贵州省六盘水市2022-2023学年高二上学期期末教学质量监测数学（解析版）

六盘水市2022-2023学年度高二年级第一学期期末教学质量监测

数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合A={°J2},8={x∣0<x≤2},则A3=（）

A.{1}B.{1,2}C.I,2D.{（1,2）}

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合的交集运算即可得到答案.

【详解】由A={0,l,2},B={Λ∣0<X<2},则ArB={1,2}.

故选：B.

2.已知复数Z满足Z（I-i）=]?®（i是虚数单位），则Z的虚部是。

A.B.ɪC.—iD.—i

2222

【答案】A

【解析】

【分析】先由虚数单位性质求得i2O23,再利用复数的四则运算求得Z,从而得解.

【详解】因为i2023=i505×4+3=(i4)×i3=-i,

所以z(l-i)=i2023=-i,故Z=-ɪ=-~==---

v,1-i(l-i)(l+i)222

所以Z的虚部为一

2

故选：A.

3.为研究病毒的变异情况，某实验室成功分离出贝塔毒株、德尔塔毒株、奥密克戎毒株共130株，其数量

之比为7:2:4,现采用按比例分配的分层抽样的方法从中抽取一个容量为26的样本，则奥密克戎毒株应抽

取（）株

A.4B.6C.8D.14

【答案】C

【解析】

【分析】根据分层抽样的性质运算求解.

【解析】

【分析】求出小。和∣α∣,根据投影向量的定义，即可求得答案.

【详解】由向量a=(O,Ll),人=(1,2,1)可得“∙0=(0,l,l)∙(l,2,l)=3,

IaI=Vo23÷12÷12=5/2，

故b在α上的投影向量为一：------=-^=∙∙。J)=f0,一,一],

⑷|«|√2√2I22；

故选：A

6.已知空间四边形QABC中，OA=Q,OB=b，OC=C,点M在3C上，且M8=2Λ∕C,N为OA

中点，则MN等于O

12,112,1

A.—a/?+—cB.—abc

233233

11,111,2

C.abH—cD.-abc

232233

【答案】D

【解析】

【分析】根据空间向量的线性运算，用。4、。8和OC表示出MN即可.

【详解】解：因为点M在BC上，且MB=2MC,所以MC=JBC,

3

所以MN=Me+CO+ON

11

=-BC-OC+-OA

32

^-(OC-OB]-OC+-OA

3、'2

111

^-OC--OB-OC+-OA

332

211

=--OC--OB+-OA

332

21,1

=——c——b+—a

332

故选：D.

7.已知点Af在圆C：(x+l)2+(y+2p=1上，直线/：(2m+l)x+(m+l)y-m+3=0(SeR),则

点Λ/到直线/的距离的最大值为O

A.5√2+lB.5√2-lC.√34+lD.√34-l

【答案】A

【解析】

【分析】由己知直线方程求得直线过定点P(4,-7),再利用两点之间的距离公式求得圆心到直线的距离的

最大值，即可求解.

【详解】整理直线方程得m(2x+y-l)+x+y+3=0

x÷γ+3=OX=4

联立＜,解得＜

2x+y—I=O)=一7

所以直线/恒过定点P(4,-7)

圆C：(%+1)2+(J+2)2=1,圆心C(-1,-2),半径厂=1,

当CPJ_/时，圆心C到直线/的距离取得最大值，最大值为

ICPl=7(4+1)2+(-7+2)2=5√2

所以点M到直线/的距离的最大值为ICH+r=5√2+l

故选：A

8.设点P是双曲线C：⅛-⅞=l(α＞0,。＞0)上任意一点，过P作双曲线的两条渐近线的平行线,

a2h2

分别交渐近线于点A8.若四边形加有的面积为2,则双曲线的焦距的最小值为O

A.8B.4√3C.4√2D.2√2

【答案】C

【解析】

【分析】设尸(也〃)，过点P与直线。4：版+αy=O平行的直线方程为法+αy+C=O,求出C,再联

立方程求出B点的坐标，求出∖OB∖及点P到直线OBbx-ay=0的距离，利用四边形OAPB的面积求出ab,

再结合基本不等式即可得解.

