2023-2024学年高一上数学《函数的概念与性质》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一数学《函数的概念与性质》

选择题(共8小题)

γ3+ι*>n

L(2021秋•福州期末)已知函数f(χ)=*'U为偶函数，则2"b=()

ax3+b,x<0

A.3B.ɪC.二D..J.

222

2.(2022春•马尾区校级月考)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(x)=∕(x+4),

且/(-1)=-1,则/(2020)4/(2021)=()

A.-1B.0C.1D.2

3.（2021秋•福清市期中）已知暴函数f6）=（1112-111+1）*公汁2在（0,+∞）上单调递

减，则m的值为（）

A.0B.IC.0或1D.-1

4.（2020秋•福州期末）函数f（χ）=lgχ+√TW的定义域为（）

A.[1,+∞)B.(1,+∞)C.(0,1]D.(0,1)

5.（2018春•仓山区校级期末）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如

图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）

燃油效率（⅛"Z）

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米甲、时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

6.（2020秋•福州期中）下面各组函数中表示同一个函数的是（）

A.f（X）=x,g（x）=（Λ∕X）2

B.fCx)=IXg(x)

第1页（共21页）

C.f(x)=————,g(x)=X+1

x-l

D.f(x)=」-XL[1,x≥0,

S(x)=l-1,x<O.

X

7.(2021秋•福州期中)下列函数表示同一个函数的是()

A.s=350f,与w=350d

2

B.f(x)=x,与g(χ)ɔɪ-

X

C.f(x)=1,与g(X)=X0

X(x>0)

D.y=∖x∖f

-X(x<0)

8.(2021秋•福清市期中)使式子log,、I、山一有意义的X的取值范围是()

°(2XT)2-χ

A.(2,+∞)B.(ɪ,2)

c∙「8,2)D,(ɪ,1)∪(1,2)

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2022春•福州期中)已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x20时，/(X)

-X2-2x,则()

A./(x)的最小值为-1

B./(x)在(-2,0)上单调递减

C./(x)>0的解集为(-8,-2)U(2,+∞)

D.存在实数X满足/(x+2)+/'(-χ)=0

(多选)10.(2020秋•晋安区校级月考)下列四个命题：其中不正确命题的是()

A.函数/(x)在(0,+8)上单调递增，在(-8,0］上单调递增，则/(χ)在R上

是增函数

B.若函数/(x)=αf+6x+2与X轴没有交点，则Z>2-8α<0且α>0

C.当4>6>c时，则有bc>αc成立

D.y=l+x和y=J(ι+χ)2不表示同一个函数

(多选)11.(2021秋•仓山区校级期中)对任意两个实数α,b,定义，

aab

min{a,b)=∖',若/(x)=2-x2,g(x)=X2-2,下列关于函数F(X)=

b,a>b

第2页(共21页)

min{f(x),g(X)}的说法正确的是()

A.函数F(x)是偶函数

B.方程F(x)=O有两个解

C.函数尸(x)有4个单调区间

D.函数F(X)有最大值为0,最小值-2

(多选)12.(2021秋•福清市期中)已知函数则函数具有下列性质()

x+1

A.函数/(x)的图象关于点(-1,-1)对称

B.函数/(x)在(-1,+8)上单调递增

C.函数/(x)的图象过原点

D.函数/(x)的值域为{y［y≠-1}

三.填空题(共4小题)

13.(2021秋•福州期末)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)=.

①/(x)在R上单调递增；

f(x1)f(x2)

∙=∕(0);

f(xi+x2)

③/(O)>1.

14.(2020春•福州期末)已知偶函数y=∕(x)(x∈R)在区间［7,0］上单调递增，且满足

/(1-χ)+/-(!+ɪ)=0-给出下列判断：

(1)f(5)=0：

(2)/(x)在口,2］上是减函数；

(3)函数y=/(x)没有最小值；

(4)函数/(x)在x=0处取得最大值；

(5)/(x)的图象关于直线x=l对称.

其中正确的序号是.

15.(2021秋•仓山区校级期中)函数fCt)=X(2-∣x∣)的单调增区间为.

16.(2021秋•鼓楼区校级期中)已知函数/(x)为偶函数，且当x>0时，f(χ)=χ2j,

X

则/(-1)=.

