矿大人工智能第五章不确定性推理

12024/3/9第五章不确定性推理第五章不确定性推理22024/3/9本章内容概述基于概率的推理主观Bayes方法确定性理论证据理论模糊逻辑和模糊推理第五章不确定性推理32024/3/9不确定性以牛顿理论为代表的确定性科学，创造了给世界以精确描绘的方法，将整个宇宙看作是钟表式的动力学系统，处于确定、和谐、有序的运动之中。客观世界上随机的，映射到人脑的客观世界，即主观世界也应该是随机的。因此，人类在认知过程中表现出的智能和知识，不可避免地伴随有随机性。随机性无处不在，随机性使得世界更为复杂，也更为丰富多彩。第五章不确定性推理5.1概述42024/3/9模糊性直到20世纪，人们才认识到，模糊性并不是坏事。它能够用较少的代价，传递足够的信息，并能对复杂事物做出高效率的判断和处理。模糊性的客观性哲学家罗素早在1923年一篇题为Vagueness的论文中明确指出：“认为模糊知识必定是靠不住的，这种看法是大错特错的”。随着科学技术的发展，科学家们已经认识到：硬要把模糊事物人为地精确化，不仅会以方法的复杂性为代价，而且会降低结果的意义性第五章不确定性推理5.1概述52024/3/9不确定性现实世界中的事物以及事物之间的关系是极其复杂的，由于客观上存在的随机性、模糊性以及某些事物或现象暴露的不充分性，导致人们对它们的认识往往是不精确、不完全的，具有一定程度的不确定性。这种认识上的不确定性反映到知识以及由观察所得到的证据上来，就分别形成了不确定性的知识及不确定性的证据。另外，正如费根鲍姆所说的那样，大量未解决的重要问题往往需要运用专家的经验。我们知道，经验性知识一般都带有某种程度的不确定性。第五章不确定性推理5.1概述62024/3/9不确定性自然语言中的不确定性语言带有不确定性是很自然的，是人类思维的本质特征之一。计算机自然语言理解、机器翻译等研究，从20世纪40年代兴起至今已经有60多年的历史，…人们寄希望于表示概念的语言值的不确定性研究取得突破第五章不确定性推理5.1概述72024/3/9不确定性推理的提出已知事实和知识是构成推理的两个基本要素。在确定性推理中，已知事实以及推理时所依据的知识都是确定的推出的结论或证明了的假设也都是精确的，其真值或者为真，或者为假在事物和知识存在不确定性情况下，若用经典逻辑做精确处理，将把这种不确定性化归为确定性的，在本来不存在明确类属界限人为地划定界限，这无疑会舍弃事物的某些重要属性，从而失去了真实性。由此开始了对不确定性的表示及处理的研究，有了不确定性推理的理论和方法,这将使计算机对人类思维的模拟更接近于人类的思维。第五章不确定性推理5.1概述82024/3/9不确定性推理不确定性推理是建立在非经典逻辑基础上的一种推理，它是对不确定性知识的运用与处理。严格地说，所谓不确定性推理就是从不确定性的初始证据出发，通过运用不确定性的知识，最终推出具有一定程度的不确定性但却是合理或者近乎合理的结论的思维过程。第五章不确定性推理5.1概述92024/3/9不确定性的类型不确定性一般包括：证据的不确定性：例如，当你观察某种动物的颜色时，你可能说是白色的，也可能是灰色的。知识不确定性：也称为知识的静态强度。例如，如果“启动器发出刺耳声”则“启动器坏”，这条规则有多大的可靠性呢？结论的不确定性：在不确定证据下，用不确定的规则推出的结论，具有不确定性。例如，“启动器好象发出刺耳声”那么我们在多大程度上认为“启动器坏”呢？第五章不确定性推理5.1概述102024/3/9知识不确定性的表示知识的表示与推理是密切相关的两个方面，不同的推理方法要求有相应的知识表示模式与之对应。知识的静态强度可以用该知识在应用中成功的概率，或者该知识的可信程度等来表示如果用知识在应用中成功的概率来表示，则其取值范围为[0，1]，该值越接近于1，说明该知识越“真”；其值越接近于0，说明该知识越“假”。如果用可信度来表示知识的静态强度，取值范围没有一个统一的区间。著名的MYCIN系统采用[-1，1]区间，也有的系统用[0，1]区间第五章不确定性推理5.1概述112024/3/9知识不确定性的表示第五章不确定性推理5.1概述MYCIN概述

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知识获取模块感染病专家与知识工程师知识库动态数据库(推理记录)患者数据库(原始数据库)MYCIN系统结构图

122024/3/9知识不确定性的表示MYCIN系统是第一个采用了不确定推理逻辑的专家系统，在20世纪70年代非常有名。这个系统提出该确定性方法时遵循了下面的原则：

