计量经济学的基础工具

第2章计量经济学的基础工具在第1章中定义了计量经济学的主要工具是数学，包括优化理论和统计分析。这些工具的基础知识是计量经济学的基础知识。尽管这些知识在所有的专业书籍中都可以找到，但是考虑到知识的连贯性和应用的便利，这里将以一章来介绍这些基本知识，以备那些需要的读者参考。关于矩阵部分，主要参考了Sydsaeter，Strom和Berch（2001）的文献，关于概率统计及其推断部分，主要参考了古亚拉提（2000）的文献，古扎拉蒂（2004），Sydsaeter，Strom和Berch（2001）以及王文中（2003）的文献。2.1矩阵2.1.1矩阵的定义称为阶矩阵，其中aij称为位于矩阵的第行和第j列的元素。简记。当时，称矩阵为阶方阵，称为的n阶行列式。如果则称该方阵为n阶单位矩阵，记为。有=1。是对角矩阵的特殊形式。一般的对角矩阵记为并有矩阵的名称是由其元素的变化决定的。比如，所有元素都为0的矩阵叫零矩阵，所有位于主对角线下面的元素均为0，则称为上三角矩阵，反之则叫下三角矩阵。定义为矩阵的转置，记为。当时，如果，称为对称矩阵；如果，称为反对称矩阵；如果，则是幂等矩阵；如果，则是对合矩阵；若，则是正交阵且；如果或，则称为奇异的或非奇异的。一个高阶矩阵，根据实际需要，可分成若干小块。比如可分成四块：其中为阶矩阵，且如果是满足条件的最大≤阶方阵，则称的秩为r，记为设，，则有≤、≤设为n阶方阵，的迹定义为主对角线上所有元素之和，即2.1.2矩阵的计算及其性质同阶矩阵的加、减等于它们的对应元素相加、减后的矩阵。两个矩阵可乘的条件是第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，并且它们的乘积所得的矩阵的阶数由第一个矩阵的行数和第二个矩阵的列数决定，其元素由第一个矩阵相应的行向量和第二个矩阵列向量的对应元素乘积的和组成。分块矩阵的加、减和乘可形式上比照一般矩阵的类似做法，此时记住分块矩阵的每个分块可视做相应矩阵的元素。矩阵的加法满足结合律和交换律。矩阵的乘法满足结合律。矩阵的乘法和加法满足分配律。不过，记住矩阵的乘法一般不满足交换律。这一点从矩阵的乘积定义中很容易理解。性质2.1方阵可逆的充分必要条件是如果方阵可逆，方阵的逆矩阵的求法如下：其中伴随矩阵定义为是元素的代数余子式，其定义为从矩阵中划去第i行和第j列后剩余的矩阵的行列式再乘上。分块矩阵的逆的求法设方阵分成四块如下：如果存在，则的逆可表示成：其中。如果存在，则的逆可表示成：其中。矩阵的指数形式和导数形式分别表示为：，，矩阵的导数等于各个元素分别求导后的矩阵。对于矩阵和列向量，有以下求导公式：性质2.2设，。则有：2.1.3复矩阵的定义和性质元素在复数域的矩阵称为复矩阵。下面把复矩阵的某些定义和基本性质叙述如下。定义2.1设为一个复矩阵，则有称为的共扼矩阵。称为的共扼转置。称为Hermitian矩阵，如果。称为酉矩阵，如果。性质2.3设为复矩阵。则是实的，当且仅当。如果是实的，是Hermitian矩阵，当且仅当是对称的。性质2.4设和为复矩阵，为复数。则有。。。。2.1.4特征值与特征向量定义2.2设是n阶方阵。称为的特征值，特征值的一个显然性质就是使得方阵的秩小于n。如果特征值的一个显然性质就是使得方阵的秩小于n。根据代数基本原理，是的n阶代数方程，在复数域里，存在n个根。这些根叫做的特征值。对于每一个特征值，，存在一个非零向量使得称为关于的特征向量。特征值很重要，现在把一些相关性质叙述如下。性质2.5设为多项式。如果为的特征值，则为的特征值。性质2.6当且仅当0不是的特征值时，方阵可逆。若可逆且为的一个特征值，则为的一个特征值。性质2.7当且仅当的极限是零矩阵（）时，的所有特征值的模严格小于1。性质2.8设和为同阶矩阵。则和有相同的特征值。性质2.9如果是对称矩阵且仅有实元素，则的所有特征值是实的。性质2.10如果是的特征多项

式，则是的所有阶主子式的和（共有个主子式的和）。称为的特征值方程或特征方程。性质2.11是可对角化的充分必要条件是存在矩阵和对角矩阵使得

，与有相同的特征值。性质2.12如果有n个不同的特征值，则可对角化。谱定理如果是对称的且有特征值，则存在一个正交阵，使得Jordan分解定理如果有n个特征值，则存在可逆矩阵，使得其中，且是矩阵，，Shur引理设为一个复矩阵。则存在酉矩阵使得是一个上三角矩阵。Hermitian矩阵的谱定理设是一个Hermitian矩阵。则存在酉矩阵使得是一个对角矩阵。所有的特征值都是实的。性质2.13给定，对任意，存在矩阵有n个不同的特征值，使得考虑二次型，其中，且性质2.14是正定的，当且仅当对所有x成立或或的所有特征值都是正的。是半正定的，当且仅当≥对所有x成立或≥或的所有特征值都是非负的。是负定的，当且仅当对所有x成立或或的所有特征值都是负的。是半负定的，当且仅当对所有x成立或≤或的所有特征值都是非正的。是不定的，当且仅当对某些x成立或对某些i成立或的特征值有正有负。本节的所有性质都有很好的含义，考虑到篇幅有限以及解释所依据的相关知识已经超出了本书的设想，我们只好把这些性质罗列出来，仅供参考。

