高考数学复习资料：9 圆锥曲线（理科）解答题30题 教师版

专题9圆锥曲线(理科)解答题30题

1.(江西省萍乡市2023届高三上学期期末考试数学(理)试题)已知椭圆E的中心在

原点，周长为8的“J8C的顶点，/卜百,0)为椭圆E的左焦点，顶点8,C在E上，

且边BC过E的右焦点.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)椭圆E的上、下顶点分别为MN,点尸(见2)(“7WR√WHO),若直线尸MPN与椭圆E

的另一个交点分别为点S,T,证明：直线S7过定点，并求该定点坐标.

【答案】⑴二+/=1

4

⑵证明见解析，(0,；)

【分析】(1)根据椭圆定义直接求解即可；

(2)求出S,T的坐标，写出直线ST方程即可求出定点坐标.

【详解】(1)由题意知，椭圆E的焦点在X轴上，

22

以所I以次以设州椭心圆I刀方住程力为F*十+ZAy=Il(la>Z>>UJ0,),焦>Λi距为2c(c>0),

所以ʌ/lBC周长为4α=8,即α=2,a2=4

因为左焦点/卜6,0),所以c=√LC2=3,

所以∕=∕-c

所以椭圆E的标准方程为一+V=1

⑵由题意知，Λ∕(0,l),TV(O-I),直线PS,PT,ST斜率均存在,

所以直线PS:y=±+1,与椭圆方程联立得("+4)χ2+8ZMx=0,

Δ=64加2>0对m∈R,∕π≠0恒成立,

24m_36-TW2

阳2+36'*m2+36

W2-436—w2

7

zΛ~Λ∕Π74~∕√736.144--=（12-也（12+嗔12-

2

xs-xτ-8-24加1劭、19加16w[12+/M）16〃

tn2+4m2+36

12—77?m2-412-∕√1

所以直线ST方程为：了=与上+-T=---------X+—

in"+416w2

所以直线ST过定点，定点坐标为(0,；)

2.(河南省三门峡市2022-2023学年高三上学期第一次大练习(期末)数学(理科)试

22

-r,Jz

题)已知椭圆。7+F=l("b>0)的左、右顶点分别为4B,。为坐标原点，直

线/：x=l与C的两个交点和O,8构成一个面积为指的菱形.

(1)求C的方程；

(2)圆E过。，B,交/于点N,直线∕Λ∕,NN分别交C于另一点尸，Q.

①求LKQ的值；

②证明：直线尸。过定点.

【答案】⑴《+仁=I

42

(2)①-"；②证明见解析

【分析】(D由题意可知E点坐标得α,设。(L%)为直线/与C的一个交点，由菱形

面积求出点坐标代入椭圆方程求出/即可得解；

(2)①设"(L%),N(l,%),由题意可得两.丽=0,再由斜率公式即可求解；

②设直线P。的方程为x=my+f(fw-2),联立椭圆方程，根据根与系数的关系求出直

线直线尸。的方程为X=吵+1]4,即可求出直线过定点.

【详解】(1)因为直线/：X=I与C的两个交点和O,8构成的四边形是菱形，

所以/垂直平分08,所以8(2,0),α=2.

设。(1,%)为直线/与C的一个交点，则菱形的面积为;x2x∣2R=2尻].

因为菱形的面积为所以2|刃=指，解得为=士*，即。(1,土*)

将点。L±T代入£+/=|，得*去5又因为a?=%所以"=2.

故。的方程为片+广

=1.

42

(2)①由题意，得08为圆E的一条弦，且直线x=l垂直平分该弦,

故直线x=l经过圆心瓦所以MN为圆E的直径，因此NΛ∕ON=9(Γ,即两.丽=0.

设M(l,%),N(IjN),则将∙"=T.

注意到G/,则L/=必产=J.

又因为KfM=，KV=32，所以的尸=-".

