2023-2024学年高一上数学《函数应用》测试卷及答案解析

2023-2024学年高一数学《函数应用》

选择题（共12小题）

1.（2022•鼓楼区校级模拟）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电

池制造商重点关注的研究方向.已知电池充入的电量E（单位：与充电时间f（单

位：min）满足函数E（?）—M（1-ekt'）,其中Λ/表示电池的容量，左表示电池的充电

效率.研究人员对48两个型号的电池进行充电测试，电池N的容量为80A%∙∕?,充电

30加〃充入了40%少”的电量；电池8的容量为60%∕∙∕7,充电15加〃充入了20R%∙6的

电量.设电池/的充电效率为4I,电池8的充电效率为左2，则（）

A.⅛ι>⅛2

B.k∖<kι

C.k∖-∣C2

D.k∖,上大小关系无法确定

2.（2022•福州模拟）折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长IoCT»、宽8cτw的

长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别

为S,S2,若S：52=1：3,则折痕长的最大值为（）

A.789czπB.IOcwC.2√29cmD.2√34cm

3.（2021秋•鼓楼区校级期中）某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄

断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在

此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发资金开始

超过400万元的年份是（）

（参考数据：1.r=1.77,1.17=1.95,1.18=2.14,1.19=2.36）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

4.（2021秋•福州期中）若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售，则每天可销

售100件，现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价

每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价

应定为（）

A.11元B.11元到15元之间

C.15元D.10元到14元之间

5.（2021秋•福州期中）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄

第1页（共26页）

昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望

烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在

平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+∕≤l,若将军从点/（3,0）处出发，河岸

线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮

马”的最短总路程为（）

A.3√2-lB.2C.√17D.√17-1

6.（2021秋•福州期中）唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，

黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观

望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？

在平面直角坐标系中，设军营所在地为点8（-2,3）,若将军从点N（2,0）处出发，

河岸线所在直线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为（）

A.√26B.√31c.√29D.√34

7.（2021秋•鼓楼区校级期中）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都

含有微量的放射性h*C,动植物死亡后，停止新陈代谢，MC不再产生，且原有的14。会

自动衰变.经科学测定，WC的半衰期为5730（设Mc的原始量为1,经过X年后，14。

的含量/（x）=ax,即/（5730）=A）.现有一古物，测得∣4c为原始量的79.37%,则

该古物距今约多少年？（）（参考数据：需=«0.7937,573需n09998）

A.1910B.3581C.9168D.17190

8.（2020秋•福州月考）Logis"c模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学

者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/（f）（f的单位：天）WLogistic

模型：其中为最大确诊病例数.当时，标

jI（t）=----CLK/（f*）=0.95K

∙u1+θ-0.23（t-50）

志着已初步遏制疫情，则f*约为（）（参考数据/“19比3）

A.60B.62C.66D.63

9.（2019秋•仓山区校级期末）有一组实验数据如表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

则最能体现这组数据关系的函数模型是（）

A.y-2x+,-1B.y-x2-1C.y-2∖og2×D.y-xi

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10.（2021春•平潭县校级期末）已知函数∕∙（x）=I-I0gχ,在下列区间中，包含/（x）

X2

的零点的区间是（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,4）D.（4,÷∞）

11.（2021秋•鼓楼区校级期中）冈珀茨模型（y=kabt）是由冈珀茨（GomPeHZ）提出，可

作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种，年后的

种群数量N近似满足冈珀茨模型：y=m∙el.4e-°i23:（当f=0时，表示2020年初的种

群数量），若相（w∈N）年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则

m的最小值为（）（/〃2比0.7）

A.5B.6C.7D.8

12.（2021秋•鼓楼区校级期中）某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）

规划，计划逐年加大科研资金投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，

2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约

为（）

11

A.1.4T-1B.1.4M-IC.log∣,45-1D.Iog∣.44-1

二.填空题（共4小题）

13.（2021春•台江区校级期末）放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系

变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T[∙现测

T

得某种放射性元素的剩余质量/随时间/变化的6次数据如表:

t（单位时间）0246810

A(Z)3202261601158057

从以上记录可知这种元素的半衰期约为个单位时间，剩余质量随时间变化的衰

变公式为4（Z）=.

