2022-2023学年北师大版高一下数学：数系的扩充（附答案解析）

2022-2023学年北师大版高一下数学：数系的扩充

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•建平县校级期末）若复数Z=上一（i为虚数单位），则在复平面内Z对应的点

l+2i

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（2021秋•广州期末）己知复数z=l+i,与为Z的共扼复数，则2N.=()

Z

A.ɜikB.IiLC.1∑3LD.陛

2222

3.（2022•沈阳一模）已知i为虚数单位，若复数Z=耳，贝蛔=（)

1+i

A.1B.2C.√2D.√5

4.（2018春•邢台期中）已知复数z=m-3+（∕n-1）/（w∈Z）在复平面内对应的点在第二

象限，则囚=（）

Z

A.√2B.2C.近

D.D.±-

2

5.（2021秋•金台区期中）设复数z=l-33则W（IT）=（）

A.-2-4/B.4-2iC.-2+4/D.4+2Z

6.（2021秋•丰台区期末）在复平面内，复数二一对应的点位于（)

1+1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.（2021秋•巍山县校级期末）已知复数Z满足上N=I-3则（)

D.

551

8.（2021秋•嘉兴期末）复数Z满足z（1T）+1=0,贝旭=（）

A.1B.√2C.ɪD.近•

2

二.填空题（共4小题）

9.（2021春•思明区校级期中）若ZeC且IZ-I-√5iI=1,则团最大值是.

10.（2021秋•屯溪区校级期中）已知复数z=x+W,且∣Z-2∕∙∣=√E,则工的取值范围

X

是.

11.（2021秋•宝山区校级期中）已知复数zι=2x+（N-I）/,z2=-4+5i（i是虚数单位，x,

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y∈R),若zι=Z2,则x+y=.

12.(2021秋•西城区校级期中)设i是虚数单位，复数z=&,则Z对应的点位于第

l^i

象限.

Ξ.解答题(共4小题)

13.(2021春•思明区校级期中)已知复数Z满足团=2,Z的虚部是2,且复数Z对应的点在

复平面第一象限内.

(1)求复数z；

(2)设z,z2,z-Z2在复平面上的对应点分别为4B,C,求448C的面积.

14.(2021秋•雨花区校级期中)已知复数Z=/-1+(/+5"?-6)i.

(1)当实数机为何值时，z为实数；

(2)当实数，"为何值时，Z为纯虚数.

2

15.(2021秋•金山区校级期中)关于X的方程x+6x+∕n=0(M∕∈R)的两个根为X”X2∙

(1)若xι=-3+2i,求实数加的值;

(2)若IXl-X2∣=2,求实数加的值.

16.(2021秋•房山区期中)如图，在复平面内，复数Z对应的点为4

(I)写出复数Z及IZl的值；

(II)若Zl=M,求Zi,并在复平面内标出Zl对应的点从

i

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2022-2023学年北师大版高一下数学：数系的扩充

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题）

1.（2021秋•建平县校级期末）若复数Z=上一（，为虚数单位），则在复平面内Z对应的点

l+2i

位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义：复数的运算.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

［分析】直接由己知的复数得到其在复平面内对应点的坐标得答案.

【解答】解:L1-i(l-i)(l-2i)--1-31_13.

l+2i(l+2i)(l-2i)555

其对应的点（-工，-ɪ）在第三象限.

55

故选：C.

【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.

2.（2021秋•广州期末）己知复数z=l+3W为Z的共辗复数，则也=（）

Z

A.3tLB.ItLC.iɪD.iiɜk

2222

【考点】复数的运算.

【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据Z,求出Z的共施复数，代入业化简计算即可.

Z

【解答】解：Yz=l+i,z=1-"

•=1+1+i=（2+i）（1+i）=l+3i

,•嗔1ς1~（1-i）（1+i）2

故选：D.

【点评】本题考查了复数的运算，考查转化思想，是一道基础题.