②易知直线P0不可能平行于X轴，则设直线尸。的方程为X=叼+t(f≠-2),P(XQJ,

。小，%).

X=my+t

由X2y2,得(/+2)/+2胴卬+/一4二。

---F—=1

142

Δ=ΦΠ2Z2-4(∕M2+2)(∕2-4)=8(2W2+4-Z2)>0,(*)

2mtt2-A

%十%二一月S=E①

因为3∕>=Ty,kAQ=~~τ,所以.一ɪ

,

x1+2x2+2x1+2X2+29

即--------------------二」

'(〃少[+/+2)(〃%+1+2)9,

EU________≡________=

-My2+m(t+2)(必+%)+(£+2)29

∕2-41

将①代入上式得/2(7-4)-2”凸0+2)+«+2)2(〃/+2)=9,

/—2114

化简得丸K=-己，解得f=\，满足(*)，

4ICI乙)7I1

所以直线PQ的方程为冗=〃?y+/14，

故直线尸2过定点(9，°]

3.(河南省新乡市多校联考2022-2023学年高三下学期入学测试(理科)数学试题)已

知椭圆。:二+/=1,B的三个顶点都在椭圆C上，且尸为椭圆C的左顶点，直

4'

线4B经过点(-1,0).

(1)求AmB面积的最大值.

(2)若APAB三边所在的直线斜率都存在，且分别记为%,%,心，试判断L(%+kpB)

是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】Q吟

(2)是定值，定值为-1.

【分析】(D求出点尸的坐标，设出直线N8的方程，与椭圆方程联立，再求出三角形

面积的函数关系式，利用对勾函数求出最值作答.

(2)利用(1)中信息，结合斜率坐标公式及韦达定理求解作答.

【详解】(1)椭圆C工+/=1的左顶点尸(-2,0),显然直线48不垂直于y轴,

4

设直线的方程为X=myT,HXQι),8(%,必)，

由IXe肖去X得：11+4)V-2即-3=0,

X+4y=4''

,2m-3

贝n」l乂+%==ɪɪ，

m+4m÷4

因此

∖AB∖=y∣l+m2-^y+y)1-4yy=4+m2-4/12

t2i2(/M2+4)2'm1+4

τ⅛则

而点P到直线/8的距离”

√1+加

1,2+3._______2

Scm,=5lMjdBIld=

2

y∕m+3+zɪ

√∕M2+3

^∕=√^773>√3.函数f+1在f∈[√J,+oo)上单调递增,

则当"√L即M=O时，J加J+3+7^77取得最小值卡，

所以AP/8面积的最大值为3.

2

二必二必ɪ

(2)由⑴知,∕n≠0,kpA

x1+2myλ+1m

Jl加必必+

则k.B(kp"+kpB)2M+%

m后乂必+对

my2+1；MX++1

_IX加？+4W2+4_IXYm_1

m-3m~2m,m4

-ʒ——+―i~~-+1

W+4nΓ+4

所以^AB〈kpA+kpβ)为定值，口kAB(kpA+kpβ^=—1.

4.(河南省驻马店市2022∙2023学年高三上学期期末统一考试数学(理科)试题)已知

双曲线匚m-4=1(“>0,/>>0)的左、右焦点分别是冗，居，点P(2,l)在双曲线C上，

ab

S.∖PFi∖-∖PF2∖=2y∕2.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵直线/与双曲线C的左支交于aB两点，直线NP,8尸分别与y轴交于Al,N两点,

且两=-丽，试问直线/是否过定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由.

γ2

【答案】(I)'-/=1

⑵过定点，定点坐标为(OJ)

【分析】(I)由双曲线定义可知2α=2√L结合点P(2,l)在双曲线C上，求出。力，得

到双曲线的标准方程；

(2)设直线/：x=my+tt与双曲线的方程联立，由韦达定理得乂+力，乂力，写出直

线4P,8尸的方程，求得M,N两点的坐标，结合的=-而，可求得加,，的关系式,

从而得出定点坐标.