14.（2021秋•福州期中）为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订

制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每

件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付α元，但若再多买15

件就可以达到优惠条件并恰好也是共付。元（α为整数），则α的值为.

15.（2022•福州模拟）某地在20年间经济高质量增长，GDP的值尸（单位：亿元）与时间

t（单位：年）之间的关系为P（Z）=P（1+10%）,,其中P为f=0时的产值.假定尸=

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2,那么在/=10时，Gz）尸增长的速度大约是.（单位：亿元/年，精确到0.01亿

元/年）注：1.1H）Q2.59,当X取很小的正数时，In（l+x）-x.

16.（2021春•鼓楼区校级期末）根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截

止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平

均增长率约为0.53%.若按此增长率，30年后我国人口总数约为亿；为应对人

口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步

优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20

亿，那么人口年平均增长率应不低于%.（精确到0.1）（参考数据：1.00533。2

1.1718,1OOOO5≈1.O116,⅛7≈0.85）

三.解答题（共5小题）

17.（2021秋•福州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今

还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,

如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，

转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒P离水面高度力（单位：米）与时间f（单位：

秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系xQy.已知f=0时尸的初始位置为

点/（2,-2√ξ）（此时尸装满水）.

图1图2

（1）P从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻尸距离水面的高度（结果精确到

0.1）；

（2）记与P相邻的下一个盛水筒为0,在筒车旋转一周的过程中，求P与。距离水面

高度差的最大值（结果精确到0.1）.

18.（2022春•鼓楼区校级期中）有四个小镇恰好位于边长为10千米的菱形NBCO的四个顶

点处.政府拟建公路连通四个小镇，若每千米公路的建设成本是10万元，预算为280万

元，原计划按照菱形ZBS对角线修路.

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（1）若预算刚好花完，求菱形48CD的面积；

（2）若/8CZ）为正方形，施工队发现按照原计划修路会预算不足，于是采取如下新方案:

按如图实线所示修路，其中AM=BM=CN=DN,ZBAM=Θ,θ∈（0,上二），问：新方

4

案能否在预算内完成修路目标？求出新方案的最低花费.

19.（2021秋•仓山区校级期末）已知有半径为1,圆心角为α（其中a为给定的锐角）的扇

形铁皮OWN,现利用这块铁皮并根据下列方案之一，裁剪出一个矩形.

方案1：如图1,裁剪出的矩形/8C。的顶点Z,8在线段ON上，点C在弧右上，点Z）

在线段OM上：

方案2：如图2,裁剪出的矩形P0RS的顶点P,S分别在线段。W,ON上，顶点°,R

在弧谕上，并且满足尸0〃RS〃OE,其中点E为弧谕的中点.

（1）按照方案1裁剪，设NNoC=。，用。表示矩形488的面积Si,并证明SI的最大

值为工tan工-；

22

（2）按照方案2裁剪，求矩形PQRS的面积出的最大值，并与（1）中的结果比较后指

出按哪种方案可以裁剪出面积最大的矩形.

20.（2021秋•仓山区校级期中）2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响.了解

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某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意

