第四章 数列（公式、定理、结论图表）-2023年高考数学知识手册（新教材）

第四章数列（公式、定理、结论图表）

［、思维导图

概念

表格

数列

图象

表示

通项公式

递推公式

特殊化

一次函数

等差数列概念

特殊数列类比表示通项公式

,应用

等比数列前”项和公式

指数函数

基本原理

数学归纳法

简单应用

I、知识梳理

数列的概念：

L定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2,3,…，n｝）的特殊函数,

数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2.数列是按一定顺序排列的一列数，记作4，4必…4,…,简记｛4｝•

3.数列｛4｝的第“项句与项数〃的关系若用一个公式4=/(〃)给出，则这个公式叫做这个数

列的通项公式。

4.数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

5、数列的递推公式：表示任一项。“与它的前一项",一(或前几项)间的关系的公式.

6、求数列中最大最小项的方法：最大最小考虑数列的单调性

ttn≥an-∖U≤an-∖

二、等差数列

1、定义：(1)文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常

数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差.

(2)符号表示:an-an_x=d(n>2)⅛,απ+,-an=d(n≥V)

2、通项公式：若等差数列｛《,｝的首项是6,公差是d,则%=α∣+(〃-l)d∙

通项公式的变形：①4=%+(〃一加)4；②d=%~.

n-m

通项公式特点：an=dn+(α∣—d)

a,l=kn+m,(N，〃为常数)是数列｛4｝成等差数列的充要条件。

3、等差中项

若三个数α,A,匕组成等差数列，则A称为α与匕的等差中项.若人=山，则称》为。与C

2

的等差中项.即a、b、C成等差数歹∣J<=>A=山

2

4、等差数列｛。“｝的基本性质(其中九〃,p,4eN*)

(1)若加+〃=〃+(7,贝U4“+4“=%,+(。

(2)an-am=(〃一m)d

(3)2an=an_,„+an+m

5、等差数列的前〃项和的公式

八八尸X〃(为+«,)/n(n-↑]

公式：①S〃=-----------；(2)Szj=nalH--------d.

2

公式特征：S,,=^n+（β1-∣）n,时是一个关于n且没有常数项的二次函数形式

等差数列的前〃项和的性质：

①若项数为2"（"∈N*）,则S?"="（α,,+α,,+∣），且S儡-S奇=〃d,—ɪɪ-.

fl

S偶,,÷∣

②若项数为2“-1（"∈N*）,则S2.T=（2〃-1）。“，且S奇-S偶=%,盘=」-

S偶n-∖

（其中S奇=",S偶=（〃一1）4）.

③S“，52Π-5Π,邑“一52”成等差数列.

6、判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：”,,+∣-%=4（常数）（〃wN*）=>｛α,,｝是等差数列

②中项法：2αn+l=an+an+2（〃eN*）n｛α.｝是等差数列

③通项公式法：all=kn+b（左力为常数）=｛%｝是等差数列

2

④前〃项和公式法：S1,=An+Bn（A,5为常数）=｛α,,｝是等差数列

三、等比数列

1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，

则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.

（2）符号表示：也=g（常数）

an

2、通项公式

⑴、若等比数列｛α,,｝的首项是4,公比是</,则4=4∕i.

（2）、通项公式的变形：①4=q"-"';②广”=M.

a„,

3、等比中项：在α与〃中插入一个数G,使α,G,力成等比数列，则G称为“与b的等比中

项.若G?=ab,则称G为。与。的等比中项.注意：α与b的等比中项可能是±G。

4、等比数列性质

若｛4,,｝是等比数列，S,m+n-p+q（in>〃、p、qeN*）,则为•4,=%,•%;

若｛4,,｝是等比数列，且2〃=p+q(〃、p、qeN"),则α==α°q∙

5、等比数列｛4｝的前〃项和的公式：

(q=1)

(1)公式：S,,=<q(l-q")a-anqt'

I"q"q')

(2)公式特点：£,=言(1一/)=-1—∕)=A-A∕

(3)等比数列的前〃项和的性质：①若项数为2”(n∈N*),则&=q.