2.2概率与统计初步本节主要回顾一些概率与统计的基本知识。2.2.1基本概念对世界上各种事物或现象的描述方式有确定性描述和不确定性描述。比如根据经验，地球上的每一天，太阳总是从东边升起，西边落下，以及明天中午12点整，广州将会下雨。前者为确定性描述，后者则是不确定性描述，或者说是一个概率事件。概率统计是研究不确定性现象的理论。这个理论无疑变成了计量经济学的重要工具。“不确定性”，比如抛一枚硬币这里所提到的“硬币”、“骰子”等都暗含着这样一层意思：它们的质地均匀，没有瑕疵。到桌面上，理论上出现两种等可能结果：正面朝上或反面朝上，这种不确定现象的实验就叫做统计或随机实验。所有可能的随机实验结果的集合就叫做样本空间或总体。样本空间的每一个元素，如抛一次硬币实验中的“正面朝上”或“反面朝上”，称为样本空间的一个样本点。样本空间的每一个子集称为事件，即随机实验的可能结果的集合。最大的事件就是样本空间，即是必然事件，理论上最小的事件是空集，也就是说随机实验没有发生。在实际应用中，人们剔除空集这一事件和必然事件。因此，抛一次硬币实验的事件有两个，即“正面朝上”、“反面朝上”。如果等可能抛硬币次，“正面朝上的次数”是一个随机事件，其可能取值的结果是：。跟所有可能结果联系起来的“正面朝上的次数”就是随机变这里所提到的“硬币”、“骰子”等都暗含着这样一层意思：它们的质地均匀，没有瑕疵。在随机变量的取值范围内，对离散随机变量而言，随机变量取到某个或某些值的可能程度有多大？在探讨这个问题之前，本书将要引入概率的相关知识。掷一颗骰子，向上的数字只有六个等可能结果：1，2，3，4，5，6。如果求事件“数字小于4的面朝上”的可能概率是多少，结果就是1/2。因为掷一次骰子数字向上的可能结果有6个，事件“数字小于4的面朝上”含有三个样本点，后者比前者就得到所要的结果。此时的样本空间或总体是指集合。到此，我们可以给出事件发生的古典概率如下：表示在所有可能的实验结果中，就某一个事件发生的可能程度。例2-1房地产开发企业的资产负债率如表2-1所示。表2-1房地产开发企业的资产负债率年份资产负债率（%）199776.2199876.1199976.1200075.6200175.0200274.9200375.8资料来源：2004年中国统计年鉴按照1%的幅度把资产负债率分成三个区间：[74%,75%)，[75%,76%)，[76%,77%)，并计算相应的频数和频率如表2-2所示。表2-2资产负债率的频数和频率区间频数频率[74%，75%)1[75%，76%)3[76%，77%)3通常情况下，频率可以当作概率来使用。因此，关于资产负债率的概率柱状分布图，如图2-1所示。在本节中，表示事件，表示事件的概率。概率的基本性质如下：①任何事件的概率都位于0与1的闭区间内，即[0,1]。概率等于0的事件是不可能或没有发生的事件，概率等于1的事件是必然发生的事件。比如，每天太阳都从东边升起这一事件是必然事件，其概率为1，“农历初一月圆”这一事件是不可能的事件，其概率为0。用公式表示如下：0≤P(A)≤1区间概率区间概率图2-1资产负债率的概率柱状分布②相互独立事件的和或积的概率等于各个事件概率的和或积。比如事件相互独立，则称为联合概率，称为非条件概率或边缘概率。如果事件不相互独立，则有：此时，联合概率就等于边缘概率乘上条件概率，即其中表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。上式给出了条件概率的求法：③如果相互独立事件组成一个完备事件组，则所有事件的和就是必然事件，其概率为1。例2-2假设盒子里装有两枚骰子，随机抽取一枚骰子并抛到桌面上，计算数字3朝上的概率为多少？如果假设A表示“随机抽取一个骰子”，B表示“数字3朝上”，试求A+B的概率。第一个问题的事件是AB，这样，所要求的结果全部列在表2-3中。表2-3随机事件的概率事件概率BB|AABA+B事件是样本空间的子集，随机变量所取的值是事件可能的数字表征，由事件的概率也就可求得随机变量的概率。接着，概率密度函数也随之给出。2.2.2概率密度函数概率密度函数的曲线表示随机变量X取所有可能值概率的集合的几何表述。对于随机变量X所取的每一个可能值，通过对应关系“”，存在一个惟一的概率，即，与之对应。事件与随机变量通过概率密度函数和概率联系起来了。当是离散型随机变量时，概率密度函数可表示为：当是连续型的随机变量时，累积分布函数可表示为：≤如果实验结果由至少两个随机变量来表示，即一个结果是通过两个变量取值后才能确定。这时的相应概率密度函数就是多元的。类似地，多元密度函数也一样表示，比如离散型二元密度函数可表示为：其中表示联合概率。相应的条件密度函数是：如果随机变量是相互独立的，则联合密度函数等于边缘密度函数之积：图2-1给出了概率密度分布。设X表示资产负债率的频数，表示与之相应的概率密度，则根据例2-1，得到以下概率密度和累积分布函数如表2-4所示。表2-4概率密度和累积分布函数Xf

(X)XF

(X)1根据表2-4，可以做出累积分布函数的图形，如图2-2所示。图2-2资产负债率的概率的累积分布函数密度函数的数字特征有：（1）离散型随机变量X的期望值，即总体趋势的度量，也就是所有离散型随机变量X与其概率密度函数乘积的和，即在这里，应注意的是概率密度函数起到了权重的作用。比如表2-1的房地产企业的资产负债率的期望是：（2）期望的性质：不变性，即常数的期望等于自己；线性性，即随机变量和的期望等于随机变量期望的和；分离性1，即相互独立随机变量积的期望等于随机变量期望的积；分离性2，即数与随机变量乘积的期望等于该数乘上随机变量的期望。（3）离散型随机变量X的方差或，即离散程度的度量，也就是随机变量与期望差的平方的期望，记作：称为标准差。方差描述了随机变量取值的集中程度，也就是说，方差越小，随机变量取值的范围就越小，或数值越集中于均值或期望。表2-1的房地产企业的资产负债率的方差，注意公式的分母是“注意公式的分母是“7”，这是严格按照定义计算的。实际上，分母应该是“6”。关于这点，将在后面说明。（4）方差的性质：常数的方差等于0；两个独立随机变量相加或相减的方差等于相应随机变量方差的和；数与随机变量乘积的方差等于该数平方再乘上随机变量的方差。期望和方差描述的是单变量的密度函数的数字特征。对于多维的密度函数的数字特征，要用协方差和相关系数来描述。设为两个离散型随机变量，其协方差定义为：这个表达式可改写成：当时，，即方差是协方差的特殊情形。（5）随机变量X,Y的cov(X,Y)的性质如下：若相互独立，则。对于任意常数，有。（6）协方差和方差的关系如下：协方差描述了的相关关系。对于这种关系，有更好的表示：相关系数。即相关系数描述了的相关关系，即为正数表示是正相关关系，为负数表示是负相关关系，等于0表示没有相关关系。相关系数与协方差的符号一致，同为正或负或零，而且相关系数界于-1和+1之间。例2-3现在考虑全国别墅、高档公寓与经济适用房的平均售价的相关系数和协方差。有关原始数据如表2-5所示。表2-5全国别墅、高档公寓和经济适用房屋的平均售价年份别墅、高档公寓（元/m2）经济适用房屋（元/m2）19975

3821

09719984

5961

03519994

5031

09320004

2881

20220014

3481

24020024

1541

28320034

1451

380资料来源：2004年中国统计年鉴计算结果如下：别墅、高档公寓与经济适用房的相关系数协方差分别为：-0.659

734

958

233和-344

94.833

758

6别墅、高档公寓与经济适用房的平均售价是负相关的，如图2-3所示。

别墅、高档公寓平均售价年份平均售价（元/m2）别墅、高档公寓平均售价年份平均售价（元/m2）经济适用房屋平均售价图2-3别墅、高档公寓与经济适用房的平均售价的相关性概率密度函数的数字特征除了以上介绍的外，这里再介绍三个：条件期望值和概率密度函数的偏度及峰度。（7）条件期望值定义为：（8）随机变量X的n阶中心矩定义为：当时，一阶中心矩是0；当n=2时，二阶中心矩就是随机变量的方差。方差衡量了分布的紧疏状况，然而，概率密度函数的对称性和分布的宽窄则分别由概率密度函数的偏度和峰度来刻画。概率密度函数的偏度S定义为：当>0时，概率密度函数的几何图形右偏；当<0时，概率密度函数的几何图形左偏。如果概率密度函数的几何图形是对称的，则=0，如图2-4所示。

