山东省烟台市2022-2023学年高一下学期4月期中数学试卷

2022〜2023学年度第二学期期中学业水平诊断高一数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,

只有一项符合题目要求.

1.若z("i)=l-5i,则口()

A.-2-3iB.-2+3iC.3-3iD.3+3i

答案：B

l-5i(l-5i)(l-i)-4-6i

解析：依题意,=-2-3i,

7+7(l+i)(l-i)=2

所以W=-2+3i∙

故选：B

2.已知向量“、8的夹角为150，H=I，W=G,则0+2匕卜()

A√5B.√7C.√10D.√19

答案：B

解析：因为向量b的夹角为150，W=I，W=有，

则α∙B=,卜恸85150=IXGX]—等J=一"|，

因此，∣a+2Z?|=∖∣a+4a∙b+4b=Jl+4×f--∣j+4×3=y∕l.

故选：B.

3.己知cos(α+∙^)=;,0<e<π,则Sina的值为()

3石1113

A.C.D.

ɪ141414

答案：C

(π1,ππ7π

解析：因为cos[α+q二，且0<α<π,则r1一<α+一<—，

7666

π、.π

-cosα+-sin—

6√6

11

U

故选：C

4.故宫是世界上规模最大，保存最为完整的木质结构古建筑群，故宫“乾清宫”宫殿房檐

的设计在夏至前后几天屋檐遮阴，在冬至前后几天正午太阳光就会通过地砖反射到“正大光

明”匾上，惊艳绝伦.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角为73°,冬至前后正午太阳

高度角为27。，如图，测得BC=α,则房檐4点距地面的高度为（）

αsin53°2sin46°

A.------------B.------------

2sin46°αsin53°

Ian73o-tan27o«sin270sin730

D.

αtan53°tan27°--------------------------------------------------sin46o

答案：D

解析：设点A在地面的射影为。，由己知得NABZ）=73°,NACe=27°,

则/BAC=73-27=46;

在三角形ABC中，由正弦定理,"得AB="sm27.

sin46sin27sin46

a一4F,.asin27sin73，八小ɪʌ

在直角二角形AaB。中，AD=AjBsin73=--------------------•故选：D

sin46

5.在一ABC中，点。为BC中点，E为AO中点，记A。=。，CE=b，则AB=（）

3・・3--1一一Irr

A.—a+bB.-a-bC.—a+bD.-a-b

2222

答案：A

解析：因为点。为BC中点，所以DB=CO;因为E为AQ中点，所以=

所以AB=4。+Z）B=A。+CDAD+CE+ED

133

=AD+CE+-AD=-AD+CE=-a+b.

222

故选：A.

6.设Q=(I-6tan20jsin80,b=sin40sinl10-sin20sin130，2tan15

l-tan215

则()

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.a>c>b

答案：C

(cos20-√3sin20)sin(90-10)

解析:α=(1-Λ∕5Ian20Jsin80=

cos20

(gsin20-cos20jcoslO2sin(20-30)coslO2sinl0cos10

cos20cos20cos20

_sin20

=tan20,

cos20

Z?=sin40SinllO-sin20sin130=sin40sin(90+20)-sin20sin(90+40)

=Sin40cos20-sin20cos40=Sin(40-20)=sin20,

2tan15

=tan30，

l-tan215

,ɔrʌ

因为OVCoS20<1，则tan30>tan20=—........>sin20,即c>4>h.

cos20

故选：C.

7.设函数/(x)=kinx∣+∣cosx∣,^(x)=sin(2x+^)-2sinx,若存在玉,々e1。,兀1，使

得了(xj+g(%2)=m，则实数机的取值范围为()

A.[-3,1]B.[-2,V∑]C.[-2,1+V∑]D.[-1,2]

答案：C

解析：X£[。,兀],f(χ)=J(ISinXl+1CoSXI)2=JI+1Sin2x|，显然2x∈[0,2πJ,

jτ∙τrɜjr,

当xe{0,一,兀}时，∣sin2x"in=°，当xe{—,一}时，|Sin2x∣,n,χ=0,因此14/(x)≤√2,

244

21,3

x∈fθ,π],^(x)=Cos2x-2sinx=l-2sinx-2sinx=-2(sinɪ÷~)+~»