S奇

②Si=Sl,+q"∙S,"∙③S”,S2n-Sn,3-S2“成等比数列(S产0).

6、等比数列判定方法：

①定义法：-=4(常数)n｛α,｝为等比数列；

a,,

2

②中项法：α,,+1=an-a,l+2(an≠0)=>｛%｝为等比数列；

③通项公式法：%=上/'(Nq为常数)=｛%｝为等比数列；

④前〃项和法：S“=%(1-q")(Lq为常数)=｛%｝为等比数列。

四、等差数列与等比数列性质的比较

等差数列等比数列

色=且为常数,〃

定义a-a=d(d为常数,n≥2)4q(q≠0,N2)

n+illa”

递推

an=an-∖+d4=α,,-U

公式

或

通项an=al+(n-l)J

acnm

Cin=%qM(%,q≠0)或=ml

公式

an=aιπ+(〃-m)d

a,h,c成等差数列的充要条件：

中项α,"c成等比数列的充要条件：h2=ac

2b-a+c

前

叫(q=l)

n

Sn=叫+―Lds"=<

项

和(dΛ2(d}

3I2J

①%=am^(n-ni)d

②等和性：若，%+〃=p+q(m.鹿、p、

①％=册广

4∈N"),

重

②等积性：若加+〃=p+q（加、n、p、<7∈N*）,

则勺+4=Qp+%

要

贝"・％=Q〃4

性

③若2〃=〃+q(〃、p、夕∈N),则

质③若2n=p+q（n>p、夕£N"）,则a；=QP・4

2an=ap+ag.

④5攵,52攵-5々，53左-52公―构成的数列是等比数列.

®ɑ,ɑ—c∙,ς∙—o构成等

oA-o2AQkQ3kQ2k

差数列.

年1°或雷/卜"｝递增数列;

设d为等差数列｛α,,｝的公差，则

单

d>oo｛a“｝是递增数列；

｛用<1，或｛Q°=｛αJ递减数列；

调

d<o=｛αj是递减数列：

性：q=lo｛αJ是常数数列；

d=ou>｛αj是常数数列.

q〈o。｛αj是摆动数列

证明一个数列为等差数列的方法：证明一个数列为等比数列的方法：

定义法∣（常数）

1.α.+=4L定义法%t=q（常数）

证

an

明2.中项法%+4+1=2αn(π>2)

2.中项法«„_1∙α,,+ι=«„2(〃N2)

方3.通项公式法：a〃=〃〃+q(p,4为常数)

法通项公式法：（为不为的常数）

23.a“=4q”A,q0

4.前n项和公式法：sn=An-^Bn（A,B为

fI

常数）4.前n项和公式法：Sn=Bq_B(q≠Qq≠lB≠0)

三数等比：-,a,aq^a,aq,aq2

设元三数等差：a-d,a,a+dt

q

技巧四数等差：ci—3d,ci—d,cι+d,cι+3d

四数等比：a,aq,aq,aq

〈解题方法与技巧＞

1.解决等差、等比数列有关问题的几点注意

(1)等差数列、等比数列公式和性质的灵活应用；

(2)对于计算解答题注意基本量及方程思想的运用；

(3)注重问题的转化，由非等差数列、非等比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便利用相关公式

和性质解题；

(4)当题目中出现多个数列时，既要纵向考察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考察各数列之间

的内在联系.

2.数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根

据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解•,一般常见的求和方法有：

(-)公式法

①等差数列的前〃项和公式：S(I="3*=,g+O¾

②等比数列的前〃项和公式：

na↑9q=∖,

Sn-↑CiLa〃q-1Q—

~~ι=9

1-9ι1-q

③数列前〃项和重要公式：

(1)力=1+2+3+∙+

k=∖2

(2)Z(2Z-1)=1+3+5++(2〃-1)=”?

