精修版高中数学人教A版选修41学案第2讲5与圆有关的比例线段Word版含解析

五与圆有关的比例线段1．会论证相交弦、割线、切割线、切线长定理．(重点)2．能运用相交弦、割线、切割线、切线长定理进行计算与证明．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1相交弦定理阅读教材P34～P35“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．图形语言如图2­5­1，弦AB与CD相交于P点，则PA·PB＝PC·PD.图2­5­1AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，AM＝4，BM＝9，则弦CD的长为__________．【解析】根据相交弦定理，AM·BM＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(CD,2)))2，所以eq\f(CD,2)＝6，CD＝12.【答案】12教材整理2割线定理阅读教材P35～P36“割线定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．2．图形语言如图2­5­2，⊙O的割线PAB与PCD，则有PA·PB＝PC·PD.图2­5­2如图2­5­3，⊙O的弦ED，CB的延长线交于点A.若BD⊥AE，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝__________.图2­5­3【解析】由割线定理知，AB·AC＝AD·AE，即4×6＝3×(3＋DE)，解得DE＝5.【答案】5教材整理3切割线定理阅读教材P36“切割线定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．2．图形语言如图2­5­4，⊙O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2＝PB·PC.图2­5­4如图2­5­5，P是⊙O外一点，PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于()图2­5­5A．4 B．6C．9 D．36【解析】由切割线定理知，PA2＝PB·PC＝4×9＝36，∴PA＝6.【答案】B教材整理4切线长定理阅读教材P36～P40，完成下列问题1．文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．2．图形表示如图2­5­6，⊙O的切线PA，PB，则PA＝PB，∠OPA＝∠OP B.图2­5­6[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]切割线定理如图2­5­7所示，已知AD为⊙O的直径，AB为⊙O的切线，割线BMN交AD的延长线于C，且BM＝MN＝NC，若AB＝2.求：图2­5­7(1)BC的长；(2)⊙O的半径r.【精彩点拨】eq\x(\a\al(由AB2＝BM·BN，,求得BC))→eq\x(\a\al(由CD·AC＝CN·CM，,求得CD))→eq\x(结果)【自主解答】(1)不妨设BM＝MN＝NC＝x.根据切割线定理，得AB2＝BM·BN，即22＝x(x＋x)，解得x＝eq\r(2)，∴BC＝3x＝3eq\r(2).(2)在Rt△ABC中，AC＝eq\r(BC2－AB2)＝eq\r(14)，由割线定理，得CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，CN＝eq\r(2)，BC＝3eq\r(2)，CM＝BC－BM＝3eq\r(2)－eq\r(2)＝2eq\r(2)，AC＝eq\r(14)，∴CD＝eq\f(CN·CM,AC)＝eq\f(2\r(14),7)，∴r＝eq\f(1,2)(AC－CD)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(14)－\f(2\r(14),7)))＝eq\f(5\r(14),14).1．解答本题的关键是先根据切割线定理求BC.2．切割线定理常常与弦切角定理、相交弦定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形结合在一起解决数学问题，有时切割线定理利用方程进行计算、求值等．[再练一题]1．(2016·唐山期末)如图2­5­8，△ABC内接于⊙O上，AB＝AC，AD⊥AB，AD交BC于点E，点F在DA的延长线上，AF＝AE，求证：(1)BF是⊙O的切线；(2)BE2＝AE·DF.图2­5­8【证明】(1)连接BD.因为AD⊥AB，所以BD是⊙O的直径．因为AE＝AF，所以∠FBA＝∠EBA.又因为AB＝AC，所以∠EBA＝∠C.又因为∠C＝∠D，∠D＋∠ABD＝90°，所以∠FBA＋∠ABD＝90°，即∠FBD＝90°，所以BF是⊙O的切线．(2)由切割线定理，得BF2＝AF·DF.因为AF＝AE，BE＝BF，所以BE2＝AE·DF.切线长定理如图2­5­9，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F，AF与BE交于点P.图2­5­9求证：∠EPC＝∠EBF.