而O≤sinx≤l,则当SinX=0,即xe{0,兀}时，g(∙v),nax=1,当SinX=1,即》=万时，

g*)min=-3，即-3≤g(x)≤1,

依题意，％血=一3+1=一2,∕nmax=1+0，

所以实数机的取值范围为是[-2,1+J可.故选：C

8.在锐角.ABC中，角48,。所对的边分别为0,仇。.若2。856=。一。，则吧(3二£1

SinB

的取值范围为()

A.(1,√3)B.(0,1)C.(θ,√2)D.(忘,6)

答案：B

解析：因为2ccos8=α-C,由正弦定理可知，2sinCcos8-SinA+sinC=O,

又A+3+C=π,所以SinA=Sin(3+C)

所以2sinCcosB-Sin(3+C)+sinC=O,

所以sinCcosB-sinβcosC÷sinC=O

即sin(C-B)=sin(-C)，

又是锐角，则8,c∈0微

,所以C-B=-C,即8=2C,

β=2ceHJ

ππ

解得C∈

6,4

A=π-(B+C)∈

所以Sin(A-C)_Sin(A-C)_Sin(»-4C)sin4C_2sin2Ccos2C_2co〃C

sinβsin2Csin2Csin2Csin2C

C∈2W>.2CeC,则cos2C∈(θ,;)

则2cos2C∈(0,l),

故选：B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

TlJl

9.已知复数Z=Sin-+icos—,则()

66

A.z的虚部为且iB.ɪ在复平面内对应的点在第四象限

2

C.z+z=∖z∖D.Z是关于X方程χ2-χ+l=0的一个根

答案：BCD

解析：依题意，复数Z='+立i,复数Z的虚部为也，A错误；

222

W=g-#i在复平面内对应的点（；,-等）在第四象限，B正确；

IZl=Jgf+（*）2=1，Z+Z=（g+亭）+g一且i)=i,则z+3=∣z∣,C正确;

z2-z+l=^+-i^-(ɪ+-0+lɪ(-ɪ+-i)-ɪ--i+l=O.

22222222

即Z是关于X的方程χ2一χ+ι=o的一个根，D正确.

故选：BCD

10.已知向量。=(1,2),0=(3,T),c=(2,m),则下列说法正确的是()

A.若加=1,则α与Z夹角的余弦值为［B.若(a+〃)〃c,则〃?=；

(31

C.若〃7>—1,则”与C的夹角为锐角D.向量”在b上的投影向量是[5,一历

答案：ABD

/∖a∙c44

解析：对于A选项，当机=1时，c=(2,l>则8SR'C)=丽=瓦有=7A对;

对于B选项,因为α=(l,2),⅛=(3,-l),c=(2,m),则α+B=(4,l),

若(。+匕)〃乙贝∣]4w=2,解得〃?=；,B对;

对于C选项，若“与C夹角为锐角，则“∙c=2+2”?〉0，解得加>—1,

且α与C不共线，所以，m≠4,

所以，当机>一1且m≠4时，α与C的夹角为锐角，C错;

h=^--b=-h

对于D选项，向量α在〃

1410

(1qD对.

Uo,ιoj

故选：ABD.

Tr

II.函数/(x)=ASin(0x+e)(A>O,<υ>O,∣e∣<5∙)的部分图象如图所示，则()