（1）不采用严格的统计理论。使用的是一种接近统计理论的近似方法。

（2）用专家的经验估计代替统计数据

（3）尽量减少需要专家提供的经验数据，尽量使少量数据包含多种信息。

（4）新方法应适用于证据为增量式地增加的情况。

（5）专家数据的轻微扰动不影响最终的推理结论第五章不确定性推理5.1概述132024/3/9证据不确定性的表示证据有两种：一种是求解问题时所提供的初始证据另一种是在推理中得出的中间结果证据的不确定性表示应该与知识的不确定性表示保持一致，以便推理过程能对不确定性进行统一处理。第五章不确定性推理5.1概述142024/3/9不确定性推理的类型有多种不同的分类方法，如果按照是否采用数值来描述不确定性，可分为：数值方法：用数值对不确定性进行定量表示和处理的方法。非数值方法：除数值方法以外的其他各种对不确定性进行表示和处理的方法，如非单调推理等。数值方法又可按所依据的理论分为两类：基于概率论的有关理论：称为基于概率的模型，如确定性理论、主观Bayes方法、证据理论、等。基于模糊逻辑理论：称为模糊推理第五章不确定性推理5.1概述152024/3/9非单调逻辑推理所谓“单调”,是指一个逻辑系统中的定理随着推理的进行而总是递增的。那么,非单调就是逻辑系统中的定理随着推理的进行而并非总是递增的,就是说也可能有时要减少。传统的逻辑系统都是单调逻辑。但事实上,现实世界却是非单调的。例如,人们在对某事物的信息和知识不足的情况下,往往是先按假设或默认的情况进行处理,但后来发现得到了错误的或者矛盾的结果,则就又要撤消原来的假设以及由此得到的一切结论。这种例子不论在日常生活中还是在科学研究中都是屡见不鲜的。这就说明,人工智能系统中就必须引入非单调逻辑。第五章不确定性推理5.1概述162024/3/9基于概率的推理方法

第五章不确定性推理5.2基于概率的方法概率理论是处理随机性最好的数学工具17世纪人们对赌博中随机现象的研究20世纪概率论的公理化体系数理统计、随机过程的研究奠基人：JacobBernoulliP.S.Laplace,J.W.LindebergP.L.Chebyshev,A.A.MarkovA.N.KolmogorovK.Pearson:生物统计进行研究R.Fisher:模型的参数估计方法以及试验设计方法R.Brown:布朗运动，随机过程A.K.Erlang:Poisson

过程由概率论、数理统计和随机过程构成的概率理论，为研究随机性奠定了数学基础，也为研究不确定性提供了工具。172024/3/9基于概率的推理方法

随机事件A的概率P(A)表示A发生的可能性因而可用它来表示事件A的确定性程度。随机事件的关系及逻辑运算集合表示随机事件事件A不出现：事件A包含于时间B：事件A，B至少出现一个：事件A，B同时出现：第五章不确定性推理5.2基于概率的方法182024/3/9基于概率的推理方法确定事件A的概率P（A）通常有三种计算方法：古典概率：P（A）=k/m（其中，k为A中所包含的基本事件数，n为基本事件的总数）。频率法：P（A）=m/n（其中，n为重复实验次数，n为事件A出现的次数）。主观确定法：P（A）=专家主观赋值（通常用于不宜大量重复的随机现象）第五章不确定性推理5.2基于概率的方法192024/3/9基于概率的推理方法定义1：随机事件的独立性：设（

，F，P）是一概率空间，A，B是F中的任意两个随机事件，如果P（AB）=P（A）P（B），则称A、B是相互独立的。一个事件的发生对另一事件的发生没有任何影响，事件才具有独立性第五章不确定性推理5.2基于概率的方法202024/3/9基于概率的推理方法定义2：设（

，F，P）是一概率空间，A，B是F中的任意两个随机事件，假设P（B）>0,称为事件B出现条件下，事件A发生的条件概率。条件概率的意义在于：如果在随机试验中，已经观察到了事件B的发生，那么可以利用事件B发生的概率，去认识事件A的不确定性。第五章不确定性推理5.2基于概率的方法212024/3/9基于概率的推理方法

随机事件A的概率P(A)表示A发生的可能性因而可用它来表示事件A的确定性程度。由条件概率的定义及Bayes定理可得出：在一·个事件发生的条件下另一个事件发生的概率这可用于基于产生式规则的不确定性推理，其中有两种简单的不确定性推理方法：经典概率方法逆概率方法第五章不确定性推理5.2基于概率的方法222024/3/9经典概率方法若有推理规则：IFETHENH

其中，E为前提条件，H为结论。如果我们在实践中经大量统计能得出E发生的概率P(E)以及在E发生条件下H发生的条件概率P(H／E)就可利用概率来表示确定性程度：把P(E)作为证据E的确定性程度，把P(H／E)作为在证据E出现时结论H的确定性程度。第五章不确定性推理5.2基于概率的方法232024/3/9逆概率方法经典概率方法要求给出在证据E出现情况下结论H的条件概率P(H／E)，这在实际应用中是相当困难的。例如，若以E代表咳嗽，以H代表支气管炎，要找在咳嗽的人中有多少是患支气管炎的，就需要做大量的统计工作但是如果在患支气管炎的人中统计有多少人是咳嗽的，就相对容易一些，因为患支气管炎的人毕竟比咳嗽的人少得多。因此希望用逆概率P(E／H)来求原概率P(H／E)，Bayes定理给出了解决这个问题的方法。第五章不确定性推理5.2基于概率的方法242024/3/9Bayes公式

其中，A1，A2，…，An是两两相斥的事件，其概率P(Ai)>0，B是一相关事件，P(B/Ai)(i=1,…,n)是其条件概率。

第五章不确定性推理5.2基于概率的方法252024/3/9逆概率推理把Ai看成是一组假设结论Hi(i=1,…,n),而把B看成是输入事实E，那么，根据Bayes公式有如下推理：