【精彩点拨】eq\x(由切线)→eq\x(\a\al(EA＝EC，,FC＝FB))→eq\x(\f(EC,FC)＝\f(EP,PB))→eq\x(CP∥FB)→eq\x(结论)【自主解答】∵EA，EF，FB是⊙O的切线，∴EA＝EC，FC＝FB.∵EA，FB切⊙O于A，B，AB是直径，∴EA⊥AB，FB⊥AB，∴EA∥FB，∴eq\f(EA,BF)＝eq\f(EP,BP)，∴eq\f(EC,FC)＝eq\f(EP,PB)，∴CP∥FB，∴∠EPC＝∠EBF.1．解答本题的关键是利用对应线段成比例得到CP∥F B.2．运用切线长定理时，注意分析其中的等量关系，即(1)切线长相等，(2)圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合三角形等图形的有关性质进行计算与证明．[再练一题]2.如图2­5­10所示，已知⊙O的外切等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝DC，梯形中位线为EF.图2­5­10(1)求证：EF＝AB；(2)若EF＝5，AD∶BC＝1∶4，求此梯形ABCD的面积．【解】(1)证明：∵⊙O为等腰梯形ABCD的内切圆，∴AD＋BC＝AB＋CD.∵EF为梯形的中位线，∴AD＋BC＝2EF.又∵AB＝DC，∴2EF＝2AB，∴EF＝AB.(2)∵EF＝5，∴AB＝5，AD＋BC＝10.∵AD∶BC＝1∶4，∴AD＝2，BC＝8.作AH⊥BC于H，则BH＝eq\f(1,2)(BC－AD)＝eq\f(1,2)(8－2)＝3.在Rt△ABH中，AH＝eq\r(AB2－BH2)＝eq\r(52－32)＝4，∴S梯形ABCD＝EF·AH＝5×4＝20.[探究共研型]相交弦定理探究1能否用三角形相似证明相交弦定理？【提示】能．如图，⊙O的弦AB，CD相交于P点，连接AD，BC，则△APD∽△CPB.故有eq\f(PA,PC)＝eq\f(PD,PB)，即PA·PB＝PC·PD.探究2垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间有何关系？【提示】如图，PA，PB为⊙O的两条切线，A，B为切点，PCD为过圆心O的割线，连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1)PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；(2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3)若AC平分∠BAP，则C为△PAB的内心；(4)OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2；(5)＝，＝，PD⊥AB；(6)∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD.(2016·南京、盐城模拟)如图2­5­11，AB，CD是半径为1的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，若PC＝eq\f(9,8)，OP＝eq\f(1,2)，则PD＝________.图2­5­11【精彩点拨】由垂径定理知OP⊥AB，由勾股定理知PB＝eq\f(\r(3),2)，由相交弦定理得PD＝eq\f(2,3).【自主解答】∵P为AB中点，∴OP⊥AB，∴PB＝eq\r(r2－OP2)＝eq\f(\r(3),2)，又∵PC·PD＝PA·PB＝PB2＝eq\f(3,4)，由PC＝eq\f(9,8)，得PD＝eq\f(2,3).【答案】eq\f(2,3)1．解答本题的关键是先用勾股定理求PB，再用相交弦定理求PD.2．相交弦定理的运用往往与相似形联系密切，也经常与垂径定理、射影定理等相结合进行某些计算与证明．[再练一题]3．如图2­5­12，PC切⊙O于点C，割线PAB经过圆心O，弦CD⊥AB于点E，PC＝4，PB＝8，则CD＝________.图2­5­12【解析】由于PC切⊙O于点C，由切割线定理得PC2＝PA·PB，所以PA＝eq\f(PC2,PB)＝eq\f(42,8)＝2，∴AB＝PB－PA＝8－2＝6，由于CD⊥AB，且AB为圆O的直径，由垂径定理知CE＝DE.设AE＝x，由相交弦定理得CE·DE＝AE·BE＝x(6－x)，即CE2＝x(6－x)，由勾股定理得CE2＝PC2－PE2＝42－(x＋2)2，故有x(6－x)＝42－(x＋2)2，解得x＝eq\f(6,5)，∴CE2＝eq\f(6,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6－\f(6,5)))＝eq\f(144,25)，∴CE＝eq\f(12,5)，∴CD＝2CE＝eq\f(24,5).【答案】eq\f(24,5)[构建·体系]1．点C在⊙O的弦AB上，P为⊙O上一点，且OC⊥CP，则()A．OC2＝CA·CB B．OC2＝PA·PBC．PC2＝PA·PB D．PC2＝CA·CB【解析】根据OC⊥CP，可知C为弦PC的中点，再由相交弦定理即有PC2＝CA·CB.【答案】D2．如图2­5­13，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()A．