41

———二ɪ1,

【详解】(1)由题意可得■bb^,解得。=血力=1

2α=2√2

丫2

故双曲线。的标准方程为土-V=L

2

⑵由题意可知直线/的斜率不为0,设直线/：x=my+t_A(xi,yl),B(x2,y2)

X=my+t

联立公2整理得2)/+2My+/-2=0

---y=1

2

Imtt2-2

贝IJM+%=-

直线”尸的方程为V=色(>2)+l,令A°,得”黄,贝尚0,女WL

IX-2)

直线8P的方程为》=J(x-2)+l,令χ=o得y=三二半，则N(0,受二学

X2-2X2-21X2-2

因为两=-而，所以士=1+上二华=0,

X1-ZX2-Z

x

整理得X1X2-(x1+x2)-(xj^2+2y↑)+2(必+必)=0

乂％=myλ+1,x2=my2+£,

所以(加2-2加”咫+(加£一〃?一/+2)(必+%)+『-2f=0,

则(加2~~—+(w∕-∕w-/+2)f——T')+『-2/=0

1,m1-2v∖m2-2J

即m2+t2+2mt-2m-2t=0,BP(m+Z)2-2(∕w+/)=0

得(〃?+1—2)(〃?+Z)=0,解得)2+/—2=0或M+∕=O

当阳+-2=0时，直线/经过点P,与题意不符;

当林+,=O时，直线/：x=my-mt则直线/过定点(0,1).

故直线/过定点(0,1).

5.(青海省西宁市城西区青海涅川中学2022-2023学年高三上学期一模理科数学试题)

已知0,券)，8(乎,2)为椭圆C上两点，6为椭圆C的左焦点.

⑴求椭圆C的方程；

(2)设直线/号=丘+机与椭圆C有且仅有一个公共点，与直线4：x=-3交于点用，与直

线4：x=3交于点N,证明：MFtVNFi.

【答案】(1)[+!=1

yo

(2)证明见解析

【分析】⑴设椭圆方程为∕n√+砂2=],代入两点，计算得到答案

(2)考虑左=0和左≠0两种情况，计算交点坐标，根据直线与椭圆只有一个交点得到

W2=9F+8,计算丽・丽=O得到证明.

【详解】(I)设椭圆方程为/nd+/=1(w>0,n>0),

.16,

3m+——n=1

3

9，

-m+4n=∖

、2

解得加=，〃故所求椭圆C的标准方程为卷+《=L

(2)当上=0时，直线∕f=±2√L直线/与直线人4联立，

可得”卜3,20),43,2&)或M卜3,-2√Σ),7v(3,-2√2),耳(一1,0),

所以丽・丽=0,所以町IN4.

当左≠0时，直线/与直线心4联立，可得M(-3,-3%+加)，N[3,3k+m)t

所以做=(-2,-3%+加)，箴=(4,3k+m),所以砸.取=-8+“∕-9%2

V/=

联立(6+9-,得(9/+8)—+18加α+9∕∏2-72=0,

y=kx-st-m

直线/与椭圆C有且仅有一个公共点，△=(18ΛW)2-4(⅜2+8)(9W2-72)=0,

化筒得病=9公+8,所以砸・丽=-8+/一%2=0,所以“耳IN耳.

综上所述：MFlLNFi.

6.(甘肃省兰州市第六十一中学2023届高三上学期第一次质量检测理科数学试题)已

知椭圆C：'+(=l(4>b>0)的离心率为十,右顶点为4上顶点为5,右焦点为F,

斜率为2的直线经过点A,且点尸到直线的距离为汉1.

5

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵若直线/：>=-+，”与椭圆C交于反尸两点(从尸两点与48两点不重合)，且

以E尸为直径的圆过椭圆C的右顶点，证明：直线/过定点，并求出该定点坐标.