逆概率方法的优点是它有较强的理论背景和良好的数学特性，当证据及结论都彼此独立时计算的复杂度比较低缺点是它要求给出结论的先验概率和证据的条件概率而且要求各事件互相独立等。第五章不确定性推理5.2基于概率的方法262024/3/9主观Bayes推理

我们知道，直接使用Bayes公式求结论Hi在证据E存在情况下的概率P(Hi／E)时，需知道：Hi的先验概率P(Hi)，证据E出现的条件概率P(E／Hi)，这在实际应用中也是相当的困难的。为此，杜达等人在Bayes公式的基础上经适当改进提出了主观Bayes方法，建立了相应的不确定性推理模型。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法272024/3/9主观Bayes推理

主观贝叶斯方法是R.O.Duda等人于1976年提出的一种不确定性推理模型,并成功地应用于地质勘探专家系统PROSPECTOR。主观贝叶斯方法是以概率统计理论为基础,将贝叶斯(Bayesian)公式与专家及用户的主观经验相结合而建立的一种不确定性推理模型。不确定性度量主观贝叶斯方法的不确定性度量为概率P(x),另外还有三个辅助度量:LS,LN和O(x),分别称充分似然性因子、必要似然性因子和几率函数。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法282024/3/9几率函数

X的几率等于X出现的概率与X不出现的概率之比。随着P(X)的增大，O(X)也在增大，且有:

P(X)=0时，O(X)=0P(X)=1时，O(X)=+∞这样，就把取值为[0,1]P(X)放大到了取值为[0,+∞]的O(x)。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法292024/3/9主观Bayes推理中的知识表示

知识用产生式规则表示：

IFETHEN(LS,LN)H(LS,LN)是知识强度LS,LN的取值范围都为[0，+∞)根据Bayes公式可知:O(H/E)=LS×O(H) O(H/~E)=LN×O(H)第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法302024/3/9LS的性质

当LS＞1时，O(H／E)＞O(H)，说明E支持H；LS越大，O(H／E)比O(H)大得越多，即LS越大，E对H的支持越充分。当LS→+∞时，O(H／E)→+∞，P(H／E)→1，表示由于E的存在，将导致H为真。当LS＝1时，O(H／E)=O(H)，说明E对H没有影响。当LS＜1时，O(H／E)＜0(H)，说明E不支持H。当LS＝0时，O(H／E)=0，说明E的存在使H为假。可以看出．LS反映的是E的出现对H为真的影响程度因此，称LS为知识的充分性度量。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法312024/3/9LN的性质

当LN＞1时，O(H／~E)＞O(H)，说明~E支持H；LN越大，O(H/~E)比O(H)大得越多，即~E对H的支持越充分当LN→+∞时，O(H／~E)→+∞，P(H／~E)→1，表示由于~E的存在（E的不存在），将导致H为真。

当LN＝1时，O(H／~E)=O(H)，说明~E对H没有影响。当LN＜1时，O(H／~E)＜0(H)，说明~E不支持H。当LN＝0时，O(H／~E)=0，说明~E的存在（E的不存在），使H为假。可以看出．LN反映的是E不存在时，对H为真的影响程度因此，称LN为知识的必要性度量。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法322024/3/9LS与LN的关系

由于E和~E不会同时支持或同时排斥H，因此只有下述三种情况：

LS＞1，且LN＜1LS＜

1，且LN＞1

LS＝LN＝1在实际系统中，LS和LN的值均是由领域专家根据经验给出的，而不是计算出来的。当证据E愈是支持H为真时，则LS的值应该愈大；当证据E对H愈是重要时，则相应的LN的值应该愈小。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法332024/3/9证据不确定性的表示

证据的不确定性也是用概率表示的。对于初始证据E，根据观察S给出P(E／S)，相当于动态强度。P(E/S)的给出相当困难，实际中多采用近似方法。如在PROSPECTOR中引进可信度的概念，在[-5，5]之间的11个整数中根据实际情况选一个数作为初始证据的可信度根据可信度C(E／S)，可近似计算得到概率P(E／S)第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法342024/3/9用可信度C(E／S)近似计算概率P(E／S)可信度C(E／S)与概率P(E／S)的对应关系如下：C(E/S)＝-5，表示在观察S下证据E肯定不存在，即P(E/S)＝0C(E/S)＝0，表不S与E无关，即P(E/S)=P(E)C(E/5)＝5，表示在观察S下证据E肯定存在，即P(E/S)＝1C(E/S)为其它数时与P(E/S)的对应关系，可通过对上述三点进行分段线性插值得到第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法P(E/S)P(E)-5C(E/S)051352024/3/9组合证据不确定性的计算

当组合证据是多个单一证据的合取时：

E＝E1∧E2∧…∧En如已知P(E1/S)、P(E2/S)、…、P(En/S)，则：P(E/S)=min{P(E1/S)，…，P(En/S)}当组合证据是多个单一证据的析取时：

E＝E1∨E2∨…∨EnP(E/S)=max{P(E1/S)，…，P(En/S)}对于“非”运算，用下式计算：

P(~E/S)＝1-P(E/S)第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法362024/3/9不确定性的传递计算（一）

