山东省威海市2022-2023学年高一上学期期末数学（解析版）

高一数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知集合A={0J2,3},集合'={1,3,5},则AD5=（）

A.{1,3}B.{0,l,2,3,5}C.{1,2,3,5}D.{0,l,2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】直接根据并集的定义求解即可.

【详解】A={0,l,2,3},B={1,3,5},

.∙.AUB={0,1,2,3,5}.

故选：B.

2.“x>3”是“彳2>9”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条

件

【答案】A

【解析】

【分析】通过χ2>9求出X的范围，再通过充分性和必要性的概念得答案.

【详解】由χ2>9得χ<-3或x>3,

因为x>3可推出》<-3或x>3,满足充分性，

》<-3或》>3不能推出%>3,不满足必要性.

故“x>3”是“>9”的充分不必要条件.

故选：A.

3.某学校组织高一学生参加数学测试，现将学生成绩整理并做出频率分布直方图如图所示，其中数据的分

组依次为[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100].若高于60分的人数是350,则高一学生人数为（）

O20406080IOO成绩/分数

A.1000B.750C.500D.250

【答案】C

【解析】

【分析】先由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率，再根据比例计算可得高一学生人数.

【详解】由频率分布直方图得高于60分的人数所占频率为(0.02+0.015)x20=0.7,

所以高一学生人数为3昔50=500人

0.7

故选：C.

1Q

4.已知正实数区。满足α+2Λ=l,则一+—的最小值为O

ab

A.8B.17C.20D.25

【答案】D

【解析】

1Q/1QA

【分析】利用一+；=—+丁(a+2b),展开后通过基本不等式求最小值.

ab∖cιbJ

【详解】a>0*>0

18fl8Yc,\[2b8。IrC∣2b8a__

「・—I—=—I—∖(a+2h]=1÷16d------1----≥17+2j----------=25,

ab∖ah)ab∖ah

当且仅当生=包，即a=工力=2时等号成立.

ab55

故选：D.

5.函数/(x)=log2x+log2(2—x)单调递减区间为()

A.[1,2)B.(0,l]C.(-∞,1]D.[l,÷w)

【答案】A

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断规则来得答案.

Cx>0

【详解】对于F(X)=log/+log,(2-幻有《

2-x>0

解得函数/(X)=Iog2ɪ+Iog2(2-ɪ)的定义域为(0,2),

又/(x)=log2X+Iog2(2-ɪ)=Iog2[x(2-%)],

对于y=x(2-X)=-/+2χ,其在(0,1)上单调递增，在[1,2)上单调递减,

又y=Iog2X在(0,+∞)上单调递增，

由复合函数单调性的规则：同增异减得

函数/(X)=Iog2ɪ+Iog2(2-X)的单调递减区间为[1,2).

故选：A.

6.一种电路控制器在出厂时，每4件一等品装成一箱.工人装箱时，不小心将2件二等品和2件一等品装

入了一箱，为了找出该箱中的二等品，需要对该箱中的产品逐件进行测试.假设检测员不知道该箱产品中

二等品的具体数量，则测试的第2件产品是二等品的概率为()

111ɪ

A.-B.-C.-D.ɪ

6432

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由条件进行分析，结合古典概型计算公式，即可得到结果.

【详解】只考虑测试的第2件产品，它可以是箱中的4件产品中的任何一件，因此有四种结果，并且这4

中结果的出现是等可能的，

21

测试的第2件产品是二等品的结果有2种，因此，测试的第2件产品是二等品的概率为一=—

42

故选:D.

7.在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol∕L,记作[H+])和氢氧根

离子的物质的量的浓度(单位：mol∕L,记作[OH])的乘积等于常数10*,已知PH的定义为-lg[H+],

OIF1=5,则其血液的PH约为(参考数据：lg2≈0.301)()

若某人血液中的卜F

[H]

A.7.2B.7.3C.7.4D.7.5

【答案】B

【解析】

【分析】由题可得[0H[=5[H+],再利用pH=_lg[H+],化简对数相关运算即可得出结果.