3.（2022•沈阳一模）已知i为虚数单位，若复数z=S±,则IZl=（）

1+i

A.1B.2C.√2D.√5

【考点】复数的模；复数的运算.

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【专题】计算题；对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】直接利用商的模等于模的商求解.

【解答】解：由Z=S±,

1+i

得团=⅛k周丹造.

故选：D.

【点评】本题考查复数模的求法，是基础题.

4.(2018春•邢台期中)已知复数z=m-3+(«!-1)i(∕∏∈Z)在复平面内对应的点在第二

象限，则U=()

Z

A.√2B.2D./)ɪ

2

【考点】复数的运算.

【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数.

【分析】由已知列式求得机,再由复数代数形式的乘除运算化简求得1结合复数模的

个数求解.

【解答】解：由［m-3<0,解得ι<加<3.

m-l>O

又〃7∈Z,Λm=z2,

，Z=-1+Z,则L=~ɪ—=------土^------=-Λ-Λη.

zT+i(-l+i)(T-i)22

.∙.∣⅛-4

Z2

故选：C.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

5.(2021秋•金台区期中)设复数z=l-3i,则W(IT)=()

A.-2-4/B.4-2iC.-2+4/D.4+2Z

【考点】复数的运算.

【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】由共输复数的概念及复数的代数形式的运算法则求解即可.

【解答】解：∙.∙z=l-3i,.∙.z的共钝复数是^=l+3i,

(l-i)=(l+3i)(1-z)=1-i+3i-3产=4+2/.

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故选：D.

【点评】本题考查共辗复数的概念，涉及复数的代数形式的运算，属基础题.

6.(2021秋•丰台区期末)在复平面内，复数二一对应的点位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应的坐标得答案.

..1-1-i=1-i_1.

【解答】解:1

^Td(l+i)(1-1)∖2-i2~2^~2^

，在复平面内，复数二一对应的点的坐标为(工，-ɪ),位于第四象限.

1+i22

故选：D.

【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是

基础题.

7.(2021秋•巍山县校级期末)已知复数Z满足上卫=1-3则()

【考点】复数的运算.

【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】推导出Z=-J利用复数的运算法则求出z,由此能求出

2-i

【解答】解•复数Z满足上N=I-i,

Z

:•1-Z=(1-z)z,

・—1=-2+i=21.

∙∙2ςΓ(2-i)(2+i)5^^T1,

故选：D.

【点评】本题考查复数的运算，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力,

是基础题.

8.(2021秋•嘉兴期末)复数Z满足Z(I-Z)+1=0,贝旭=()

A.IB.√9C.ɪD.返

22

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【考点】复数的模.

【专题】计算题：转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】通过复数的运算将Z化简为α+历•的形式，再利用几何意义求团.

【解答】解：由题得z=」__]+i

1-i(1-i)(l+i)^^2

≡∣=√(-∣)2÷(⅛)2=v∙

故选：D.

【点评】本题考查复数的运算及几何意义，属于基础题.

二.填空题（共4小题）

9.（2021春•思明区校级期中）若ZeC且∣z-l-√3i1=1.则团最大值是3.

【考点】复数的模.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据已知条件，结合复数的几何意义，即可求解.

【解答】解：设z=x+M（x,j，€R）,

VIz-l-√3iI=1,

λ（x-l）2+（y-√3）2=1,

/.∣z∣=√χ2+y旗示以（1，百）为圆心，1为半径圆上的点到原点的距离，

∙,∙IZImax=7（l-0）2+（√3-0）2y=2+1=3.

故答案为：3.

【点评】本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题.

10.（2021秋•屯溪区校级期中）已知复数z=x+W,且忆-24=百，则X的取值范围是（-

X

8,-ɔ/ɪ]IJ「返,+8）.

33

【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的运算.

