微专题 数形结合与实数的运算 测试题

微专题一数形结合与实数的运算姓名:________班级:________用时:______分钟1．两个实数互为相反数，在数轴上的对应点分别是点A、点B，则下列说法正确的是()A．原点在点A的左边 B．原点在线段AB的中点处C．原点在点B的右边 D．原点可以在点A或点B上2．(2018·浙江绍兴模拟)计算－(eq\r(2))2＋(eq\r(2)＋π)0＋(－eq\f(1,2))－2的结果是()A．1 B．2 C.eq\f(11,4) D．33．定义一种新运算☆，其规则为a☆b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，根据这个规则，计算2☆3的值是()A.eq\f(5,6) B.eq\f(1,5) C．5 D．64．如图，数轴上的A，B，C，D四点中，与表示数－eq\r(3)的点最接近的是()A．点A B．点B C．点C D．点D5．若实数a满足|a－eq\f(1,2)|＝eq\f(3,2)，则a对应于图中数轴上的点可以是A，B，C三点中的点______.6．计算:eq\r(8)－|2－2eq\r(2)|＋2tan45°＝______．7．(2019·创新题)按所给程序计算:输入x＝3，则输出的答案是________.eq\x(输入x)→eq\x(立方)→eq\x(－x)→eq\x(÷2)→eq\x(答案)8．观察下列各式:eq\f(1,1×2)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2);eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3);eq\f(1,1×2)＋eq\f(1,2×3)＋eq\f(1,3×4)＝1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4);…按以上规律，写出第n个式子的计算结果(n为正整数)____．(写出最简计算结果即可)9．设S1＝1＋eq\f(1,12)＋eq\f(1,22)，S2＝1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)，S3＝1＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)，…，Sn＝1＋eq\f(1,n2)＋eq\f(1,（n＋1）2).设S＝eq\r(S1)＋eq\r(S2)＋…＋eq\r(Sn)，则S＝____(用含n的代数式表示，其中n为正整数).10．设an为正整数n4的末位数，如a1＝1，a2＝6，a3＝1，a4＝6.则a1＋a2＋a3＋…＋a2017＋a2018＋a2019＝______________．11．(2019·创新题)有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4…则第2018次输出的结果是______.12．(2019·改编题)计算:2－2＋(3eq\r(27)－eq\f(1,4)eq\r(6))÷eq\r(6)－3sin45°.13．计算:(eq\f(1,3))－1－|－2＋eq\r(3)tan45°|＋(eq\r(2)－2018)0－(eq\r(2)－eq\r(3))(eq\r(2)＋eq\r(3))．14．如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b|.回答下列问题:(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是________，在数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________;(2)在数轴上表示x和－5的两点之间的距离是________;(3)若x表示一个有理数，则|x－1|＋|x＋3|有最小值吗？若有，请求出最小值;若没有，请说明理由．15．我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1(即方程x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定:一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，同理可得i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.求i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2018＋i2019的值．参考答案1．D2.D3.A4.B5．B6.47.128.eq\f(n,n＋1)9.eq\f(n2＋2n,n＋1)10．666611.412．解:原式＝4＋3eq\r(\f(27,6))－eq\f(1,4)－3×eq\f(\r(2),2)＝4＋eq\f(9,2)eq\r(2)－eq\f(1,4)－eq\f(3,2)eq\r(2)＝eq\f(15,4)＋3eq\r(2).13．解:原式＝3－(2－eq\r(3))＋1－(2－3)＝3－2＋eq\r(3)＋1－(－1)＝3＋eq\r(3).14．解:(1)34(2)|x＋5|(3)根据绝对值的定义知|x－1|＋|x＋3|可表示点x到表示1与－3的两点的距离之和．根据几何意义分析可知当x在－3与1之间时，|x－1|＋|x＋3|有最小值4.15．解:由题意得，i1＝i，i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，i5＝i4·i＝i，i6＝i5·i＝－1，故可发现4个一循环，一个循环内的和为0.∵2019÷4＝504……3∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2018＋i2019＝504×0＋(i－1－i)＝－1.微专题二代数式的化简与求值姓名:________班级:________用时:______分钟1．下列运算正确的是()A．x－2x＝－x B．2x－y＝－xyC．x2＋x2＝x4 D．(x－1)2＝x2－12．(2018·浙江丽水模拟)已知eq\f(1,a)－eq\f(1,b)＝eq\f(1,3)，则eq\f(2ab,a－b)的值是()A.eq\f(1,6) B．－eq\f(1,6)C．6 D．－63．实数a在数轴上的位置如图所示，则eq\r(（a－4）2)＋eq\r(（a－11）2)化简后为()A．7 B．－7C．2a－15 D．无法确定4．已知m＝1＋eq\r(2)，n＝1－eq\r(2)，则代数式eq\r(m2＋n2－3mn)的值为()A．9 B．±3C．3 D．55．已知2a－3b＝7，则8＋6b－4a＝________.6．已知a<0，化简:eq\r(4－（a＋\f(1,a)）2)－eq\r(4＋（a－\f(1,a)）2)＝________.7．若eq\f(1,（2n－1）（2n＋1）)＝eq\f(a,2n－1)＋eq\f(b,2n＋1)，对任意自然数n都成立，则a＝____，b＝______;计算:m＝eq\f(1,1×3)＋eq\f(1,3×5)＋eq\f(1,5×7)＋…＋eq\f(1,19×21)＝____.8．(2019·改编题)若m2＝n＋2，n2＝m＋2(m≠n)，则m3－2mn＋n3的值为________.9.先化简，再求值:(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中x＝－1.10．化简:(eq\f(a＋1,a－1)－eq\f(a,a＋1))÷eq\f(3a＋1,a2＋a)11．已知A＝eq\f(x2＋2x＋1,x2－1)－eq\f(x,x－1).