6.1.3 共面向量定理（解析版）

6.1.3共面向量定理一、共面向量定理1、共面向量：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。显然，任意两个空间向量都是共面向量。2、共面向量定理：如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组，使得.也就是说向量可以由两个不共线的向量，线性表示。二、空间向量共面证明1、证明点P在平面ABC内，可以用AP=xAB+y若用OP=xOA+y2、判断三个向量共面一般用p=x证明三线共面常用AP=x证明四点共面常用OP=xOA+y题型一向量共面的判断与证明【例1】已知，，，为空间不共面的四点，且向量，向量，则与，必共面的向量为（）A．B．C．D．或【答案】B【解析】由已知，与不共线，对于A，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，该方程组无解，故选项A错误；对于B，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，解得，即，与，共面，故选项B正确；对于C，若与，共面，则存在唯一的有序实数对，使，即，该方程组无解，故选项C错误；对于D，由选项A及选项C的判断知，选项D错误.故选：B.【变式1-1】若不共面，则（）A．不共面B．不共面C．不共面D．不共面【答案】A【解析】由题知不共面，对于A，因为不存在实数使得成立，故不共面，A正确；对于B，因为，故共面，B错误；对于C，因为，故共面，C错误；对于D，因为，故共面，D错误.故选：A【变式1-2】在四面体中，空间的一点满足，若，，共面，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，，∵，，共面，∴在在实数唯一实数对，使得，，∴，解得．故选：B．【变式1-3】已知是不共面向量，，若三个向量共面，则实数______.【答案】4【解析】以为空间一组基底，由于三个向量共面，所以存在，使得，即，整理得，所以，解得.【变式1-4】如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求证:向量共面.【答案】证明见解析【解析】因为在上，且，所以.同理.所以=++=.又与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.题型二四点共面的判断与证明【例2】在下列条件中，能使与，，一定共面的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】空间向量共面定理，，若，，不共线，且，，，共面，则其充要条件是；对于A，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于B，因为，所以不能得出，，，四点共面；对于C，，则,,为共面向量，所以与，，一定共面；对于D，因为，所以，因为，所以不能得出，，，四点共面．故选：C．【变式2-1】对空间中任意一点和不共线的三点，能得到在平面内的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为A、B、C三点不共线，则不共线，若四点共面，则存在唯一的一组实数使得，即，变形得，对于，，整理得，则，所以在平面内，故选项正确；对于，，可得：则，故不在平面内，故选项错误；对于C，，可得：，则，故不在平面内，故选项C错误；对于，，可得：则，故不在平面内，故选项错误；故选：【变式2-2】对于空间任意一点和不共线的三点、、，有如下关系：，则（）.A．四点、、、必共面B．四点、、、必共面C．四点、、、必共面D．五点、、、、必共面【答案】B【解析】因为，所以四点、、、必共面，故选：B【变式2-3】设向量，，不共面，空间一点P满足，则A，B，C，P四点共面的一组数对是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为向量，，不共面，，所以当且仅当时，A，B，C，P四点共面，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.【变式2-4】如图，已知O､A､B､C､D､E､F､G､H为空间的9个点，且，，，，，.求证：A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面；【答案】证明见解析【解析】因为，，所以由共面向量定理可得是共面向量，是共面向量，因为有公共点，有公共点，所以A､B､C､D四点共面，E､F､G､H四点共面.题型三利用共面向量定理证明平行【例3】如图，在直四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，CD=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点.证明：直线EE1平面FCC1.【答案】证明见解析【解析】由题意知，∵F是AB的中点，∴，∴四边形AFCD是平行四边形，∴.∵E，E1分别是AD，AA1的中点，∴.又∵与不共线，根据向量共面的充要条件可知共面.又∵EE1不在平面FCC1内，∴EE1平面FCC1.【变式3-1】如图，从所在平面外一点O作向量，，，．求证：（1），，，四点共面；（2）平面平面ABCD．【答案】（1）证明过程见解析；（2）证明过程见解析【解析】（1）证明：因为从所在平面外一点O作向量，，，，所以，所以故，，，四点共面，证毕.（2）证明：，从而∥，∵平面，平面∴∥平面由（1）知：∥，同理可证：∥平面因为所以平面ABCD∥平面证毕.【变式3-2】已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量，，，.（1）求证：四点共面；（2）平面平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）∵四边形是平行四边形，∴，∵，∴、、、四点共面；（2）∵，∴又因为平面,平面,所以平面又∵，∴，平面,平面,平面，又，平面所以，平面平面.【变式3-3】如图，已知，，，，，，，，为空间的个点，且，，，，，，．（1）求证：，，，四点共面，，，，四点共面；（2）求证：平面平面；【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；【解析】（1）因为，，所以，，共面，即，，，四点共面．因为，，所以，，共面，即，，，四点共面．（2）连接，，，所以，又因为平面，平面，所以平面．因为，所以，又平面，平面，所以平面，因为与相交，所以平面平面．题型四利用共面向量定理求参数【例4】已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（）A．2B．C．1D．【答案】B【解析】，即整理得由、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，可得，解之得，故选：B【变式4-1】空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为空间，，，四点共面，但任意三点不共线，则可设，又点在平面外，则，即，则，又，所以，解得，，故选：C．【变式4-2】已知点在确定的平面内，是平面外任意一点，实数满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】D【解析】因为，点在确定的平面