四.解答题(共5小题)

第3页(共21页)

17.(2020秋•鼓楼区校级期中)已知函数/(x)=2X-2,且/(2)=2.

X2

(1)求实数。的值；

(2)判断该函数的奇偶性；

(3)判断函数/(x)在(1,+8)上的单调性，并证明.

18.(2018秋•鼓楼区校级期中)已知/(x)=j+a—是定义在［-1,1］上的奇函数.

(1)求/(x)的解析式：

(2)判断并证明/(x)的单调性；

(3)解不等式：/(x)-/(l-χ)<0.

19.(2021秋•青海期中)已知/(x)是定义在R上的奇函数，当时x<0时，/(x)=x2+2x

-1.

(1)求/(x)解析式；

(2)画出函数图像，并写出单调区间.(无需证明)

2j.

20.(2021秋•福州期末)已知函数/秋)=xa(α∈R),且［⑴=5.

X

(1)求。的值；

(2)判断/(x)在区间(0,2)上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断.

21.(2021秋•福州期末)已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x∙0,/(x)=2x+3.

(1)求/(x)的解析式：

(2)解不等式/(2x)——(x).

第4页(共21页)

2023-2024学年高一数学《函数的概念与性质》

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

τ?+]V2>∩

I.(2021秋•福州期末)已知函数f(χ)={'为偶函数，则2。+6=()

ax3+b,X<0

A.3B.3C.-ΛD.-J.

222

【考点】函数奇偶性的性质与判断.

【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由已知结合偶函数定义可得/(-1)=∕∙(1),/(-2)=/(2),代入可求α,b,

进而可求.

Y?+]T>n

【解答】解：因为f(χ)=为偶函数，

ax3+b,x<0

所以/(-1)=/(1),/(-2)=/(2),

所以-a+b=2,9=-Sa+b,

VOlκ>n

解得，。=-1,6=1,此时/(χ)=JX-XkU为偶函数，满足题意，

-χ3+l,x<0

Λ

则2+⅛=Σ+I=Λ

22

故选：B.

【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题.

2.(2022春•马尾区校级月考)已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，/(x)=∕(x+4),

且/(-1)=-1,则/(2020)4/(2021)=()

A.-IB.0C.1D.2

【考点】函数奇偶性的性质与判断.

【专题】转化思想：转化法：函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据条件判断函数的周期是4,再利用函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可.

【解答】解：∙.>(x)=f(x+4),

.∙.∕(x)是周期为4的周期函数，

则/(2020)+f(2021)=/(2020+0)+f(2020+1)=/(0)4/(1),

第5页(共21页)

：函数/(x)是定义在R上的奇函数，.∙.∕(0)=0,

由/(-1)=-1,得/(1)=1,

则一(2020)+f(2021)=f(O)4/<1)=0+1=1，

故选：C.

【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题

的关键，是基础题.

3.(2021秋•福清市期中)已知暴函数f(χ)=(m2-m+l)Xin241lr?在(O,+∞)上单调递

减，则m的值为()

A.OB.1C.O或1D.-1

【考点】幕函数的概念、解析式、定义域、值域.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象.

【分析】根据幕函数的定义与性质，列方程和不等式求出加的值.

πι+

【解答】解：哥函数f(χ)=(1∏2-m+l)χM2在(0,+8)上单调递减,

2

所以，m-In+1=1

m2+m-2≤O

‘m=0或m=1

解得

-2<m<1

即m=0.

故选:A.

【点评】本题考查了幕函数的定义与性质的应用问题，是基础题.

4.(2020秋•福州期末)函数f(x)=lgx+VI-X的定义域为()

A.[1,+∞)B.(1,+8)C.(0,1]D.(0,1)

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象.

【分析】根据函数成立的条件建立不等式关系进行求解即可.

【解答】解：要使函数有意义，则[χ>°,

[l-χ≥O

得[x>°,得OVXW1,

Iχ≤l

即函数的定义域为(0,1],

第6页(共21页)

故选：C.

【点评】本题主要考查函数定义域的求解，结合函数成立的条件建立不等式关系是解决

本题的关键，是基础题.

