平面向量互相垂直这一性质，考查了数学运算能力.

9.A

【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP在Aθ方向上的投影的

取值范围是（T，3）,利用向量数量积的定义式，求得结果.

【详解】

AB的模为2,根据正六边形的特征,

可以得到Ap在AB方向上的投影的取值范围是（T，3）,

结合向量数量积的定义式,

可知APA8等于A8的模与AP在AB方向上的投影的乘积,

所以AP∙A8的取值范围是（-2,6）,

故选:A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有

向量数量积的定义式，属于简单题目.

IO-C

【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.

【详解】

CB=CA+AB=CA+2AD=CA+2^CD-Cλ)=2CD-CA

故选：C

【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.

11.A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结4C,则AC为ABC的中位线，

.∙.EF=-AC=-a+-b,

222

故选：A

12.C

【分析】由二次函数对称轴设出P点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得.

【详解】由题意函数y=Y-4x-3图象的对称轴是x=2,设尸(2,y),

因为PAJ.PA，所以PA∙P8=(2,3-y)∙(-6,2-y)=-12+(3-y)(2-y)=0,解得>=6或

y=~l,所以P(2,6)或P(2,-l),

故选：C.

13.B

【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与

化归、数学计算等数学素养.先由(α-b)J■，得出向量”,b的数量积与其模的关系，再利用

向量夹角公式即可计算出向量夹角.

【详解】因为(a-b)_L人，所以(a—〃).石=aZ—1=0,所以a∙b=t>^^，所以COSe=

abI邸1π

EΠ=?TQ=不，所以°与〃的夹角为丁，故选B.

∖a∖∙∖b∖2|。|23

【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式

求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为。兀］.

14.A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE=：BA+：BD,

22

之后应用向量的加法运算法则——三角形法则，得至IJBC=BA+AC，之后将其合并，得到

3131

BE=-BA+-AC,下一步应用相反向量，求得E3==A8-∙74C,从而求得结果.

4444

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC]BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

222424、724444

31

所以EB=-AB--AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线

向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需

要认真对待每一步运算.

15.C

【分析】根据向量三角形法则求出t,再求出向量的数量积.

【详解】由BC=AC-AB=(IJ-3),∣βC∣=√l2+(r-3)2=1,得/=3,则8C=(1,0),

AB.BC=(2,3).(1,0)=2×l+3×0=2.故选C.

【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大.

16.B

【详解】分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.

详解：^a-(2a-b)^2a-a-b=2∖a∖i-(-1)=2+1=3,

所以选B.

2l

点睛:向量加减乘：a±b=(xl±x2,yi±y2),a=∖a∖,a-b=∖a[∖b∖∞s(a,b^

17.A

【分析】本题先计算α-b,再根据模的概念求出∣α-6∣∙

【详解】由已知,α-⅛=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以Iα—〃I=J(T)-+F=V2>

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考

查.由于对平面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过

程中出错.

18.C

【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】因为向量。力均为单位向量

所以|0-35|=|34+切=(〃-342=(34+6)2

22.22

Oa-6ab+9b=9«+6a∙b+b

=I-6α∙b+9=9+6α∙Z>+l

=a∙b=0OaLb

所以“I〃-3引=|3α+勿”是“a”的充要条件

故选：C

【点睛】本题考查的是向量数量积的应用和充要条件的判断，属于基础题.

19.A

【详解】分析：由题意可得aABD为等腰三角形，4BCD为等边三角形,把数量积AE∙8E

分拆，设OE=rOC(0≤f≤l),数量积转化为关于t的函数，用函数可求得最小值。

详解：连接BD,取AD中点为0,可知AABD为等腰三角形，而ABJ.8C,4O，8,所以

△BCD为等边三角形,BD=G设。E=∕OC(0≤f≤l)

232

AEBE=(AD+DE)∙(BD+DE)=AD∙BD+DE∙(AD+BD)+DE=→BD∙DE+DE

ι3

=3t2--tt+-(0≤t≤])

22

121

所以当£=：时，上式取最小值§，选A.

416

点睛：本题考查的是平面向量基本定理与向量的拆分，需要选择合适的基底，再把其它向量

都用基底表示。同时利用向量共线转化为函数求最值。

20.ACD

【分析】由∣4Fl=IAMl及抛物线方程求得4半,冬），再由斜率公式即可判断A选项；表

示出直线A3的方程，联立抛物线求得以号,-华），即可求出IOBI判断B选项；由抛物线

的定义求出IAM=等即可判断C选项；由OA∙OB<0,M4∙MB<0求得∕AQ8,ZAMB为

钝角即可判断D选项.