图2-4概率密度函数分布的偏度示意图概率密度函数的峰度K定义为：当=3时，概率密度函数是常峰态分布的；当>3时，概率密度函数的分布是高峰态的；当<3时，概率密度函数的分布是低峰态的，如图2-5所示。图2-5概率密度函数分布的峰度示意图从表2-5的经济适用房的平均售价数据可做出以下频数柱状分布图：图2-6是右偏低峰态的渐进正态分布图，其偏度为：0.232

223，峰度为：1.857

836。相比之下，别墅、高档公寓的平均售价呈现出较大的右偏高峰态柱状分布，其偏度和峰度分别为：1.439

003和3.860

236。

2.02.50.00.51.01.5110014001300120010002.02.50.00.51.01.5110014001300120010002.2.3样本与样本空间前面求得的期望值、方差、协方差、条件期望值、峰度、偏度等都是在样本空间内求的总体概率密度函数的数字特征。在实际工作中，人们往往难于掌握样本的总体状况，而只是掌握其中某些数据，如何通过这些样本来估算或判断总体样本的情况，则是一个艰巨的任务。比如，要评估全国人口平均的生活水平，人们很难通过全国人口普查来实现，而是通过局部抽样调查来提供判断的依据。为此，掌握样本的数据特征求法是必要的步骤。下面就来实现这样的步骤。1．样本均值设()是随机抽取关于随机变量的某个实验的n个样本值，则随机变量的样本均值定义为：这个定义的n表示样本的容量。通常情况下，总体期望往往是不清楚的，需要通过样本的均值来估计。如何去评估样本均值与总体期望之间的偏差，这是衡量抽样成功与否的关键之所在。这个问题留到以后需要时再讨论。后面所介绍的样本数字特征都是对总体数字特征的估计，有关的讨论也将留到以后适当时做出。

2．样本方差设()是随机抽取关于随机变量的某个实验的个样本值，则的样本方差定义为：在样本方差定义中，分母是，而不是，原因是随机变量，，不是独立的，而()的任意个变量是线性无关的。由于这个缘故，分母为。3．样本协方差设和()是随机抽取分别关于随机变量X和Y的某个实验的个样本值，则关于随机变量X和Y的样本协方差定义为：4．样本相关系数通过样本协方差和样本方差计算样本相关系数r表示为：5．样本偏度关于随机变量X的样本偏度定义为：见王文中（2003）。6．样本峰度关于随机变量的样本峰度定义为：

2.2.4概率分布简介当求随机变量的数据特征时，注意到离散型密度函数或连续型密度函数扮演着重要角色。实际上，概率密度函数描述了随机变量的分布状况。人们通常使用的四种概率分布是：正态分布、分布、t分布和F分布。下面将简要介绍这四种基本的概率分布。1．正态分布几何上，随机变量所取得的所有可能值的概率值集合就形成了对应的概率分布。比如在一个充分大的区域里，位于该区域内某年龄段内人们的身高数的集合具有正态分布的特征。也就是说关于身高这一随机变量，身高数围绕着全体身高数平均值对称分布，使得这些数据的相应概率值所形成的图形面积刚好以平均值为中心分成面积对等的两部分，并且整个面积恒为1。而且，越靠近中心，数据分布得越稠密，其概率所占的面积也越大，离中心越远，数据分布越稀疏，其概率所占的面积也越小。象此类随机变量的概率分布，由其总体期望和方差刻画出来，如图2-7所示。随机变量的概率密度的分布有大约68%落在区间和密度函数所围成的区域内，大约95%落在区间和概率密度函数所围成的区域内，而约有99.7%的概率分布落在和密度曲线所围成的区域内。图2-7描述的几何图形是正态分布的情形。一般情况下，样本的概率分布未必总能呈现出严格的正态分布，而是往往呈现出有偏的渐进正态分布或非正态分布。比如，图2-6已经呈现出了右偏低峰态的渐进正态分布。μμ图2-7正态曲线下的区域面积分布关于随机变量正态分布的概率密度函数如下所示：记做：。关于随机变量的密度函数值的计算是比较复杂的。所幸的是这些密度函数值可以通过正态分布表直接查到。性质2-15多个服从正态分布的随机变量的线性组合仍然服从正态分布。这些随机变量称为正态变量。设和为两个随机变量且分别满足和，令，则为服从正态分布的随机变量，且如果和相互独立，则设为正态变量且满足，令则称为标准正态变量，记为。统计学上，如果知道数据的总体分布是正态的，但是不知道总体期望和方差，那么如何从总体中抽样估计出均值和方差呢？一般情况下，从正态总体得到的随机样本均值和方差可以作为总体的期望和方差的估计值。但是，如果抽样均值和方差未能客观地反映总体的期望和方差，而且当独立地得到若干个随机样本时，样本的均值和方差仍然与总体的均值和方差有偏，那么该如何处理呢？大家知道，随机样本的均值仍然是随机变量，如果把这些估计量如样本均值作为抽样样本，能否估计得到真实的总体值呢？为了回答这个问题，先得寻找理论支持，因为要弄清楚局部与整体的关系。如果还没有从理论上了解局部与整体的关系，那么，任何局部抽样可能面对着这样一个问题：抽样分析结果可信吗？的确，如果理论上未能给予肯定的回答，那么抽样分析基础是不扎实的。应该指出的是，这里的抽样是有坚实理论基础的。下面将回顾一下相关理论。独立同分布随机变量是指构成容量为的样本：，其中每一个是从服从同一个概率密度函数的样本总体中独立抽取的。比如，且每个是独立抽取的，，则是独立同正态分布的随机变量。统计理论若且每个是独立抽取的，，则以上定理就是中心极限定理。一般情况下，可知：中心极限定理如果是服从期望为，方差为的分布的随机样本，则随着样本容量的无限增大，样本均值趋于正态分布。即中心极限定理说明：独立同正态随机变量，以其均值作为样本，其更向真实的总体期望集中，并且，随着均值的均值作为样本，样本将以幂递增的速度向总体均值集聚。若随机变量独立且其概率密度函数未必一致，则当样本容量无限增大时，在一定条件下，样本均值仍然近似服从正态分布（LinbergFell理论）。见古亚拉提（2000）。因此，随着样本容量的增加，样本的均值和方差可以在统计意义上替代总体的期望和方差。若随机变量独立且其概率密度函数未必一致，则当样本容量无限增大时，在一定条件下，样本均值仍然近似服从正态分布（LinbergFell理论）。见古亚拉提（2000）。现在可以讨论从正态总体抽样的方法了。本书将介绍两种方法：解鞋带抽样法和MonteCarlo实验。解鞋带抽样法解鞋带抽样法实际上就是复原随机抽样法。具体做法是：任给一个有限样本，当第一次等可能抽取一个结果后，再把它放回原样本，然后重复第一次的过程，直到抽到符合容量要求的样本。现在举一个例子来说明如何使用解鞋带抽样法。假设有八个序号，如000，001，010，011，100，101，110，111，并以这8个序号作为第一个样本，然后按照解鞋带抽样法生成其他样本，标号为样本1，样本2等，直到抽到所需的样本容量为止。解鞋带抽样法适合于那些通过有限样本信息来解读某些特定特征的实验。不妨通过解鞋带抽样法抽出七个样本，如表2-6所示。表2-6解鞋带抽样法举例样本样本1样本2样本3样本4样本5样本6样本7000100100111010110100010001010010110010111001110010000001010110010101101011100101000011001001011100111111110001011111010续表样本样本1样本2样本3样本4样本5样本6样本7101110101101000110010000110001001110100010101001111101110001101101110101MonteCarlo实验MonteCarlo实验简单来讲就是估计量（比如样本均值）的样本分布法。具体来讲就是对于给定的任意一个有限样本，由解鞋带方法，抽取个样本，再求各个样本的均值，然后再求均值样本的估计量。这个过程就叫做MonteCarlo实验。为了求某个总体的期望和方差，可采用MonteCarlo实验。比如，研究1995—2002年期间外国人到中国旅游人数的总体均值和方差。考虑到总体样本采集的困难性，这里希望通过七个国家到中国旅游人数的统计数据来估算所有外国人到中国旅游人数的均值和方差。通常情况下，如果直接对某个样本求其均值和方差，将得到较为明显的估计偏差。为此，应用MonteCarlo实验，根据1995—2002年的统计数据来估计总体均值和方差如表2-7所示。本书只是介绍MonteCarlo实验的方法，并没有对所估计的值作任何检验。类似的检验将在后面介绍。表2-7MonteCarlo实验的应用单位：万人国别1995199719981999200020012002德国16.6518.4719.1921.7623.9125.3428.18法国11.8513.1313.8015.5618.5019.9522.21意大利06.376.517.257.227.787.779.17荷兰3.495.235.897.017.609.3010.04葡萄牙2.563.583.854.022.282.683.61瑞典3.523.854.064.685.365.286.28瑞士3.433.032.842.993.073.083.24人数人数人数人数人数人数人数平均值6.847.698.139.039.7910.4911.82平均值样本的平均值9.11平均值样本的方差0.737资料来源：2004年中国统计年鉴注：第一列的国别是指七个国家，与其相对应的各行数据是相应各年的旅游人数。