(1)化简A.(2)当x满足不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－3<0，))且x为整数时，求A的值．12．先化简，再求值:eq\f(m2－4m＋4,m－1)÷(eq\f(3,m－1)－m－1)，其中m＝eq\r(2)－2.13．为鼓励学生努力学习，某校拿出了b元资金作为奖学金，其中一部分作为奖学金发给了n个学生．奖金分配方案如下:首先将n个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n个学生的综合评分均不相同)从高到低，由1到n排序，第1位学生得奖金eq\f(b,n)元，然后再将余额除以n发给第2位学生，按此方法将奖金逐一发给了n个学生．(1)假设第k个学生得到的奖金为ak元(1≤k≤n)，试用k，n和b表示ak.(2)比较ak和ak＋1的大小(k＝1，2，…，n－1)，并解释此结果就奖学金设置原则的合理性．参考答案1．A2.D3.A4.C5．－66.－27.eq\f(10,21)8.－29．解:原式＝x2－4＋x－x2＝x－4.当x＝－1时，原式＝－1－4＝－5.10．解:原式＝[eq\f(（a＋1）2,（a－1）（a＋1）)－eq\f(a（a－1）,（a－1）（a＋1）)]·eq\f(a2＋a,3a＋1)＝eq\f(a2＋2a＋1－a2＋a,（a－1）（a＋1）)·eq\f(a（a＋1）,3a＋1)＝eq\f(3a＋1,（a－1）（a＋1）)·eq\f(a（a＋1）,3a＋1)＝eq\f(a,a－1).11．解:(1)A＝eq\f(x2＋2x＋1,x2－1)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(（x＋1）2,（x＋1）（x－1）)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(x＋1,x－1)－eq\f(x,x－1)＝eq\f(1,x－1).(2)解x－1≥0，得x≥1;解x－3<0，得x<3，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1≥0，,x－3<0))的解为1≤x<3.∵x为整数，∴x＝1，2.当x＝1时，分式无意义．当x＝2时，A＝eq\f(1,2－1)＝1.12．解:原式＝eq\f(（m－2）2,m－1)÷eq\f(3－m2＋1,m－1)＝eq\f(（m－2）2,m－1)÷eq\f(（2＋m）（2－m）,m－1)＝eq\f(（m－2）2,m－1)×eq\f(m－1,（2＋m）（2－m）)＝eq\f(2－m,2＋m).当m＝eq\r(2)－2时，原式＝eq\f(2－\r(2)＋2,2＋\r(2)－2)＝eq\f(4－\r(2),\r(2))＝2eq\r(2)－1.13．解:(1)ak＝eq\f(b,n)(1－eq\f(1,n))k－1.(2)∵ak＝eq\f(b,n)(1－eq\f(1,n))k－1，ak＋1＝eq\f(b,n)(1－eq\f(1,n))k，∴ak＋1＝(1－eq\f(1,n))ak<ak，说明排名越靠前获得的奖学金越多．微专题三列方程(组)解应用题姓名:________班级:________用时:______分钟1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是()A．100元 B．90元 C．810元 D．819元2．一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店()A．不盈不亏 B．盈利20元C．亏损10元 D．亏损30元3．中央电视台2套“开心辞典”栏目中，有一期的题目如图所示，两个天平都平衡，则三个球体的重量等于()个正方体的重量．A．2 B．3 C．4 D．54．夏季来临，某超市试销A，B两种型号的风扇，两周内共销售30台，销售收入5300元，A型风扇每台200元，B型风扇每台150元，问A，B两种型号的风扇分别销售了多少台？若设A型风扇销售了x台，B型风扇销售了y台，则根据题意列出方程组为()A.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5300,200x＋150y＝30)) B.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝5300,150x＋200y＝30))C.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,200x＋150y＝5300)) D.eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝30,150x＋200y＝5300))5．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表:计费项目里程费时长费运途费单价1.8元/公里0.3元/分钟0.8元/公里注:车费由里程费、时长费、运途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计费;时长费按行车的实际时间计算;运途费的收取方式为:行车7公里以内(含7公里)不收运途费，超过7公里的，超出部分每公里收0.8元.小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时两人所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差()A．10分钟 B．13分钟C．15分钟 D．19分钟6．七、八年级学生分别到雷锋、毛泽东纪念馆参观，共589人，到毛泽东纪念馆的人数是到雷锋纪念馆人数的2倍多56人．设到雷锋纪念馆的人数为x人，可列方程为__________________________．7．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题:一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托．如果1托为5尺，那么索长为________尺，竿子长为________尺．8．《孙子算经》中有这样一道题，原文如下:今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽，问:城中家几何？大意为:今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问:城中有多少户人家？请解答上述问题．9．在端午节来临之际，某商店订购了A型和B型两种粽子，A型粽子28元/千克，B型粽子24元/千克，若B型粽子的数量比A型粽子的2倍少20千克，购进两种粽子共用了2560元，求两种型号粽子各多少千克．10．在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造．(1)原计划今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？(2)到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶2，且里程数之比为2∶1.为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入．经测算:从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%(a＞0)，并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．参考答案1．A2.C3.D4.C5.D6．