5.（2018春•仓山区校级期末）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如

图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）

燃油效率（EtZ）

------1------1--------->

04080速度3«/〃）

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【考点】函数的概念及其构成要素.

【专题】图表型；转化思想；数形结合法.

【分析】过横轴上某一点做纵轴的平行线，这条线和三条折线的交点的意思是相同速度

下的三个车的不同的燃油效率，过纵轴上某一点做横轴的平行线，这条线和三条折线的

交点的意思是相同燃油效率下的三个车的不同的速度，利用这一点就可以很快解决问题.

涉及到将图形语言转化为数学语言的能力和简单的逻辑推理能力.

【解答】解：对于A,由图象可知当速度大于4Qkm∕h时，乙车的燃油效率大于5k>n∕L,

当速度大于40km∕h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km,故A错误；

对于B,由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升

汽油，甲车的行驶路程最远，.♦.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最

少，故8错误；

对于C,由图象可知当速度为80hn∕h时，甲车的燃油效率为Iokm/L,即甲车行驶IQhn

时，耗油1升，故行驶1小时，路程为SOkm,燃油为8升，故C错误：

对于D,由图象可知当速度小于80hn∕ΛBj,丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，，

用丙车比用乙车更省油，故D正确；

第7页（共21页）

故选：D.

【点评】本题目对考查学生对图表的认知和解读能力很到位，也能体现学生对函数图象

数据的处理能力和培养数学应用意识，也考查学生将图形语言转化为数学语言的能力.

6.(2020秋•福州期中)下面各组函数中表示同一个函数的是()

A.f(x)=x,g(X)=(V^)2

B.f(x)=IX|，g(X)

2_1

C.f(X)=————,g(x)=x+l

x-1

【考点】判断两个函数是否为同一函数.

【专题】对应思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同.

【解答】解：4g(%)的定义域为［0,+8),两个函数的定义域不相同，不是相同函数.

B.g(x)=∣x∣,两个函数的定义域，对应法则相同是同一函数.

C.f(x)=x+∖,(x≠l),两个函数的定义域不相同，不是同一函数.

D./(x)的定义域为{x∣xW0},两个函数的定义域不相同，不是同一函数.

故选：B.

【点评】本题主要考查同一函数的判断，结合函数的定义域和对应法则是否相同是解决

本题的关键.

7.(2021秋•福州期中)下列函数表示同一个函数的是()

A.s=350t,与w-350d

2

B.f(X)=x,与g(χ)=-^—

X

C.f(x)=1,与g(ɪ)=x0

CIt._fX(χ>0)

D.∣x∣>与y—4,

-χ(x<0)

【考点】判断两个函数是否为同一函数.

【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，判断它们是同一函数即可.

【解答】解：4s=350∕与w=350d的定义域，对应关系都分别相同，为同一函数：

第8页(共21页)

2

B：f(x)=x(x∈R)与g(x)=JL-=χ(χ≠0)的定义域不同，不是同一函数；

X

Czf(x)=1(x∈R)与g(x)=X0=I(x≠0)的定义域不同，不是同一函数；

。：产网=r'x>°与尸］χ(χ>°)的定义域不同，不是同一函数.

-X,x<0I-X(X<0)

故选：A.

【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题目.

8.(2021秋•福清市期中)使式子log,、」、二-有意义的X的取值范围是()

(2XT)2~X

A.(2,+8)B.(ɪ,2)

C.(-8,2)D.(ɪ,1)∪(1,2)

【考点】函数的定义域及其求法.

【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】根据对数函数的定义得到关于X的不等式组，解出即可.

,2χ-l>0

【解答】解：由题意得：，2χ-l≠l-

2-χ>0

解得：l∙<χV2且xWl,

2

故选：D.

【点评】本题考查了对数函数的定义，考查函数的定义域问题，是基础题.

二.多选题(共4小题)

(多选)9.(2022春•福州期中)已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，当时，/G)

-X2-2x,则()

A./(x)的最小值为-1

B.f(x)在(-2,0)上单调递减

C.f(x)>0的解集为(-8,-2)U(2,+8)

D.存在实数X满足/(x+2)4/(-X)=0

【考点】函数奇偶性的性质与判断.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由偶函数的定义可得f(x)的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、

第9页(共21页)

二次不等式的解法和/(O)=/(2)=/(-2)=0,可得结论.