义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，

经过2分钟菌落的覆盖面积为18〃?机2,经过3分钟覆盖面积为27"7∕∏2,现菌落覆盖面积

y（单位：与经过时间X（单位：TJ）的关系有两个函数模型y=A∕（A>0,a>1）

1

89

与y=pχΓ⅛（p>0）可供选择.（参考数据：36=729,37=2187,3=6561,3=19683,

√2≈1∙414,√3≈1∙732.）

（1）试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；

（2）在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200∕WM2?（计算结果保留

到整数）

21.（2021秋•鼓楼区校级期中）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为

一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处

理成本y（元）与月处理量X（吨）之间的函数关系可近似地表示为y=LX2-200X+80000,

2

且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补

贴多少元才能使该单位不亏损？

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2023-2024学年高一数学《函数应用》

参考答案与试题解析

一.选择题（共12小题）

1.（2022•鼓楼区校级模拟）充电电池是电动汽车的核心部件之一，如何提高充电速度是电

池制造商重点关注的研究方向.已知电池充入的电量E（单位：kW∙h）与充电时间/（单

位：加山）满足函数E（r）=M（1-e'kl）,其中M表示电池的容量，％表示电池的充电

效率.研究人员对/,8两个型号的电池进行充电测试，电池4的容量为80Hr•儿充电

30加〃充入了40klV∙h的电量；电池B的容量为60kW∙h,充电15tnin充入了2QkW∙h的

电量.设电池”的充电效率为％”电池3的充电效率为依，则（）

A.k∖>⅛2

B.k∖<kι

C.ArI=«2

D.k∖,依大小关系无法确定

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】列出方程后比较％”A2大小.

［解答］解：由题意得40=80（卜—Qk）则「明,，

H≡20=60（l-e2）,则@，若，得e喑<⅛

由指数函数单调性得-30fa<-30⅛ι,即k↑<k2.

故选：B.

【点评】本题主要考查函数模型及其应用，属于基础题.

2.（2022•福州模拟）折纸是我国民间的一种传统手工艺术.现有一张长IoCT»、宽8cτw的

长方形的纸片，将纸片沿着一条直线折叠，折痕（线段）将纸片分成两部分，面积分别

为S,S2,若S：52=1：3,则折痕长的最大值为（）

A.789CmB.IoCWC.2Λ∕29cmD.2√34cm

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题；函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算.

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【分析】由已知可确定S]=20C∏Λ分别在三种折叠方式下利用面积建立关于折痕的函

数关系式，根据二次函数和对勾函数的单调性可求得最值，由此可得结果.

【解答】解：由题意得：长方形纸片的面积为10×8=80(cm2),又Si：$2=1：3,

22.

∙∙S1=20cm,S2=60cm

①当折痕如下图所示时,

yχy=20

xy=40.2222,1600

⅜⅛AM—x,AN—y,则,0<<10,解得://,∙∙ιNrκNτ=x+y=x'1—τ^^,

x5<x<10X2

0≤y≤8

②当折痕如下图所示时,

∙∣∙(x+y)×8=20

x+y=5

设4N=x,DM=y,则<0<x<10，解得:

0≤x≤5

0≤y≤10

V/(/)在(25,40)上单调递减，在(40,100)上单调递增，

又g(0)=25+64=89,g(y)=64,g(5)=25+64=89,:'Se[64,89],

ΛEF∈[8,√89],

③当折痕如下图所示时，

y(x+y)×10=20

x+y=4

设NF=X,BE=y,则<0≤x<8，解得:

0≤x≤4

0≤y≤8

：.EF2=(x-y)2+100=(2χ-4)2+100,

令人(X)=(2χ-4)2+100(0≤x≤4),则力(x)在(0,2)上单调递减，在(2,4)

上单调递增，

又h(0)=16+100=116,h(2)=100,h(4)=16+100=116,Λ∕ι(X)∈[100,116],

.∙.EF∈[10,2√29];

综上所述：折痕长的取值范围为[8,2√29];

.∙.折痕长的最大值为2√^CIT-

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情形①情形③

故选：C.

【点评】本题考查函数的实际应用，考查学生的运算能力，属于中档题.

3∙（2021秋•鼓楼区校级期中）某科技有限公司为了鼓励员工创新，打破发达国家的芯片垄

断，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为200万元，在

此基础上，每年投入的研发资金比上一年增加10%,则该公司全年投入的研发资金开始

超过400万元的年份是（）

（参考数据：1.16=1.77,l.l7=l.95,1.18=2.14,1.19=2.36）

A.2024年B.2025年C.2026年D.2027年

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】函数思想：数学模型法；函数的性质及应用：逻辑推理.

【分析】设第〃年开始400万元，由题意，列出关于〃的不等式，求解即可.