2x＋56＝589－x7.20158．解:设城中有x户人家．依题意得x＋eq\f(x,3)＝100，解得x＝75.答:城中有75户人家．9．解:设订购了A型粽子x千克，B型粽子y千克，根据题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x－20，,28x＋24y＝2560，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝40，,y＝60.))答:订购了A型粽子40千克，B型粽子60千克．10．解:(1)设道路硬化的里程数是x千米，则道路拓宽的里程数是(50－x)千米．根据题意得x≥4(50－x)，解得x≥40.答:原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是40千米．(2)设2017年通过政府投人780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数分别为2x千米，x千米，2x＋x＝45，x＝15，2x＝30，设每千米的道路硬化和道路拓宽的经费分别为y万元，2y万元，30y＋15×2y＝780，y＝13，2y＝26，由题意得13(1＋a%)·40(1＋5a%)＋26(1＋5a%)·10(1＋8a%)＝780(1＋10a%)，设a%＝m，则520(1＋m)(1＋5m)＋260(1＋5m)(1＋8m)＝780(1＋10m)，10m2－m＝0，m1＝0.1，m2＝0(舍去)∴a＝10.微专题四反比例函数、二次函数图象与性质的综合应用姓名:________班级:________用时:______分钟1．如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，点B(－1，0)，则①二次函数的最大值为a＋b＋c;②a－b＋c＜0;③b2－4ac＜0;④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 2．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数y＝eq\f(k,x)(x＞0)的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k＝______．3．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位:m)与飞行时间x(单位:s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题:(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？4．参照学习函数的过程与方法，探究函数y＝eq\f(x－2,x)的图象与性质．因为y＝eq\f(x－2,x)＝1－eq\f(2,x)，即y＝－eq\f(2,x)＋1，所以我们对比函数y＝－eq\f(2,x)来探究．列表:描点:在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以y＝eq\f(x－2,x)相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示:(1)请把y轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连结起来;(2)观察图象并分析表格，回答下列问题:①当x＜0时，y随x的增大而________;(填“增大”或“减小”)②y＝eq\f(x－2,x)的图象是由y＝－eq\f(2,x)的图象向______平移______个单位而得到;③图象关于点______________中心对称．(填点的坐标)(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝eq\f(x－2,x)的图象上的两点，且x1＋x2＝0，试求y1＋y2＋3的值．5.为了支持大学生创业，某市政府出台了一项优惠政策:提供10万元的无息创业贷款．小王利用这笔贷款，注册了一家淘宝网店，招收5名员工，销售一种火爆的电子产品，并约定用该网店经营的利润，逐月偿还这笔无息贷款．已知该产品的成本为每件4元，员工每人每月的工资为4千元，该网店还需每月支付其他费用1万元．该产品每月销售量y(万件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示．(1)求该网店每月利润w(万元)与销售单价x(元)之间的函数表达式;(2)小王自网店开业起，最快在第几个月可还清10万元的无息贷款？6．如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数y＝eq\f(m,x)与y＝eq\f(n,x)(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD∥y轴，且BD⊥AC于点P.已知点B的横坐标为4.(1)当m＝4，n＝20时．①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式;②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由;(2)四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系;若不能，试说明理由．参考答案1．B2.43．解:(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x，解得x1＝1，x2＝3，答:在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x，解得x1＝0，x2＝4∵4－0＝4，∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s.(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，此时，y＝20，答:在飞行过程中，小球飞行高度在第2s时最大，最大高度是20m.4．解:(1)画出函数图象如图所示．(2)①增大②上1③(0，1)(3)∵x1＋x2＝0，∴x1＝－x2.∴A(x1，y1)，B(x2，y2)关于(0，1)对称，∴y1＋y2＝2，∴y1＋y2＋3＝5.5．解:(1)设直线AB的表达式为y＝kx＋b，代入A(4，4)，B(6，2)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝4，,6k＋b＝2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝8，))∴直线AB的表达式为y＝－x＋8.同理代入B(6，2)，C(8，1)可得直线BC的表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋5.∵工资及其他费用为0.4×5＋1＝3(万元)，∴当4≤x≤6时，w1＝(x－4)(－x＋8)－3＝－x2＋12x－35，当6<x≤8时，w2＝(x－4)(－eq\f(1,2)x＋5)－3＝－eq\f(1,2)x2＋7x－23.(2)当4≤x≤6时，w1＝－x2＋12x－35＝－(x－6)2＋1，∴当x＝6时，w1取最大值是1.当6<x≤8时，w2＝－eq\f(1,2)x2＋7x－23＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋eq\f(3,2)，当x＝7时，w2取最大值是eq\f(3,2).