【详解】双曲线C：⅛-⅞∙=l的渐近线方程为bx+ay=O,

设PW过点P与直线Q4：陵+@=0平行的直线方程为"+αy+C=O,

则加7+Q72+C=O,所以C=-bm-an,

则与直线。4：法+αy=O平行的直线方程为匕x+缈一。加一。〃二0,

bm-∖-an

x=----------

bx+ay-bm-an=Q

联立「八，解得2b

bx-ay=Obm+an

y=----------

Γ2a

八、，八工，4—c（bm÷anbm-∖-cm∖

即直线hx+αy一=O与渐近线加一金=。的交点5———,-----，

I2b2a）

∖bm-an∖

点P到直线。8：法一3=O的距离d-—"I—,

<b2+a1

∖bm+an∖∏1

^-2-w+F,

IMCNd,=C2,即―∖bm-}-a匕n∖∏+声Γ∖b舄m-arA^=2ʌ,即

因为四边形。LPB的面积为2,所以

∣Z>2m2—a2n2∣

2cιb

22222

=ab,所以物!二回=弛=2,所以。匕=4,

因为■■——Γɪɪ(所以。O"?-a、

a2b2Iab2

由c?=片+/?222出?=8，当且仅兰jα=b=2时，取等号，所以∕≥8,即c22√∑,

所以双曲线的焦距的最小值为4夜.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：根据平行四边.形的面积公式建立方程求出α/的关系，再由基本不等式是解决本题

的关键.

二、多项选择题：本题共4小题L每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得f；分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.下列函数中，既是偶函数又在(0,+8)上是单调递增的函数是()

A.y=I-InWB.y=2∣"C.y=/+2,χD.y-

【答案】BD

【解析】

【分析】利用偶函数的定义和初等函数的单调性对每个选项进行判断即可

【详解】对于A,当x∈(0,+∞),γ=l-ln∣x∣=l-lnx,

由于y=Inx是定义域内的单调递增函数，所以y=17∏Λ在(0,+e)上是单调递减，故错误；

对于B,令/(0=2凶，定义域为R,

因为八一X)=2H=2W=∕(X),所以/(X)为偶函数，

当x∈(0,+s),/(x)=2W=2＜为单调递增函数，故正确；

对于C,y=χ2+2χ=(χ+l)2-1的对称轴为广一1,不关于V轴对称，不是偶函数，故错误；

对于D,令g(χ)=G^,定义域为R,

因为g(r)=J(—X)=√7=g(χ),所以g(x)为偶函数，

当xe(O,+。。)，g(χ)=G^=χ为单调递增函数，故正确；

故选：BD

10.已知直线/过点(1,1),下列说法正确的是O

A.若直线/的倾斜角为90。，则方程为χ=l

B.若直线/在两坐标轴上的截距相等，则方程为x+y-2=0

C.直线/与圆：/+丁=3始终相交

D.若直线/和以M(—3,3),3)为端点的线段有公共点，则直线/的斜率壮-∣,2

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据直线方程的斜率特点，即可判断A；根据直线截距的概念，分类讨论求解直线方程，即可判

断B；根据点与圆的位置关系，来判断直线与圆的位置关系，即可判断Ci确定直线/与线段的位置关系

即可得斜率的取值范围，即可判断D.

【详解】解：对于A,若直线/的倾斜角为90。，则直线斜率不存在，又直线/过点(1』)，所以方程为X=1,

故A正确；

对于B,若直线/在两坐标轴上的截距相等，若两坐标轴上的截距均为0,则直线方程为x-y=0；

若两坐标轴上的截距均不为0且相等，则直线斜率为-1,又直线/过点(1,1),所以方程为x+y-2=0；

综上，直线/的方程为χ-y=O或χ+y-2=0,故B不正确；

对于c,圆：%2+/=3,又F+F<3,则点(1,1)在圆内，又直线/过点(1,1),所以直线/与圆：%2+/=3

始终相交，故C正确；

对于D,设P(l,l),又用(—3,3),2V(-l,-3),所以%W=El=—g,Mw=El=2,

斗

∖Λ∕(-3,3)

一工

如上图，要使直线/和以用(—3,3),N(—1,-3)为端点的线段有公共点，则直线/的斜率Ze-∣,2,故

D正确.

故选：ACD.

11.已知抛物线C：/=-4x,过抛物线的焦点F作倾斜角为夕的直线/交C于M,N两点，则O

A.awQN=3(。为原点)B.若。=45。，则IMNl=8

11,

C.西+丽=1D.以MF为直径的圆与y轴相切

【答案】BCD

【解析】

(分析】举特例即当夕=90时,计算OMON=3判断A；根据抛物线的弦长公式可判断B:分夕=90

11

和。工90两种情况分别求得西+丽的值，判断C；计算M,F的中点到y轴的距离和IMpl比较，

可判断D.