【详解】对于A,易得F（5,0）,由IAfj=IAMl可得点A在尸M的垂直平分线上，则A点横

P

坐标为2+0n=3p,

2^T

代入抛物线可得J=2p∙,=∣p2,则A（¥，与），则直线A8的斜率为尸一=2"，

4~2

A正确；

-1p

对于B,由斜率为r可得直线AB的方程为X=1后V+：,联立抛物线方程得

1，八

y2-Py-P=°,

设8（XQJ,则且p+y=如0,则乂=一圆,代入抛物线得

=2p∙x∣解得

263

则IoM=≠∖0F∖=-^∙,B错误;

对于C,由抛物线定义知：∣A8∣=y+^+p=督>2p=4∣OF∣,C正确;

04。Be,季）咚一用=争当卜当卜乎<0,则205为

对于D,

钝角,

又MA∙M8=(-R,一丝-<O,则ZAMB

4O

为钝角，

XZAOB+ZAMB+ZOAM+ZOBM=360,则ZOAM+NoBM<180,D正确.

故选：ACD.

21.AC

UUUlUUU

【分析】A、B写出。R,OP、、APl,A4的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、

D根据向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OP1=(cosα,sina),OP2=(cos∕7,-sin∕?),所以Ioql=JCOS?a+sin?a=1,

22

IOP21=7(cos∕J)+(-siny9)=1,故IoqI=IO£|,正确；

B：APi=(cosa-l,sinar),AP2=(cos/7-1,-sin/?),所以

22222

加ι=√(cosa-l)+sina=>∕cosa-2cosa÷l+sina=5∕2(l-cosa)=^4sinɪ=21siny∣

，同理IAEI="(cos6一I)?+siɪ?夕=21sin，I,故|金∣,∣A6|不一定相等，错误；

C：由题意得：OA-OI}ι=1×∞s(a+∕?)+0×sin(a+/3)=cos(a÷>9),

OPχOP1=cosa∙∞sy0+sina∙(-sin∕?)=cos(a+β),正确；

D：由题意得：OA-OPx=IXCoSa+0XSina=CoSa,

OP1-OPy=cosβ×cos(a+尸)+(-sinβ)×sin(a+β)

=cos(β+(a+β))=cos(a÷2β),故一般来说Q4∙O[wOE∙QR故错误；

故选：AC

22.11

【分析】设a与b的夹角为凡依题意可得cos。=；,再根据数量积的定义求出最后

根据数量积的运算律计算可得.

【详解】解：设“与6的夹角为。，因为α与6的夹角的余弦值为g,即Cos，=g,

又M=l,W=3,所以α∙匕=忖∙Wcos6=lx3χg=1,

所以(24+6)m=24∙6+/=2o∙A+W=2x1+32=11.

故答案为：11∙

23.--##-0.75

4

【分析】直接由向量垂直的坐标表示求解即可.

3

【详解】由题意知：Q∙b=m+3(m+l)=0,解得m=一一.

4

3

故答案为：一了.

4

24.[12+2√2,I6∣

【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点，44所在直线为X轴，AA所在

直线为y轴建立平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设P(X,y),再根据平面向量模

的坐标计算公式即可得到尸4：+P£++PA；=8(χ2+y2)+8,然后利用cos22.5≤∣0P∣≤l即

可解出.

【详解】以圆心为原点，44所在直线为X轴，4A所在直线为y轴建立平面直角坐标系,

如图所示：

f√2√2^∣(00(√2

则A(O,I),A?-,A3(l,0),A∣——,——,A5(0,-l),ʌ——,——,A7(-1,0),

(Of^∖ɔɔ2

Λ——t*-τ^»设P(X,y),于是尸A+PA2++P4=8(元2+y，+8,

\)

因为8$22.54。尸区1,所以上詈≤χ2+y2≤ι,故PA；+PA；++PA；的取值范围是

[12+2√2,16].

故答案为：[12+2√5,16].

【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出.

【详解】因为α-肪=(l,3)-∕l(3,4)=(1-343-42),所以由(。-助)_16可得，

3(l-3Λ)+4(3-4Λ)=0,解得2=1.

3

故答案为：

【点睛】本题解题关键是熟记平面向量数量积的坐标表示，设〃=(χ,χ)力=(9，%)，

aJ_bOab=OOxlx2+yly2=0,注意与平面向量平行的坐标表示区分.

26.-ɪθ,

3

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量。的坐标，利用向量的数量积为零求得k的值

【详解】.α=(3,l),6=(l,0),.x=4+初=(3+Z,l),

4,c,.∙.α∙c=3(3+^)+lxl=0,解得上=-?,

故答案为：-日.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

"=(%,弘)，4=(超,%)垂直的充分必要条件是其数量积方花+苗必=0.

