第04讲：指、对、幂函数 原卷版

第04讲：指、对、幂函数【考点梳理】考点一：指对幂的运算 考点二：比较大小考点三：指数函数的图像问题 考点四：指数函数的实际应用考点五：指数函数的基本性质 考点六：对数函数定义域和值域问题考点七：对数函数的图像 考点八：对数函数的实际应用考点九：对数函数的基本性质 考点十：幂函数的定义域、值域和图像考点十一：幂函数的性质综合【知识梳理】知识一：分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义(2)有理数指数幂的运算性质：aras＝ar＋s，(ar)s＝ars，(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知识二．指数函数的图象与性质y＝axa>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数知识三：.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．知识四：对数一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．知识五：对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(2)对数的性质①＝N；②logaaN＝N(a>0且a≠1)．(3)对数的换底公式logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)．知识六：对数函数的图象与性质y=logaxa>10<a<1图象定义域(1)(0，＋∞)值域(2)R性质(3)过定点(1,0)(4)当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0(5)当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数技巧归纳：1、换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；其中a>0且a≠1，b>0且b≠1，m，n∈R.2．对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数．故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．知识七：.幂函数(1)定义：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)幂函数的图象比较知识八：五个幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上减增增在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上减知识九一般幂函数的图象特征1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称．5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．【题型归纳】题型一：指对幂的运算1．（2024上·四川雅安·高一校考期末）计算下列各式：(1)；(2)2．（2023上·全国·高一专题练习）（1）；（2）；（3）；（4）已知，，试用，表示.3．（2023上·江西南昌·高一南昌二中）（1）计算：的值；（2）已知，，且，求的值.题型二：比较大小4．（2024上·辽宁辽阳·高一统考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．5．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知，，，则（

）A． B． C． D．6．（2023上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．题型三：指数函数的图像问题7．（2023上·浙江·高一台州市黄岩中学校联考期中）函数的图象大致为（

）A．B．C． D．8．（2023上·山东枣庄·高一校考阶段练习）已知函数，则函数的图象的可能是（

）A．B．C． D．9．（2023上·江苏盐城·高一盐城市第一中学校考期中）已知函数的图像恒过的定点，且点在直线上，则的最小值为（

）A．4 B．1 C．2 D．5题型四：指数函数的实际应用10．（2023上·全国·高一专题练习）某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（

）A．4 B．8 C．12 D．1611．（2023上·浙江·高一校联考期中）已知某程序研发员开发的小程序在发布时有500名初始用户，经过t天后，用户人数，其中a和k均为常数．已知小程序发布5天后有2000名用户，则发布10天后有用户（

）名A．10000 B．8000 C．4000 D．350012．（2023上·山东菏泽·高一山东省郓城第一中学校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~79mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，他的每100mL血液中的酒精含量上升到了120mg，如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需要等待小时才能驾驶．（参考数据：，）（

）A．5 B．6 C．7 D．8题型五：指数函数的基本性质13．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）定义在上的函数满足，当上时，.(1)求函数在上的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.14．（2023上·上海·高一上海市文来中学校考阶段练习）已知函数(1)求不等式的解集；(2)求的值域；(3)当时，不等式恒成立，求的取值范围．15．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）已知函数，且.(1)当时，在上恒成立，求实数的取值范围；(2)若，且在区间内恰有一个零点，求实数的取值范围.题型六：对数函数定义域和值域问题16．（2023上·安徽安庆·高一安庆一中校考期中）函数的定义域为（

）A．或 B．C． D．且17．（2023上·浙江杭州·高一校考阶段练习）函数的值域为（

）A． B． C． D．18．（2023上·江苏南京·高一期末）已知函数在上的值域为，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．题型七：对数函数的图像19．（2023上·海南海口·高一海南华侨中学校考阶段练习）函数的图象是（

）A．

B．

C．

D．

20．（2023上·全国·高一专题练习）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

21．（2023·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

题型八：对数函数的实际应用22．（2023上·四川凉山·高一统考期末）凉山州地处川西南横断山系东北缘，地质构造复杂，时常发生有一定危害程度的地震，尽管目前我们还无法准确预报地震，但科学家通过多年研究，已经对地震有了越来越清晰的认识与了解．例如：地震时释放出的能量（单位：）与地震里氏震级之间的关系为，年月日，我州会理市发生里氏级地震，它所释放出来的能量是年年初云南省丽江市宁蒗县发生的里氏级地震所释放能量的约多少倍（