【详解】由题意可知抛物线C：V=—4X的焦点为F(-l,0),p=2,

设M(Xl,χ),N(X2，%)，％<°，工2<°，

对于A,当(9=90时，直线/的方程为X=-1,

此时不妨设用(一1,2),N(T,-2),则OMoN=(-1,2)∙(-l,-2)=-3,A错误;

对于B,8=45°时，直线/的方程为y=x+l,

联立y12=3-4x得：%2+6%+l=0)

则%+々=-6,故IMVl=P-(X]+x2)=2-(-6)=8,B正确；

对于C,当。=90时，直线/的方程为户一1，

11Il

此时1-----F+I7=1=11.

此JlMFl∖NF∖22，

当。工90时，设直线/的方程为y=-X+1),由题意知左≠0,

联立V=—4X得：k2x2+(2k2+4)x+k2Δ=16(Zr2+1)>O,

则Xj+×2

k

11112—(Xj÷X9)2—(Xj+X7)

则+画一]_%+]■■尤2—(I-^I)(I-X2)-1-(X,+X2)+X1X2

C2公+4

2-----

11

综合以上可得口可+网=1,C正确；

对于D,∣MF∣=1-X,M,E的中点的横坐标为二P,

故M,F的中点到y轴的距离为匕ɪ(J=LU=g∣ME∣,

即以为直径的圆与N轴相切,D正确，

故选：BCD

12.已知正四面体ABeD的棱长为2,E、尸分别是AB和Co的中点，下列说法正确的是()

A.直线BO与直线AC互相垂直

B.线段E尸的长为巫

2

C.直线AB与平面BCD所成角的正弦值为逅

3

D.正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为诬

6

【答案】ACD

【解析】

【分析】取3。的中点尸，连接CRAP,证明比)1平面PAC，即可判断A；根据空间向量基本定理及

数量积的运算律计算即可判断B；连接BF交CP于点。，则点。为点A在平面BCD上的投影,则ZABF

即为直线AB与平面5C。所成角的平面角，求出SinNABE即可判断C；利用等体积法求出正四面体

ABC。的内切球的半径即可判断D.

【详解】对于A,取BD的中点P，连接CP,AP,

因为A8=AO=CB=8,

所以APL8。,Cp_180,

又APCCP=P,AP,CPU平面PAC，

所以BZ)S平面PAC,

又ACU平面尸AC,所以BDLAC,故A正确；

_一兀

对于B,ZBAC=ZBAD=ZCAD=-,

3

EF=EA+AC+CF=--AB+AC+-CD=--AB+AC+-(AD-AC∖

2222v>

=--AB+-AC+-AD,

222

则同=JKAB+]/+;回

1/222-

=-∖∣AB+AC+AD-2AB∙AC-2AB∙AD+2AC∙AD

2

=-√4+4+4-4-4+4ɪ√2,故B错误；

2

对于C,连接■交CP于点。，连接OP，则。为43CD的中心，

则点。为点A在平面BC。上的投影，即OA_L平面BCD,

则ZABF即为直线AB与平面BcD所成角的平面角，

在RtZvlOB中，OB=ZBF=^!^，0A=y∣AB2-OB2=^-,

333

则sinZABO=—=—,

AB3

即直线AB与平面BCo所成角的正弦值为逅，故C正确；

3

对于D,设正四面体ABCf)的内切球的半径为r,

则匕-BC。§SbcdOA=—Sbcd∙r+-Sabd∙r+-Sabc∙f^+~Sacd∙r,

所以「=逅，

6

所以正四面体ABCD内存在点到四个面的距离都为逅，故D正确.

6

故选：ACD.

A

D

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.命题“玉€/?,%+国<0"的否定是

【答案】Vxe/?,x+|x|>0；

【解析】

【分析】根据存在量词的命题的否定为全称量词命题即可得解；

【详解】解：因为命题"玉∈R,x+W<0”为存在量词命题，其否定为全称量词命题为∀χ∈R,χ+N≥0

故答案为：VX∈R,x+∣x∣≥0

14.已知单位向量a,b-且a'(a+2h),则Ia-W=.

【答案】√3

【解析】

【分析】由单位向量及数量积的运算可得。出=-;，再根据模的运算即可得卜-可的值.

【详解】解：已知单位向量”,b，则W=W=1,

又a_L(a+26),所以α∙(α+2∕?)=O,则下+2。-〃=。，所以“为=一；，

2222+2

则JL=y∣a-2a-b+b=ʌ^ɪ-×1]ɪ=G.