【解答】解：函数/(x)是定义在R上的偶函数，当x20时，/(x)=χ2-2X=(χ-l)

2-1

X2-2X,X≥0

可得/(X)=.

X2+2X,x<0

可得x>0时，/(x)在X=I时取得最小值-1,由偶函数的图象关于y轴对称，可得/

(x)在R上取得最小值-1,故N正确；

/(x)在(-8,-D递减，在(-1,0)递增，故B错误；

fχ>Q(χ<Q

由］；或］,,解得x>2或x<-2,故C正确;

,x12x〉0X2+2X>0

由/(0)=0,f(-2)=/(2)=0,即存在实数X满足/(x+2)4/(-X)=0,故。正

确;

故选：ACD.

【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属

于中档题.

(多选)10.(2020秋•晋安区校级月考)下列四个命题：其中不正确命题的是()

A.函数/(x)在(0,+∞)上单调递增，在(-8,0］上单调递增，则/(x)在R上

是增函数

B.若函数/(x)=OX2+fox+2与X轴没有交点，则∕>2-8α<0且“>0

C.当4>6>c时，则有6c>ac成立

D.y=l+x和yW(］+χ)2不表示同一个函数

【考点】函数的单调性及单调区间；命题的真假判断与应用.

【专题】对应思想；转化法；简易逻辑：逻辑推理.

【分析】根据条件分别进行判断即可.

【解答】解：4如图满足条件，但/G)在R上不是增函数，故力错误，

第10页(共21页)

B.当α=0,⅛=OH'J-,f(x)=2与X轴没有交点，

当α≠0时，若/(x)与X轴没有交点，则A=b2-8α<0时，则则序-8α<0且α>0不

一定成立，故B错误，

C.当C=O时，6c>αc不成立，故C错误，

zλy=V(l+x)2=∣l+x>两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，故。正确，

故选：ABC.

【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据条件分别进行判断，利用特殊值法是解决

本题的关键，是基础题.

(多选)11.(2021秋•仓山区校级期中)对任意两个实数。，h,定义，

aab

min{a,b}=I',若/(x)=2-x2,g(x)=x2-2,下列关于函数F(x)=

b,a>b

min{f(x),g(x)}的说法正确的是()

A.函数尸(x)是偶函数

B.方程F(X)=0有两个解

C.函数/(X)有4个单调区间

D.函数尸(x)有最大值为0,最小值-2

【考点】分段函数的应用.

【专题】函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【分析】求出F(X)的解析式，作出函数F(X)的图象，由图象依次分析判断四个选项

即可.

2-χ2,x4-&或

【解答】解：由题意可得，FG)=J

X2-2,-√2<X‹Λ∕2

作出函数FG)的图象如图所示，

第11页(共21页)

由图象可得，

则该函数图象关于J，轴对称，所以尸(X)为偶函数，故选项/正确；

有两个零点，则方程尸(x)=O有两个解，故选项B正确；

函数F(X)有4个单调区间，故选项C正确；

当x=士√5时，函数F(X)取得最大值0,无最小值，故选项。错误.

故选：ABC.

【点评】本题考查了函数性质的综合应用，新定义问题的应用，解决此类问题，关键是

读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景

中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题.

(多选)12.(2021秋•福清市期中)已知函数f则函数具有下列性质()

A.函数/(x)的图象关于点(-1,-1)对称

B.函数/(x)在(-1,+8)上单调递增

C.函数/(x)的图象过原点

D.函数/(x)的值域为b4v≠z-1}

【考点】函数单调性的性质与判断；函数的值域.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】计算/(-l+x)+/-(-1-x>的值，可判断/；由分式函数的单调性可判断以

计算/(0)=0,可判断C；由分式的分母不为0,可判断O.

【解答】解：函数f(χ)=—=-1+——>/(-l+x)+/■(-1-x)=-1+ɪ-1+—

可得/(x)的图象关于点(-I,-1)对称，故/正确;

由f(x)=-1+」」在(-1,+∞)递减，故B错误:

x+1

由/(O)=0,可得/(x)的图象经过原点，故C正确;

第12页(共21页)

由/(x)=-l+∙J-,可得/(x)的值域为R［yW-l},故。正确.

x+1

故选：ACD.