--1

【分析】由已知可得(“+

b+cf=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得R+6+c)=a+b^+c2+2^a∙b+b-c+c∙a^=9+2^a∙b+b∙c+c-a^=0,

9

因止匕，a-h+hc+c∙a=——.

2

故答案为：-∣9.

28.3√Ξ

【分析】根据题目条件，利用“-〃模的平方可以得出答案

［详解］Ra45

∕∙∣fl-⅛∣=o'+⅛'-2α∙⅛=9+∣ft∣-2=25

Λ∣⅛∣=3√2.

故答案为：3√L

29.-

5

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于2的方程，解方程即可求得实数2的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-2*5=0,

Q

解方程可得：Λ=-.

Q

故答案为：

30.-

5

【分析】设。=(1,0),0=(0,2),C=(W),由平面向量的知识可得2x+y-&z=2,再结合柯

西不等式即可得解.

【详解】由题意,设〃=(l,0),Z?=(0,2),c=(m∕),

贝==BPtn=2n,

又向量d在〃力方向上的投影分别为x,y,所以d=(x,y),

所以在C方向上的投影Z=R=W?=在二群，

IClyjftι2+n2÷√5

即2x÷y.至Z=2,

2

5

r

所以/+y2+z2的最小值为土)

,2

故答案为：y.

【点睛】关键点点睛:

解决本题的关键是由平面向量的知识转化出％MZ之间的等量关系，再结合柯西不等式变形

即可求得最小值.

31.√3

【分析】整理已知可得：∣α+q=J(α+M,再利用α,b为单位向量即可求得2人。=-1，对

1-彳变形可得：上斗JM-2α∙b+W,问题得解.

【详解】因为6为单位向量，所以W=M=I

所以k+=J(α+/?)=^∣α∣+2α∙⅛+∣⅛∣=∖∣2+2a∙b=1

解得：2a-b=-∖

所以‘Lq='(a-/?)=^|«|-2α∙∕>+∣⅛∣=ʌ/ɜ

故答案为：√3

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

32.县

2

【分析】首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数人的值.

【详解】由题意可得：a∙b=1×Ixcos45=—―,

2

由向量垂直的充分必要条件可得：(ka-b∖a=O,

即：kxa-cι∙b=k-4L=G,解得：k=^L.

22

故答案为：立.

2

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识,

意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

33.5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由αJ■〃可得“∙b=O,

又因为“=(L-I)S=(枕+1,2机-4),

所以“为=l∙(∕n+l)+(-l)∙(2∕n-4)=0,

艮[J〃?=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题

目.

1Q

34.1或0

【分析】根据题设条件可设*4PD(4>0),结合PA=加依+俣沙。与BQC三点共线，

可求得儿，再根据勾股定理求出BC,然后根据余弦定理即可求解.

【详解】：ADP三点共线，

丁PA=mPB+(I—m)PC,

••"=，"依+《-沙C,即正加+弓二L，

λλ,

若〃-0且加≠g,则8,RC三点共线，

[,即a=3，

I+-λ_―2

VΛP=9,ΛAD=3,

∙/AB=4,AC=3,ZBΛC=90O,

/.BC=S,

设Cf>=x,ZCDA=θ,贝∣j3L>=5-x,NBDA=A9.

2222222

•+E)∙HaAH⅛r:OTE殂CAD+CD-ACx,ZnAD+BD-AB(5-x)-7

•・根据余弦定理可得cos。=24D∙8-=k'c°s(f=显而=上广

''COS0+COS(Λ∙-0)=O,

∙∙∙2+¾⅛=°,解得X=?，

66(5r)5

1Q

•••8的长度为

当机=O时，PΛ=^PCf重合，此时Co的长度为0,

3Q

当切=彳时，PA=VB,8,。重合，此时R4=12,不合题意，舍去.

2，

IQ

故答案为：O或1.

【点睛】本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的

关键是设出PA=2P0(∕>O).

35∙H

Irlra

【分析】利用向量模的平方等于向量的平方化简条件得qqS；,再根据向量夹角公式求

COSFe函数关系式，根据函数单调性求最值.

【详解】Q2g1-X∣≤√2,

4—4q∙ɛ,+1≤2,

UrIr3

.,.β∣∙β2≥~,

UUUIi

(a∙b)2

(4+4GC)?4(1+6∙e7)

2----------IJIrI-=_MIr=让Ir

：.COSθ=ɪ2ɪ2

a∙b(2+2e1∙e2)(10+6e1∙e2)5+3e1∙e2

424228

=-(1--------a-tF)≥-(l----------τ)=-

35+3qq35+3χ329.