ιrTr

A.函数/（x）在区间（-一,一）上单调递增

612

B.（苫,0）是函数/（x）的一个对称中心

C.函数/（X）在区间［-蓊］上的最大值2

D.若/（王）=/（々），则IXl-X2I=兀

答案：AC

解析：观察图象知，A=y∣3>F（O）=2sine=拓，即Sine='ɪ,而解得夕=工，

2，ɔ

/（~）—2sin（-^-69÷-）=—λ∕3,有Sin（IG+］）=—热，因为点（0,*^）与（鼻，—J^）在函

数图象上相邻，

因此（乌。+马一殳=兀，解得。=2,于是/（x）=2sin（2x+g）,

2333

JTTTTTTTTT

对于A,当一一<x<一时，0<2x+—<—,而正弦函数y=sinX在（0,一）上单调递增，

612322

ππ

所以函数/（x）在区间（一一,一）上单调递增，A正确；

612

对于B,当x=—二时，/（—二）=2sin（-二）=一石≠0,（―：,0）不是函数/（x）的一个对

3333

称中心，B正确；

对于C,当x∈［-2TT苫TT］时，2x+2TT∈［-2TT,TjTT］,当2x+KJi=TtL,即x=2JL时，F（X）取得

443663212

最大值2,C正确;

对于D,¾x1=0,x2=—,有/(F)=6,/(%)=SinN=J5∖此时有/(%)=/(工2)，

63

π

而I%F=—，D错误.

6

故选：AC

12.在.A6C中，角A8,。所对的边分别为。力,。，αsinB=bsin'^l^°,“=3,。为

2

JRC外接圆圆心，则下列结论正确的有()

Tr

A.A=∣B..ABC外接圆面积为12兀

C.BOBC=-D.SA时的最大值为毡

24

答案：ACD

解析：在_ASe中，由正弦定理及αsinB=匕sin妇C得：sinAsinB=sinBsin-~~—

22

■・c八.4A-.AAA-八AπAC

而sιn3>O,则有SmA=Cos—,tBjPrt2sm-cos—=cos-,又0<一<一,cos—>0,

2222222

则Sing=所以!=g即A=g,A正确；

22263

RIal3fr

由正弦定理得JIBC外接圆半径2SinA2.兀，该圆面积=3π,B错

sin—

3

误；

19

如图,BO-BCBO∖∖BC∖cosZOBC=-aa=~,C正确;

22

由余弦定理得：9=α2=b2+c2-2bccos-≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c=3时取等号,

3

因此SABC='人CSin'=走8c≤迪，D正确•

abc2344

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

7兀71[7tɪ

13.已知Sina+cosα=—,-<a<-则sin20——的值为______.

542fI4；

答,y案+：43-

50

74924

解析：因为SinQ+cosa=一,两边平方得：1+2SinaCOs。=一，解得sin20=—,

52525

22

又4<α<乌，即色<2α<兀，W∣Jcos2a--ʌ/l-sin2ɑ=-/1-(―)=--9

422V2525

∣.π.π.π24√27√231垃

mfiff以rsιno(2α——)=sm2acos——cos2αsin—=一×----(----)×——=-----,

44425225250

故答案为：如&

50

14.写出一个同时满足以下三个性质的函数：/(X)=.(写出一个符合条件的即可)

JTr1TTTT

①对于任意XWR,都有/(尤+/=/0-亍)；②/(x)的图象关于直线X=；对称；

③〃力的值域为[0,2].

TT

答案：sin(2x+-)+1(答案不唯一)

4

Tr3冗

解析：任意XeR,/(ɪ+-)=/(ɪ--)<≠>/(%+π)=f∖x),即函数/(χ)是周期为兀的

44

周期函数，

Tr

则由性质①，可令/(x)=Asin(2x+φ)+h,A>0,∖φ∖<-f

由性质②知，2×-÷^9=⅛π÷-,∕s∈Z,而|『|<不，则Z=O,9=一

o224

•A+b=27t

由性质③知，∖,八，解得A=I力=1,于是/(x)=sin(2x+-)+l,

-A+Z>=()4

π

所以同时满足给定三个性质的函数可以为/(X)=sin(2x+-)+1.

4

π

故答案为…吟+》

15.在中，困=2,网2-闾啊BC|+4=|AC］，D是边AB上一点,且满足

CDCB=CDCA,则CO∙C6的值为

答案：2

因为Coe8=CD∙CA，故Co(CB-CA)=O即c。.AB=0，

故CD为AB边上的高，故CDCB=CD(CD+DB)=CD.