【答案】(1)二+片=1;

43

(2)证明见解析，定点停,0).

【分析】⑴利用待定系数法求出椭圆的标准方程；⑵利用“设而不求法”得到桃=-多2,

即可证明.

【详解】(1)由题可知,直线的方程为y=2(x-α),即2x-y-2α=0,

右焦点F到直线的距离为B例=巫.

√55

乂∙.∙椭圆C的离心率为e=-=1,即代入上式得α=2,C=1,所以从=片一¢2=4一1=3.

a2

22

二椭圆C的方程为三+匕=L

43

χ22

+y1

(2)由，43'得：(3+4∕)χ2+法郎+4∕√-12=0.

y=kx+m,

由△=64∕C2W2-4(3+4/)(4/_12)>0得：m2<4k2+3.

设E(XQJ,尸⑷,九),椭圆的右焦点为。(2,0),则%+%=-*，,X/=强LW,

^3+4AJ-3+4AJ

〃、,,、3m2-∖2k2

y↑y2=(g+⑼2+⑼=aa—

3I^TK

因为以EF为直径的圆过椭圆C的右顶点，所以ZEIZ/，所以荏.箫=0,即

(Xl-2)(Λ⅛-2)+W>2=0,

代人化简得：Imi1+∖6km+Ak2=0.

2

解得：m=-^k,m=-2k,皆满足Z√<4F+3.

当m=-2%时，直线E尸的方程为尸h-2无=MX-2)过点(2,0),不符合题意.

当”=-夫时，直线EF的方程为V=Ax-全=%(x*)过点t'0)'符合题意.

综上：直线/过定点停0).

7.(河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底数学试题)已知椭圆

E:5+∕=l(a>6>0)的离心率为手，直线/：X=W+1交E于A,B两点；当/=0时,

闷¥

(1)求E的方程；

(2)设/在直线X=3上的射影为。，证明：直线BQ过定点，并求定点坐标.

2

【答案】⑴qv+V=l;⑵证明见解析，定点(2,0).

【分析】(1)首先根据题意得到/=3/,椭圆过点[坐■],从而得到α=6，6=L

即可得到椭圆的标准方程.

⑵首先设HxQJ,8区外),则以3,必)，联立椭圆与直线得到1+3)/+2卬-2=0.

利用根系关系得到加∙%=乂+%,再写出直线8。：了=三二?(x-3)+%,利用根系关

Xz—3

系即可得到定点.

【详解】⑴由题意得e2=∙4=∙⅛l=Z,整理得/=3/，

a1a23

由t=o时，MM=半，得到椭圆过点,当)，得?+京=L

因此α=√Lb=∖,故E的方程是二+必=1.

3

(2)设4(χ∕J,B(x29y2)t则。(3,必).

将X="+l代入:+y2=l得卜2+3力2+2夕_2=0

2t2

…=F'"2=F’.

从而供•%=必+%①.

直线。:+耳，设直线与轴的交点为

8y=2L∑Λ(X-3)BDX(⅞,θ),

X2~ʒ

则为二⅞∙(%-3)+χ=0,.

Xj~J

所以//Cf*J。-网+3=2χ-⅜2+3,.

y2~yly2-yiy2~yi

将①式代入上式可得距=2.

故直线比>过定点(2,0).

【点睛】本题第一问考查椭圆的标准方程，第二问考查直线与椭圆的位置关系，同时考

查学生的计算能力，属于中档题.

8.(专题54圆锥曲线大题解题模板-2021年高考一轮数学单元复习一遍过(新高考地区

专用))已知椭圆C：*→∕=l(a>b>0)经过点(I),一个焦点为(6,0).

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线歹=左口-1)(%*0)与丫轴交于点尸，与椭圆C交于A、B两点,线段ZB的

垂直平分线与X轴交于点。，求需的取值范围.

【答案】(1)-+y2=∖;(2)(4,4√3).