∴eq\f(10,\f(3,2))＝eq\f(20,3)＝6eq\f(2,3)，即最快在第7个月可还清10万元的无息贷款．6．解:(1)①∵m＝4，∴反比例函数为y＝eq\f(4,x).当x＝4时，y＝1，∴B(4，1)．当y＝2时，2＝eq\f(4,x)，∴x＝2，∴A(2，2)．设直线AB的表达式为y＝kx＋b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2k＋b＝2，,4k＋b＝1，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(1,2)，,b＝3，))∴直线AB的表达式为y＝－eq\f(1,2)x＋3.②四边形ABCD是菱形．理由如下:如图，由①知，B(4，1)．∵BD∥y轴，∴D(4，5)．∵点P是线段BD的中点，∴P(4，3)．当y＝3时，由y＝eq\f(4,x)得x＝eq\f(4,3)，由y＝eq\f(20,x)得x＝eq\f(20,3)，∴PA＝4－eq\f(4,3)＝eq\f(8,3)，PC＝eq\f(20,3)－4＝eq\f(8,3)，∴PA＝PC.∵PB＝PD，∴四边形ABCD为平行四边形．∵BD⊥AC，∴四边形ABCD是菱形．(2)四边形ABCD能是正方形．理由如下:当四边形ABCD是正方形时，PA＝PB＝PC＝PD＝t(t≠0)．当x＝4时，y＝eq\f(m,x)＝eq\f(m,4)，∴B(4，eq\f(m,4))，∴A(4－t，eq\f(m,4)＋t)，∴(4－t)(eq\f(m,4)＋t)＝m，∴t＝4－eq\f(m,4)，∴点D的纵坐标为eq\f(m,4)＋2t＝eq\f(m,4)＋2(4－eq\f(m,4))＝8－eq\f(m,4)，∴D(4，8－eq\f(m,4))，∴4(8－eq\f(m,4))＝n，∴m＋n＝32.微专题五以特殊三角形为背景的计算与证明姓名:________班级:________用时:______分钟1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连结AD，CD.(1)求证:△ADE≌△CDB;(2)若BC＝eq\r(3)，在AC边上找一点H，使得BH＋EH最小，并求出这个最小值．2．如图，在等边△ABC中，点D，E，F分别同时从点A，B，C出发，以相同的速度在AB，BC，CA上运动，连结DE，EF，DF.(1)证明:△DEF是等边三角形;(2)在运动过程中，当△CEF是直角三角形时，试求eq\f(S△DEF,S△ABC)的值．

3．从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证:CD为△ABC的完美分割线;(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数;(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝eq\r(2)，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．

4．如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．(1)求证:BD＝CE;(2)若AB＝2，AD＝1，把△ADE绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，求PB的长．

5．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB＝6，AC＝8.点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中:(1)求证:△APR，△BPQ，△CQR的面积相等;(2)求△PQR面积的最小值;(3)用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间，是否存在t，使∠PQR＝90°？若存在，请直接写出t的值;若不存在，请说明理由．

6．问题:(1)如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点(不与点B，C重合)，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连结EC，则线段BC，DC，EC之间满足的等量关系式为________;探索:(2)如图2，在Rt△ABC与Rt△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，将△ADE绕点A旋转，使点D落在BC边上，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论;应用:(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°.若BD＝9，CD＝3，求AD的长．

参考答案1．(1)证明:在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，∴BC＝EA，∠ABC＝60°.∵△DEB为等边三角形，∴DB＝DE，∠DEB＝∠DBE＝60°，∴∠DEA＝120°，∠DBC＝120°，∴∠DEA＝∠DBC，∴△ADE≌△CDB.(2)解:如图，作点E关于直线AC对称点E′，连结BE′交AC于点H，连结EH，AE′，则点H即为符合条件的点．由作图可知，EH＝HE′，AE′＝AE，∠E′AC＝∠BAC＝30°，∴∠EAE′＝60°，∴△EAE′为等边三角形，∴EE′＝EA＝eq\f(1,2)AB，∴∠AE′B＝90°.在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3)，AE′＝AE＝eq\r(3)，∴BE′＝eq\r(AB2－AE′2)＝eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝3，∴BH＋EH的最小值为3.2．(1)证明:∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝CA.∵AD＝BE＝CF，∴BD＝CE＝AF.在△ADF，△BED和△CFE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝BE＝CF，,∠A＝∠B＝∠C，,AF＝BD＝CE，))∴△ADF≌△BED≌△CFE，∴FD＝DE＝EF，∴△DEF是等边三角形．(2)解:∵△ABC和△DEF是等边三角形，∴△DEF∽△ABC.当DE⊥BC时(EF⊥BC时，同理)，∠BDE＝30°，∴BE＝eq\f(1,2)BD，即BE＝eq\f(1,3)BC，CE＝eq\f(2,3)BC.∵EF＝EC·sin60°＝eq\f(2,3)BC·eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)BC，∴eq\f(S△DEF,S△ABC)＝(eq\f(EF,BC))2＝(eq\f(\r(3),3))2＝eq\f(1,3).3．(1)证明:∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．(2)解:①当AD＝CD时，如图，则∠ACD＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°.②当AD＝AC时，如图，则∠ACD＝∠ADC＝eq\f(180°－48°,2)＝66°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°.③当AC＝CD时，如图，则∠ADC＝∠A＝48°.∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°.∵∠ADC＝∠BCD＝48°与∠ADC>∠BCD矛盾，∴AC＝CD不成立．综上所述，∠ACB＝96°或114°.(3)解:由已知得AD＝AC＝2.∵△BCD∽△BAC，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(CD,AC).设BD＝x(x>0)，则(eq\r(2))2＝x(x＋2)，解得x＝eq\r(3)－1(负值舍去)，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(\r(3)－1,\r(2))，∴CD＝eq\f(\r(3)－1,\r(2))×2＝eq\r(6)－eq\r(2).4．(1)证明:∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，AD＝AE，∠DAB＝∠EAC，∴△ADB≌△AEC，∴BD＝CE.(2)解:如图，①当点E在AB上时，BE＝AB－AE＝1.∵∠EAC＝90°，∴CE＝eq\r(AE2＋AC2)＝eq\r(5).同(1)可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC，∴eq\f(PB,AC)＝eq\f(BE,CE)，∴eq\f(PB,2)＝eq\f(1,\r(5))，∴PB＝eq\f(2\r(5),5).②如图，当点E在BA延长线上时，BE＝3.∵∠EAC＝90°，∴CE＝eq\r(AE2＋AC2)＝eq\r(5).同(1)可证△ADB≌△AEC，∴∠DBA＝∠ECA.∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，∴eq\f(PB,AC)＝eq\f(BE,CE)，∴eq\f(PB,2)＝eq\f(3,\r(5))，∴PB＝eq\f(6\r(5),5).综上所述，PB的长为eq\f(2\r(5),5)或eq\f(6\r(5),5).5．(1)证明:在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∴BC＝10，sin∠B＝eq\f(AC,BC)＝eq\f(8,10)＝eq\f(4,5)，sin∠C＝eq\f(3,5).如图，过点Q作QE⊥AB于点E，作QD⊥AC于点D.在Rt△BQE中，BQ＝5t，∴sin∠B＝eq\f(QE,BQ)＝eq\f(4,5)，∴QE＝4t.在Rt△CDQ中，CQ＝BC－BQ＝10－5t，∴QD＝CQ·sin∠C＝eq\f(3,5)(10－5t)＝3(2－t)，QE＝BQ·sin∠B＝5t·eq\f(4,5)＝4t.由运动知AP＝3t，CR＝4t，∴BP＝AB－AP＝6－3t＝3(2－t)，AR＝AC－CR＝8－4t＝4(2－t)，∴S△APR＝eq\f(1,2)AP·AR＝eq\f(1,2)×3t×4(2－t)＝6t(2－t)，S△BPQ＝eq\f(1,2)BP·QE＝eq\f(1,2)×3(2－t)×4t＝6t(2－t)，S△CQR＝eq\f(1,2)CR·QD＝eq\f(1,2)×4t×3(2－t)＝6t(2－t)，∴S△APR＝S△BPQ＝S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等．(2)解:由(1)知，S△APR＝S△BPQ＝S△CQR＝6t(2－t)．∵AB＝6，AC＝8，∴S△PQR＝S△ABC－(S△APR＋S△BPQ＋S△CQR)＝eq\f(1,2)×6×8－3×6t(2－t)＝24－18(2t－t2)＝18(t－1)2＋6.∵0≤t≤2，∴当t＝1时，S△PQR最小＝6.(3)解:存在．由(1)知QE＝4t，QD＝3(2－t)，AP＝3t，CR＝4t，AR＝4(2－t)，∴BP＝AB－AP＝6－3t＝3(2－t)，AR＝AC－CR＝8－4t＝4(2－t)．∵∠A＝90°，∴四边形AEQD是矩形，∴AE＝DQ＝3(2－t)，AD＝QE＝4t，∴DR＝|AD－AR|＝|4t－4(2－t)|＝|4(2t－2)|，PE＝|AP－AE|＝|3t－3(2－t)|＝|3(2t－2)|.∵∠DQE＝90°，∠PQR＝90°，∴∠DQR＝∠EQP，∴tan∠DQR＝tan∠EQP.在Rt△DQR中，tan∠DQR＝eq\f(DR,DQ)＝eq\f(4|2t－2|,3（2－t）)，在Rt△EQP中，tan∠EQP＝eq\f(PE,QE)＝eq\f(3|2t－2|,4t)，∴eq\f(4|2t－2|,3（2－t）)＝eq\f(3|2t－2|,4t)，∴t＝eq\f(18,25)或1.6．解:(1)BC＝DC＋EC(2)BD2＋CD2＝2AD2，理由如下:如图，连结CE.∵∠BAC＝∠BAD＋∠DAC＝90°，∠DAE＝∠CAE＋∠DAC＝90°，∴∠BAD＝∠CAE.在△BAD与△CAE中，∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE，∴BD＝CE，∠ACE＝∠B，∴∠DCE＝90°，∴CE2＋CD2＝ED2.在Rt△ADE中，AD2＋AE2＝ED2，AD＝AE，∴BD2＋CD2＝ED2，ED＝eq\r(2)AD，∴BD2＋CD2＝2AD2.(3)如图，作AE⊥AD，使AE＝AD，连结CE，DE.∵∠BAC＋∠CAD＝∠DAE＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAE.在△BAD与△CAE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠BAD＝∠CAE，,AD＝AE，))∴△BAD≌△CAE(SAS)，∴BD＝CE＝9.∵∠ADC＝45°，∠EDA＝45°，∴∠EDC＝90°，∴DE＝eq\r(CE2－CD2)＝6eq\r(2).∵∠DAE＝90°，∴AD＝AE＝eq\f(\r(2),2)DE＝6.微专题六以特殊四边形为背景的计算与证明姓名:________班级:________用时:______分钟1．如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，∠C＝2∠BAD.O是四边形ABCD内一点，且OA＝OB＝OD.求证:(1)∠BOD＝∠C;(2)四边形OBCD是菱形．

2．如图，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝CD，连结CF.(1)求证:△AEF≌△DEB;(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．

3．如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E，F分别在AB，BC上(AE＜BE)，且∠EOF＝90°，OE，DA的延长线交于点M，OF，AB的延长线交于点N，连结MN.(1)求证:OM＝ON;(2)若正方形ABCD的边长为4，E为OM的中点，求MN的长．

4．如图，点E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上一点，若AE＝DC＝2ED，且EF⊥EC.(1)求证:点F为AB的中点;(2)延长EF与CB的延长线相交于点H，连结AH，已知ED＝2，求AH的值．