故答案为：ʌ/ɜ■

15.我国南北朝时期数学家祖晅提出了一个原理：“幕势既同，则积不容异''.也就是说“夹在两个平行平面

之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两

个几何体的体积相等”.现有某几何体和一个圆锥满足祖瞄原理的条件，若该圆锥的侧面展开图是一个半径

为4的半圆，则该几何体的体积为.

【答案】迪兀

3

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面展开图是一个半径为4的半圆得到圆锥的底面周长，进而得到圆锥的底面半径和

高，然后利用圆锥的体积公式求解.

【详解】解：圆锥的底面周长为』x2万χ4=4万，

2

所以圆锥的地面半径为r=2,高为∕z=J42_22=26，

所以圆锥的体积为V=LSh=LX兀χ*χ2C=巫兀，

333

故答案为：巫R

3

χ22

16.已知椭圆C:^+方=l(g>8>0)的左右焦点分别为耳，工，若椭圆。上存在点P,使得

2

∖Pθf-∖θFf=—(。为原点)，归月『+归闾2>4"—3必，则椭圆C的离心率e的取值范围是.

6

【答案】^-<e≤-

36

【解析】

2i2

【分析】由2PO=PF∣+PE两边平方得4∣PO∣HPF1∖+∖PF21+2PFi-PF2,利用

PFy-PF2^PO+OF^∖PO-OF^,进一步推出4∣POfh2用2f∣PKi2+2(∣POl2_/),将

2/2λ

2

IPol2=土+¢2代入得∣p"∣2+∣p加2=2j+02+2c,再根据|w『+|p居「〉4/_3/推出

6V6)

2a2<3c2.得逅<e<l,再根据/≤∣PO∣2</推出Y[∣<e≤叵，从而可得逅<e≤叵

36636

【详解】设IEKI=2c,则耳(-c,0),F2(C,O),

因为2PO=P4+Pg,所以4|。0『=|「耳|2+|叫|2+2防，6，

又因为P6=P0+0FJ,PF2^PO+OF2,OFi=-OF2,

所以助∙PK=(PO+O片MPO-O片)=∣PoI2To川2=IPoF一¢2,

所以41P。F=I+1PK|2+2(|尸。|2_。2),

22

又因IPO『一|0耳『=?，即IPol2=]→c2,

/2λ/2\/2λ

所以4-+c2=IPMl2+|PHl2+2幺+,2—.2,即IP6F+∣PHI2=2—+c2+2?,

I6)I6)V6)

因为附|2+附「>4/_3。2,所以2^-+C2J+2C2>4Λ2-3⅛2,

所以2y+c2+2c2>4a2-3(a2-c2),整理得2/<3c、2,得当<e<ι,

又因为b≤∣PO∣≤α,所以〃≤∣PO∣2≤Q2,所以/—C2≤E+C2≤/,

6

5j<?/5715//ʌ/ɜθ

所rrμ以l一≤-≤->即hπ"^;—≤e≤--，

12a2666

.√6√15√6,5

因ffl为二—,所以二<e≤2i—•

3636

故答案为：如<e≤叵.

36

【点睛】方法点睛：椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常

见有两种方法：

①求出a,c,代入公式e

a

②只需要根据一个条件得到关于α,b,C的齐次式，结合〃=。2_02转化为“，C的齐次式，然后等式(不

等式)两边分别除以a或屋转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).

四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(x)=COS<υx(sintυx+cos6υx)—g(ω>0)的最小正周期为无.

(I)求/(x)的解析式；

(2)求/(x)的单调递增区间.

【答案】(1)f(x]=—sin(2x+^]

3π,π,

(2)----Fkit,—hku,kEZ

88

【解析】

【分析】(I)利用三角恒等变换公式将/(X)化为/(X)=9sin(20x+：),再根据周期公式求出口后,

可得/(x)=*sin(2x+：)；

(2)根据正弦函数的单调递增区间列式可求出结果.

【小问1详解】

/(x)=cosωx(Sinωx+cosωx)--=cosωxsinωx+cos2^υx——

22

=­sin269x÷—cos2^υx=——sin2s+一

222I4j

T_2;T

因为/(x)的最小正周期为攵由T=国69>0,所以CO=I.