主观Bayes方法推理的任务就是根据证据E的概率P(E)及LS、LN，把H的先验概率P(H)或先验几率O(H)更新为后验概率或后验几率。证据肯定存在的情况：

O(H/E)=LS×O(H)证据肯定不存在的情况：O(H/~E)=LN×O(H)证据既非为真又非为假的情况：需要使用杜达等人给出的公式:P(H/S)＝P(H/E)×P(E/S)+P(H/~E)×P(~E/S)分三种情况讨论：第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法372024/3/9不确定性的传递计算（二）P(E/S)=1时，P(~E/S)=0，因此有：

P(H/S)=P(H/E)这时就是证据肯定存在的情况

P(E/S)=0时，P(~E/S)=1，因此有：

P(H/S)=P(H/~E)

这时就是证据肯定不存在的情况P(E/S)=P(E)时，因此有：

P(H/S)=P(H)这时S与E无关P(E/S)=其他值时，根据前面几个值插值得到：第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法382024/3/9不确定性的传递计算（三）P(E/S)=其他值时，根据前面几个值插值得到：该插值公式称为EH公式。第五章不确定性推理5.3主观Bayes方法P(H/E)P(H)P(E)P(E/S)01P(H/~E)P(H/S)如果不确定性是用可信度C(E/S)给出，即可得到P(H/S)，这种公式称为CP公式392024/3/9确定性理论确定性理论由美国斯坦福大学E.H.Shortliffe等人在1975年提出的一种不确定性推理模型1976年首次在血液病诊断专家系统MYCIN中得到了成功应用。在确定性理论中，不确定性是用可信度来表示的，因此人们也称其为可信度方法。许多成功的专家系统都是基于这一方法建立起来的。基于可信度表示的不确定性推理的基本方法称为C-F模型CF(CertaintyFactor第五章不确定性推理5.4确定性理论402024/3/9可信度人们在长期的实践活动中，对客观世界的认识积累了大量的经验，当面临一个情况时，往往可用这些经验对问题的真、假或为真的程度作出判断。例如，小李今日上班迟到了，理由是“路上自行车出了毛病”，有两种情况：一是小李的自行车确实出了毛病，从而耽误了上班时间；一是小李的自行车没有出问题，只是想以此来搪塞。对于听话的人来说，可以绝对相信，也可以完全不信，或者只有某种程度的相信，其依据是以往对小李的的认识。这种根据经验对一个事物或现象为真的相信程度称为可信度。可信度带有较大的主观件和经验性，其准确性难以把握。第五章不确定性推理5.4确定性理论412024/3/9C-F模型

C-F模型是基于可信度表示的不确定性推理的基本方法，其它可信度方法都是在此基础上发展起来。知识是用产生式规则表示的，其一般形式为：IFETHENHCF(H,E)

CF(H,E)是该条知识的可信度，称为可信度因子或规则强度-1≤CF(H,E)≤1它指出当前提条件E为真时，它对结论H为真的支持程度，CF(H,E)的值越大，就越支持结论H为真。第五章不确定性推理5.4确定性理论422024/3/9规则强度CF(H,E)的计算

CF(H,E)=MB(H,E)-MD(H,E)MB称为信任增长度MD称为不信任增长度第五章不确定性推理5.4确定性理论432024/3/9MB(H,E)和MD(H,E)的意义

MB(H,E)＞0时，有P(H/E)＞P(H)这说明由于E所对应的证据出现增加了对H的信任程度。MD(H，E)＞0时，有P(H/E)＜P(H)这说明由于E所对应的证据出现增加了对H的不信任程度。显然，一个证据不可能既增加对H的信任程度，又同时增加对H的不信任程度，因此MB(H,E)与MD(H,E)是互斥的。即MB(H,E)＞0时，MD(H,E)=0MD(H,E)＞0时，MB(H,E)=0第五章不确定性推理5.4确定性理论442024/3/9证据不确定性的表示证据的不确定性也是用可信度因子表示。证据E的可信度表示为CF(E)同样有：-1≤CF(E)≤1

特殊值：CF(E)=1， 前提肯定真

CF(E)=-1， 前提肯定假

CF(E)=0， 对前提一无所知CF(E)＞0，表示E以CF(E)程度为真CF(E)＜0，表示E以CF(E)程度为假第五章不确定性推理5.4确定性理论452024/3/9组合证据不确定性的计算组合证据是多个单一证据的合取时：CF(E1∧…∧En

)=min{CF(E1),…,

CF(En

)}组合证据是多个单一证据的析取时：CF(E1∨…∨En

)=max{CF(E1

),…,CF(En

)}组合证据是证据取非时：

CF(～E

)=～CF(E

)第五章不确定性推理5.4确定性理论462024/3/9不确定性的传递算法

C-F模型中的不确定性推理是从不确定的初始证据出发，通过运用相关的不确定性知识，最终推出结论并求出结论的可信度值：CF(H

)=CF(H，E

)×max{0,CF(E)}若CF(E)＜0，即相应证据以某种程度为假，则CF(H)=0这说明在该模型中没有考虑证据为假时对结论H所产生的影响。当证据为真(即CF(E)=1)时，CF(H

)=CF(H，E

)这说明知识中的规则强度CF(H,E)实际上就是在前提条件对应的证据为真时结论H的可信度。第五章不确定性推理5.4确定性理论472024/3/9结论不确定性的合成算法若由多条不同知识推出了相同的结论，但可信度不同，则可用合成算法求出综合可信度。多条知识的综合可通过两两的合成实现当两条规则推出同一结论H时，CF(H)的计算：