【解答】解：设第〃年开始超过400万元，

则200X（1+10%）B_2O'8>4OO,即LI""。1〉？,

因为1.17=1.95,1.18=2.14,

所以当〃-2018=8,即〃=2026时，该公司全年投入的研发资金开始超过400万元.

故选：C.

【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，

分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，

进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理

能力与化简运算能力，属于中档题.

4.（2021秋•福州期中）若某商店将进货单价为6元的商品按每件10元出售，则每天可销

售100件，现准备采用提高售价、减少进货量的方法来增加利润.已知这种商品的售价

每提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证该商品每天的利润在450元以上，售价

应定为（）

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A.11元B.11元到15元之间

C.15元D.10元到14元之间

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题：函数思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由题意列出关于利润的解析式，再求利润在450元以上的X的范围.

【解答】解：设每件商品的售价提高X(0<x<10)元，

则每件获得利润(4+x)元，每天可销售(100-IOx)件.

设该商品每天的利润为y元，则

由题意有y=(4+x)(100-10x)=-10X2+60X+400,

要保证每天的利润在450元以上，

贝U-10X2+60X+400>450,Y-6+5<0,

得l<x<5,

故每件商品的售价在11元到15元之间时，能确保该商品每天的利润在450元以上.

故选：B.

【点评】本题考查函数在实际生活中的应用，属于中档题.

5.(2021秋•福州期中)唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄

昏饮马傍交河诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观望

烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在

平面直角坐标系中，设军营所在区域为y+fWl,若将军从点/(3,0)处出发，河岸

线所在直线方程为x+y=4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮

马”的最短总路程为()

A.3√2-lB.2C.√17D.√17-1

【考点】根据实际问题选择函数类型；与直线关于点、直线对称的直线方程.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】设点/关于直线x+y=4的对称性4(a,b),军营所在区域的圆心为C,则4C

-1为最短总路程，再结合/与才关于直线x+y=4对称，求出H的坐标，再结合两点

之间的距离公式，即可求解.

【解答】解：设点/关于直线x+y=4的对称性4(α,b),军营所在区域的圆心为C,

则HC-I为最短总路程，

第10页(共26页)

N4的中点为(至3,土)，直线441的斜率为1,

22

故直线44,为V=X-3,

'a+3b_

由.2+2^，解得。=4,6=1,

,b=a-3

22Ac=

所以A'C=y∣(4-O)+(I-O)=√17，即'V17-1∙

故选：D.

【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于中档题.

6.(2021秋•福州期中)唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，

黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题一一“将军饮马”问题，即将军在观

望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？

在平面直角坐标系中，设军营所在地为点8(-2,3),若将军从点力(2,0)处出发，

河岸线所在直线方程为x+y=3,则“将军饮马”的最短总路程为()

A.√26B.√31C.√29D.√34

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】转化思想；转化法；直线与圆；逻辑推理；数学运算.

【分析】利用点关于点的对称点的求法，求出点/关于直线x+y=3的对称点4,由三点

共线取得最小值，结合两点间距离公式求解即可.

【解答】解：由题意可知，点/(2,0),

则点N(2,0)关于直线x+y=3的对称点为N'(a,b),

-1×⅛=1

则1,解得〃=3,b=l,

故4(3,1),

又军营所在地为点8(-2,3),

所以“将军饮马”的最短总路程为⑷SI=J(3+2)2+(1.3)2=晒-

故选：C.

【点评】本题考查了直线在实际生活中的应用，点关于直线的对称点的求解，两点间斜

率公式以及两点间距离公式的应用，两条直线垂直的充要条件的运用，考查了逻辑推理

能力与化简运算能力，属于中档题.

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7.(2021秋•鼓楼区校级期中)要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都

含有微量的放射性μtC,动植物死亡后，停止新陈代谢，UC不再产生，且原有的"C会

自动衰变.经科学测定，Mc的半衰期为5730(设∣4C的原始量为1,经过X年后，Mc

的含量/(x)="，即/(5730)=A).现有一古物，测得∣4C为原始量的79.37%,则

该古物距今约多少年？()(参考数据：需七0.7937,573^Σ≈¾0.9998)

A.1910B.3581C.9168D.17190

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题：函数思想：综合法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由/(5730)•可得a,令/(x)=0.7937,得X=IOg“0.7937,利用

换底公式结合对数的运算性质即可求出X的值.