也Sin(2"

所以〃X)=

2I4

小问2详解】

立sin(2x+』

由(1)知，/'(X)

2I4J

令---F2kτι≤2xH—≤—F2kτι,攵eZ,

242

3ITTT

得:--+2Λπ≤2x≤-÷2Λπ,kwZ,

44

兀,兀，,

31rr,r

得:__ɪ■Ajz.JτLrV_人VV_—I∕∣vi√τLrtKLCU乙_7,

88

SJΓJT

所以函数/(x)的单调递增区间为一方+E,j+E,keZ.

OO

18.当前疫情防控形势依然复杂严峻，为进一步增强学生的防控意识，某校让全体学生充分了解疫情的防

护知识，提高防护能力，做到科学防护，组织学生进行了疫情防控科普知识线上问答，共有IOO人参加了

这次问答,将他们的成绩(满分100分)分成五组依次为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],

(1)求图中”的值；

(2)试估计这100人的问答成绩的众数和平均数；

(3)采用按比例分配的分层抽样的方法，从问答成绩在[70,10()]内的学生中随机抽取13人作为疫情防控

知识宣讲使者，再从第四组和第五组的使者中随机抽取2人作为组长，求这2人来自不同组的概率.

【答案】(1)ɑ=0.02

(2)75,73.5(3)ɪ

3

【解析】

【分析】(1)直接利用频率和为1计算得到答案.

(2)直接利用众数的定义及平均数的公式计算即可.

(3)利用列举法求古典概型的概率即可.

【小问1详解】

依题意可得：(0.015+α+0.025+0.035+0.005)×10=l,解得：«=0.02；

【小问2详解】

根据频率分布直方图知：众数的估计值为g(70+80)=75,

平均数的估计值为55X0.15+65X0.2+75×0.35+85×0.25+95×0.05=73.5，

所以这100人的问答成绩的众数与平均数的估计值分别为75,73.5..

【小问3详解】

由题可知，在问答成绩［70,80),［80,90),［90』00］三组中，人数之比为7:5:1,

现采用分层抽样从中抽取13人，所以三组中每组各抽学生人数分别为7,5,1.

分别记［80,90)中所抽取的5人编号依次为1,2,3,4,5.

［90,100］中所抽取的1人编号为A.

所以从6人中随机抽取2人的样本空间为：O={(l,2),(l,3),(l,4),(1,5),(1,4),(2,3),

(2,4),(2,5),(2,A),(3,4),(3,5),(3,A),(4,5),(4,A),(5,A)},共15个样本点.

其中这2人来自不同组(记为事件M)的样本点有5个，所以P(M)=三=；.

所以这2人来自不同组的概率为L.

3

19.如图，在四棱锥S—ABCD中，平面S48_L平面ABCO,ΛBAD=90°,AD//BC,

SA=AB=BC=2,SB=2√2>AD=I.

(1)证明：SA1DC；

(2)求平面∙SW与平面SBC夹角的大小.

【答案】(1)证明见解析

(2)45°

【解析】

【分析】(1)根据勾股定理得S4,A8,再由面面垂直性质定理得S4，平面ABCD,从而利用线面垂

直证明线线垂直；

(2)建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量法求解两平面夹角的余弦值，进一步求出夹

角

【小问1详解】

证明：在ASAB中，S4=AB=2,SB=2叵，

所以ST+Ag?=SB"所以S4LAB,

因为平面SABj"平面AβCZ),平面SABn平面ABcD=AB,

又S4∙LAB,S4u平面SAB,所以S4_L平面ABe。，

又OCU平面A38,所以S4_LOC；

【小问2详解】

由(1)知，SA_L平面ABC。，NfiM)=90°,

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A-型，

依题意得3(-2,0,0),C(-2,2,0),S(0,0,2),SB=(-2,0,-2),SC=(-2,2,-2),

设平面SBC的法向量为m=(x,y,Z),

m∙SB=O-2x-2z=0

则<,可得〈，取X=I,得Z=—1，y=。，

m∙SC=O[-2x+2y-2z=O

所以平面SBC的一个法向量为m=(l,0,T),

由(1)可得平面SA。一个法向量π=(1,0,0),

设平面SBC与平面SAD的夹角为氏

,八I,.Im∙n1y∣2

则CoSe=IeoS〈加,〃〉I=丽=正=F

因为0°<e≤90。，所以平面SBC与平面SAD的夹角为45°.

20.①("+a(sinA-SinB)+(c-4)sinC=O;②(2α-c)cosB=Z?COSC.请从①②两个条件中任选一个,

补充在下面的问题中，并解答该题.在.ABC中，内角AB,C所对的边分别是α,Ac且_____.