【详解】由题意得，[H+]]OH[=10-%

ΓθH-^∣

又身=5,∙∙∙[OH[=5[H+],

则5[H+]2=1(Γ”,

则PH=一lg[H*]=-lg^ɪɪ^-

=-^(-14-lg5)=7+∣(l-lg2)≈7.3.

故选：B

8.已知函数/(%)=「：2：+l'C若“=/(IOg3：],⅛=∕flog5-^-lc=/(Iog612),则()

-X2+2x+l,x<0.V6√klθ√

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【答案】D

【解析】

【分析1由题可得/(x)在R上单调递增，后由函数单调性结合log-W，logs]，log612

610

大小可得答案.

【详解】令g(x)=χ2+2x+l,知其在[0,+⑹上单调递增.

令〃(X)=-X2+2x+l,知其在(e,0)上单调递增，又g(o)=MO)=1,

得/(x)在R上单调递增.

因函数y=Iog6X,y=Iog3x,y-Iog5X均在(0,+oo)上单调递增，

则Ioge12>Iog66=1,Iog3ɪ<Iog31=0,Iog5ɪ<Iog51=0.

又Iog3ɪ=-Iog36=-(1+Iog32),Iog5ɪ=-Iog510=-(1+Iog52),

rlog.2Iog7211

10g52=4<丽I=10g32'则1呜6<1加6

故l0g3L<Iog5—<Iog612,又由函数/(x)在R上单调递增,

610

<f(log612),即αV∕?Ve

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知α,8∈R,则下列选项中能使L>'成立的是O

ab

A.b>a>0B.a>b>QC.a>0>bD.b<a<0

【答案】AC

【分析】利用不等式的性质逐一判断即可.

【详解】对于A：.b'>ci'>Of.∖hci'>0i—>—-'一>—,故A正确;

ababab

对于B：，cι>b>01het>0,——>—,/.—>一,故B错误；

Clbabba

对于C:a>0>b,.∙^>0>i,故C正确；

ab

对于D：Q匕<α<0,hcι>O>—<—,—>—，故D错误；

ababba

故选：AC.

10.某社区通过公益讲座来普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让

他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这IO位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正

-居民箱号

A.讲座前问卷答题的正确率的第60%分位数为75%

B.讲座前问卷答题正确率的平均数大于70%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

【答案】BC

【解析】

【分析】由图表信息，结合百分位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.

Q∩OΛI75%

【详解】讲座前的第60%分位数为°>75%,所以A错；

2

讲座前问卷答题的正确率分别为60%,60%,65%,65%,70%,75%,80%,85%,90%,95%,平均数为74.5%,所以B对;

讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所

以C对；

讲座后问卷答题的正确率的极差为l∞%-8()%=20%,

讲座前问卷答题的正确率的极差为95%-60%=35%>20%,所以D错.

故选:BC.

2

11.已知函数/(X)=——--1,则()

1+2

A.7(x)为奇函数B.“X)的值域为(—1,1)

C.若/(x)<-；,贝IJX∈(-∞,k>g23)D.若/(χ2)+∕(2χ-3)>0,则χe(-3,l)

【答案】ABD

【解析】

【分析】结合函数的奇偶性、单调性对选项逐一分析即可.

22-2

【详解】函数/(X)=——-l的定义域为R,且/(一%)=——--1=--+l=-∕(χ),

1+271+22+1

则/(x)为奇函数，故A正确；

22

1+2'∈(l,4w),则G7G(O,2),贝∣J∕(x)=R57-le(-l,l),故B正确；

/(x)<-］即［商<5，即2*>3，得Xe(IOg23,+。。)，故C错误；

2

y=1+2”在R上单调递增且y=1+2*>0,则y=----在R上单调递减，

1+2

2

故/⑴=TTFT在R上单调递减，又“χ)为奇函数，

则/(x2)>—/(2x—3)=/(3-2x),g[I√<3-2x;

解得x∈(-3,l),故D正确；

故选：ABD.