CF(H)=CF1(H)+CF2(H)–

CF1(H)

CF2(H)

当CF1(H)≥0，CF2(H)≥0CF(H)=CF1(H)+CF2(H)+

CF1(H)

CF2(H)

当CF1(H)

＜0，CF2(H)

＜0CF(H)=(CF1(H)+CF2(H))÷(1-min{│CF1(H)│,│CF2(H)│})

当CF1(H)

、CF2(H)反号第五章不确定性推理5.4确定性理论482024/3/9可信度方法举例(一)R:IF(E1orE2)andE3THENH(0.8)

CF(E1)=0.4、CF(E2)=0.6、CF(E3)=0.7

解：

设E=(E1orE2)andE3 CF(E1orE2)=max(CF(E1),CF2(E2))=0.6CF(E)=min(CF(E1orE2)，CF(E3))=0.6CF(H)=CF(E)·CF(H,E)=0.6×0.8=0.48第五章不确定性推理5.4确定性理论492024/3/9可信度方法举例(二)R1:IFE1THENH(0.8)R2:IFE2THENH(0.7)

CF(E1)=0.4、CF(E2)=0.6

解：

CF1(H)=CF(E1)·CF(H，E1)=0.4×0.8=0.32CF2(H)=CF(E2)·CF(H，E2)=0.6×0.7=0.42CF(H)=0.32+0.42-0.32×0.42=0.6第五章不确定性推理5.4确定性理论502024/3/9加权模糊推理加权模糊推理是基于加权模糊逻辑的一种推理方法。在许多实际问题中，一条推理规则的前提中的各子前提的“重要性”或所包含的信息量等都可能是各不相同的。例如，模糊规则“如果天空中有浓积雨云，有风有打雷闪电，则多半天要下雨”中，显然，“天空中有浓积雨云”是最重要的，而“有风”则不太重要表达这类现实知识，采用加权模糊逻辑公式是十分合适的第五章不确定性推理5.4加权模糊推理512024/3/9加权模糊推理规则的形式

w1*P1，w2*P2，…，wn*Pn→Q，CF，τ其中Q与Pj（j=1，…，n），为模糊逻辑谓词，取真值于[0，1]之间，wj

满足：wj≥0，（j=1，2，…n），∑wj

＝1，wj为子前提Pj的权系数。CF：0＜CF≤1为规则的置信度，τ：0＜τ≤1为该规则的可应用阈限。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理522024/3/9加权模糊推理过程

计算前提的真值t：t=∑wj*T(Pj)，T（Pj）为Pj的真值

若t大于等于τ时，应用该规则推出结论Q，其真值为

T（Q）=t∧CF。∧为某种“交型运算”，例如取极小和乘法等

总有：结论的真值≤前提的真值。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理532024/3/9加权模糊推理的多规则处理（一）当同时有多条规则可应用，且都推出同一个结论时，要有一个结论的合并过程按每条规则分别独立进行推理可推出Q有n个真值有几种确定Q的最终真值的办法可供选择：求极大值法:

T（Q）=∨Ti（Q）

i=1，2，…，n严格加权求和法:

T（Q）=∑CFi*Ti（Q）/∑CFi

加权求和法:

T（Q）=∑CFi*ti/∑CFi有限和法:

T（Q）=min(∑Ti（Q），1)第五章不确定性推理5.4加权模糊推理542024/3/9加权模糊推理的多规则处理（二）5.

递推计算法:

设

T1=t1*CF1对任意的k＞1,Tk=Tk–1+（1－Tk–1）*CFk*tk

最后:

T（Q）=Tn这个公式保证了每增加一个推出Q的规则时，Q的真值T（Q）总是真正增加了一点，且先推出Q的规则所起的作用总是比后来的大。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理552024/3/9加权模糊推理的另一种形式（一）在具体推理中，可能给出一个假设性结论，需推断出这个假设是否为真，即要推理的问题是“谓词Qx是否τx真”，即是否T（Qx）≥τx

推理过程如下:

把已知事实及其真值都放进一个称为“黑板”的中间数据库中将Qx与知识库中的各条推理规则的结论进行模糊匹配，找出匹配度大于m的规则，例如有w1﹡P1，w2﹡P2，…，wn﹡Pn→Q，CF，τM（Qx，Q）＞m其中M（Qx，Q）为Qx与Q的匹配度。第五章不确定性推理5.4加权模糊推理562024/3/9加权模糊推理的另一种形式（二）3.检查Pi（i=1，…，n）是否已在“黑板”中，若在则取出其真值T（Pi），若不在则令T（Pi）=0.5(表示真假不知)，计算推理规则前提的真值t:t=∑wj*T(Pj)4.若t≥τ时，则算出：T（Q）=CF∧t，否则，转去步骤6进一步求该规则的各子前提的真值

第五章不确定性推理5.4加权模糊推理572024/3/9加权模糊推理的另一种形式（三）5.若

T（Qx）=M（Qx，Q）﹡T（Q）

=M（Qx，Q）﹡（t∧CF）≥τx

则给该问题以模糊的肯定回答，即“Qx为τx真”。否则转去步骤6进一步求该规则的各子前提的真值

6.把规则中那些尚不知道其真值的子前提Pi当作子问题，返回步骤2开始去求解Pi的真值。求得各子前提Pi的真值T（Pi），并把它们放进“黑板”之后，再回到步骤3去继续计算整个规则的真值t7.如果在上述的迭代过程中总不能推出T（Qx）≥τx，则给出回答“一般Qx不能τx真。”