又IAB(一√Σ∣AB∣,q+4=|AC『可化为

(IA4+即『-20(M+|叫)+4=MHC¢,而IC=4_畋『，

所以(„+一2√Σ(卜4+1)+4=,42+4—卜。(，

整理得到：I叫χ(kq+∣叫)—五(,。同叫)=(),故M4=√∑,

故ICr)I=2即Cr)∙CB=2

故答案为：2.

16.赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵

爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形.如图所示，正方

形ABC。的边长为而，正方形EFGH边长为1,则AE∙AG的值为；

tanZEAB=

7

答案：①.6②.一

4

解析：依题意，Rt..ABG.RtBCH,RtCDE,RtDAF全等,

在RtZkABG中，AB=√13,AGAF+1,BG^AF,由AG?+8G2=AB?得:

(AF+1)2+AF2=13,即AF2+A尸一6=0,又AE>0,解得AF=2,

AE-AG=|AEHAG∖cosZEAF=IAFI(IAFl+1)=2χ3=6；

噂=*iG=穿'

12

—÷-

tanZEAF+tanZBAG7

所以tanZEAB=tan(ZEAF+ZBAG)=23

12

1-tanZEAF∙tan/BAG11---x—4

23

7

故答案为：6；—

4

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

/

17.(1)已知复数Z=CoSe-Sine-i是纯虚数，求tan仁一。的值;

（2）己知W=JΣ,忖=1,∣α+0=逐，求。+力与3α-2Z?夹角的大小.

答案：(1)-3(2)-

4

解析：（1）因为复数Z=i是纯虚数,

cosθ-----=0厂厂

所以《5L，即cosθ-且SineWʒ，

・A2艮八55

Slne-------≠0

5

=±述,又因为SineW3叵,

所以Sine=±∙∖∕1-cos2Θ=±

55

2√5

所以sin。=-半，则tan"黑=十=-2,

5

兀八

tan——tanσ1-(-2)

所以tan(^-6)=---------------

4,πʌl+l×(-2)

1+tan—tanθ

4

(2)因为卜+4=石，所以卜+b『=5,即蓝+片+2“m=5,

所以(√Σ)2+E+2α∙b=5,整理得a»=l，

所以(4+0)∙(3α-2b)=34~+α∙h-2∕/=3χ(T∑)2+l-2χl?=5,

2222

∖^a-2hI=y∣(3a-2b)=y∣9a-I2ab+4b=√9×(√2)-12×1+4×1=√10，

设a+匕与3。—23夹角为C，

(Q+0)∙(3α-2∕?)

COSa=CoSd+〃，3。-2〃=5√2

卜+可|3々-2〃|√5×ΛA0^2

TlTi

因为αe[0,7t],所以a=—,故a+Z＞与3a-2Z?夹角为一.

44

18.已知向量。=(l,-√3),向量〃与a的夹角为：兀，且W=2.

(1)求向量6的坐标；

(2)设向量C=(SinX,cosx),(x∈R),向量，〃=(一班,1),若=加=0，求+’的最

大值并求出此时X的取值集合.

答案：(1)(—2,0)或(1,逐)；

兀

(2)3,{x∖x=2kπ+-,k∈Z}.

6

._________2

1.设Z?=(x,y),依题意，IaI="+(-6)2=2,a-b^a∖∖b∖coπs-=-2,而

ab=x-^∣3y,

x-y∕3y=-2X--2X=1

因此,解得VC或‹

炉+y2=4Iy=Oy=行

所以向量力的坐标是(-2,0)或(1,0).

2.向量加=(一石,1),且〃.加=0,当8=(—2,0)时，⅛∙m=2√3≠0.不符合题意，舍去,

当b=(l,JJ)时，bm-∖×(-λ∕3)+∖∕3×1=0,符合题意，即b=(l,JJ),则

∕?+c=(1+sinX,3+cosX),

Ib+cI=J(1+SinX)2+(VJ+CC)SX)：=g+2SinX+2相CoSX5+4Sin(X+—),

因为XGR,则当x+巴=2E+工,ZeZ,即x=2E+',攵∈Z时，(∣Zj+c∣)ntιx=3,

326

所以卜+d的最大值是3,此时X的取值集合是{x∣X=2E+4«eZ}.