2．χ2分布设，则。由统计学知识可知，服从自由度为1的分布，的英文读法是chi[kai]。记做。一般情况下，设且互相独立，则的英文读法是chi[kai]。自由度是分布的重要参数。一般来讲，自由度是指刻画某个特征，比如样本均值或方差，以及独立观察量的个数。例如，样本方差的自由度为，因为，而任意个是线性无关的。分布随着自由度的增加而趋向正态分布，如图2-8所示。χ2χ2分布的概率密度自由度增加χ2χ2分布的概率密度自由度增加0图2-8变量的密度函数分布示意图0从图2-8可看出，分布的密度函数的定义域是正实数域。自由度越小，分布越右偏，自由度越大，分布越呈现出对称的形态。自由度是分布的重要特征。事实上，可得以下性质：性质2-16分布的期望是其自由度，方差是其自由度的两倍。理论上可证明设样本方差是来自于总体方差为的正态分布的随机抽样样本，则有例2-4依2003年中国35个城市的住宅建设所投入的资金（万元）作为原始数据，然后把这些数据扩大一倍，并按顺序把前半部分或后半部分加上负号，形成样本容量为70的新数据。同时，让每一个数据均除于1

936

034，则这些数据的概率分布呈现出标准正态分布。那么，这些数据的平方就是服从自由度为1的分布。考虑到数据在运算过程中的系统误差，所得到的数据未必呈现出严格的标准正态分布和分布，但是可以近似地认为样本数据满足理论的要求。因此，加工后的原数据如表2-8和表2-9所示。表2-8左偏高峰态正态分布的样本数据-3.27E+00-1.00E+00-0.117

238-5.35E-016.75E-010.331

242

10.404

883

4-7.80E-01-0.331

114-9.16E-01-0.484

8290.248

999

86.45E-010.102

351

5-0.186

508-5.87E-01-9.76E-01-7.07E-010.258

749

10.391

390

90.065

731

8-0.088

251-0.230

148-0.155

137-0.283

4613.49E+001.64E+000.144

443

2-0.063

931-0.382

678-0.269

334-1.29E+006.68E-010.118

762

40.123

406

9-6.75E-01-0.331

242-0.404

883-3.27E+001.00E+000.117

238

15.35E-01-0.249-6.45E-01-0.102352-7.80E-010.331

113

59.16E-010.484

829

3-0.258

749-0.391

391-0.065732-0.186

508

15.87E-016.68E-017.07E-01-3.49E+00-1.64E+00-0.144

443-0.088

2510.230

147

80.155

137

30.283

460

9-6.68E-01-0.118

762-0.123

407-0.063

93070.382

677

70.269

333

61.29E+00资料来源：2004年中国统计年鉴表2-9服从自由度为1的分布的样本数据1.07E+011.00E+000.0137452.86E-014.55E-010.109

7210.163

9316.08E-010.109

6368.40E-010.235

0590.062

0014.16E-010.010

4760.034

7853.45E-019.53E-015.00E-010.066

9510.153

1870.004

3210.007

7880.052

9680.024

0680.080

351.22E+012.68E+000.020

8640.004

0870.146

4420.072

5411.67E+004.46E-010.014

1050.015

2294.55E-010.109

7210.163

9311.07E+011.00E+000.013

7452.86E-01续表0.062

0014.16E-010.010

4766.08E-010.109

6368.40E-010.235

0590.066

9510.153

1870.004

3210.034

7853.45E-014.46E-015.00E-011.22E+012.68E+000.020

8640.007

7880.052

9680.024

0680.08

0354.46E-010.014

1050.015

2290.004

0870.146

4420.072

5411.67E+00资料来源：表2-8表2-8和表2-9的频数柱状分布图分别如图2-9和图2-10所示。1481040-1.2502-2.25频数121481040-1.2502-2.25频数12图2-9左偏高峰态正态分布注：中值：0.012

371，标准差：0.995

919，偏度：-0.040

894，峰度：8.266

771。00图2-10自由度为1的样本χ2分布

3．t分布设样本方差是来自于总体方差为的正态分布的随机抽样样本，正态分布的期望为。则如果不知道总体方差，而只知道样本方差作随机变量则称随机变量满足自由度为的分布，记做。分布的定义说明，如果总体分布是均值为的正态分布，其方差由随机抽样样本方差代替，则样本均值服从分布，分布的自由度等于样本方差的自由度。分布随着自由度的变化而变化，如图2-11所示。当自由度趋向无穷大时，t分布曲线逼向标准正态分布曲线。图2-11形象地说明了t分布曲线随着自由度的变化而变化。实际上有以下性质：自由度增加标准正态分布0t自由度增加标准正态分布0t图2-11不同自由度下的t分布性质2-17t分布的期望为0，方差为，其中k为t分布的自由度。从形态上看，t分布比标准正态分布略显“肥大”一些。但是，随着t分布的自由度不断增长，t分布逐渐趋同于标准正态分布。例2-5根据全国35个城市于2003年所投入住宅建设资金的实际数（万元），对其加工后形成样本数据，如表2-10所示。表2-10服从自由度为3的t分布的样本-2.47E+00-0.297

623-1.07E+00-7.81E-014.37E-01-8.68E-01-9.17E-01-3.65E+00-4.78E-01-4.21E-013.58E+00-2.42E-02-8.02E-02-9.09E-01-9.94E-01-2.13E-016.56E-01-1.01E+00资料来源：2004年中国统计年鉴根据表2-10，绘出t