第五章不确定性推理5.4加权模糊推理582024/3/9模糊计算推理模糊计算推理是基于模糊计算逻辑的一种推理方法除了“与”、“或”和“非”运算之外增加了“有限和”（㈩）和乘法（&）

设P和Q为模糊计算逻辑中的合式公式，则P㈩Q和P&Q也都是合式公式

T（P㈩Q）=min{T（P）+T（Q），1}T（P&Q）=T（P）﹡T（Q）从而，加权模糊逻辑公式：w1*P1，…，wn*Pn

等价于：

（w1&P1）㈩（w2&P2）㈩…㈩（wn&Pn）

第五章不确定性推理5.5模糊计算推理592024/3/9必要条件的表示若有一些子前提是必要条件就可用“与”运算来表示例如，（（w1&P1）㈩（w2&P2））∧P3→Q，CF，τ

P3就是推出Q的必要条件，即若T（P3）＜τ，则该规则就不能被应用。但P1和P2则不一定是必要的，

只要w1﹡T（P1）

+w2﹡T（P2）≥τ该规则可被应用第五章不确定性推理5.5模糊计算推理602024/3/9n条规则的合成计算“或”运算可用来把n条规则合成一条，例如，规则组：P1→Q，CF1，τ1P2→Q，CF2，τ2

……Pn

→Q，CFn

，τn可合并成一条规则

P1∨P2

∨…∨Pn

→Q，CF

，τ其中，CF=min{CF1,…,CFn}，τ=max{τ1,…,τn}合并以后，关于置信度和阈限的要求更严格了，合并前后并非完全等价的。

第五章不确定性推理5.5模糊计算推理612024/3/9模糊计算推理过程（一）模糊计算推理实质是根据一组模糊计算逻辑的蕴含式和一些已知事实计算一些模糊计算逻辑公式的真值的过程设有一组蕴含式（即知识库中的规则）：F1（P1，P2，…，Pn）→P1，CF1，τ1F2（P1，P2，…，Pn）→P2，CF2，τ2

……Fn（P1，P2，…，Pn）→Pn，CFn，τn一组已知事实（即黑板上的初始知识）：

Q1，Q2，…，Qm

P1…Pn为模糊谓词。Q1…Qm为P1…Pn中某些谓词的实例第五章不确定性推理5.5模糊计算推理622024/3/9模糊计算推理过程（二）若问“Q是否τ真？”，模糊计算推理过程如下：1．把已知事实Q1，Q2，…，Qm及其真值一起记入“黑板”。2．将“黑板”中的数据与规则的结论进行模糊匹配。3．计算匹配的各规则的前提的真值：ti=T（Fi（P1，P2，…，Pn））4．对ti

≥τi的规则计算结论的真值：T(Pi)=ti

∧CFi若黑板中无Pi，或其真值小于现今的T（Pi），则将Pi连同T（Pi）一起记入“黑板”。5．Q是否能与“黑板”中的命题模糊匹配，若能且其真值大于等于τ，则有“Q为τ真”。否则，转步骤2。第五章不确定性推理5.5模糊计算推理632024/3/9模糊计算推理过程（三）每进行一次迭代，“黑板”里的知识将随着更新一次，而且越来越丰富。模糊计算推理很类似人类对问题的认识不断深化的过程，而且把推理过程完全变成了函数的计算。因而很适合在计算机上实现。当Q是一个复合命题的时候，可先逐个计算其子式的真值，然后计算Q的真值，若T（Q）≥τ，则给出“Q为τ真”的结论，否则如同上述转去步骤2开始进行下一轮迭代计算。第五章不确定性推理5.5模糊计算推理642024/3/9基于模糊变换的推理(一)

基于模糊变换的模糊推理方法把模糊推理过程看成了一种模糊变换。做不同的模糊变换，则就形成了不同的模糊推理方法。设U={u1…um}，V={v1…vn}是两个有限论域

U到V上的一个模糊关系R定义为U×V上的一个模糊子集隶属函数为：R={μ11/(u1,v1)+μ12/(u1,v2)+…+μ1n/(u1,vn)+μ21/(u2,v1)+μ22/(u2,v2)+…+μ2n/(u2,vn)+…+μm1/(um,v1)+μm2/(um,v2)+…+μmn/(um,vn)}第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理652024/3/9基于模糊变换的推理(二)

隶属函数的矩阵形式：其中μij表示元组（ui，vj）隶属于该模糊关系的隶属度，满足0≤μij≤1。第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理662024/3/9基于模糊变换的推理(三)

模糊变换：设A={a1/u1，a2/u2，…

，am/um}是论域U上的一个模糊子集。可简单表示为：A=（a1，a2，…

，am）则向量：B=AoR

U×V(B={b1，b2，…

，bn

})是A经模糊变换RU×V所得的结果，它是V上的模糊子集∨与∧分别表示某种“并型运算”和“交型运算”第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理672024/3/9基于模糊变换的推理(四)

例如下列两种∨与∧的定义是经常使用的：（1）取∨为加法运算，∧为乘法运算，则该变换公式成为：（2）取∨为求极大运算，∧为求极小运算，则该变换公式成为：第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理682024/3/9基于模糊变换的推理(五)