【专题】方程思想；转化法；直线与圆；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】由已知可得点（x,y）在以（0,2）为圆心，以√0为半径的圆上，令工=t，则

X

tχ-y^0,再由圆心到直线的距离等于半径求得3即可得到工的取值范围.

X

【解答】解：∙.∙z=x+y3且∣z-2i∣=∣x+（ʃ-2）i|=«,

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Λx2+（y-2）2=3,则点（%,歹）在以（0,2）为圆心，以畲为半径的圆上，

令工二t，贝∣Jy=a,即α-y=0,

X

由上工L=√5,解得，=+返.

r.K的取值范围是（-8,-率U［喙，+8）.

故答案为：（-8,-亨U［夸，+8）.

【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，考查直线与圆

位置关系的应用，是基础题.

11.（2021秋•宝山区校级期中）已知复数Zi=2x+（y-1）3Z2=-4+5i（i是虚数单位，x,

J,∈R）,若ZI=Z2,则x+v=4.

【考点】虚数单位i、复数：复数的运算.

【专题】计算题；方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据复数相等可得X，y的值，即可求出.

【解答】解：复数zι=2x+（ʃ-1）i,Z2=-4+5i3是虚数单位，X,y€R）,若z1=z2,

贝IJ2x=-4,y-1=5,

解得X=-2,y=6,

则x+y—-2+6=4.

故答案为：4.

【点评】本题考查了复数的相等，属于基础题.

12.（2021秋•西城区校级期中）设i是虚数单位，复数Z=旦，则Z对应的点位于第二

l-i

象限.

【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】根据己知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解.

2i(1+i)

【解答】解:--l+i,

l-i(1-i)(1+i)

.∙.z对应的点（-1,1）,位于第二象限.

故答案为：二

【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练

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掌握公式，属于基础题.

三.解答题(共4小题)

13.(2021春•思明区校级期中)已知复数Z满足∣z∣=2,Z的虚部是2,且复数Z对应的点在

复平面第一象限内.

(1)求复数z；

(2)设z,z2,z-Z2在复平面上的对应点分别为4B,C,求△48C的面积.

【考点】复数的代数表示法及其几何意义.

【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】(1)结合复数的代数意义即可直接求解；

(2)先求出4B,C的坐标，然后结合三角形面积公式可求.

【解答】解：(1)设z=α+bi,(α,。为实数)，

由题意得『+%2=4,b—2,

故α=0,b=2,z=2i;

(2)z=2i,Z2=-4,z-Z2=4+2Z>

故Z(0.2),B(-4,0),C(4,2),

所以SΔABC=-X4X2=4∙

【点评】本题主要考查了复数的代数及几何意义，属于中档题.

14.(2021秋•雨花区校级期中)已知复数Z=机2-1+(机2+5机-6)i.

(1)当实数，"为何值时，Z为实数；

(2)当实数加为何值时，Z为纯虚数.

【考点】虚数单位i、复数.

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【专题】方程思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】(1)利用实数的定义，列式求解即可；

(2)利用纯虚数的定义，列式求解即可.

【解答】解：(1)复数Z=ZW2-1+(∕n2+5∕n-6)/,

若Z为实数,贝∣J-6=0,解得〃?=1或〃?=-6；

(2)复数Z=/-ι+(τn2+5m-6)3

’2

若Z为纯虚数，则F-I=O,解得m=-].

jn2+5ιn-6≠0

【点评】本题主要考查了实数与纯虚数定义，考查了运算能力，属于基础题.

15.(2021秋•金山区校级期中)关于X的方程x2+6x+切=0(w∈R)的两个根为xι,X2∙

(1)若xι=-3+2i,求实数机的值；

(2)若M-X2∣=2,求实数刑的值.

【考点】复数的运算.

【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算.

【分析】(1)根据已知条件，结合韦达定理，即可求解.

(2)根据已知条件，结合完全平方和，完全平方差公式，即可求解.

【解答】解：(