【解答】解：设MC的原始量为1,经过X年后，∣4C的含量/(χ)=",

由题意可知：/(5730)=工，即a5730=L,

2a2

令f(x)=0.7937,得：益=0.7937,

11

J11!I__573O

1910,

5⅛-14

该古物距今约19核年.

故选：A.

【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算，是中档题.

8.(2020秋•福州月考)〃gisac模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学

者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数/(f)(，的单位：天)KLogistic

模型：I(t)=----b其中K为最大确诊病例数.当/(f*)=0.95K时，标

1vτ7

∙1+θ-0.23(t-50)

志着已初步遏制疫情，则广约为()(参考数据/M9七3)

A.60B.62C.66D.63

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】函数思想；数学模型法；函数的性质及应用；数学建模.

第12页(共26页)

【分析】根据所给材料的公式列出方程-------J-----------=0.95K,解出，即可.

1+θ-0.23(t*-50)

【解答】解：由已知可得-------L----------r=0.95K,解得/0233-50>=」一

1+e-0∙23(t*-50)19

两边取对数有-0.23G*-50)

解得f*=63,

故选：D.

【点评】本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，是基础题.

9.(2019秋•仓山区校级期末)有一组实验数据如表所示:

X2.0134.015.16.12

y38.011523.836.04

则最能体现这组数据关系的函数模型是()

A.y-2x+1-1B.y-x2-1C.y=2log”D.y-xi

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题：函数思想；方程思想；转化思想；函数的性质及应用.

【分析】利用函数的表格关系判断函数的解析式的可能性，然后验证求解即可.

【解答】解：由函数的表格可知，函数的解析式应该是指数函数类型与二次函数的类型，

选项C不正确；

当x=2.01时，j∕=2v+1-1>4；y=x2-1«=3,y=xi>1,

当X=3时，y=2r+l-1=15；y=x2-1≈8,y=x3=21,

故选：B.

【点评】本题考查函数的解析式的判断与应用，函数的模型的应用，是基础题.

10.(2021春•平潭县校级期末)已知函数/(x)=旦-Iog.χ,在下列区间中，包含/(x)

X2

的零点的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)

【考点】二分法的定义与应用.

【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用.

【分析】函数/(x)在其定义域上连续，同时可判断/(4)<0,/(2)>0：从而判断.

【解答】解：函数/(x)=f(x)=I-Iogχ,在其定义域上连续，

第13页(共26页)

f(4)=S-2V0,

2

/(2)=3-1>O；

故函数/(x)的零点在区间(2,4)上，

故选：C.

【点评】本题考查了函数的零点的判断与应用，属于基础题.

11.(2021秋•鼓楼区校级期中)冈珀茨模型｛y-kabz)是由冈珀茨(GomPertZ)提出，可

作为动物种群数量变化的模型，并用于描述种群的消亡规律.已知某珍稀物种f年后的

种群数量y近似满足冈珀茨模型：y=*o∙el.4e7i25:(当/=。时，表示2020年初的种

群数量)，若机(∕M∈N)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，则

m的最小值为()(∕H2=≡0.7)

A.5B.6C.7D.8

【考点】根据实际问题选择函数类型；对数的运算性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】由已知条件可得，当f=0时，当f=m时，P=/∙e入"尸"：

由"？("7∈N)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，可得

12δs

1.4e-°-<lk1.4再结合对数函数的公式，即可求解.

κ0e2κ。巳

【解答】解：∙.>=%o∙el.4e-"25:,

当/=0时，V=k0∙eL4,

λ5

.∙.当尸〃1时，j=ko.el∙4e'-=,

∙；"?(∕n∈N)年后，该物种的种群数量将不足2020年初种群数量的一半，

j,12os

・1.4e^<111.4

∙∙k0∙e5,∙e，

由题可知，酎是大于0的常数,即2∙el∙4e-012M<el∙4,两边取对数可得,∕n2+1.4e

-0∙l25m<1.4,

V∕∏2≈O.7,

.∙.-O.两边取对数可得，-0.∣25∕n<-∕∏2=⅛≈-0.7,解得m>5.6,w∈N*,

2

故m的最小值为6.