CE·CB＝AD·DBB．CE·CB＝AD·ABC．AD·AB＝CD2D．CE·EB＝CD2图2­5­13【解析】在直角三角形ABC中，根据直角三角形射影定理可得CD2＝AD·DB，再根据切割线定理可得CD2＝CE·CB，所以CE·CB＝AD·DB.【答案】A3.如图2­5­14，AB是圆O的直径，过A，B的两条弦AD和BE相交于点C，若圆O的半径是3，那么AC·AD＋BC·BE的值等于________．图2­5­14【解析】由相交弦定理得AC·CD＝BC·CE，∴AC·AD＝AC·(AC＋CD)＝AC2＋AC·CD＝AC2＋BC·CE＝AE2＋CE2＋BC·CE＝AE2＋CE·(CE＋BC)＝AE2＋BE·CE，∴AC·AD＋BC·BE＝AE2＋BE·CE＋BC·BE＝AE2＋BE·(CE＋BC)＝AE2＋BE2＝AB2＝36.【答案】364．如图2­5­15，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为________．图2­5­15【解析】在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°.∵AB＝20，∴AC＝10，BC＝10eq\r(3).∵CD为切线，∴∠BCD＝∠A＝60°.∵∠BDC＝90°，∴BD＝15，CD＝5eq\r(3).由切割线定理得CD2＝DE·BD，即(5eq\r(3))2＝15DE，∴DE＝5.【答案】57．如图2­5­16所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上的点，且AD＝AC，AD，BC相交于点E.图2­5­16(1)求证：AP∥CD；(2)设F为CE上的一点，且∠EDF＝∠P，求证：CE·EB＝FE·EP.【证明】(1)∵AD＝AC，∴∠ACD＝∠ADC.又∵PA与⊙O相切于点A，∴∠ACD＝∠PAD.∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD.(2)∵∠EDF＝∠P，且∠FED＝∠AEP，∴△FED∽△AEP，∴FE·EP＝AE·ED.又∵A，B，D，C四点均在⊙O上，∴CE·EB＝AE·ED，∴CE·EB＝FE·EP.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2­5­17，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE＝()图2­5­17A．1 B．2C．3 D．4【解析】由相交弦定理得AE·EB＝DE·EC，即2EB＝4×1，∴BE＝2.【答案】B2．PT切⊙O于T，割线PAB经过点O交⊙O于A，B，若PT＝4，PA＝2，则cos∠BPT＝()A.eq\f(4,5) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,8) D.eq\f(3,4)【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2＝PA·PB，即42＝2×PB，∴PB＝8，∴AB＝PB－PA＝6，∴OT＝r＝3，PO＝PA＋r＝5，∴cos∠BPT＝eq\f(PT,PO)＝eq\f(4,5).【答案】A3．如图2­5­18，⊙O的直径CD与弦AB交于P点，若AP＝4，BP＝6，CP＝3，则⊙O的半径为()图2­5­18A．5.5 B．5C．6 D．6.5【解析】由相交弦定理知AP·BP＝CP·PD，∵AP＝4，BP＝6，CP＝3，∴PD＝eq\f(AP·BP,CP)＝eq\f(4×6,3)＝8，∴CD＝3＋8＝11，∴⊙O的半径为5.5.【答案】A4．如图2­5­19，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3.以BC上一点O为圆心作⊙O与AC，AB都相切，又⊙O与BC的另一个交点为D，则线段BD的长为()图2­5­19A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)【解析】观察图形，AC与⊙O切于点C，AB与⊙O切于点E，则AB＝eq\r(AC2＋BC2)＝5.如图，连接OE，由切线长定理得AE＝AC＝4，故BE＝AB－AE＝5－4＝1.根据切割线定理得BD·BC＝BE2，即3BD＝1，故BD＝eq\f(1,3).【答案】C5.如图2­5­20，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：图2­5­20①AD＋AE＝AB＋BC＋AC；②AF·AG＝AD·AE；③△AFB∽△ADG.其中正确结论的序号是()A．①② B．②③C．①③ D．①②③【解析】①项，∵BD＝BF，CE＝CF，∴AD＋AE＝AC＋CE＋AB＋BD＝AC＋AB＋CF＋BF＝AC＋AB＋BC，故①正确；②项，∵AD＝AE，AD2＝AF·AG，∴AF·AG＝AD·AE，故②正确；③项，延长AD于M，连接FD，∵AD与圆O切于点D，则∠GDM＝∠GFD，∴∠ADG＝∠AFD≠∠AFB，则△AFB与△ADG不相似，故③错误，故选A.【答案】A二、填空题6．