12.若/(x)是定义在R上的奇函数，/(x+2)是偶函数，当Xe(0,2］时，/(x)=log2无，则()

A.7(x)在(＜一2)上单调递减B./(/=-1

C./(x)在［-4,4］上恰有5个零点D./(x-2)偶函数

【答案】ACD

【解析】

【分析】由函数的奇偶性得出函数的周期，即可得出函数在一个周期内的图象，从而结合函数的性质逐个

判断.

【详解】由/(x)是定义在R上的奇函数得/(x)=-√■(-X),/(0)=0,

由/(x+2)是偶函数得了(x+2)=∕(τ+2),即/(x)关于X=2对称，

结合/(x)是奇函数可得/(x)关于X=-2对称，

/(x+2)=∕(-x+2)=—/(x—2),/(x)=—/(x—4)=/(x—8),函数的周期为&

当x∈(0,2］时，/(x)=log2x,则/(x)在(-6,2］(1个周期)的图象如图所示.

对A,由图易得，/(x)在(-4,-2)上单调递减，A对;

对B,由函数的奇偶性、周期性可得/,B错:

对C,由图易得，函数在［-6,2］有5个零点，故由函数的周期性，/(x)在［Y,4］上恰有5个零点，C对;

对D,因为函数关于X=—2对称，所以/(x-2)=〃T—2),故/(x-2)是偶函数，D对.

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13+Iog4√3×Iog32

7

【答案】-##1.75

4

【解析】

【分析】根据指数对数的运算性质计算即可.

212

【详解】+Iog4√3×Iog3=I+°g223×log,2=→ɪlog23×log32=→^^ɪ.

_7

故答案为：一.

4

14.已知函数/(x)的定义域为(1,2),则/(x+l)的定义域为.

【答案】(0,1)

【解析】

【分析】通过函数/(X)的定义域可得/(x+l)中l<x+l<2,解出即可.

【详解】由函数/(x)的定义域为(1,2)得l<χ<2,

二对于/(x+l)有l<x+l<2,

∙∙∙O<Λ<1,即/(x+l)的定义域为(0,1).

故答案为：(0,1).

15.据统计某市学生的男女生人数比为2:3,为了调查该市学生每天睡眠时长的情况，按照男女生人数比

用分层抽样的方法抽取样本.根据样本数据计算得男生每天睡眠时长的平均数为7.3小时;方差为2,女

生每天睡眠时长的平均数为6.8小时,方差为1.9,则可估计该市学生每天睡眠时长的平均数为小时，

方差为.

参考公式：分层抽样中，假设第一层有，"个数，平均数为方差为S?;第二层有"个数，平均数为亍，

方差为则样本方差-----(tns2+nr)+------(x-y)2.

m+n\_m+n

【答案】①.7②.2

【解析】

【分析】设男、女生人数分别为：2α,30,由平均数的定义和题中方差公式即可得出答案.

【详解】由题意可得：%=7.3,s：=2,∕=6.8,S；=1.9,

因为该市学生的男女生人数比为2:3,所以设男、女生人数分别为：2a,3a,

7.3∙2α+6.8∙3q35_

所以该市学生每天睡眠时长的平均数为:-------------------=——=7

2。+3。5

该市学生每天睡眠时长的方差为",

由题中方差公式可得：^=丁二(2"∙2+3α∙L9)+=√7∙3-6.8)2=2

2。+3。L2。+3。

故答案为：7；2.

16.已知函数/(X)=若关于X的方程Iy(X)了―4(x)+3=0有六个不等的实数根，则实

数”的取值范围为.

【答案】"百

【解析】

【分析】作出函数/(x)的图象，令/(x)=∙,分析可知关于，的方程/一改+3=0在(1,2)内有两个不

同实数根，根据二次方程根的分布可得出关于实数。的不等式组，解之即可.

【详解】画出

2、+1%<0

函数/(x)=I二J的图象如下图所示，

x-2,x≥0.

令/(x)=♦,则方程［/(x)］2-q∕∙(x)+3=0可化为/一成+3=0.