4

【解析】(1)依题意C=6，代入点(L*),结合条件求解b的值，则椭圆

方程可求；

(2)联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A.8横纵坐标的和与积，进一步

求得力8的垂直平分线方程，求得。的坐标，由两点间的距离公式求得I尸。|,由弦长公

式求得MBI,作比后求得博的取值范围.

13

【详解】(1)由题意得/一〃=3,/+木=1，解得。=2、b=l,

「.椭圆C的方程是—+ʃ2=1；

4

(2)把J，=%(XT)代入三+/=1得(1+4F)X2_8h+4公_4=0,△>()恒成立，

4

xχ,

设4区，必)、S(x2,外)，则有x∣+%2=∙⅛j,ι∙2=Γ⅛Γ

ɪI^rK1+

2k4“2k

yt+y2=+χ2-2)=--——τ,线段48的中点坐标为(-4-----万)，

1+4攵~1+4A-1+4k

.∙.线段AB的垂直平分线方程为y-(--J)=-ɪu-^ɪ),

1+4Λ^k1+4火

2

τtιc

于是，线段/8的垂直平分线与X轴的交点ec-⅛,o),

1+4Λ^

又点P(1,0),

.IPQI=1__=

一I团1+46]+4/，

又如J92)[(94—4j(l+V)(i+3∕)

1+4人2

4j(l+%2)(i+3∕)

1+4〃

■I1+F_

1+4F

.∙.l<3-⅛<3.

.∙∙瑞的取值范围为(4,40).

【点晴】关键点点睛：设直线方程后，联立椭圆方程，利用韦达定理，求弦长的表达式,

同时可得弦的中点，求出IPa的长，得到扁关于人的表达式，求值域即可.

9.(陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模理科数学试题)已知点Λ/,N分别

是椭圆C:=l(a>6>0)的右顶点与上顶点，原点O到直线MN的距离为必，

a2b22

且椭圆的离心率为好.

3

(1)求椭圆C的方程;

(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点K,并且与椭圆交于48两点，点尸在椭圆上,

。为原点，若OA=LoN+30瓦求直线48的方程.

22

【答案】([)；+/=]；

(2)x=y+>/2或X=-P+V∑.

c_瓜

^a~~i

【分析】(I)由已知可推出直线MN的方程为版+@-M=O.由已知可得b2=⅛2+c2

ab_ʌ/ɜ

y∣a2+b22

解方程组即可得出答案;

(2)设45的方程为X=叩+&.联立直线与椭圆的方程，得出

2

(W+3)∕+2√2^-1=0,由韦达定理得出4B坐标之间的关系，表示出点P.代入椭

圆方程,整理化简即可得出X%+3JM=O,代入即可得出川的值.

【详解】(1)由已知可得，M(α,0),N(0,b),所以直线MV的方程可设为二+4=1,

aD

即bx+ay-ab=O.

所以点。到直线脑V的距离d=∙,≠-=*.

yja2+b22

又椭圆的离心率为逅，所以e=£=逅.

3a3

c瓜

a~3/=3

联立a2=b2+c2,解得∙b2=\,

ab_ʌ/ɜd=2

y∣a2+b22

2

故椭圆方程为二r+/=1.

3

(2)由(1)知，椭圆的右焦点为(√Iθ),设直线48的方程为X=W+0.

设N(X∣,M),8(%,%),户(即，儿).

联立直线48与椭圆的方程,消X得(W2+3)/+2近my—1=0,

_-2y∣2m

必+y22

由韦达定理可得W+3

T

y^2=

m2+3

16

@-

12T

就

-2所以

21

-√I

2T

y2

因为点尸在椭圆上，

所以

争*=心+轲+(6+£)

=聆+。局＞4T^(ΓΛ+Y'Y2)

13y∣3(1ʌ∙Q

=~+~+^^-lɜxi∙^2÷ʃlʃz1=1,所rc以nf玉々+3%P2=n°∙

2

因为七工2=(加必+J∑)(m8+V2)=^yiy2+/w(必+必)+2

2

xlx2+3yiy2=(m+3)×—-+41m×+2=O.