5．问题情境:在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动．如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.操作发现:(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC′的形状是________;(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连结CC′，取CC′的中点F，连结AF并延长至点G，使FG＝AF，连结CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论;实践探究:(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作:将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H，如图4所示，连结CC′，试求tan∠C′CH的值．

参考答案1．证明:(1)如图，延长AO到E.∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO.又∠BOE＝∠ABO＋∠BAO，∴∠BOE＝2∠BAO.同理∠DOE＝2∠DAO，∴∠BOE＋∠DOE＝2∠BAO＋2∠DAO＝2(∠BAO＋∠DAO)，即∠BOD＝2∠BAD.又∠C＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠C.(2)如图，连结OC.∵OB＝OD，CB＝CD，OC＝OC，∴△OBC≌△ODC，∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO.∵∠BOD＝∠BOC＋∠DOC，∠BCD＝∠BCO＋∠DCO，∴∠BOC＝eq\f(1,2)∠BOD，∠BCO＝eq\f(1,2)∠BCD.又∠BOD＝∠BCD，∴∠BOC＝∠BCO，∴BO＝BC.又OB＝OD，BC＝CD，∴OB＝BC＝CD＝DO，∴四边形OBCD是菱形．2．证明:(1)∵E是AD的中点，∴AE＝DE.∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∠EAF＝∠EDB，∴△AEF≌△DEB(AAS)．(2)如图，连结DF.∵AF∥CD，AF＝CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵△AEF≌△DEB，∴BE＝FE.∵AE＝DE，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF＝AB.∵AB＝AC，∴DF＝AC，∴四边形ADCF是矩形．3．(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，∴OA＝OB，∠DAO＝45°，∠OBA＝45°，∴∠OAM＝∠OBN＝135°.∵∠EOF＝90°，∠AOB＝90°，∴∠AOM＝∠BON，∴△OAM≌△OBN(ASA)，∴OM＝ON.(2)解:如图，过点O作OH⊥AD于点H.∵正方形的边长为4，∴OH＝HA＝2.∵E为OM的中点，∴HM＝4，则OM＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)，∴MN＝eq\r(2)OM＝2eq\r(10).4．(1)证明:∵EF⊥EC，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°.∵四边形ABCD是矩形，∴∠AEF＋∠AFE＝90°，∠DEC＋∠DCE＝90°，∴∠AEF＝∠DCE，∠AFE＝∠DEC.∵AE＝DC，∴△AEF≌△DCE.∴ED＝AF.∵AE＝DC＝AB＝2DE，∴AB＝2AF，∴F是AB的中点．(2)解:由(1)得AF＝FB，且AE∥BH，∴∠FBH＝∠FAE＝90°，∠AEF＝∠FHB，∴△AEF≌△BHF，∴HB＝AE.∵ED＝2，且AE＝2ED，∴AE＝4，∴HB＝AB＝AE＝4，∴AH2＝AB2＋BH2＝16＋16＝32，∴AH＝4eq\r(2).5．解:(1)菱形(2)在图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，∴∠BAC＋∠ACB＝90°.在图3中，由旋转知，∠DAC′＝∠DAC，∴∠ACB＝∠DAC′，∴∠BAC＋∠DAC′＝90°.∵点D，A，B在同一条直线上，∴∠CAC′＝90°.由旋转知，AC＝AC′.∵点F是CC′的中点，∴AG⊥CC′，CF＝C′F.∵AF＝FG，∴四边形ACGC′是平行四边形．∵AG⊥CC′，∴四边形ACGC′是菱形．∵∠CAC′＝90°，∴菱形ACGC′是正方形．(3)在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝4，∴BC′＝AC＝4，BD＝BC＝2eq\r(3)，sin∠ACB＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠ACB＝30°.由(2)结合平移知，∠CHC′＝90°.在Rt△BCH中，∠ACB＝30°，∴BH＝BC·sin30°＝eq\r(3)，∴C′H＝BC′－BH＝4－eq\r(3).在Rt△ABH中，AH＝eq\f(1,2)AB＝1，∴CH＝AC－AH＝4－1＝3，在Rt△CHC′中，tan∠C′CH＝eq\f(C′H,CH)＝eq\f(4－\r(3),3).微专题七与圆有关的计算与证明姓名:________班级:________用时:______分钟1．若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，A．2cm B．3cm C．4cm2．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将△AOC绕点O顺时针旋转90°得到△BOD，则eq\o(AB,\s\up8(︵))的长为()A．π B.eq\f(3,2)π C．3π D．6π3.如图，已知⊙O的半径是2，点A，B，C在⊙O上，若四边形OABC为菱形，则图中阴影部分的面积为()A.eq\f(2,3)π－2eq\r(3) B.eq\f(2,3)π－eq\r(3)C.eq\f(4,3)π－2eq\r(3) D.eq\f(4,3)π－eq\r(3)4．一般地，如果在一次试验中，结果落在区域D中每一个点都是等可能的，并用A表示“试验结果落在区域D中的某个小区域M中”这个事件，那么事件A发生的概率为PA＝eq\f(M,D).如图，现在往等边三角形ABC内投入一个点，则该点落在△ABC的内切圆中的概率是______.5．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为________．6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了“割圆术”，认为圆内接正多边形边数无限增加时，周长就越接近圆周长，由此求得了圆周率π的近似值．设半径为r的圆内接正n边形的周长为L，圆的直径为d.如图所示，当n＝6时，π≈eq\f(l,d)＝eq\f(6r,2r)＝3，那么当n＝12时，π≈eq\f(l,d)＝____________．(结果精确到0.01，参考数据:sin15°＝cos75°≈0.259)7．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A，B两点，M，N是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB＝45°，则四边形MANB面积的最大值是______.8．如图1是小明制作的一副弓箭，点A，D分别是弓臂BAC与弓弦BC的中点，弓弦BC＝60cm.