(3)分布图2-12。频数频数图2-12自由度为3的t分布4．F分布F分布称为方差比分布，也就是两个相互独立的样本方差之比的分布，目的是为了检验两个总体分布的方差是否相等。具体来说，设样本和样本相互独立，样本的方差分别为和如果≥，则随机变量服从分子自由度为和分母自由度为的F分布，如果，记做。一般地有见古亚拉提（2000）。见古亚拉提（2000）。F分布随着自由度的增加而逐渐呈现出正态分布形态，如图2-13所示。正态分布随机变量F分布的概率密度自由度正态分布随机变量F分布的概率密度自由度图2-13F分布随着自由度变化而变化性质2-18给定显著性水平，有性质2-19。性质2-20，其中与相互独立，且若充分大，则。以上几个性质描述了分布、分布和分布之间的某些联系。这些性质在古亚拉提（2000）都有说明。对分布来说，当分子自由度充分大时，随着分母自由度的增加，根据性质2-20，随机变量是趋于渐进标准正态分布的。即2.3统计推断随机抽样的样本跟总体有什么关系呢？能否通过样本的数字特征来估计总体的情况？众所周知，来自同一个总体的每一个样本很可能具有不同的统计特征，比如样本均值、方差等可能是不一样的。为了处理样本与总体的关系，统计推断扮演了重要的角色。统计推断就是从样本的统计特征推断出总体的统计特征，比如从样本的均值推出总体的均值。本节主要介绍估计与假设检验。2.3.1估计给出参数的估计值是统计推断的基础。要给出参数的估计值，首先要确定总体的分布，比如是正态分布、分布、分布或是分布；其次从总体中随机抽样，并给出样本特征值的估计；然后通过点估计或区间估计得出参数估计，如图2-14所示。

图2-14估计的一般过程例如，设，其中参数、为未知。现在从正态总体中随机抽取容量为的样本，则有，也就得出总体参数的估计值是，称为的点估计。MonteKarlo实验可以实现点估计。另外，设表示随机样本的样本方差，则已经知道统计量满足自由度为的分布，在给定显著水平下，查分布表得出相应的临界值为，得概率分布≤≤于是把统计量代入上式，得到≤≤因而，称为总体均值的区间估计，两个端点分别称为上界和下界，称为置信系数。称为显著水平或犯第一类错误的概率。表面上看，犯第一类错误的概率似乎很小，实际上，情况是否总是如此呢？答案是否定的。具体情况可参阅第7章的实验3。样本的抽样方式决定着犯第一类错误的概率的实际大小。如果样本的抽样方式是随机的，那么，犯第一类错误的概率确实不会超过。但是，如果样本的抽样方式是主观的，那么，犯第一类错误的概率很有可能大于。由此看来，人们的处事方式决定着其实际犯主观错误的可能性的大小。如果知道了，但是不知道，则有以下区间估计其中，≥现在举一例说明点估计和区间估计。假如人们从某一个总体中随机抽取样本容量为35的样本（请参考第3章的例3-1），如表2-11所示。表2-11来自于某总体的样本-3.100.050.02-2.602.50-1.560.55-1.01-0.13000

0.06-0.811.160.97-2.20-0.83-1.64-100

0.412.820.02-0.30-0.10-0.94-0.32-0.200.60-0.05-1.46-4.91-1.45-1.25-2.14-0.37-0.62为了确定总体的期望和方差，不妨用样本的中值和方差作为和的点估计。在显著水平，比如5%或1%下，给出总体期望和方差的点估计和区间估计如下：点估计：，。区间估计：因为已知=

-

0.566

57，=1.454

61，=

0.05，=35，查分布表知，因此得到区间估计是：。如果，不妨设，则作为总体期望估计值的概率的可能程度是95%，不是总体期望估计值的可能性只有5%的机会。于是，得到标准差的区间估计为：，因而，。关于标准差的点或区间估计，还可以通过表2-13来实现。点估计主要包含以下性质：（1）线性性线性性是指估计量是样本观察值的线性函数。比如样本均值就是一个线性估计量。这里的均值是指算术平均或加权平均，而不是几何平均，因而均值是关于观察量的线性函数。（2）无偏性无偏性是指总体参数的估计量至少有一个与参数的真实值是一致的。比如，从标准正态分布总体得到的任意独立随机抽样的均值总是0，条件放宽一点就是从某一总体抽得的样本的均值等于该总体的期望。具有这样的性质的总体称为是无偏性的。分布是无偏的，分布、分布则都是有偏的。（3）有效性有效性是指存在多个无偏估计量的情况下，最小的估计量就称为是有效的。这个性质可从图2-11中看出，正态分布的方差就是有效的，而且是最优的。（4）最优线性无偏估计量最优线性无偏估计量是指在存在多个线性无偏估计量的情况下，方差最小的那个无偏估计量就成为最优线性无偏估计量。分布是无偏分布，但不是最优的。分布离最优分布有多大的程度呢？从方差的角度来看，差距为：2/(k-2)。随着自由度的增长，分布不断地逼近标准正态分布，其方差离最优的距离越来越近。（5）一致性一致性是指多个估计量随着样本容量的增大而趋于参数的真实值。分布、分布都具有一致性。2.3.2假设检验估计值是统计推断的一个重要组成部分，然而，仅靠估计值也不能对总体参数给出更加合理的解释。因此，对估计值作检验是统计推断必不可少的关键步骤。检验假设的第一步是提出假设等待检验。比如，要检验，其中为大于0的数。为此，可以给出：零假设:的备择假设记为，有以下三种情形：单边备择假设。单边备择假设。双边备择假设。下面将通过置信区间法和显著检验法来检验零假设:。1．置信区间法这里已经知道≤≤如果落在内，就要接受零假设，否则就拒绝零假设，称为第一类错误，也就是说弃真错误。如果样本不是来自均值为的总体，而接受了，称为第二类错误，也就是说取伪错误。犯第二类错误的可能性是存在的，有时，第二类错误的概率也是很大的。第二类错误常常发生在判断迁移过程中，也就是依据来自某个总体的样本去判断另外一个总体或样本的状况，比如作点估计或区间估计，从而导致张冠李戴的错误发生。对于同一个样本，人们一般做不到同时减少犯第一类错误和第二类错误的概率，通常的做法是先固定一个，然后考虑另外一个减少的可能性，见古亚拉提（2000，第70页）。第一类错误用概率表示，第二类错误用概率表示。不犯第二类错误的概率为，也就是说零假设是错误的而拒绝了零假设，则称为检验的功效。前面的例子给出了在显著水平5%下的双边备择假设检验。如果是单边备择假设检验，应该有：和≥2．显著性检验显著性检验是一种完备的、二选一的假设检验方法。比如设，其中参数、为未知的。现在从正态总体中随机抽取容量为的样本，则有。设表示随机样本的样本方差，则作零假设:，当值非常小时，即小于相应的临界值，可以被接受，当值很大时，即大于相应的临界值，可被拒绝。是否被接受取决于显著水平的设计和自由度的选取。这里的关键是统计量检验和统计量取某值的概率。关于显著性检验，经常会用到以下术语：统计量检验是统计显著的指可以拒绝零假设，说明接受零假设的概率小于或等于显著水平。统计量检验不是统计显著的指不可以拒绝零假设，说明拒绝零假设的概率很小，一般小于或等于显著水平。通常情况下，到底选择置信区间检验法还是显著性检验法，往往取决于个人的偏好，没有硬性规定一定得选择哪一个具体的方法。不过，置信区间检验和显著性检验在技术上还是有区别的，现在把这些主要区别进行归纳，如表2-12所示。