116

19.在.AδC中，角AB,C所对的边分别为a,》,c,且(2a-Z?)CoSC=CCOs3.

(1)求角C的大小；

⑵若SABC=25c=2√3,求-ABC的周长.

答案：(1)一；

3

⑵6+2√3.

1.一ABC中，由正弦定理及(2。一。)COSC=CCoSB得：

2sinAcosC-cosCsinB=sinCcosB,

整理得：2sinAcosC=sinCcosB+cosCsinB=sin(C+8)=sin(π一A)=SinA,

而SinA>O,则cosC=-,又0<C<兀，

2

Tt

所以C=一.

3

2.由(1)知C=],依题意，SABC=gabsinC=^~ab=26，解得。匕=8，

由余弦定理得：c1=a2+b2-2abcosC=(a+h)2—3ab=(α+b>—24=12,解得:

。+0=6,

所以-ABC的周长JL=Q+0+c=6+2y/3•

20.观察以下各式：

y/3tan60-tan60tan300-石tan30°=1：

^∣3tan50°-tan50°tan20->∣3tan20=1；

yfitan45c-tan45°tan15°->∕3tanl5=1.

分析以上各式的共同特点，写出一个能反映一般规律的等式，并证明该等式.

答案：见解析

解析：退tanα-tanαtan∕-百tan£=l,其中α-∕=30,

tanαtan

证明：tan(α-^)=~^=tan30=@,

1+tanαtan夕3

则tana—tan∕?=+tanαtan£)，

则左边(tana-tantan(7tanβ

=-73×^y-(l+tanertan∕?)-tanatanβ=1=右边.

故等式成立.

21.绿水青山就是金山银山.近年来，祖国各地依托本地自然资源，打造旅游产业，旅游业

TTTT

蓬勃发展.某景区有一直角三角形区域，如图，BC=Ikm,NACB=—，ZABC=-,

32

..τι

现准备在中间区域打造儿童乐园GBMN,M,N都在边AC（不含A,C）上且NMBN=―,

6

设∕NBC=a.

（1）sinZABM=—,求Sina的值；

13

（2）求CBMN面积的最小值和此时角。值.

12石-5

答案：（1）

26-

6-3√3

(2)

4

S____________1ɔ

L依题意，sinZABM=—,则cosZABM=√1-sin2ZABM=—,而

1313

一兀兀

/ABC=—/MBN=一，

26

sina=Si吗-ZABM-4MBN)=CoS(NABM+-)

,126-5

cosZZAΛBOMΛ/fcos兀——sinZΛAOBΛM/fsm兀—=1—2×V--3-----5--x—1=

6613213226

BNBCTTZTT

2.在，BNC中,由正弦定理得,而NACB=―,NBNC=,—a,

sinZACBSinNBNC33

BCSin工

则BN=_______3_

.,2π2(sinɪcosa-cosɪsina)6cosα+sinα

sɪn(--α)

兀_兀-TrL

在ABC中，ZABC=-,ABAC=-,AB=BCtanNAC6=tan—=6,

^263

ABBM

在ABM中，由正弦定理得而

tkSinNAMB-SinNBAC

π

/AMB=/MBN+NNBC+/ACB=-+a,

2

ABsin-∕τ

BM=----------=——

Si吗+α)2"

q_________3_________

UBMN=-BNBM-sin-=

268cos6Z(Λ∕3COSα+sin。)

8cosɑ(^/ɜcosα+sinα)=4sin2a+4君(1+cos2α)=4(sin2α+百cos2a)+4百

—8sin(2αH—)+4∙∖∕3，显然cc+NABM=—,有α∈(0,—),2αH—∈(—,兀),

33333

则当2。+]=],即α=己时，8cosa(y∕3cosa÷sina)取得最大值8+4G，

3_6-3√3

(SBMN)min8+4√3^4

所以当α咤时，,加N面积取得最小值字