由图可知:当f∈(l,2)时,y=∕(x)与y=f有3个交点，

要使关于X的方程［/(切2-硝力+3=0恰好有六个不同的实数解,

Δ=α2-12>0

1<_<2

则方程/一"+3=0在(1,2)内有两个不同实数根，所以，J2,

12-<Z×1+3>O

22-a×2+3>0

解得2G<α<g,因此，实数0的取值范围为(26,31

故答案为：^√3ɪl

【点睛】关键点睛：利用转化法、换元法，结合数形结合思想、一元二次方程根的分布性质是解题的关键.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知集合4=,»=电(犬2一4依+3/)},集合B=卜IL∙Nlj>.

(1)当α=l时，求(4A)B.

(2)当4>0时，若ACJB=0,求实数〃的取值范围.

【答案】(I){Λ∣1<X≤2}

2

(2)-≤α<l

3

【解析】

【分析】(1)代入。=1，求出集合AB中元素范围，再根据交集和补集的定义求解即可；

(2)求出集合AB中元素范围，再根据AC3=0列不等式求实数。的取值范围.

【小问1详解】

当α=l时，A=卜Iy=Ig(X2-4x+3)}={χ∕-4x+3>θ}={x∣x<l或x>3},

B={Λ⅛1H⅛。卜{喧?1°卜{祖62}，

.∙.¾A={x∣l≤x≤3},

.∙.(4A)c3={x∣lvx≤2}；

【小问2详解】

当白>0时，A=∣X∣X2-4ox÷3tz2>θ}={x∣XVQ或X>3Q},

VAl∖B=0fβ={x∣l<x≤2},

a≤l

：.‹,

[3a≥2

2

解得一≤α≤l.

3

18.已知辱函数/(x)=(2∕√-3加-l)x'"(其中机为实数)在(0,+8)上单调递减.

⑴若/(α)=4-αK求/+,2的值：

(2)解关于X的不等式lg∕(x)>∕(16).

【答案】⑴194

【解析】

【分析】(1)先通过基函数的定义求出/(x),再代入/(α)=4-0：,求出qW+/，平方后求出a-'+a^

再平方即可求出/+。-2；

(2)将/(X)=XT代入Igy(X)>/(16),解不等式即可.

【小问1详解】

暴函数/(x)=(2∕√-3m-l)x'"(其中团为实数)在(0,+8)上单调递减,

2

2nι-3m-∖=1解得机=_/,

"2<0

ɪ

.∙.f(x)=X2'

ɪɪ11

:•/⑷=。"=4一"*即。夏+层=4，

∙,∙a'+。？)=16,得〃—+2+。=16，即。一+。=14,

.∙.(G+α)2=196,得/+2+个=]96，

即CT+a~2=194;

【小问2详解】

由⑴得IgF(X)>f(16),即坨彳。>16,，

解得不等式解集为

19.某社区举行宪法宣传答题活动，该活动共设置三关，参加活动的选手从第一关开始依次闯关，若闯关

4

失败或闯完三关，则闯关结束，规定每位选手只能参加一次活动.己知每位选手闯第一关成功的概率为彳，

闯第二关成功的概率为义，闯第三关成功的概率为∣∙∙若闯关结束时，恰好通过两关可获得奖金300元,

三关全部通过可获得奖金800元.假设选手是否通过每一关相互独立.

(1)求参加活动的选手没有获得奖金的概率；

(2)现有甲、乙两位选手参加本次活动，求两人最后所得奖金总和为IIoo元的概率.

3

【答案】(1)I

48

(2)——

625

【解析】

【分析】(1)根据独立事件的乘法公式，分第一关没有通过和第一关通过第二关没有通过两种情况求解即

可；

(2)甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖，进而根据独立事件概率的乘法公式求解即可.

【小问1详解】

解：设选手闯第一关成功为事件A,闯第二关成功为事件B,闯第三关成功为事件C,

412

所以，P(A)=-,P(B)=-,P(C)=-.