模糊变换可以有各种具体的解释，不同的解释形成了不同的推理模型，也就是不同的推理方法。我们讨论二种基于模糊变换的模糊推理方法。综合评判推理变换模糊推理第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理692024/3/9综合评判推理（一）

综合评判就是对某个问题，在有n种不同意见的时候，用某种方法将它们综合成一种统一的意见的过程。采用模糊变换的方法来进行综合评判就是基于模糊变换的综合评判推理。用医生会诊的例子来说明基于模糊变换的综合评判推理。设U={医生1，医生2，…

医生m}V={疾病1，疾病2，…

疾病n}医生们要对一种疑难病进行会诊，医生们对该病的诊断都用定义在论域V上的隶属函数表示第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理702024/3/9综合评判推理（二）

设医生i对该病的诊断是：{μi1/疾病1，μi2/疾病2，…，μin/疾病n}其中，0≤μij≤1，表示医生i认为该病为疾病j的可能性是μij，简记之为一个向量（μi1，μi2，…，μin）。于是m个医生的诊断构成一个矩阵RU×V：

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理712024/3/9综合评判推理（三）

m个医生在医术上的权威性不同，因此对他们的诊断的可信程度也不同。假如用一个U上的隶属函数：

A={a1/医生1，a2/医生2，…am/医生m}表示医生诊断的可信度（或医术的权系数）。就可用下式来计算会诊的综合结果：B=AoR

U×V

B={b1，b2，…

bn

}，这个统一诊断说明“这种疑难病是疾病j的可能性是bj”。

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理722024/3/9变换模糊推理

如果把模糊变换矩阵RU×V取为从U到V的某个模糊蕴含关系的隶属度矩阵。即解释成ui→vj的可信度或真度为μij，i=1，…，m，j=1，…，n。则模糊变换就形成一个变换模糊推理。论域U上的模糊事件（现象、属性或知识等）用U上的模糊子集来表示：A={a1/u1，a2/u2，…am/um}由模糊事件A通过RU×V蕴含（或推出）的事件：

B={b1/v1，b2/v2，…bn

/vn}由变换式计算：B=AoR

U×V

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理732024/3/9变换模糊推理举例（一）例如

U={病症1，病症2，…

病症m}V={疾病1，疾病2，…

疾病n}为两个论域。设由病症i推断为疾病j的可能性为μij（i=1，…，n），于是有一个疾病诊断矩阵RU×V：

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理742024/3/9变换模糊推理举例（二）一个病人经检查有各种病症。病症的严重程度用U上的模糊子集A={a1，a2，…am}表示。按B=AoR

U×V可推出该病人得疾病的可能性。疾病的可能性用一个V上的模糊子集表示：B={b1/疾病1，b2/疾病2，…

bn

/疾病n}或简写为B={b1，b2，…

bn}

说明病人有疾病j的可能性为bj。

这种推理方法的关键在于如何确定推理矩阵RA×B。

第五章不确定性推理5.6基于模糊变换的推理752024/3/9定性代数推理（一）广义而言在实数域上进行代数运算和解方程的过程都可认为是一个推理，特别是解一个代数方程所做的工作更是一种明显的推理过程。因为它涉及数量关系的推理，故称“定量代数推理”或简称“代数推理”或“代数计算”。但在许多场合，人们往往并不十分关心精确的数量间的精确关系，而只要定性地知道数量的范围或大致趋势，以及简单的大小关系等等。这时若仍用传统的代数方法来回答一些定性的问题就显得很累赘。为此，近年来一些学者提出了所谓“定性代理推理”

第五章不确定性推理5.7定性代数推理762024/3/9定性代数推理（二）假设R为实数域，S′={－，0，+，？}为实数的符号集加”？”后得到的集合，关系[]是R到S′的一个映射：

称{R，+，×}为实代数，{S′，㈩，⊙}为符号代数。称Q={R∪S′，+，×，㈩，⊙，[]}为定性代数系统

第五章不确定性推理5.7定性代数推理772024/3/9定性代数推理（三）利用定性代数系统进行推理的大致步骤为：1．对含有实数的等式在实代数{R，+，×}中进行化简。2．将化简后的式子投影到符号代数{S′，㈩，⊙}中。3．在{S′，㈩，⊙}中对式子进行运算，求解。Q是一个可以把定量推理（计算）与定性推理（计算）结合起来进行的工具：在[]之内可进行实数域上的运算与推理；在[]之外（即经[]运算映象成符号代数之后）可进行定性计算与推理。第五章不确定性推理5.7定性代数推理782024/3/9默认推理默认推理的推理规则可表示为：＜必要条件＞，M＜默认条件1＞∧＜默认条件2＞∧…∧＜默认条件n＞—＞＜结论＞如果＜必要条件＞被满足，又无否证＜默认条件i＞（i=1，…，n），则可推出＜结论＞成立。这种推理在日常生活中是常用的。人们在长期的生活中积累了很多“经验”。因此，常可以按“经验”办事，而无需每次逐个验证一些默认成立的条件。

第五章不确定性推理5.8默认推理792024/3/9默认推理举例例如，一个人发现自己的收音机不响了，往往马上就做出要更换电池的决定这里他其实应用了一条默认推理规则：

“收音机不响了，M电池用尽了→换电池”