4

故答案为：g

【点睛】本题考查利用模求向量数量积、利用向量数量积求向量夹角、利用函数单调性求最

值，考查综合分析求解能力，属中档题.

36.§

【分析】根据∣CF结合向量夹角公式求出∣C∣,进一步求出结果.

【详解-】因为c=2α—石/?,a∙b=0,

所以α∙c=2/一有〃.》=2,

∣C∣2=4∣ΛI2-4√5Π∙⅛+5∣⅛∣2=9,所以IeI=3,

aC22

所以cos<α,c>=丽=正Γ5∙

【点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角.渗透了数学运算、直观想象素养.使

用转化思想得出答案.

3j7)∙—2

【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可.

【详解】由题可得2α+6=(4,2)

C〃卜4+6),c=(1,A)

.∙.4λ-2=0,BPλ=∣

故答案为科

【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题.

38.--

10

【分析】根据向量夹角公式可求出结果.

cι∙b2x(-8)+2x6V2

llllil'j∖a∖.∖b∖√F72Γ×√(-8)2+62W-

【点睛】本题考查了向量夹角的运算，牢记平面向量的夹角公式是破解问题的关键.

39.-1.

【分析】建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解.

【详解】建立如图所示的直角坐标系，则8(2石,0),D注否.

22

因为AO〃BC,ZBAD=30°,所以NeA4=15()。，

因为AE=BE,所以ZBAE=ZABE=30。，

所以直线8E的斜率为坐，其方程为y=4(x_2g),

直线AE的斜率为-立，其方程为)，=-正》.

33

V=乎(X-20)，

由“-得X=J，y=τ,

√r3

V=---X

V3

所以E(石,-1).

【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用

坐标方法更为方便.

40.(1)/=8x；(2)(√6-2)x-y-4+2√6=0.

【分析】(1)根据抛物线的焦点，求抛物线方程；(2)首先设出直线/的方程为y=%(x+2),

与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示OM+ON，并利用(OM+ON)〃用人,求直线的

斜率，验证后，即可得到直线方程.

【详解】解：(1)由椭圆土+V=I可知/=4,从=1,

4

所以0=2,b=∖,则4(2,0),

因为抛物线的焦点为4,可设抛物线方程为Y?=2px(p>0),

所以£=2,即p=4.

2

所以抛物线的标准方程为V=8x.

2

(2)由椭圆:+尸=［可知4(_2,0),β2(O,-l),

若直线/无斜率，则其方程为x=-2,经检验，不符合要求.

所以直线/的斜率存在，设为左,直线/过点A(-2,0),

则直线/的方程为y=z(χ+2),

设点Ma,χ),N(X2,%),

、>[y=Λ(x+2)

联立方程组。Q,

[y-=8x

消去Y,Wk2x2+(4⅛2-8)x+4⅛2=0.©

因为直线/与抛物线有两个交点，

f⅛2≠0f^≠θ

所以,即。2/22，

[∆>0[(4⅛2-8)-4⅛2×4⅛2>0

解得τ<z<ι,ja⅛≠o.

由①可知x∣+x2=8,

所以X+%=Z(Xl+2)+⅛(X2+2)=k(X]+x2)÷4⅛=——-——+4k=-,

则OM+ON=(x,+x2,y,+y2)=广*々-,,

因为(OM+0N)∕∕B∣4,且4$=(2,0)-(0,-1)=(2,1),

匚UZ8-4左2c8c

所以——---2×-=0,

kk

解得/=-2+"或/=-2-",

因为一1<氏<1,S,k≠O,

所以％=-2-"不符合题意，舍去，

所以直线/的方程为丫=卜2+遥及+2),

βp(√6-2)x-y-4+2√6=0.

「3,1π

41.-D——a—

226

【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出OE,以｛〃/｝为基底，表示出

AB,DE,由ΛBL0E可得3∕∕+J=46∙α,再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出.

法二：以点E为原点建立平面直角坐标系，设E(0,0),8(1,0),C(3,0),A(x,y),由他_|_小可

得点A的轨迹为以M(TO)为圆心，以r=2为半径的圆，方程为(x+l>+y2=4,即可根据

几何性质可知，当且仅当C4与IM相切时，NC最大，即求出.

【详解】方法一:

31

DE=CE-CD=^h--a,AB=CB-CA=h-a,AB±DE=>(3b-a)^b-a)=0f

3。2+5=4人=343葡=布节端'=争当且仅当同=碎时取等

号，而O<ZACB<τt,所以NACBe(O,工］.

6