',W+3加+3

化简得〃/_1=0,得加=±1,

当"?=1时，直线/8的方程为X=y+V∑;当团=-1时，直线/8的方程为x=-y+V∑.

综上，直线48的方程为X=y+JΣ或X=-y+.

10.(陕西省联盟学校2023届高三下学期第一次大联考理科数学试题)已知6，鸟为

椭圆E：E→3=l的上、下焦点，P(XO,九)为平面内一个动点，其中%>0.

⑴若IP用+|尸用=3应，求△耳因面积的最大值；

⑵记射线HP与椭圆E交于M(X∣,M),射线与椭圆E交于N(%,%),若丽//丽，

探求％,占，芍之间的关系.

【答案】(D√2

11I

⑵一=一+—

⅞Xix2

【分析】(D先根据椭圆定义得出椭圆方程,在根据X。的范围求出面积的最大值；

(2)分别设出两个射线gN和耳M,再联立方程结合向量平行得出质,X1,范之间的关系•

【详解】(I)由题可知椭圆E金+二=1的上、下焦点6(0,2),Q(O,-2),

84

又因为附∣+∣PEI=3√Σ,所以20=3√Σ,C=2,6=4，

yXf—

则点P(ʃo,几)为椭圆至+T-1上一点，且配≥%>O,

222

则SAFZ=l.∣∕r^∣.χ0≤lχ4χ^=√2,「是△耳P工面积的最大值为√2.

(2)射线巴N的方程为y=%J'x-2(XN0),

射线FtM的方程为ʃ=金x+2(X≥0),

x∖

%+2ɔ

y=—-χ-2,

X

联立2

y=^z^-x+2,

xI

解得xJ'∕LWX+2x∣+2xJ=4,①

中2

又丽//丽，贝∣J^^=2^O%X∣-X2M=2X∣+2X2,②

将②代人①，得L=L+L.

XoXjX2

11.(山西省太原市2022届高三下学期模拟三理科数学试题)已知椭圆

。：4+£=1伍>6>0)过点?(0,1),离心率为6=字

(1)求椭圆C的方程；

(2)当过点M4,1)的动直线与椭圆C相交于不同的两点a8时，在线段上取点N,

满足AM=-λMB,AN=ANB求线段PN长的最小值.

【答案】⑴工+金=1

42

uι2√10-√5

【分析】(1)由椭圆的几何性质列方程组求解

(2)由定比分点公式化简得N点轨迹方程，由点到直线距离公式求解

工交

【详解】(D根据题意，°2'解得/=4,b2=2,

b2v1=1,

椭圆C的方程为兰+广=1

42

(2)设Z(x1,必)，B(x2,y2),N(x,y),

由翔=-7MBjN=丽，

x-λrX,+Xx

4=12X=--------1

1—λl+λ

得

,X+W

1=ZL⅛y=

1+λ

2Λ22

.∙.4x=WH-X乃

,V=

l-λ2l-λ2

又x；+2y；=4,x；+2y；=4.

4—4λ"

■4Λ^+2^^F^4,

•・•点N在直线2x+y-2=0上,

,∣2√2+1-2∣2√2-l-2厢-加

PM

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12.(山西省吕梁市2022届高三三模理科数学试题)已知椭圆C*+方=1(〃>8>0)的

离心率为正，且过点

2I

(1)求椭圆C的方程；

(2)点A关于原点。的对称点为点8,与直线43平行的直线/与C交于点",N,直线

与BN交于点P,点P是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明

理由.