他在做出结论“换电池”之前并没有查电池是否有电，而默认了电池用完的假设，从而直接做出了“换电池”的结论。如果当换了新电池收音机仍然不响，这时他必须撤消“换电池”的结论，而另找收音机不响的原因。第五章不确定性推理5.8默认推理802024/3/9假设验证式推理假设验证式推理首先提出假设，然后推出一个结论，把结论与实际情况相比较，如果相符合，则是最后结论；否则，修改假设，再次进行推理。这种推理方法是一个循环往复的过程，一直要进行到与实际情况足够符合为止

假设验证式推理是一种在科学研究中，探索新知识时经常采用的推理方式它在知识不完全或者客观事物本身不完全，或者人们尚未认识到时进行推理可有很好的应用效果第五章不确定性推理5.9假设验证式推理812024/3/9假设验证式推理过程图

已有知识推理机构修正假设提出假设修正后的假设结论与实际情况比较符合最后结论第五章不确定性推理5.9假设验证式推理822024/3/9基于Fuzzy集的一般模糊推理

模糊集合的产生:集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法。传统集合论要求其分类必须遵从形式逻辑的排中律，论域中的任一元素要么属于集合A，要么不属于集合A，两者必居其一，且仅居其一。这样就只能描述外延分明的“分明概念”，只能表现“非此即彼”，而对于外延不分明的“模糊概念”则不能反映。为克服这一障碍，L.A.Zadeh教授提出了“模糊集合”的概念。其基本思想是把经典集合中的绝对隶属关系模糊化。从特征函数方面来讲，就是元素u对集合A的隶属程度不再局限于0或1，而是可以取从0到1的任何一个数值，这个数值反映了元素u隶属于集合A的程度。第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理832024/3/9Fuzzy集举例

例如表示“胖”、“老”的模糊程度。假设体重的范围在40公斤到100公斤，则可用0到1之间的数来表示某人身体“胖”的程度。图1给出了体重x公斤的人“胖”的程度曲线。如图所示，形容词“胖”在横坐标上被体重定量的地表示出来，而纵坐标则表示身体“胖”的模糊程度。图2表示人的年老程度，年龄的范围被限制在0到100岁之间。利用这种方法，就将不确定的模糊的信息定量地表示出来了，而程度曲线则定义了一个给定区域上的模糊子集。

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理842024/3/9“胖”、“老”的模糊程度图第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理852024/3/9模糊集合的定义

模糊集合

定义1设Ｕ是一个论域,Ｕ到区间［0,1］的一个映射第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理μ:Ｕ

［0，1］就确定了Ｕ的一个模糊子集Ａ。映射μ称为A的隶属函数,记为μA(u)。对于任意的u∈Ｕ,μA(u)∈［0,1］称为u属于模糊子集A的程度,简称隶属度。862024/3/9模糊集合的定义第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理由定义,模糊集合完全由其隶属函数确定,即一个模糊集合与其隶属函数是等价的。可以看出,对于模糊集Ａ,当Ｕ中的元素u的隶属度全为0时,则Ａ就是个空集；反之,当全为1时,Ａ就是全集Ｕ；当仅取0和1时,Ａ就是普通子集。这就是说,模糊子集实际是普通子集的推广,而普通子集就是模糊子集的特例。论域Ｕ上的模糊集合Ａ,一般可记为872024/3/9模糊集合的表示当U是连续的时候,模糊集A可以表示成：当U为离散的时候,模糊集A可以表示成：第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理882024/3/9模糊集合的表示第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理对于有限论域Ｕ,甚至也可表示成

892024/3/9模糊集合的运算⑴相等A=B←→μA(x)=μB(x),x∈U

⑵包含A

B←→μA(x)≤μB(x),x∈U

⑶并集A∪B←→μA∪B(x)=μA(x)∨μB(x)⑷交集A∩B←→μA∩B(x)=μA(x)∧μB(x)⑸补集~A←→

μ~A(x)=1-μB(x)⑹代数和 ⑺代数积 ⑻有界和 ⑼有界积第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理902024/3/9模糊集合的性质⑴交换率：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A⑵结合率：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)⑶分配率：A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)⑷吸收率：A∪(A∩B)=A，A∪(B∩C)=⑸幂等率：A∪A＝A，A∩B＝A⑹同一率：A∪U＝U，A∩U＝A

A∪φ

＝A，A∩φ＝φ⑺复原律（二重否定律）~(~A)=A⑻对偶律第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理912024/3/9模糊集合的说明对于分明子集成立的排中律和矛盾律，对模糊子集却不成立

(A∪(~A))≠U，A∩(~A)≠φ论域U和空子集的隶属函数分别定义为:

μU(x)=1，μφ(x)=0

第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理922024/3/9模糊集合运算举例例如，在从1到10的整数范围内，“大数”和“中数”的模糊集分别为：“大数”=0.2/5+0.4/6+0.7/7+0.9/8+1/9+1/10“中数”=0.6/3+0.8/4+1/5+0.8/6+0.6/7则“大数”和“中数”的并集为：“大数”∪“中数”=

0.6/3+0.8/4+1/5+0.8/6+0.6/7+0.9/8+1/9+1/10第五章不确定性推理5.10基于Fuzzy集的模糊推理932024/3/9模糊关系事物之间的关系通常是通过分明子集来表示，如“x和y相等”或“x比y大”。但我们还会常常遇到另外一种不完全特定的关系，如“u和v大致相等”，“u比v大得