沿AD方向拉动弓弦的过程中，假设弓臂BAC始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图2，当弓箭从自然状态的点D拉到点D1时，有AD1＝30cm，∠B1D1C(1)图2中，弓臂两端B1，C1的距离为________cm.(2)如图3，将弓箭继续拉到点D2，使弓臂B2AC2为半圆，则D1D2的长为______________cm9．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC分别交AC、AB的延长线于点E，F.(1)求证:EF是⊙O的切线;(2)若AC＝4，CE＝2，求eq\o(BD,\s\up8(︵))的长度．(结果保留π)10.如图，已知AB是圆O的直径．弦CD⊥AB，垂足为H.与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连结AF交CD于点N.(1)求证:CA＝CN;(2)连结DF，若cos∠DFA＝eq\f(4,5)，AN＝2eq\r(10)，求圆O的直径的长度．11.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)与x轴，y轴分别交于A，B两点，P是直线AB上一动点，⊙P的半径为1.(1)判断原点O与⊙P的位置关系，并说明理由;(2)当⊙P过点B时，求⊙P被y轴所截得的劣弧的长;(3)当⊙P与x轴相切时，求出切点的坐标．

参考答案1．D2.B3.C4.eq\f(\r(3),9)π5.πa6.3.117.4eq\r(2)8．(1)30eq\r(3)(2)10eq\r(5)－109．解:(1)证明:如图，连结OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵AD平分∠EAF，∴∠DAE＝∠DAO，∴∠DAE＝∠ADO，∴OD∥AE.∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线．(2)如图，作OG⊥AE于点G，连结BD，则AG＝CG＝eq\f(1,2)AC＝2，∠OGE＝∠E＝∠ODE＝90°，∴四边形ODEG是矩形，∴OA＝OB＝OD＝CG＋CE＝2＋2＝4，∠DOG＝90°.∵∠DAE＝∠BAD，∠AED＝∠ADB＝90°，∴△ADE∽△ABD，∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(AD,AB)，即eq\f(6,AD)＝eq\f(AD,8)，∴AD2＝48.在Rt△ABD中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝4.在Rt△ABD中，∵AB＝2BD，∴∠BAD＝30°，∴∠BOD＝60°，则eq\o(BD,\s\up8(︵))的长度为eq\f(60·π·4,180)＝eq\f(4π,3).10．(1)证明:如图，连结OF.∵ME与圆O相切于点F，∴OF⊥ME，即∠OFN＋∠MFN＝90°.∵∠OFN＝∠OAN，∠OAN＋∠ANH＝90°，∴∠MFN＝∠ANH.(等量代换)又∵ME∥AC，∴∠MFN＝∠NAC，∴∠ANH＝∠NAC.∴CA＝CN.(2)解:如图，连结OC，∵cos∠DFA＝eq\f(4,5)，∴cosC＝eq\f(4,5).在直角△AHC中，设AC＝5a，HC＝4a，则AH＝3a.由(1)知，CA＝CN，∴NH＝a.在直角△ANH中，利用勾股定理得AH2＋NH2＝AN2，即(3a)2＋a2＝(2eq\r(10))2，解得a＝2.如图，连结OC，在直角△OHC中，利用勾股定理得OH2＋HC2＝OC2.设圆O的半径为R，则(R－6)2＋82＝R2，解得2R＝eq\f(50,3)，∴圆O的直径长度为2R＝eq\f(50,3).11．解:(1)原点O在⊙P外．理由:∵直线y＝eq\r(3)x－2eq\r(3)与x轴，y轴分别交于A，B两点，∴点A(2，0)，点B(0，－2eq\r(3))．在Rt△OAB中，tan∠OBA＝eq\f(OA,OB)＝eq\f(\r(3),3)，∴∠OBA＝30°.如图，过点O作OH⊥AB于点H.在Rt△OBH中，OH＝OB·sin∠OBA＝eq\r(3).∵eq\r(3)>1，∴原点O在⊙P外．(2)如图，当⊙P过点B时，点P在y轴右侧时，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠OBA＝30°，∴⊙P被y轴所截得的劣弧所对的圆心角为180°－30°－30°＝120°，∴弧长为eq\f(120π×1,180)＝eq\f(2π,3).同理，当⊙P过点B时，点P在y轴左侧时，弧长同样为eq\f(2π,3).∴当⊙P过点B时，⊙P被y轴所截得的劣弧长为eq\f(2π,3).(3)如图，当⊙P与x轴相切时，且位于x轴下方时，设切点为D，连结DP，则PD⊥x轴，∴PD∥y轴，∴∠APD＝∠ABO＝30°，∴在Rt△DAP中，AD＝DP·tan∠DPA＝1×tan30°＝eq\f(\r(3),3)，∴OD＝OA－AD＝2－eq\f(\r(3),3)，∴此时点D的坐标为(2－eq\f(\r(3),3)，0)．当⊙P与x轴相切时，且位于x轴上方时，根据对称性可以求得此时切点的坐标为(2＋eq\f(\r(3),3)，0)．综上所述，当⊙P与x轴相切时，切点的坐标为(2－eq\f(\r(3),3)，0)或(2＋eq\f(\r(3),3)，0)．微专题八巧用图形变换进行计算与证明姓名:________班级:________用时:______分钟1．已知如图1所示的四张牌，若将其中一张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是()2．如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的高，点E，F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是()A.eq\r(3) B．2eq\r(3) C．3eq\r(3) D．4eq\r(3)3．如图，已知⊙O的半径为3，∠AOB＋∠COD＝150°，则阴影部分的面积为_________.4．如图是一个台阶的纵切面图，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝5m，现需在台阶从点A到点C处铺上红地毯，则该地毯的长度为______m.5．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB＝6cm，则AC＝______cm.6．如图①，四边形CFDE是正方形，且点E，D，F分别在三角形ABC的三边上，观察图①和图②，请回答下列问题:(1)请简述由图①变成图②的形成过程:______________________________________________________.(2)若AD＝3，DB＝4，则△ADE和△BDF的面积之和为______.7．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是______形，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB的任意点，则PE＋PF的最小值是_________．8．如图，把正方形铁片OABC置于平面直角坐标系中，顶点A的坐标为(3，0)，点P(1，2)在正方形铁片上，将正方形铁片绕其右下角的顶点按顺时针方向依次旋转90°，第一次旋转至图①位置，第二次旋转至图②位置…，则正方形铁片连续旋转2019次后，点P的坐标为______________________.9．如图，在正方形ABCD中，点M，N分别是AD，CD边上的动点(含端点)，且∠MBN＝45°.求证:AM＋CN＝MN.10．