第14页(共26页)

故选:B.

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中

档题.

12.（2021秋•鼓楼区校级期中）某高校为加强学科建设，制定了第“十四五”（2021-2025）

规划，计划逐年加大科研资金投入，已知该校计划2021年全年投入科研资金20万元，

2025年全年投入科研资金28万元，则第“十四五”期间，投入科研资金的年均增长率约

为（）

11

A.1.4T-IB.1.45-1C.Iogi.45-1D.logι.44-1

【考点】根据实际问题选择函数类型；指数函数的图象与性质.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】设年增长率为X,由题意可得，20（1+X）4=28,解出X的取值范围，即可求解.

【解答】解：设年增长率为X,由题意可得，20（l+x）4=28,即（l+χ）4具∙=ι.4.

11

所以l+x=L4了’解得X=L£-1，

ɪ

故投入科研资金的年均增长率约为1.4y.1.

故选：A.

【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握指数函数的公式是解本题的关键，属于基

础题.

二.填空题（共4小题）

13.（2021春•台江区校级期末）放射性物质衰变过程中其剩余质量随时间按指数函数关系

变化.常把它的剩余质量变为原来的一半所经历的时间称为它的半衰期，记为T-现测

~2

得某种放射性元素的剩余质量A随时间t变化的6次数据如表:

/（单位时间）0246810

A⑺3202261601158057

从以上记录可知这种元素的半衰期约为4个单位时间,剩余质量随时间变化的衰变

公式为力（/）=—320-24式20）.

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用；数学运算.

第15页（共26页）

【分析】首先观察表格，根据半衰期的定义，可得半衰期为4个单元时间，初始质量为力

(O)=320,根据题意可知此模型是指数函数模型，且底数为工，指数为经过的时间除

2

以半衰期，结合初始质量，即可求解.

【解答】解：从题表中数据易知半衰期为4个单位时间，由初始质量为/o=32O,则经过

t

时间，的剩余质量为/(E)=A0(^^")T=320*24C0)∙

A(t)=A0■(y)^=320∙2-^-心0).

~2

故答案为：4,320∙24(∕⅛:0)∙

【点评】本题考查了函数模型的实际应用，关键是理解半衰期的定义，属于基础题.

14.(2021秋•福州期中)为了参加校教职工运动会，某校高三年级组准备为本年级教师订

制若干件文化衫，经与厂家协商，可按出厂价结算，同时厂家也承诺超过50件就可以每

件比出厂价低22元给予优惠.如果按出厂价购买年级组总共应付α元，但若再多买15

件就可以达到优惠条件并恰好也是共付。元(”为整数)，则a的值为3960.

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

【分析】设按出厂价购买X(xW50)套，应付。元，出厂价为y元，则有“=xy(x≤50)

①，再多买15套，就可以按优惠价结算恰好也付α元，则有α=(x+15)(7-22)(x+15

>50)②，联立①②，再结合X,α为整数，即可求解.

【解答】解：设按出厂价购买X(x≤50)套，应付α元，出厂价为y元，

则有α=V(x≤50)①，

再多买15套，就可以按优惠价结算恰好也付α元，

则有α=(x+15)(y-22)(x+15>50)②，

联立①②可得，孙=xy+15y-22χ-330,即y=Z^i+22(35<x≤50),

15

为整数，α为整数，

.".x=45,y=88,

故。=肛=45义88=3960.

故答案为：3960.

第16页(共26页)

【点评】本题主要考查函数的实际应用，考查计算能力，属于基础题.