表2-12置信区间检验法和显著性检验法的区别置信区间检验法显著性检验法内容估计出置信区间，看被估计的参数值是否落在区间内，若落在区间内就接受零假设，否则就拒绝零假设通过零假设给被估计参数赋予一个特殊值，再计算检验统计量以及与统计量对应的概率。如果概率小于所给定的统计水平，则拒绝零假设，否则就接受零假设缺。点是显著水平的设置随意性大。为了克服这个缺点，常用关于统计量的概率p下面对表2-11的数据做的显著性检验。零假设:双边备择假设:在显著水平=0.05时，求得结果如下：样本容量：35自由度：34样本均值：-0.566

57方差：2.115

9值：-2.304

31值：0.027

44结论：零假设检验显著。如果做零假设为:双边备择假设为:则对同样的样本做检验，其结果如下：样本容量：35自由度：34样本均值：-0.566

57方差：2.115

9值：-0.840

15值：0.406

69结论：在显著水平下，零假设检验不显著。此处的定义为：:≤≤。检验类似于检验，其步骤是根据零假设，给定方差的一个估计值，然后计算出值，最后通过分布表进行显著性检验。检验也类似，即设置零假设，通过抽样计算值，然后根据分布表作显著性检验。如表2-13所示为三种统计估计量的假设检验。表2-13三种统计估计量的假设检验检验t检验p检验单边双边拒绝单边双边注：t统计量定义为。为零假设，为被择假设。如果统计量和相应的临界值的关系与表2-13中的任何一个关系相符，则被拒绝，否则就可以被接受。2.4最优化理论基础最优化理论研究的是问题解决方案的最优解。通常人们所研究的线性规划问题，非线性规划问题，整数规划问题，动态规划问题，多目标规划问题和对策优化问题都涉及了求最优解的问题。下面将介绍线性规划的最优解问题，其余请参考相关文献。可参阅：可参阅：现代应用数学手册编委会编．现代应用数学手册：运筹学与最优化理论卷．北京：清华大学出版社，1998

2.4.1线性规划的最优化条件线性规划是指某个线性函数在一组线性约束条件下的最优解，比如最小值解或最大值解。线性规划问题起源于20世纪30~40年代。线性规划在各个领域里都得到了广泛的应用，比如经济部门、管理部门、科学研究部门。线性规划问题的标准化表达式是（2-1）其中，为决策向量，记为，为系数，记为，为目标函数，为约束系数矩阵，记为≥≥为约束向量，记为且≥0，，≥0称为非负约束向量，表示满足约束条件。如果线性规划问题的数学模型不是标准化的，比如目标函数求最大值，则可以在目标函数前面乘上-1即可，如果约束条件不是取等号，可以加上或减去相应的松弛变量。可行解所组成的集合称为可行域，记为≥（2-2）位于可行域的最小解称为方程的最优解。定义2-3设（2-1）中的可分解为，其中是阶满秩方阵，称为基。向量相应分解为，其中称为基变量。当时，相应于的基本解可表示为如果，则称是非退化的，否则就称是对退化的。性质2-21（2-2）是凸集。（2-1）存在有限最优解的充分必要条件是（2-2）的所有极方向d满足≥0。

2.4.2单纯形法1947年，G.B.Dantzig提出了单纯形法，这是求线性规划最优解的一个基本方法。单纯形法的基本思想如图2-15所示。图2-15单纯形法求最优解的分解过程2.4.3Kuhn-Tucker条件这里主要简单介绍不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件和等式约束问题的Kuhn-Tucker条件。设有线性规划问题：≥≥（2-3）≥≥则是该问题（2-3）的最优解的充分必要条件是存在维向量和维向量，满足以下不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件：≥,≥0，,≥0,≥0，,等式约束问题的Kuhn-Tucker条件跟不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件的惟一区别是，≥0，其余与不等式约束问题的Kuhn-Tucker条件完全一致。

思考与练习1．试举一个合适的三阶矩阵，求它的转置和逆矩阵。2．举例说明两个矩阵乘积是不可交换的。3．证明：4．证明：性质2-3，性质2-4和性质2-7。5．分别举一例说明矩阵是正定的、负定的、半正定的、半负定的和非正定负定的。6．设计一个或若干个样本作例子来求出：样本点、随机向量、概率、条件概率、联合概率、边缘概率、密度函数、联合密度函数和条件密度函数、累积概率、样本期望、样本方差、样本协方差、样本相关系数、样本偏度和峰度。7．解释正态分布、分布、分布和分布。8．证明：分布是无偏的，分布、分布则都是有偏的。9．分布的最大方差存在吗？为什么？试求分布的方差的下确界。10．从方差角度考虑，如果分布离最优分布的距离不大于0.01，则分布的自由度至少为多少？11．试举一例来说明点估计与区间估计的联系与区别。12．点估计的性质是什么？13．证明分布和分布的一致性。14．假设检验主要有哪些形式？15．如何理解假设检验所犯的第一类错误和第二类错误？试举一例加以说明。16．如何理解统计检验的显著性？17．试述置信区间检验法和显著性检验法的关系。18．据2004年中国统计年鉴数据，从1990—2003年之间我国的高等院校数据，如表2-14所示。

表2-141990—2003年我国高等院校发展数据年份1990199119921993199419951996高校（所）1075107510531065108010541032年份1997199819992000200120022003高校（所）1020102210711041122513961552资料来源：2004年中国统计年鉴如果通过猜测得到中国高校所数的期望和标准方差估计分别为：1063和193.8，试根据表2-14的样本数据来分析期望和标准方差点估计的可信性。19．最优化理论的本质是什么？

