3.3 抛物线（精讲）（原卷版）

3.3抛物线（精讲）考点一抛物线的标准方程【例1-1】（2023春·江西吉安·高二校联考期末）若点在抛物线上，则该抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【例1-2】（2023·陕西榆林）以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点到焦点的距离为3，则抛物线的方程是（

）A． B． C． D．【例1-3】（2023春·湖南·高二校联考阶段练习）已知抛物线的焦点为F，C上一点满足，则抛物线C的方程为（

）A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高二课时练习）顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点，则它的方程是（

）A．或B．或C．D．2．（2023·陕西汉中）已知抛物线的焦点在y轴上，顶点在坐标原点O，且经过点，若点P到该抛物线焦点的距离为4，则该抛物线的方程为．考点二抛物线定义及应用【例2-1】（2023春·河南开封）已知抛物线，圆，为上一点，为上一点，则的最小值为（

）A．5 B． C．2 D．3【例2-2】（2023·海南·海南中学校考模拟预测）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和距离之和的最小值是（

）A． B．2 C． D．3【例2-3】（2023·西藏日喀则）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为3，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4

【一隅三反】1．（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（

）A． B． C． D．2．（2023春·四川泸州·高二统考期末）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为（

）．A．13 B．12 C．10 D．8

3．（2023春·云南曲靖·高二统考期末）已知抛物线的焦点到其准线的距离为是抛物线上一点，若，则的最小值为（

）A．8 B．6 C．5 D．44．（2023·浙江·校联考二模）已知直线和直线，拋物线上一动点到直线直线的距离之和的最小值是（

）A．2 B．3 C． D．考点三直线与抛物线的位置关系【例3-1】（2023广东深圳）设直线，抛物线，当为何值时，与相切？相交？相离？【例3-2】（2023秋·高二课时练习）（多选）设抛物线的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率可以是（）A． B．C．1 D．2【一隅三反】1．（2023·内蒙古呼和浩特）过点与抛物线只有一个交点的直线有（）条.A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·全国·高二专题练习）直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定3．（2023·上海杨浦·高二复旦附中校考期中）已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为.4．（2023·云南·云南师大附中校考模拟预测）写出一条过点且与抛物线：仅有一个公共点的直线方程：.考点四弦长【例4-1】（2023·陕西延安）已知抛物线：的准线方程为．(1)求抛物线的方程；(2)直线：交抛物线于、两点，求弦长．【例4-2】（2023春·黑龙江·高二校联考开学考试）已知直线l过抛物线C：的的焦点且与C交于A，B两点，线段AB中点的横坐标3，则．【例4-3】（2023·陕西渭南）设为抛物线的焦点，过点的直线交于两点，若，则（

）A．8 B．12 C．16 D．24【一隅三反】1．（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知抛物线与过焦点的一条直线相交于A，B两点，若弦的中点M的横坐标为，则弦的长2．（2023秋·山西大同·高二统考期末）（多选）经过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，设，，则下列说法中正确的是（

）A．当与轴垂直时，最小 B．C．以弦为直径的圆与直线相离 D．3．（2023春·四川·高二统考期末）已知直线与抛物线相交于、两点.(1)若直线过点，且倾斜角为，求的值；(2)若直线过点，且弦恰被平分，求所在直线的方程.考点五抛物线有关的轨迹【例5】（2023秋·福建宁德·）已知圆：与定直线：，动圆与圆外切且与直线相切，记动圆的圆心的轨迹为曲线，则曲线的方程为.【一隅三反】1．（2022·高二课时练习）在平面坐标系中，动点P和点满足，则动点的轨迹方程为．2．（2022秋·北京海淀·高二北京市十一学校校考期中）设O为坐标原点，，点A是直线上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l于点P，则点P的轨迹方程为．3．（2022·全国·高三专题练习）已知点，在轴上，且，则外心的轨迹的方程；考点六抛物线的实际应用【例6】（2023·全国·高二专题练习）清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部均近似为抛物线形状，碗盖深为，碗盖口直径为，碗体口直径为，碗体深，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗和碗盖的厚度忽略不计）（

）

A． B． C． D．【一隅三反】1．（2023·全国·高三专题练习）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm，则该抛物线的焦点到准线的距离为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·高三专题练习）探照灯､汽车前灯的反光曲面､手电筒的反光镜面､太阳灶的镜面等都是抛物镜面.灯泡放在抛物线的焦点位置，通过镜面反射就变成了平行光束，如图所示，这就是探照灯､汽车前灯､手电筒的设计原理.已知某型号探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，灯口直径是，灯深，则光源到反射镜顶点的距离为（

）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）