【点评】本题考查函数的单调性和对称性的判断，以及函数的值域的求法，考查转化思

想和运算能力、推理能力，属于中档题.

≡.填空题(共4小题)

13.(2021秋•福州期末)写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(x)=2口(答案

不唯一).

①f(x)在R上单调递增；

f(x1+x2)

(3)∕^(0)>1.

【考点】函数单调性的性质与判断.

【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理.

【分析】结合指数函数的性质分析可得答案.

【解答】解：根据题意，分析可得/(x)为指数型函数，且底数

故要求函数可以为/(x)=2jr+l,

故答案为：2、+1(答案不唯一).

【点评】本题主要考查函数的单调性，指数函数的性质，属于基础题.

14.(2020春•福州期末)已知偶函数N=f(x)(XeR)在区间［7,0］上单调递增，且满足

/(1-χ)tf(i+χ)=0，给出下列判断：

(1)/(5)=0；

(2)/(x)在［1,2］上是减函数；

(3)函数夕=/'(X)没有最小值;

(4)函数/(x)在X=O处取得最大值；

(5)f(x)的图象关于直线x=l对称.

其中正确的序号是①⑵④.

【考点】函数奇偶性的性质与判断.

【专题】函数的性质及应用.

【分析】分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由/(1-X)4/(I+x)

第13页(共21页)

=O得到f(l+x)=-/(1-x)=-/(x-1),得到函数的周期为4.f(x+2)=-f(ɪ),

【解答】解：

(1)由/(1-X)tf(l+x)=0

得到f(l+x)=-/(I-x)="/(x-1),

设∕=x-1.x=t+∖,'.f(/+2)=-/(/),f(/+4)=/(/)

所以/(4+x)=f(x),所以函数的周期是4.

当x=0时，/(1)4/⑴=0,

所以/(1)=0,

因为/(5)=/(4+1)=/(1)=0,所以①正确.

(2)因为y=/(x)(xCR)在区间［-1,0］上单调递增，周期为4,7(x+2)=-/(x),

所以函数在区间［1,2］上单调递减，所以②正确.

(3)函数有最小值，也有最大值，且是相反数，故③错，

(4)Y偶函数y=∕(x)(x∈R)在区间［-1,0］上单调递增，/(x+2)=-∕(x),

函数/(x)在x=0处取得最大值；

(5)因为y=∕(x)是偶函数，所以/(2+x)=-/(x),/(1)=0所以函数关于(1,0)

对称.故⑤错误

因为偶函数y=/(χ)(χeR)在区间［-1，0］上单调递增，则在［0,1］上单调递减，且周

期为4,所以y=∕'(x)在x=0处取得最大值，在X=-1时取得/(-1)=0.所以④正

确，⑤错误.

故答案为：①②④

【点评】本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性的综合应用，要求熟练掌握相应

的性质.

15.(2021秋•仓山区校级期中)函数f(x)=X(2-∣x∣)的单调增区间为「1,11

第14页(共21页)

【考点】函数的单调性及单调区间.

【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用：逻辑推理.

【分析】讨论X的取值范围，利用一元二次函数的图象进行求解判断即可.

【解答】解：当x20时，f(x)=x(2-x)=2x-X2=-(X-I)2+1,

当x<0时，/(x)—X(2+x)-2X+X2-(X+1)2-1,

则函数/(x)对应图象如图：

则函数的单调递增区间为L1,1],

【点评】本题主要考查函数单调性的求解，利用分类讨论思想转化为一元二次函数，利

用一元二次函数单调性的性质是解决本题的关键，是中档题.

16.(2021秋•鼓楼区校级期中)已知函数/(x)为偶函数，且当x>0时，f(χ)=χ2j,

X

则/(-D=2.

【考点】函数奇偶性的性质与判断.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由偶函数的定义和已知解析式，计算可得所求值.

【解答】解：函数/(x)为偶函数，且当x>0时，f(χ)=χ2j,

X

则/(-1)=/■⑴=1+1=2.

故答案为：2.

【点评】本题考查函数的奇偶性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题.

四.解答题(共5小题)

17.(2020秋•鼓楼区校级期中)已知函数/(x)=2x-A,且/(2)=2.