如图2­5­21，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线交于D，过点C作BD的平行线与圆交于点E，与AB交于点F，AF＝3，FB＝1，EF＝eq\f(3,2)，则CD＝________.图2­5­21【解析】因为AF·BF＝EF·CF，解得CF＝2，由CE∥BD，得eq\f(AF,AB)＝eq\f(CF,BD)，所以eq\f(3,4)＝eq\f(2,BD)，即BD＝eq\f(8,3).设CD＝x，AD＝4x，所以4x2＝eq\f(64,9)，所以x＝eq\f(4,3).【答案】eq\f(4,3)7．如图2­5­22，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA＝3，PD∶DB＝9∶16，则PD＝________，AB＝________.图2­5­22【解析】由于PD∶DB＝9∶16，设PD＝9a，则DB＝16a.根据切割线定理有PA2＝PD·P B.又PA＝3，PB＝25a，∴9＝9a·25a，∴a＝eq\f(1,5)，∴PD＝eq\f(9,5)，PB＝5.在Rt△PAB中，AB2＝PB2－AP2＝25－9＝16，故AB＝4.【答案】eq\f(9,5)48．如图2­5­23所示，过点P的直线与⊙O相交于A，B两点．若PA＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O的半径等于________．图2­5­23【解析】设⊙O的半径为r(r>0)，∵PA＝1，AB＝2，∴PB＝PA＋AB＝3.延长PO交⊙O于点C，则PC＝PO＋r＝3＋r.设PO交⊙O于点D，则PD＝3－r.由圆的割线定理知，PA·PB＝PD·PC，∴1×3＝(3－r)(3＋r)，∴9－r2＝3，∴r＝eq\r(6).【答案】eq\r(6)三、解答题9．(2016·山西四校联考)如图2­5­24所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA＝10，PB＝5，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E.图2­5­24(1)求证：eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)；(2)求AD·AE的值．【解】(1)证明：∵PA为圆O的切线，∴∠PAB＝∠ACP.又∠P为公共角，△PAB∽△PCA，∴eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC).(2)∵PA为圆O的切线，PC是过点O的割线，∴PA2＝PB·PC，∴PC＝20，BC＝15.又∵∠CAB＝90°，∴AC2＋AB2＝BC2＝225.又由(1)知eq\f(AB,AC)＝eq\f(PA,PC)＝eq\f(1,2)，∴AC＝6eq\r(5)，AB＝3eq\r(5)，连接EC，则∠CAE＝∠EAB，∠AEC＝∠ABD.∴△ACE∽△ADB，∴eq\f(AB,AE)＝eq\f(AD,AC).∴AD·AE＝AB·AC＝3eq\r(5)×6eq\r(5)＝90.10．如图2­5­25，已知PA，PB切⊙O于A，B两点，PO＝4cm，∠APB＝60°，求阴影部分的周长．图2­5­25【解】如图所示，连接OA，O B.∵PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∴PA＝PB，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∠APO＝eq\f(1,2)∠APB＝eq\f(π,6)，在Rt△PAO中，AP＝PO·coseq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)(cm)，OA＝eq\f(1,2)PO＝2(cm)，PB＝2eq\r(3)(cm)．∵∠APO＝eq\f(π,6)，∠PAO＝∠PBO＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(2π,3)，∴leq\x\to(AB)＝∠AOB·R＝eq\f(2π,3)×2＝eq\f(4,3)π(cm)，∴阴影部分的周长为PA＋PB＋leq\x\to(AB)＝2eq\r(3)＋2eq\r(3)＋eq\f(4,3)π＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(3)＋\f(4π,3)))(cm)．[能力提升]1．如图2­5­26，已知PT切⊙O于点T，TC是⊙O的直径，割线PBA交TC于点D，交⊙O于B，A(B在PD上)，DA＝3，DB＝4，DC＝2，则PB等于()图2­5­26A．20 B．10C．5 D．8eq\r(5)【解析】∵DA＝3，DB＝4，DC＝2，由相交弦定理得DB·DA＝DC·DT，即DT＝eq\f(DB·DA,DC)＝eq\f(4×3,2)＝6.因为TC为⊙O的直径，所以PT⊥DT.设PB＝x，则在Rt△PDT中，PT2＝PD2－DT2＝(4＋x)2－36.由切割线定理得PT2＝PB·PA＝x(x＋7)，所以(4＋x)2－36＝x(x＋7)，解得x＝20，即PB＝20.【答案】A2．如图2­5­27