Jl=I

「［-P

(3)⅛n)l3=l3+23+∙∙∙+n3=-n(n+l)

⅛=∣_2_

n1

2

(4)Z%2=12+22+3+…+〃2=—〃(〃+1)(2〃+1)

M6

(5)等差数列中，Sm+n=Sm+Sn+mnd-

(6)等比数列中，S=S+q"S=S+q'nS'

(一)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.

（三）裂项（相消）法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项

再求和.

常见的裂项技巧

①等差型

ɪ__1

(1)--

n(n÷1)n/2+1

1

(2)--■)

n(n+k)knn+k

⑶看K⅛⅛ΓΞ⅛)

1

(4)ɪ

++2)2n{n+1)(/?+1)(«+2)

1111

(5)z)

n(n2-1)n(n-1)(〃+1)2(n-V)nn(n÷1)

(6)1+

Ew(2∕ι+l)(2n-l)

Z7X3〃+1_4(〃+1)—5+3)“11、/11、

(n+1)(??+2)(∕?+3)(n+1)(∕?+2)(n+3)〃+2n+3H÷1〃+2

(8)n{n+1)=g[n(n+1)(〃+2)-(τι-l)n(n÷1)].

(9)n(n+1)(/?+2)=；[〃(〃+1)(/?+2)(〃+3)-(〃-l)n(∕?+1)(〃÷2)]

(10)------------!-------------=-----------!--------------------------------------

n(n+l)(n+2)(n+3)3n(n+V)(n+2)(n+l)(n+2)(n+3)

②根式型

(2)/-----=—(∖∣n+k-Jn)

∖∣n-∖-k+√πk

(3)/1,——J(√2k+>,2"l)

√2H-1+√2∕Z+12

11-/?(/?+!)+111

—+--------=-------——=11+-----------

n2("+I)27n(n+1)nn÷l

1_(n+l)ʌ/n-/7λ∕∏+l(M+l)ʌ/w-n∖Jn+1_11

(n+∖)∖[n+n∖∣n+1+-(MVHΠ)2n[n+1)4nJ.+1

③指数型

,,.2"(2n+'-l)-(2π-l)11

(,1)--------------------=------------------------=-------------------

(2M+,-l)(2w-1)(2Λ+,-1)(2Λ-1)2〃-12π+1-

3〃I1I

(2)-------J—=-(—----------；—)

(3π-l)(3π+1-l)23,,-l3n+1-l

〃+22(M+1)-M(2111一11

(J)--------------=---------------=I------------,

nn)2"~n-Y-'(Λ+1)∙2,

n(n÷1)∙2n(n÷1)∙2n÷ly

9____[/3"+∣ɜn-l、

(4)n"-"[,

∙3"=：

n{n÷2)2(〃+2)n?(〃+2n)

(2n+l)∙(-l)n(-1)"(-1严

∖j)------------------=-------------------

〃(〃+1)nn+∖

,,l

(6)an=τt∙3^,设=(即+与3"—[〃(〃—l)+b]∙3”-∣,易得a=g,b=_：,

于是q=：Qn-1)3"_；(2〃-3)∙3n^'

⑺(-↑)π(n234*+4n+2)2π(-l),,(n2+4n+2)(-ɪ)"[∕r+n+2(n+1)+/?]

∕ι∙2,'∙(n+l)2π+l—n-(n+∖)2"+'~^n•(«+l)2n+l

=邛+5=储）"+^(-i)"(-ιrt,

2"+∣、/n-2π+(n+l)∙2,,+ln-+l

∕1∙2(n+l)∙2"

④对数型

l,lo

ι°ga-=°g≡"'-gα¾

⅛

⑤箱型

(1)2〃+1」__ɪʒ

2

川(〃+1)2n("+I)?

(2)——=-------?——

+2)24|_H25+2)2.

