2023版高考数学一轮复习讲义：第九章平面解析几何9-9-1 直线与圆锥曲线的位置关系

第1课时直线与圆锥曲线的位置关系

提升关键能力——考点突破掌握类题通法

考点一直线与圆锥曲线的位置［基础性］

1.直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则k的值为()

A.18.1或3

C.ODI或O

2.［2022∙武汉调研］已知直线y=kχ-l与双曲线χ2—y2=4的右支有两个交点，则k的

取值范围为()

A.(O,y)B.［1,M

C∙(-y.y)D.(1,9

反思感悟

1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法

(1)代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于X,y的方程组，渊去y(或X)

得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标.

(2)几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数.

2.判定直线与圆锥曲线位置关系的注意点

(1)联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况.

(2)判断直线与圆锥曲线位置关系时，判别式△起着关键性的作用，第一：可以限定所

给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根.

考点二弦长问题［综合性］

［例1］已知椭圆M：3+A=l(a>b>O)的离心率为争焦距为2√Σ斜率为k的直线1

与椭圆M有两个不同的交点A,B.

(1)求椭圆M的方程；

(2)若k=l,求IABl的最大值.

听课笔记：

反思感悟弦长的求解方法

(1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解.

(2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(xι,y∣),B(X2,y2),

22

则IABl=√(1+k)[(x1+x2)-4X1X2]

2

=J(l+⅛)[(yι+y2)-4yιy2](k为直线斜率).

[提醒]利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略

判别式.

【对点训练】

1.[2022∙辽宁大连一中模拟]已知双曲线C：^-g=l(a>O,b>0)的一条渐近线的倾

斜角为全且双曲线过点P(2,3),双曲线两条渐近线与过右焦点F且垂直于X轴的直线交于

A,B两点，则AAOB的面积为()

A.4√3B.2√3C.8D.2

2.[2022∙合肥教学检测]直线1过抛物线C：y2=12x的焦点，且与抛物线C交于A,B

两点.若弦AB的长为16,则直线I的倾斜角等于.

考点三中点弦问题[综合性]

[例2](1)过椭圆盘+二=1内一点P(3,l),且被点P平分的弦所在直线的方程是()

164

A.4x÷3y-13=0

B.3x+4y-13=0

C.4χ-3y+5=0

D.3χ-4y+5=0

(2)[2022•重庆巴蜀中学月考]已知双曲线\一∖=l(a>O,b>0),F(5,0)为该双曲线的右

焦点，过F的直线交该双曲线于A,B两点，且AB的中点为M(―£,—?)，则该双曲线

的方程为.

听课笔记：

反思感悟解决圆锥曲线“中点弦”问题的方法

戴根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的

鼠f方程得到方程组，消元得到一元二次方程

后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解

点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端

点)坐标为ʌ(ʃɪ,J/1),B(jr，？2)，将这两点

思2

路坐标代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作

差，得到一个与弦AB的中点和直线AB斜

率有关的式子，可以大大减少计算量

【对点训练】

1.［2022∙贵州适应性测试］已知抛物线C：y2=2px(p>0),倾斜角为［的直线交C于A,

6

B两点.若线段AB中点的纵坐标为2√5,则P的值为()

A.-B.1C.2D.4

2

2.［2022∙江西模拟］已知直线y=1—x与双曲线aχ2+by?=l(a>O,b<O)的渐近线交于A、

B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为一号，则霸值为()

第1课时直线与圆锥曲线的位置关系

提升关键能力

考n占f∖w一

1.解析：由Iy二八+2,得42χ2+(4*-8)x+4=0,

Iy2=8x,

若4=0,则y=2,符合题意.

若一#0,则/=0,即64—64左=0,解得％=1,

所以直线y=Ax+2与抛物线f=8x有且只有一个公共点时，k=0或1.

答案：D

(χ2_yj"2.=Λ

2.解析：联立，得y一’消去y得(I—N)χ2+2fcr-5=0,所以上#±1,设直线

Iy=kx-1,

与双曲线的两个交点的坐标分别为（XI,力），（X2,及），所以

'(2k)2+20(l-k2)>0,

Δ>0,-2k

x1+X2>0,-厂证”

—5

.×1×2>0,-->0

*I-Kr72

4k2<5,

整理得∙k（k一l）（k+l）>0,整理14考，所以实数4的取值范围是（1,

、k2>1,

答案：D

考点二

a2=b2÷c2,

例1解析：（1）由题意得，£=渔，解得Q=V5,h=1.

a3

、2c=2V∑,

所以椭圆M的方程为9+v=l.

1y=X+m,

(2)设直线/的方程为y=x+m,A(xιʃi),B(X2,y2)∙由χ2得4x2+6∕πx+3m2

9(τ+y=1

-3=0,

匕匕.3m3m2-3

所以x∣+x2=-x1X2=-η^∙

所⅛¾M8∣=J(X2-X1)2+-yJ2

22

=√2(X2-x1)=√2[(x1+x2)-4X1X2]

∕12-3m2

=J^∙

当加=O,即直线/过原点时，最大，最大值为声.

对点训练

1.解析：易得双曲线的渐近线方程为y=±√5x,可得双曲线的方程为炉一γ=44>0),

把点(2,3)代入可得4―3=Z

.∙.λ=l,双曲线的方程为小一9=1,¢2=1+3=4,C=2,FQ,0),可得Z(2,2√3),

B(2,-2√3),可得SMOB=TX2X4H=4√^

答案：A

2.解析：抛物线C:V=I2x的焦点为(3,0),当直线/的斜率不存在时，弦长为12,

y212x2

不合题意，故直线/的斜率存在，设为k,则直线/：y=%(x—3),由[=jv得Aχ2

(y=k(x-3)

-(6F+12)x+9*2=0,J=(6⅛2+12)2-4⅛2×9⅛2=144(⅛2+l)>0,设4(R,ʃɪ),Bg/)，

则X|+X2=6k；；12,M3∣=χ[+χ2+p=笑/+6=16,：.於=3,⅛=±√3,；・直线/的倾斜角

等于熬夺∙

答案：鼻手

考点三

例2解析：(1)设所求直线与椭圆交于4(x∣,/),B(X2,»2)两点，由于4B两点均在

椭圆上，理+『1，之子冬=1，两式相减得

(X-XzjX1F)+5+丫2竽72)=0因为点尸(3,1)是N8的中点，所以X∣+X2=6,y+及=

164

2,故k*B=g=T所以直线48的方程为厂1=-%—3),即3x+4y-13=0.

Xj—×244

pi__yl_ɪ

解析：(2)设4(xι,刈)，8g玫)，则b2一'两式相减可以得到

P-=I

∖a2b2f

(x+x)(x-x)(yi+y)(yi-y)_

---1----2----1----2-------------2---------2----0n'

因为AB的中点为T，—/),

所以为+工2=~"pyι÷ʃ2=——,

22

b(x1÷x2)^-9b

,

所以Tla2(y1+y2)16a≡

又k*B=kFM=T~=I，所以花1=1，即16a2=9∕>2,

———516a,

I

e'，解得仁:故双曲线方程为X=L

答案：(I)B(2⅞-⅛=l

对点训练

1.解析：设A(xi,ʃɔ,5(X2,72).则NI+N2=4√5,且纥在=tan由[IL,