）A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍23．（2021上·四川成都·高一校联考期中）人们常用里氏震级表示地震的强度，表示地震释放出的能量，其关系式可以简单地表示为，2021年1月4日四川省乐山市犍为县发生里氏级地震，2021年9月16日四川省泸州市泸县发生里氏级地震，则后者释放的能量大约为前者的（

）倍．(参考数据：)A． B． C． D．24．（2021·全国·高一专题练习）中国的5G技术领先世界，5G技术极大地提高了数据传输速率，最大数据传输速率C取决于信道带宽W，经科学研究表明：C与W满足，其中S是信道内信号的平均功率，N是信道内部的高斯噪声功率，为信噪比.当信噪比比较大时，上式中真数中的1可以忽略不计.若不改变带宽W，而将信噪比从1000提升至4000，则C大约增加了（

）(附：)A．10% B．20% C．30% D．40%题型九：对数函数的基本性质25．（2024上·湖北·高一期末）已知函数（且）(1)试判断函数的奇偶性；(2)当时，求函数的值域；(3)已知，若，使得，求实数a的取值范围．26．（2024上·甘肃·高一统考期末）已知函数，且的图象过点.(1)求的值及的定义域；(2)求在上的最小值；(3)若，比较与的大小.27．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）已知．(1)当时，解不等式；(2)若关于x的方程在区间内恰有一个实数解，求实数a的取值范围．题型十：幂函数的定义域、值域和图像28．（2023上·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）是幂函数，且在上是减函数，则实数（

）A．2 B． C．4 D．2或29．（2024上·云南昆明·高一统考期末）已知函数，则（

）A．时，是偶函数 B．时，的值域为C．的图象恒过定点和 D．时，是减函数30．（2023上·山东烟台·高一统考期中）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（

）A．B．C． D．题型十一：幂函数的性质综合31．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知幂函数.(1)求的值；(2)若，求实数的取值范围.32．（2023上·甘肃酒泉·高一统考期末）已知幂函数在上单调递减.(1)求实数的值；(2)若，求实数的取值范围.33．（2021上·山东泰安·高一泰安一中校考期中）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．【强化精练】一、单选题34．（2024上·四川雅安·高一校考期末）函数定义域为（

）A． B． C． D．35．（2024上·云南昆明·高一云南师大附中校考期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障安全，根据国家规定，驾驶人员每100毫升血液酒精含量大于或等于20毫克，并每100毫升血液酒精含量小于80毫克为饮酒后驾车；每100毫升血液酒精含量大于或等于80毫克为醉酒驾车.某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到了每毫升血液含酒精0.8毫克，如果停止饮酒后，他的血液中的酒精会以每小时的速度减少，那么他想要驾车至少要经过（参考数据：，）（

）A． B． C． D．36．（2024上·吉林长春·高一东北师大附中校考期末）若，，．则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．37．（2023上·江苏南京·高一期末）已知幂函数的图象过点，则函数的单调递增区间为（

）A． B．C． D．38．（2023上·吉林白山·高一统考期末）已知幂函数在上是减函数，则的解集为（

）A． B．C． D．39．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）2023年2月27日，学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件，已知石制品化石样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的，据此推测该石制品生产的时间距今约（

）（参考数据：，）A．9560年 B．9550年 C．8370年 D．8230年40．（2023上·福建三明·高一校联考期中）已知函数是单调减函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．41．（2023上·四川成都·高一校联考期末）已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围为（

）A． B． C． D．42．（2023上·四川成都·高一期末）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，设，则的大小关系为（

）A． B． C． D．二、多选题43．（2024上·江西上饶·高一婺源县天佑中学校考期末）下列说法正确的是（

）A．函数是R上的奇函数B．若是定义在R上的幂函数，则C．函数在内单调递增，则a的取值范围是D．若函数为奇函数，则44．（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．45．（2024上·辽宁葫芦岛·高一统考期末）下列说法正确的是（

）．A．函数（且）过定点B．是定义域上的减函数C．的值域是D．“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件46．（2024上·辽宁·高一校联考期末）给出下列结论，其中不正确的结论是（