CD求角B；

(2)若点。在BC的延长线上且满足BC=C。，Ar>=2,求2α+c的取值范围.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

71

【答案】(1)B=-

(2)(2,4]

【解析】

【分析】(1)选①：先利用正弦定理把角化为边，然后利用余弦定理求值即可；选②：先利用正弦定理进

行边化角，然后再利用两角和差公式化简即可；(2)由题可知BD=24,所以2Λ+C>AD=2;然后利

用余弦定理可得4=(2。『+c2-2ac=(2a+C)'-6ac,利用均值不等式计算出2α+c的最大值即可.

【小问1详解】

选①

因为(α+b)(sinA-SinB)+(c-α)sinC=O,

由正弦定理得(α+3(α-b)+(C—α)c=0,

即a1+C2-b^=ac，

由余弦定理得COSB=U/_L,可得cos8=「=：,

2ac2ac2

又OvB<π,所以3=WJT；

选②

因为(2。-C)COS8=∕x2sC,

由正弦定理得2sinAcos5-SinCCOS3=SinBcosC,

所以2sinΛcosB=SinCtOSB+siaBcosC=Sin(C+B),

XA+B+C=π,所以2sinAcos3=SinA,

又在一ABC中，SinA>0,所以COS3=,，

2

又8∈(0,7i),所以B=?;

【小问2详解】

由题意知。为BO的中点，所以80=2。

又在A48O中，由(1)及余弦定理可得

AD2=AB2+BD2-2AB×BDCOSB

B∣M=(2a)^+c2-2αc=(2α+c)?-6ac

N(24+Cp_3(2.°)(当且仅当2α=c时，等号成立)

所以2Q+C<4

又Ae>=2,所以2α+c>2,所以2。+。的取值范围为(2,4].

21.六盘水市某中学高二年级组织开展了“建立函数模型解决实际问题”的活动，其中一个小组通过对某种

商品销售情况的调查发现，该商品在过去的一个月内(以30天计)的日销售价格M(X)(单位：元)与

时间X(单位：天)的函数关系近似满足M(X)=I+：(人为正常数)，该商品的日销售量L(X)(单位:

个)与时间X的部分数据如下表所示：

第X天51015202530

MX)354555453525

(1)给出以下二种函数模型：①L(X)=依+8(tz≠O);②£(%)=。,一15|+8(ɑrθ),请你根据上

表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量L(X)与时间工的关系，并求出

该函数的解析式；

⑵已知第20天该商品的日销售收入为63元,求这个月该商品的日销售收入/(x)(1≤尤≤30,%eN*)

(单位：元)的最小值.(结果保留到整数)

【答案】⑴选择模型②，L(x)=-2∣x-15∣+55

(2)32元

【解析】

【分析】(1)利用表格可得数据并不单调，故选模型②，然后利用待定系数法即可得到解析式；

⑵通过第20天的日销售收入可得到Z=8,然后通过=M(X)L(X)得到/(x),然后分情况求最

值即可

【小问1详解】

由表中的数据可得，当时间X变化时，日销售量L(X)有增有减并不单调，而模型①是一次函数，它是单

调函数，所以选择模型②.

将表中的数据(10,45),(15,55)代入心(%)=4％-15|+。，

5。+/?=45a=-2

有,，解得《

b=55b=55

所以L(X)=—2∣x-15∣+55；

【小问2详解】

因为第20天的日收入为63元，

(k、

所以1+—×45=63,得左=8,

因为/(x)=M(X)L(X),

2Λ+-+41,l≤x≤15

所以〃X)=I+—(—2,一15|+55)X

--2x+69,15<x≤30

.X

当l≤xW15时，/(x)=2x+*+4122,2χχ上+41=81,

当且仅当2x=剪即X=IO时，等号成立，所以当l<x≤15,/(X)的最小值为81.

当15<x≤30,因为y=塾,y=—2x在x∈(15,30］上单调递减，

所以/(χ)单调递减，故当χ=30时，/(x)取到最小值/(30)=m=32,

因为81>32,所以，日收入/(x)的最小值为32元.

r2V2

22.已知椭圆C：⅛+^-=l(a>b>0),椭圆的中心到直线x-y+2=0的距离是短半轴长，长

轴长是焦距的近倍.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设A(—2,0),过点T(LO)作斜率不为0的直线/交椭圆C于M,N两点，P,。两点在直线x=3

上且A/∕∕AP,AN//AQ,设直线PT、QT的斜率分别为匕，&，试问：是否为定值？若是，

求出该定值.若不是，请说明理由.

22

【答案】(1)士+匕=1

42