15.(2022•福州模拟)某地在20年间经济高质量增长，GDP的值P(单位：亿元)与时间

t(单位：年)之间的关系为P(Z)=P(1+10%),,其中P为f=0时的产值.假定P=

2,那么在f=10时，GDP增长的速度大约是0.52.(单位：亿元/年，精确到0.01

亿元/年)注：1.1∣°^2.59,当X取很小的正数时，In(l+x)≈x.

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算.

【分析】由题可得Gz)尸增长的速度为尸(f)=2×1.1‰1.1,进而即得.

【解答】解：由题可知P(Z)=2(1+10%),=2×1.1,.

所以PG)=2X1.1'加1.1,

所以P(IO)=2×1.ɪl0∕n1.15⅛2×2.59×0.1=0.518^0.52,

即GDP增长的速度大约是0.52.

故答案为：0.52.

【点评】本题主要考查函数模型及其应用，对数及其近似运算等知识，属于基础题.

16.(2021春•鼓楼区校级期末)根据国家统计局发布的第七次全国人口普查结果显示，截

止2020年底，我国总人口数约为14亿，同2010年第六次全国人口普查数据相比，年平

均增长率约为0.53%.若按此增长率，30年后我国人口总数约为16.4亿:为应对人

口老龄化带来的挑战，改善我国人口结构，保持我国人力资源禀赋优势，党中央进一步

优化了生育政策：若希望30年后，在中华人民共和国建国百年左右，我国人口超过20

亿,那么人口年平均增长率应不低于1.2%.(精确到0.1)(参考数据：1.005330^

1.1718,100005≈1.0116,⅛7≈0.85)

【考点】根据实际问题选择函数类型.

【专题】计算题；函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学建模；数学运算.

【分析】根据年平均增长率约为0.53%求解；设年平均增长率为p,由14(1+p)30>20

求解

【解答】解：因为2020年底，我国总人口数约为14亿，且年平均增长率约为0.53%,

所以30年后我国人口总数约为14(1+0.53%)30=14X1.OO533θ≈=14X1.1718=16.4；

设年平均增长率为p,

由题意得：14(1+p)3θ>2O,

第17页(共26页)

则（ι⅛）30>M

两边取对数得30∕g（1+p）>1-∕g7≈0.15,

即Ig（1+p）>0,005,

所以l+p>100∙005≈1.0116,

解得∕j>0.0116,

所以人口年平均增长率应不低于1.2%,

故答案为：16.4,1.2.

【点评】本题考查指数运算，考查指数方程的解法，考查数学建模和数学运算的核心素

养，属于基础题.

Ξ.解答题（共5小题）

17.（2021秋•福州期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济环保，至今

还在农业生产中得到使用.明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理,

如图1是一个半径为R（单位：米），有24个盛水筒的筒车，按逆时针方向匀速旋转，

转一周需要120秒，为了研究某个盛水筒尸离水面高度人（单位：米）与时间，（单位：

秒）的变化关系，建立如图2所示的平面直角坐标系XQy∙已知f=0时尸的初始位置为

点/（2,-2√3）（此时P装满水）.

斗

。1'.

图1图2

（1）尸从出发到开始倒水入槽需要用时40秒，求此刻尸距离水面的高度（结果精确到

0.1）；

（2）记与尸相邻的下一个盛水筒为0,在筒车旋转一周的过程中，求P与。距离水面

高度差的最大值（结果精确到0.1）.

【考点】根据实际问题选择函数类型；三角函数模型的应用.

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算.

第18页（共26页）

【分析】(I)根据已知条件，先求出线段04按逆时针方向旋转了2兀X旦0L，再

1203

结合/点的坐标，即可求解.

(2)根据已知条件，分别求出尸开始转动t秒后距离水面的高度加，。距离水面的高度

h2,则P,。距离水面的高度差”=肉-∕72∣,再结合三角函数的恒等变换，即可求解.

【解答】解：(1)由于简车转一周需要120秒,

所以P从出发到开始倒水入槽的40秒,线段OA按逆时针方向旋转了2兀χ∕L卫L,

1203

因为/点坐标为(2,-2√3).则R=√22+(2√^)2=4,以。/为终边的角为工，

3

所以尸距离水面的高度为4Xsin(―■•——)