问题背景:如图1，点A，B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．(1)实践运用:如图2，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD＝30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP＋AP的最小值为________．(2)知识拓展:如图3，在Rt△ABC中，AB＝10，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E，F分别是线段AD和AB上的动点，求BE＋EF的最小值，并写出解答过程．11．已知:△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°.连结AD，BC，点H为BC中点，连结OH.(1)如图1所示，求证:OH＝eq\f(1,2)AD且OH⊥AD;(2)将△COD绕点O旋转到图2，图3所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论．

参考答案1．A2.B3.eq\f(15π,4)4.85.66．(1)图①中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得到图②(2)67．菱eq\f(\r(15),4)8.(6058，1)9．证明:∵∠C＝∠A＝90°，BC＝BA，∴将△BCN绕点B逆时针旋转90°得到△BAN′，如图所示．∵∠MBN＝45°，∴∠MBN′＝45°.在△MBN和△MBN′中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BN＝BN′，,∠MBN＝∠MBN′，,BM＝BM.))∴△MBN≌△MBN′(SAS)，∴MN＝MN′，即AM＋AN′＝MN，∴AM＋CN＝MN.10．解:(1)2eq\r(2)(2)如图，在斜边AC上截取AB′＝AB，连结BB′.∵AD平分∠BAC，∴∠B′AM＝∠BAM，在△B′AM和△BAM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB′＝AB，,∠B′AM＝∠MAB，,AM＝AM，))∴△B′AM≌△BAM(SAS)，∴BM＝B′M，∠BMA＝∠B′MA＝90°，∴点B与点B′关于直线AD对称．如图，过点B′作B′F⊥AB，垂足为F，交AD于E，连结B′E，则线段B′F的长即为所求．(点到直线的距离最短)在Rt△AFB′中，∵∠BAC＝45°，AB′＝AB＝10，∴B′F＝AB′·sin45°＝AB·sin45°＝10×eq\f(\r(2),2)＝5eq\r(2)，∴BE＋EF的最小值为5eq\r(2).11．(1)证明:∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB.在△AOD与△BOC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(OA＝OB，,∠AOD＝∠BOC，,OD＝OC，))∴△AOD≌△BOC(SAS)，∴BC＝AD，∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，∵点H为线段BC的中点，∴OH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AD，可得OH＝HB，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，又∵∠OAD＋∠ADO＝90°，∴∠ADO＋∠BOH＝90°，∴OH⊥AD.(2)解:①结论:OH＝eq\f(1,2)AD，OH⊥AD，如图，延长OH到E，使得HE＝OH，连结BE，易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，∴OH＝eq\f(1,2)OE＝eq\f(1,2)AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO，∴∠DAO＋∠AOH＝∠EOB＋∠AOH＝90°，∴OH⊥AD.②结论不变，如图．延长OH到E，使得HE＝OH，连结BE，延长EO交AD于G.易证△BEO≌△ODA，∴OE＝AD，∴OH＝eq\f(1,2)OE＝eq\f(1,2)AD.由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO.∴∠DAO＋∠AOG＝∠EOB＋∠AOG＝90°，∴∠AGO＝90°，∴OH⊥AD.微专题九相似三角形综合运用姓名:________班级:________用时:______分钟1．如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，则△BEF与△DCB的面积比为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)2．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连结AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为()A．6 B．8 C．10 D．123．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连结AC，BD，以BD为直径的圆交AC于点E.若DE＝3，则AD的长为()A．5 B．4 C．3eq\r(5) D．2eq\r(5)4．如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE＝90°，连结AF，CF，CF与AB交于G.有以下结论:①AE＝BC;②AF＝CF;③BF2＝FG·FC;④EG·AE＝BG·AB;其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．45．如图，在矩形ABCD中，点E为AD中点，BD和CE相交于点F，如果DF＝2，那么线段BF的长度为______．6．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E.若AB＝15，BM＝8，则DE的长为__________．7．如图，在△ABC中，BC＝6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB，AC边上，则对角线EG长的最小值为_________．8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，点E在AB上，∠DEC＝90°.(1)求证:△ADE∽△BEC.(2)若AD＝1，BC＝3，AE＝2，求AB的长．9．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AC2＝AB·AD，∠ADC＝90°，点E为AB的中点．(1)求证:△ADC∽△ACB;(2)CE与AD有怎样的位置关系？试说明理由;(3)若AD＝4，AB＝6，求eq\f(AC,AF)的值．10．已知:如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E，F.(1)求证:EF＝AE－BE;(2)连结BF，如果eq\f(AF,BF)＝eq\f(DF,AD).求证:EF＝EP.11．(1)某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:如图1，在△ABC中，点O在线段BC上，∠BA