利润点平移

主业利润持续降低，几乎成为企业的普遍现象，特别是面临原材料成本攀升的中国企业。这既可以归结为产品同质化竞争加剧，价格战成为竞争常态，也可以解释为受产品生命周期的影响，甚至还可以从经济学的经典理论中找到根据——任何产品的利润都会倾向于平均利润以下。那么，在产品本身的创新空间受限的情况下，如何寻找新的利润增长点呢？利润点平移是一种有效的解决方案。它是指在主业利润率很低的情况下，企业将利润增长点向主业外平移的一种方法。但它与多元化不同，区别在于：新的利润增长点依然是以原来的主业为核心或为依附的。比如报纸，最初主要是靠报纸的销售创造利润，但随着竞争的加剧，卖报的收入连印刷成本都难以挽回，更别提产生利润了。于是利润点就平移到了广告收入，但广告收入是完全建立在报纸的销售量上的，算不上多元化。有时它和一体化类似，但也有很大的不同。比如利润点在纵向上的平移，就并没有涉及到产业链上下有时它和一体化类似，但也有很大的不同。比如利润点在纵向上的平移，就并没有涉及到产业链上下游中的核心业务。日本钢铁制造商参股而不是控股铁矿企业，目的不是为了进入铁矿开采领域，而是为了对冲铁矿石的价格波动，保持钢铁制造的利润。有时它和一体化类似，但仍然有很大的不同。一方面，利润点在横向上的平移常常并没有涉及到价值链上下游中的核心业务。日本钢铁制造商无论是参股还是控股铁矿企业，目的都不是为了进入铁矿开采领域，而是为了对冲铁矿石的价格波动，保持钢铁制造的利润。另一方面，利润点平移会更注重纵向上的扩展，通过主业核心能力相关的关联业务寻找新的利润机会，这时候就更没有一体化的特征了，如我们后面将要谈到的柯达公司的案例，其从相机业务向胶卷业务的转移和从胶卷向数码相机的转移，都是纵向上拓展在互补品和替代品上的利润来源，就明显与一体化区分开来了。既然利润点平移是一个解决主业利润稀薄的有力手段，那么是否有系统的思路进行规划和执行呢？第一步：寻找内部的平移机会；第二步：价值链上的纵横平移；第三步：建立全新的交易模式。寻找内部的平移机会传统的企业都是依靠制造利润来立身的。但这种传统的利润创造模式也越来越面临巨大的挑战。对于这样的企业而言，利润点平移的第一步可以在企业内部寻找。一些一直承担辅助作用的职能部门，都是可以创造新利润的源泉，如服务、研发、物流、采购、财务、营销等部门。而企业要做的，是通过某种方式使这些部门产生利润——一个重要的措施就是将这些成本中心变成真正的利润中心。1.从产品利润到服务利润提升服务部门的能力、向服务转型是很多大型制造商很惯常的选择。IBM从硬件制造商向服务转型，包括收购普华永道咨询公司和壮士断臂般地卖掉其赖于立身的PC业务，都是利润点象服务平移后的一个极端的表现。通常，制造商都可以通过各种方便，提升服务能力，特别是开发对顾客而言非常重要的服务项目，从而在物理产品这外创造服务利润。ABB公司虽然在向油/气钻机提供钻井管道的业务上处于全球领导地位，但在管道本身的质量和制造技术上，并不能真正领先于竞争对手。但服务于客户的过程中，ABB发现“当井打好后，管道必须立即完成连接并嵌入到管道井中”是钻井项目流程中的一个关键控制点，而“管道是否能及时到达钻进现场”是客户面对的最大风险之一。但管道准时到达钻井现场的最大问题并不在于产品的制造和运输环节，而是钻井地所在国的通关问题。依托于多年来在一百多个国家的业务经验，ABB通过熟悉各国的通关手续，得以在很大程度上控制和缩短通关时间，使其在提供管道的速度和及时性的控制上形成了独特竞争优势。同时，这一能力也成为ABB产品之外一个新的利润来源，因为，客户非常乐意为此付费。同样，本土企业在这方面也颇多心得，比如精伦电子和威灵电机。当国内公用电话终端市场进入衰退期时，一些中小企业在产品价格下降和客户采购量减少的双重压力下逐步退出市场。作为龙头企业的精伦电子在充分分析市场和顾客需求后，敏锐地意识到以质量竞争和价格竞争的产品时代已经过去，市场的重点也从新增量向保有量转变，顾客对服务的需求日益增加。为此，精伦电子确定了向从产品制造商向服务供应商转变的发展思路，并从内到外进行调整。在内部，精伦电子依托售后服务部门成立独立的利润中心——服务中心，与制造中心、研发中心、销售中心并列为公司的四大中心，在内部进行服务定价和结算；在外部，扩展对电信运营商的服务功能，将其从以前辅助产品销售的功能提升到独立的服务业务，包括为客户提供终端产品维护和系统平台的维护升级等支持，并且从以前的免费项目变为收费项目。同时，针对运营商对产品采购价格的敏通过将一部分利润来源从产品销售平移到对存量产品的维护上，精伦电子在局部上实现从产品模式向服务模式的转型。威灵电机是从美的集团独立出来的电机制造商，为空调、冰箱等家电产品提供配套。残酷的价格战侵蚀了美的、科龙等整机制造商利润的同时，也冲击着价值链前端的配套企业。威灵虽然是同类配套企业中的佼佼者，但面对客户成本控制的需求也备感压力。在合作中，威灵发现每当客户推出一种新款产品，都需要配套企业尽快提供配件，因为新产品能否及时投放市场，能否赶上旺季需求在相当大的程度上影响着盈利水平。同时，一般新品利润率比较高，所以，客户此时对电机的供应价格往往不太敏感，并乐于用较高的利润激励供应商更快供货。更重要的是，一旦新品畅销，威灵的利润额将相当丰厚。为了回应客户的需求，威灵通过改革项目管理，加强同客户的沟通方式和信息共享，努力缩短供货时间，从而在单纯低成本追求之外找到了客户的更重要的需求——快速反应能力（包括设计和制造）。2.从产品利润到技术利润研发部门通常是企业烧钱比较大的地方，特别是高科技公司。但很多先知先觉的企业，都在探索将研发机构从成本中心向利润中心转型，至少能创造部分利润来祢补费用。往往这种转变的懵懂状态就是企业非有意地将一些闲置不用的技术或非核心技术转让给其他机构。这种技术转让收入其实在很多公司的财务报表中都能看到，只是更多的是间或性的，不能形成稳定的收入。而利润点的平移就是要求有一个长期、稳定的收益。在很多企业，其制造部门除生产自主品牌的产品外，也承接其他企业的代工业务一样。这在IT、纺织品业非常常见。其实，对于研发机构，同样存在类似的技术OEM情况，即所谓的技术外包——研发机构在为本企业服务的同时，也为其他机构提供技术服务。比如，一些知名的汽车制造商，他们的汽车设计部门有时也会为其他制造商提供设计服务，甚至将一些设计好的车型卖给后者。更高级的方式就是将技术变成专利、将专利变成标准，以此重建一个更为强大的赚钱机器。专利和标准的使用权都是一个强大、持续、稳定的利润来源。高通这种极端的情况自不用说，仅就中国优盘的发明者朗科，虽然在规模和销售额上并不出彩，但在频频将专利大棒砸向SONY等跨国IT公司，包括2006年初远赴美国起诉PNY公司、瞄准苹果iPod产品等，都显示出其与华旗等同业制造商在利润模式上的不同设计。3.从产业利润向财务利润一些现金充裕或现金流巨大的公司，都会将多余或暂时不用的资金用于投资，比如投资债券、委托理财、同业拆借等，从而获取财务收入。在欧美市场，由于金融投资产品丰富以及相关政策的宽松，企业有更多的选择。对于规模更大的企业，甚至会在原有财务机构的基础上建立独立的财务公司。如国内的石化、电力、钢铁等大型国营企业就是如此。通过对资金统一管理和提供金融服务，在资金管理和运用上创造不同于原来产业的利润。也许，某一天，随着利润转移的不断深化，这些企业会发现来自产业利润的比例已降低到主导地位之下了。而企业的财务利润最终会上升为金融利润，即企业会成立自己的金融机构，财务公司就是一种准金融机构。实际上，全球众多制造商，特别是大型设备制造商，都通过为客户提供金融服务获取金融利润。当顾客在设备采购时面临资金压力时，通过向其提供贷款服务，制造商除扩大了销售量外，在产品利润之外就获得了相应的利息收入。而且，随着竞争的加剧和产品价格的走低，金融服务所创造的利润在制造商的利润池中所占的比例越来越大、越来越丰厚。例如，全球各大汽车集团旗下均有汽车金融公司，多数公司开展车贷经营业务所获得的利润能够占到整个汽车集团利润的1/3，甚至已超过制造汽车所获得的利润，成为汽车集团最主要的利润来源。以通用汽车金融服务公司（GMAC）为例，其是全世界规模最大、最为成功的金融机构之一。在2001年，GMAC共向全球800多万用户提供了汽车信贷服务，净收入达到了18亿美元，利润占通用汽车公司利润总额的36%。同样的，福特汽车信贷公司（FMCC）2000年总资产达到1890亿美元，净收入达17.86亿美元，占福特汽车集团总利润的36％。相对于有形的产品，无形的产品也可以依靠金融服务来拓展市场，增加新的利润。达内科技是一家由加拿大留学归国人员创办的IT培训企业。基于强大的师资力量和有竞争力的高端培训课程，为了在鱼龙混杂的培训业中脱颖而出，2005年底，达内科技推出了“零首付、低压金、就业后分期付款”的TPET培训计划。由于受国内法律的限制，非金融企业不能提供金融服务。达内科技通过和金融机构合作，在“产品利润”也开始收获“金融利润”。除了以上较明确的方式，还有一些隐蔽的方式。如大型零售商在中国的利润模式，其长期侵占供应商货款的行为，在一定程度上表明其一部分利润来源是脱离了零售业务的，是资金的时间价值创造的。4.从产品利润到营销利润利用企业的营销体系赚钱是一个非常容易实现的道路。具体的，这个道路中有三个常见的方法：1)渠道共享“渠道为王”是近年来常听到的口号。确实，强大的渠道网络就是企业资产负债表外一份举足轻重的资产。而将渠道向其他厂商甚至竞争对手开放，是实现营销利润的一个有力手段。比如若干年前，TCL向飞利浦开放其彩电渠道，波导向西门子开放手机渠道等。只是，大多数渠道合作并没有直接收取现金，而是一种战略合作，但渠道利润必然在其他利润中得到体现。2)知识共享众多企业都建立了自己的企业大学。除了提供内训外，也向外提供培训服务。除了传播企业文化和企业价值观间接取得传播利益外，还直接取得真金白银的培训收入。其中做得比较好的，本土企业有海尔大学，外企有惠普商学院。他们都是通过将营销在内的知识对外共享，从而创造了营销利润。3)对外服务简而言之就是提供外包服务。比如，一些企业将自己强大的营销部门整合成一个营销策划公司，在对内提供支持的同时，也将这种专业服务提供给第三方。5.从产品利润到辅助业务利润我们这里指的辅助业务是企业制造业务的直接支持业务，包括采购、物流、仓储等环节。这些环节创造利润，一方面是直接赚钱，比如很多大流通的企业建立自己专业的物流公司，或者将自己规模庞大的仓储配送中心向市场开放，另一方面是通过节省间接创收。前一种通过将成本中心改成利润中心实现从产品利润向采购利润、物流利润和仓储利润的转移，容易看到，后一种则相对比较隐蔽，因为很多时候我们习惯于将这部分平移的利润仍然归结于产品上。比如，在一个产品零售价格不断降低的市场，某个企业的价格优势来源于那里呢？制造环节的效率是一部分，但实际上更多的利润是由采购、物流和仓储这些环节创造的。如浙江嘉善的晋亿螺丝是全球最大的螺丝制造企业，其生产量占全世界四万种螺丝的一半。立足于大规模采购下物流和仓储效率的持续改善，晋亿螺丝实现了超级库存下的低成本控制。在制造业利润不断稀薄的今天，晋亿螺丝的一部分利润实际上已从制造转向了我们上面谈到的几种辅助业务上。

