单元提升卷05 三角函数（解析版）

单元提升卷05三角函数（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知α是第四象限角，sinα＝－，则cosα等于（

）A．－ B． C．－ D．【答案】B【分析】根据平方公式求解即可.【详解】因为α是第四象限角，sinα＝－，所以cosα＝＝.故选：B.2．已知向量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式求.【详解】由，可得，即，解得：或（舍），.故选：C3．要得到函数的图像，只需把函数的图像（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度【答案】D【分析】根据题意，由辅助角公式可得，然后结合三角函数的平移变换，即可得到结果.【详解】因为，即只需要把函数的图像向右平移个单位长度即可.故选：D4．计算（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案.【详解】.故选：D．5．函数其中，，，它的图象如图所示，则它是由怎样变换得到的（

）

A．横坐标先向左平移单位，再缩小为原来的，然后纵坐标拉伸为原来的2倍B．横坐标先缩小为原来的，再向左平移单位，然后纵坐标拉伸为原来的2倍C．横坐标先向右平移单位，再缩小为原来的，然后纵坐标拉伸为原来的2倍D．横坐标先缩小为原来的，再向左平移单位，然后纵坐标拉伸为原来的2倍【答案】D【分析】根据图象解出三角函数解析式，再根据平移的原则一一判断即可.【详解】因为，，，由图可得，，，，由五点法作图可知：，，，对A，的横坐标向左移动单位得，然后纵坐标伸为原来的2倍，得，所以A错误；对B，的横坐标缩小为原来的，得，再向左平移单位得，纵坐标拉伸为原来的2倍得，故B错误；对C，横坐标先向右平移单位得，再缩小为原来的得，纵坐标拉伸为原来的2倍得，所以C错误；对D，横坐标先缩小为原来的得，再向左平移单位得，纵坐标拉伸为原来的2倍得，故D正确.故选：D.6．已知函数，则下面结论中不正确的是（

）A．最小正周期为 B．函数关于对称C．函数在区间有最大值为 D．函数在区间单调递增【答案】D【分析】利用二倍角公式、两角差的余弦、正弦公式化简函数，然后结合正弦函数的性质判断各选项．【详解】，因此其最小正周期是，A正确；时，，是其图象的一条对称轴，B正确；时，，，在上递减且，在上递增，所以时，取得最小值，时，取得最大值，C正确，D错误，故选：D．7．已知函数，若方程在上恰有5个不同实根，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出方程的根，然后根据方程在上恰有5个不同实根列出不等关系，进而求解.【详解】因为函数，当时，方程可化为，解得，则当时，，当时，方程可化为，解得，则当时，因为根据方程在上恰有5个不同实根，所以这5个不同实根为，则，故选：D.8．如图，摩天轮的半径为m，其中心点距离地面的高度为m，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中下列说法正确的是（

）

A．转动后点距离地面B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的C．第和第点距离地面的高度相同D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间长为【答案】D【分析】设转动过程中，点离地面距离的函数为，由题意求得解析式，然后逐项求解判断.【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：，由题意得：，，则，所以，选项A，转到后，点距离地面的高度为：，故A不正确；选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故B不正确；选项C，因为，，所以，即第和第点距离地面的高度不相同，故C不正确；选项D，令，则，由，解得，所以，即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为，故D正确；故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列各式中，值为的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】根据二倍角的余弦公式即可判断A；根据两角和的正切公式即可判断B；根据两角和的余弦公式即可判断C；根据二倍角的正弦公式即可判断D.【详解】对于A，，故A符合题意；对于B，，故B符合题意；对于C，，故C不符合题意；对于D，，故D符合题意.故选：ABD.10．下列说法中正确的是（

）A．对于定义在实数上的函数中满足，则函数是以2为周期的函数B．函数的单调递增区间为，C．函数为奇函数D．角的终边上一点坐标为，则【答案】AB【分析】根据周期的定义，判断A；根据正切函数的单调性，判断B；根据诱导公式化简函数，即可判断C；根据三角函数的定义，即可判断D.【详解】A.若对，满足，则函数是以2为周期的函数，故A正确；B.令，解得：，，所以函数的单调递增区间为，，故B正确；C.为偶函数，故C错误；D.角的终边上一点坐标为，，则，故D错误.故选：AB11．若函数（）在有且仅有个零点，则（

）A．的图象关于直线对称B．在单调递增C．在有且仅有个解D．的取值范围是【答案】AD【分析】化简已知得到，所以选项D正确；令得到，即可判断选项A正确；求出即可判断选项B错误；求出在有且仅有个解.所以选项C错误.【详解】由题得.∵，因为函数在有且仅有个零点，所以，所以的取值范围是，所以选项D正确；对于选项A，令.令，所以的图象关于直线对称，所以该选项正确；对于选项B，因为，所以在不是单调递增，所以该选项错误；对于选项C，，所以当或时，，所以在有且仅有个解.所以该选项错误.故选：AD12．关于函数，下列说法中正确的有（

）A．是偶函数 B．在区间上为增函数C．的值域为 D．函数在区间上有六个零点【答案】AD【分析】化简函数的解析式得，,作出图象,结合图象逐一判断即可.【详解】因为是偶函数，所以，所以，，作出函数的图象,如图所示:

因为，定义域为，且，所以为偶函数,故A正确；当时,，，则函数不单调,故B错误;由图可得函数的值域为,故C错误;因为,所以在区间上零点个数即为在区间上的交点个数,由图可知在区间上的交点个数为6,故D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题的关键是作出函数的图象，利用函数图象来判断较难的C选项，对于D选项将其转化为与直线的交点个数问题即可.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆的半径是2cm，则的圆心角与圆弧所围成的扇形的面积是【答案】/【分析】由扇形面积公式计算.【详解】由题意圆心角为，又半径为，所以面积为（），故答案为：．14．已知，则【答案】【分析】由平方差公式及同角三角函数的平方关系可得，再根据的范围求出，利用两角和的余弦公式展开并求值.【详解】，又，则，，.故答案为：15．如果锐角满足，则的值是．【答案】/【分析】由对数的运算性质，同角三角函数的基本关系可得，进而可得，代入所求式结合对数函数的运算性质即可得出答案.【详解】解：锐角满足，锐角满足，，即，，，，是锐角，，，，综上所述，结论是：．故答案为：16．已知函数（其中，，）的图象如图所示，它刻画了质点做匀速圆周运动（如图）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程．则

①质点运动的圆形轨道的半径为米；②质点旋转一圈所需的时间秒；③函数的解析式为：；④图中，质点首次出现在直线上的时刻秒．【答案】【分析】根据图象可以解出函数解析式，通过匀速圆周运动（即简谐运动）与函数的关系可以求出半径和运动一周的时间，由图质点首次出现在直线上的时刻就是函数在上最左侧的零点，可以解出第个空的答案.【详解】

已知函数（其中，，）的图象如图所示，结合解析式与图象得到，因为，所以，因为，所以，因为在处取到最大值，所以，（），因为，解得，所以解析式为.因为图象刻画了质点做匀速圆周运动（如图）时，质点相对水平直线的位置值（是质点与直线的距离（米），质点在直线上方时，为正，反之为负）随时间（秒）的变化过程，所以振幅就是圆的半径，得到半径为米，质点旋转一圈所需的时间就是一个周期，因为，所以周期为，所以秒，因为图中，质点首次出现在直线上的时刻就是函数在上最左侧的零点，所以，解得秒.故答案为：；；；．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。17．已知．(1)写出的最小正周期以及的值；(2)求的单调递增区间．【答案】(1)最小正周期，(2)【分析】（1）根据给定条件，结合余弦函数性质求出周期，再将代入计算作答.（2）根据已知条件，结合余弦函数的单调增区间求解作答．【详解】（1）依题意，，所以的最小正周期，.（2）由（1）知，由得：，所以函数的单调递增区间是.18．已知，．(1)求；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据两角和的余弦公式运算求解；（2）根据两角差的余弦公式可得，再结合倍角公式运算求解.【详解】（1）因为，所以．（2）因为，所以．19．已知函数．(1)求函数的最小正周期；(2)将函数的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，当时，求函数的值域．【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数式为形式，然后结合正弦函数性质得最小正周期；（2）由三角函数图象变换得的表达式，再结合正弦函数性质得值域．【详解】（1），所以函数的最小正周期为；（2）将函数的图象先向左平移个单位，得，然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得，由，则，所以，所以．20．已知，，函数，．(1)求函数的对称轴方程；(2)将函数按照的方向平移后得到的函数是奇函数，求最小时的．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用坐标法计算数量积，求得得解析式后再对解析式作恒等变换；（2）按照图像平移的规则求解.【详解】（1），；对称轴为，即；（2）先将向下平移2个单位，得到，再将向左平移个单位得到奇函数，，欲使得最小，则，即；综上，得对称轴方程为，.21．如图，函数的图象与y轴交于点，最小正周期是.(1)求函数的解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；(2)已知点，点P是函数图象上一点，点是PA的中点，且，求的值.【答案】(1)，对称轴方程为，对称中心为(2)或【分析】（1）根据周期是可得的值，再由图象与y轴交于点，求得的值，从而可得函数解析式，根据余弦函数的性质可求得函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）点是PA的中点，点，利用中点坐标公式求出的坐标，点是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简,求解的值.（1）由题意，得.由的图象与y轴交于点，得，可得，∵，∴.∴函数.由，可得对称轴方程为，由，可得对称中心为.（2）点是PA的中点，∴点P的坐标为.又∵点P是函数图象上一点，∴，整理可得.∵，∴，∴或，解得或22．已知函数的部分图象大致如图．

(1)求的解析式，及其单调递增区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，把C上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数的图象．若关于x的方程在上有两个不同的实数解和，求实数m的取值范围，及的值．【答案】(1)，，(2)，【分析】（1）根据题意，结合三角函数的性质，即可求出的解析式，再令，，即可求出函数的单调递增区间；（2）根据题意，将函数的图象进行变换，可得，再根据正弦函数的图象可得实数m的取值范围，再根据三角函数的对称性，即可求出结果.【详解】（1）由图象可知