【答案】（1）∖+4=1

82

（2）点P在定直线y=X上.

a2

4b2

【分析】（1）解方程组/+不=I可得答案;

a2=b2+c2

⑵设胡（石,必）,N（//Z）,/的方程与椭圆方程联立利用韦达定理代人

阳M=料，J'=等，可得直线期的方程、直线的的方程，联立两直线方程得

1m2mX-Xɔ-4

…，由£=÷1化简可得答案.

2X]-2,xl-22N+x2

(1)

£=在

a2

4b2a2=8

由题意得/+*="叫

b2=2,

222

a=b+c

所以椭圆C的方程是片+广=1.

82

(2)

点P是在定直线y=-gx上，理由如下，

由⑴知/(2,l),8(-2,-l),设“(再,乂),义卜,力)，

2

l-.y=→+nι,m≠O,将/的方程与《+金=1联立消y,+2mx+2m-4=0.

282

222

则Δ=4w-4(2w—4)>0,得一2V"z<2且加工0,Kx1+x2=-2m,x}x2=2m-4,

11

因为左=Azl=Jj_____=3rn/：=%+1_22=Lm

sλ

""xl-2x∣—22x1-25x2+2x2+22x2+2

1mmI2m

所以直线/“的方程为》-1=(x—2),即y=

2X]-2∣÷玉一2JXj—2

直.线z,,BN的方程为k.1+(ɪ+宁rn卜L+2),即、七f1+彳m卜∖+2/m,

I/Tinι2m2tn

联立直线/〃与直线BN的方程，得-----------X=-------1-------

(玉一

2x2+2Jxj—2G+2

得呼=_生止耳(1tnIm

r5Kxp

X∣一X2—4~^l'

所以"=仕+*_]+用L号三二'Um(寸)+尸：4)

Xp12x1-2yx1-22(x1+x2)2(c1-2+x2J

12x,-412m1

=F/7?,----------------------=—+----------=.

2(x1-2)(xl+x2)2x1+x22

所以点P在定直线V=X上.

13.(内蒙古赤峰市2023届高三上学期1月模拟考试理科数学试题)已知抛物线

Ctx2=4y,过其焦点F的直线与C相交于4B两点,分别以48为切点作C的切

线，相交于点P

(1)求点P的轨迹方程；

(2)若Pa尸8与X轴分别交于0,R两点,令APyIB的面积为£,四边形PKF0面积为

身,求今的最小值.

【答案】(l)y=T

(2)2

【分析】(D利用导数的几何意义分别表示出L和％,设P(X。,几)，分别代入，由直

线系方程得到=又由直线/8过焦点尸，即可判断出比=-1；

(2)利用“设而不求法”分别求出S=：(片+4)府7,证明出四边形PRF0为矩形，

求出其面积Sl,进而求出ɪ的最小值.

2Y

【详解】⑴抛物线Cd="的焦点F(0,1).由f="得y=乙v，√=±.

42

设“(”)，B(x2,y2γP(x”。)，由导数的几何意义可得：L吟,kpB吟，

χχ

1PA-y-yι=y(-ι).即y=同理Lf=∕χ-%∙

,

Λ=y⅞-Jιr

又尸在尸4PB上,则，所以的：尸寸X-典.

Λ=y⅞-Λ

∙.∙直线”过焦点产，.∙.％=-l.所以点尸的轨迹方程是y=-L

(2)由⑴知P(XO,T),/ziz√y=∕∙x+l,代入Uf=4y得χ2-2x°x-4=0,

则卜+々=2%

、[xlx2=-4'

则∣N8I=必+%+2=：[(x∣+々)2-2x∣x?]+2=x：+4,

P到48的距离d=Jx；+4,所以SI=T(X：+4)&+4,

.4：V=A-M，当尸。时，得。S°)，

∙^∙¼=y×-=-1-,PAVFQ,同理&住,0),PBIFR.