设参加活动的选手没有获得奖金为事件M,

413

所以尸(M)=P(A)÷p(AB)=l+—X—=—

525

【小问2详解】

解：设选手闯关获得奖金300元为事件E，选手闯关获得奖金800元为事件D,

/一、41364174

所以，P(E)=P(ABC)=±x±x±=?,P(D]^P(ABC]^-×-×~^-

'''752525v,1752525

设两人最后所得奖金总和为HOO元为事件厂,

所以，甲、乙两位选手有一人获得一等奖，一人获得二等奖,

6448

所以P(B=2P(E)P(0=2x天X石

625

20.某水产公司拟在养殖室修建三个形状、大小完全相同长方体育苗池.其平面图如图所示，每个育苗

池的底面积为200平方米，深度为2米，育苗池的四周均设计为2米宽的甬路.设育苗池底面的一条边长

为X米(IoWXW20),甬路的面积为S平方米.

（1）求S与X之间的函数关系式；

（2）已知育苗池四壁的造价为200元/平方米，池底的造价为600元/平方米，甬路的造价为100元/平方米,

若不考虑其他费用，求X为何值时，总造价最低，并求最低造价.

【答案】（1）S=8x+^^+32,10WxW20

X

（2）x=15米时，总造价最低，最低总造价为459200元.

【解析】

【分析】（1）根据题意得到养殖室的总面积，从而表达出函数关系式；

（2）在第（1）问的基础上，表达出总造价W关于X的函数关系式，并利用基本不等式求出最小值.

【小问1详解】

由题意可得每个育苗池另一边长为——米,

X

则S=(x+4)+2X4)-600=8x+平+32,10≤x≤20；

【小问2详解】

设总造价为W元，贝IJVV=200x2∣6x+U+600x3x200+1OOS

=240OX+480000+360000+800X+240000+3200

XX

=3200%+∙720000+3632∞,IoWXW20,

X

其中3200Λ-+≡∞≥2j3200χ.≡∞=96000,

XVX

当且仅当3200X=72°°00,即％=15《10,20］时，等号成立,

故W=320OX+720000+363200>459200,

X

所以X=15米时，总造价最低，最低总造价为459200元.

21.已知函数/(x)=(2女+l)f+4x-h

（I）若/（x）在［-L+∞）上单调递增，求实数A的取值范围;

⑵令g(x)=∕(2'),若对任意χ∈R,g(x)>()恒成立，求实数上的取值范围.

【答案】⑴-j,ɪ

(2)-ɪ,θ

L2J

【解析】

【分析】(1)根据题意，分2Z+l=0与2Z+1。。讨论，列出不等式即可得到结果；

(2)根据题意，转化题意为0(/)=(2A+1)『+今一人>0(f>0)恒成立，由二次函数的性质可得到结果.

【小问1详解】

当M+l=0,即左=一;时，/(x)=4x+；,则/(x)在［T,4∞)上单调递增恒成立；

当2左+IHO时，要使/(x)在［-1,中功上单调递增，

-2⅛+l>0

则<4,解得—<人≤—

⅛7I1~22

综上，攵的取值范围为-g,；

【小问2详解】

因为g(x)=/(2')=(2左+1)(2»+4∙2'_NxeR,

令2'=t,则f>0,要使〃(。=(2左+1)/+4/—左>0。>0)恒成立，

当2Z+l=0,即Z=-;时，/7(r)=4r+→0(∕>0),符合题意；

当2A+l∕0,即Z≠-g时，若要使p")=(24+l)产+4/-4>0。>0)恒成立，

由二次函数的图象与性质可得该函数图象开口朝上，即2左+1>0次〉-

2

此时对称轴为冈，同同在(0,+8)上单调递增，

S"

II:-=J,•

Ξ

则只需,解得

综上，k的取值范围为^Γ0

22.已知函数y=/(x)与)，=e'的图象关于直线y=X对称.

(1)若函数g(x)=∕(e'+l)-"Ir是偶函数，求实数m的值；

(2)若关于X的方程/((%++2)=/*于有实数解,求实数Z的取值范围；

(3)已知实数α,〃满足"e"=l,⅛(∕(⅛)-l)ɪe,求/(α)+/修)的值.

【答案】(1)m=-

2

^3；