价值链上的纵横平移以主业为核心，在价值链的水平和纵向寻找利润平移的机会，从而在前、后、左、右四个方向上创造新的利润来源。1.价值链的水平平移价值链的水平平衡是指向上、下游领域延伸在主业上的竞争力，从而创造新的利润来源。但要注意这不是单纯的一体化，而是仍然立足于原主业，将原来的资源和能力向前后两个方向延伸。典型向下游利润点平移的例子发生在汽车配件业。汽配生产商有力的作法就是推进汽车模块化设计，即通过提供越来越功能化、越来越整体化的零部件更多地渗透到汽车整车设计和制造领域中去。这样，他们在帮助顾客在新车设计和制造上大幅缩短周期的同时，也让自己更深地介入到顾客的业务中——“他们从未进入整车制造业务，但他们越来越象在制造整车。”另外，为更好的感受利润点水平平移与一体化的异同，我们可以看看下面这个例子。众所周知，家电制造商多年备受国美、苏宁等渠道霸主的压制，这才有格力和国美交恶，自建渠道的事件。2005年，TCL的“幸福树电器连锁”就是向下游分销领域的利润点平移。这一战略举措不但引起康佳、创维、长虹等家电品牌的关注，而且，些与TCL不具品牌和产品冲突的企业甚至有意与TCL合作，期望借助幸福树扩大在城镇压和乡村市场的销售份额。在这个案例上，我们可以多少体会到利润点在横向上的平移是多么类似于一体化。或者说，TCL的幸福树工程就是一种典型的前向一体化战略。但如果从利润点平移的角度来看，TCL战略重点是为了实现了从制造利润向商业利润的转移，而并不是简单地赚取分销商原来的利润。总之，两者不可绝然分开，但也不可简单等同。相应的，向上游进行后向一体化是很多注重原材料供应的企业经常采用的方法，如西方、日本的钢铁制造商都通过在南美、澳洲等铁矿藏丰富的地区收购、参股当地的矿业企业，以达到控制资源、影响原材料定价等多方面的战略目标。但是利润点在价值链上的向上平移并不同于一体化有股权或资本上的投入，而是更多借助于规模效应、管理能力实现在材料采购上的成本节省，从而变向地创造利润。前部分所提的晋亿螺丝实际上就是一个案例。2.价值链的纵向平移价值链的纵向平移是指以主业为依托，但将利润点向补充品、消耗品和替代品转移。柯达公司经历过两次利润点的平移。早期，柯达将传统相机的专利向其他厂家开放而专注于胶卷业务，是其第一次纵向的利润点平移。这种方式在鼓励更多的厂商生产和销售相机的同时，将自己的利润点定位于重复消费次数多、利润率更高的胶卷业务。由于专利的开放，其他制造商可以以非常低的成本制造相机，从而使更多的消费者能够购买相机，最终推动胶卷使用量的大量增加。这是一次非常成功的利润平移，是柯达在战略上的成功设计。而近年来，随时数码技术的兴起，柯达也从传统影像业务向数码业务转型。虽然传统胶卷仍然是柯达最重要的利润来源，但其利润点正快速转向数码相机业务和数码影像的冲印业务。对强有力替代品的关注，是利润点平移中的一个无庸置疑的方向。同样的例子也出现在汽车制造业和打印机制造业。汽车配件的暴利是人所共知的。“如果把刚买的新车拆散了卖配件，很多车都可以卖出两辆车的价钱来。”这是业内人士的现身说法。在消费者抱怨配件价格太高的同时，我们可以看到汽车业在过去