由人%=9会=竽=T得P/1P8,二四边形W0为矩形，

「IORI=5∣x∣-ZI=JXo+4,；.SZ-2S4PQR=JX：+4,

.∙.∣L=∣(^O+4)≥2,当且仅当Xo=O时取等号.,要的最小值为2.

14.(内蒙古呼和浩特市2022届高三第二次质量数据监测理科数学试题)抛物线C的顶

点为坐标原点。，焦点在X轴上，直线/：χ=2交C于P,0两点，且。尸1。。.已知

点M的坐标为(4,0),G)M与直线/相切.

(1)求抛物线C和G)AY的标准方程；

(2)已知点N(8,4),点4,H是C上的两个点，且直线AH均与。M相切.判断

直线44与G)M的位置关系，并说明理由.

【答案】⑴/=2x,(x-4p+y2=4

(2)相切，理由见解析

【分析】(1)由题意设抛物线C的方程为∕=2px,将x=2代入可求出P,。两点坐标,

再由OPi。。可得2=可，从而可求得P的值，则可得抛物线的方程，由题意可得。M

的半径为2,从而可求出。M的方程，

2

(2)由已知可得N(8,4)在抛物线上,设4(Μ，乂),A2(x2,y2),则可得"j,="，从

而可表示出直线协Ι的方程，由于直线与圆相切，所以由圆心到直线的距离等于半径，

可得3占+4%-2=0,同理得W⅛的方程为3々+4%-2=0,所以可得

直线AiA2方程为3x+4y-2=O,进而可求出点M到直线A1A2距离，由此可得结论

(1)

由已知，设抛物线C的方程为V=2px(p>0),

当χ=2时，y2=4p,则y=±〃7，

所以不妨设P(2,廊)，ρ(2,-√47)j

因为。PlO。,所以丽・丽=0,

所以4-4p=0,解得P=I

所以抛物线C的/=2x,

因为。M与直线/：χ=2相切，Λ∕(4,0),

所以QM的半径为2,

所以。的方程(x-4)~+y2=4

(2)

由已知可得N(8,4)在抛物线上，设4(XQJ,A2(x2,y2)

kJL4」「4M_4_2

na2

所以'xi-8y∣g-16ʃ,+4,

T-

2

所以的点斜式方程为V-=-Γς(X-8)

必十4

整理可得2x_(4+yJy+4M=0.

∣8+4y,∣C

此直线与圆相切，可得T匚S=2,

>/4+(4+必)

平方后可得3"+8凹-4=0

又因为疗=2x∣

化简得3x∣+4y∣-2=0,

同理：A%的方程为3X2+4%-2=0,

所以直线44方程为3x+”-2=O,

所以点M到直线44距离为［-2∣=2,

√32+42

所以直线44与。M相切

15.(内蒙古通辽市2022届高三4月模拟考试数学(理科)试题)已知抛物线

E:/=2px(p>0)的焦点为厂，准线为/,点尸(Xi),1)在抛物线E上，且归尸∣=1.

(1)求抛物线E的标准方程.

⑵过尸的直线与抛物线E交于48两点，与准线/交于C点，若直线P∕,P8,PC的斜率

分别为占他，％,证明:七是尢，内的等差中项.

【答案】(l)∕=2x;

(2)证明见解析.

【分析】(1)设出P的坐标，根据点在抛物线上,IPFI=I列方程组求解；(2)设出直线

48方.程，和抛物线联立，结合韦达定理求解.

(1)

由抛物线的定义知IPFI=X0+=1,因为尸小,1)在:抛物线E上,所以2p%=1,解得p=1,

所以抛物线E的方程为∕=2χ.

(2)

由⑴知呜,θ),Pe,1),Lχ=-g.

由题意，显然直线48的斜率存在且不为0,设直线/8的方程为X=my+；,/(%,"),

'_ɪ

8(々，力).联立方程组，“m^+2,得/-2叩-1=0,则弘+%=2切，必%=T.因

,y2=2x

-ɪ-ɪ1