(3)H+1_111

n2(77+1)2(n+2)24rr(π÷l)2(π+l)"(π÷2)2

⑥三角型

(1)--------------=--------------(tana-tanβ)

CoSaCoS夕sin(a-yβ)

(2)----------x----------=—^―[tan(H+l)o-tanM°l

cosnocos(∕2+l)°sinlo

(3)tanatanβ-——-------(tana-tan^)-1

.、「/八7tann-tan(n-1)

(4)a=tan∙tanz(n-lι)x;tanl=tan；?-(/?-])=------------------------

n1÷tan72∙tan(7?-1)

tann-tan(〃-1),tann-tan(z/-1)1

则tann∙tan(∕?-1)=1

tanlT”一嬴i---

⑦常见放缩公式:

17~~-ʒ-=—ɪ----，(〃N2)；

(1)—<

n~(∕ι-l)zι/2—1n

11_ɪ__1

(2)

n~H(7I+1)nn+∖

144J11

(3)22

〃24H4n-lI2n-12n+1

-U=02L<-----~-F==2(-，"1+(π≥2)；

(4)l

√π4n+√A/yJn-∖+4n''

122

(5)__—____________________=2^-∖∣Tι+J.+1)；

4nVH÷Gʌ/n÷Jn+1

心2√2

1_22=I+J2k+1)；

rɪɪ√2∕ι-l+√2w÷l

+

，—=——<——=—竺—=」_____L(">2)

(2M-1)2(2H-1)(2,,-1)(2W-1)(2Z,-2)(2,,-l)(2,,^'-l)2"“-12π-l

(9)ɪ=^_2____<-22

322∣

√M√n∙H÷√n∙W几,∖n-∖+(∕z-l)Vnn-I)H(∖[n+√∕2-l)

-2(√^T-√^)22(/?^)；

y∣(π-l)n∖∣n-∖>Jn

(10)-------<7-----；----\7-------C=----；---------------(/2≥2)

T-∖(2w^1-l)(2π-l)2rt^1-l2π-lv7

(11)2(+1—Jn)=丁2——<-ɪ<2“=2(∖∕w—>∣n-1)・

√∕?+1+∖∣nx∣n√π÷√n-1

(四)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.

(1)适用条件:若｛斯｝是公差为d(dW0)的等差数列,｛瓦｝是公比为夕(夕#1)的等比数列,求数列｛〃/〃｝的

前〃项和s〃；

(2)基本步骤

第一步一|展开SR.d+/.与+…+*•6“-1+4・匚⑹

第二步—[乘公比—gSll=α∣•%+出。%+…+。“-「4+αll∙∕>ll,∣可

ɪ

第三步→错位相减

①-②得(1-0)Sn=Q[∙bl+d(δ2+δ3+∙∙∙+

b)~a∙b.ι

nltɪ

_al∙b1+d(b2+b3+-+bn)-an∙bn,1

笫四步求和Sn=------------------；-------------------------

_________________IF

(3)注意事项：①在写出S,与gS,的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出

Sn-qSn;

②作差后，等式右边有第一项、中间”一1项的和式、最后一项三部分组成；

③运算时，经常把岳+历+…+儿这〃一1项和看成〃项和，把一。"5+1写成+α,力“+I导致错误.

(五)倒序相加法

如果一个数列｛斯｝,与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式

相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法，等差数列前〃项和公式的推导便使用了此

法.用倒序相加法解题的关键，就是要能够找出首项和末项之间的关系，因为有时这种关系比较隐蔽.

典例1：等比数列｛z｝中，已知αι=2,«4=16.

⑴求数列｛Z｝的通项公式;

(2)若。3,。5分别为等差数列｛d｝的第3项和第5项，试求数列｛瓦｝的通项公式及前〃项和

【解析】(1)设｛m｝的公比为q,

由已知得16=2q∖解得q=2,「.a〃=2X2"∣=2".

(2)由⑴得G=8,。5=32,

则加=8,岳=32.

'4+2d=8,

设｛儿｝的公差为4则有,

,⅛ι+4J=32,

⅛ι=-16,