X2

(1)求实数α的值；

(2)判断该函数的奇偶性；

第15页(共21页)

(3)判断函数/(x)在(1,+8)上的单调性，并证明.

【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数单调性的性质与判断.

【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用.

【分析】(1)利用/(x)=2X-3,且/(2)=1,求实数。的值；

X2

(2)利用奇偶函数的定义判断该函数的奇偶性；

(3)判断函数/(x)在(1,+8)上的单调性，利用定义进行证明.

【解答】解：(1)V/(x)=2χ-曳，且/(2)=旦，

X2

Λ4-包=2，

22

."=-1；(2分)

(2)由(1)得函数f(χ)=2x+工，定义域为｛小#0｝关于原点对称…(3分)

X

*∙*f(-x)=2(-χ)∙+^^^=-2χ-工=-(2Xa)=-f(x>

-XXX

•••函数f(x)=2χ+工为奇函数•…(6分)

X

(3)函数/(x)在(1,+8)上是增函数，…(7分)

任取Xl,x2∈(1,+8),不妨设Xi<X2,贝IJ

-

f(x2)^fCx1)=2X2÷^^一(2xɪ=2(x2x1)+(~------)=2(x2-xɪ)+(—--)

Z1ZX2xiZIX2Xlxlx2

八、

λ1(x9-χ1i)(2X1X9-1)Z

=(X2-X1)(2--)=-ɪ-----------―…(10分)

Zɪ×lx2xlx2

Vχi,X2∈(I，+o°),BX∖<X2∙φ∙X2-Xl>0,2J∏X2一1>0，XIX2>0

ʌ/(X2)-/(XI)>0,即/(X2)>/(XI)>

：.f(x)在(1,+8)上是增函数…(12分)

【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.

18.(2018秋•鼓楼区校级期中)已知/(x)-是定义在［-1,1］上的奇函数.

χ2+bx+l

(1)求/(x)的解析式；

(2)判断并证明/(x)的单调性：

(3)解不等式：/(x)-/(Ir)<0.

【考点】函数单调性的性质与判断；函数奇偶性的性质与判断.

第16页(共21页)

【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用.

【分析】（1）根据奇函数的性质/（-X）=-/«），列出方程求出。、6的值，代入解析

式；

（2）先判断出函数是减函数，再利用函数单调性的定义证明：取值，作差，变形，定号

下结论.

（3）根据函数的单调性即可得到关于X的不等式组，解得即可.

【解答】解：（1）V/（x）=∙Ra_是定义在［-1,1］上的奇函数，

x2+bx+l

（O）=0,即..°+、-=0,.∙.α=0.

0+0+1

.∙.6=0,

：.f（X）二——.

x2+l

（2）函数/（x）在［-1,1］上为增函数.

证明如下，

任取-1≤xι<X2≤1,

∙*∙X∖-X2<0,-I<xi%2≤1,

1-XlX2>0∙

x

、ιXQ

/(ɪi)八2)

zɪ+1x2÷l

(XI-X2)(I-X1乂2)

<0,

(x∣+l)(×2÷1)

/./（XI）＜f（X2）＞

：.f（X）为［-1,1］上的增函数.

(3)V/(x)-/(1-χ)<0,

即/(x)</(1-x),

x《1

•丁-14l-χ41

x<l-χ

解得o≤x<X

2

第17页（共21页）

.∙.解集为：｛x∣0WXV上｝

2

【点评】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是

掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论.

19.(2021秋•青海期中)己知/G)是定义在R上的奇函数，当时x<0时，/(x)=x2+2x

-1.

(1)求/(x)解析式；

(2)画出函数图像，并写出单调区间.(无需证明)

【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的图象与图象的变换.

【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】(1)由奇函数的定义和性质，结合己知/(x)的解析式，可得所求解析式；

(2)由分段函数的图象画法可得/(x)的图象，由图象可得/(x)的单调区间.

【解答】解：(1)/(x)是定义在R上的奇函数，可得/(0)=0,

当XVO时，f(x)=X2+2X-1,

当x>0时，-XV0,/(-x)=X2-2x-I=-/(x),

可得x>0时，f(x)=-X2+2X+↑,

X2+2X^1,x<0

所以f(X)=<0,X