数学人教A版必修2学案2-2-4平面与平面平行的性质

2.2.4平面与平面平行的性质[目标]1.理解并能证明两个平面平行的性质定理；2.能利用性质定理解决有关的平行问题．[重点]平面与平面平行的性质定理及应用．[难点]线线平行、线面平行、面面平行关系的转化．知识点平面与平面平行的性质[填一填][答一答]1．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行．2．如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b.3．若α∥β，a⊂α，b⊂β，下列几种说法中正确的是(B)①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β.A．①② B．②④C．②③ D．①③④类型一证明两条直线平行[例1]如图，平面四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行．求证：四边形ABCD是平行四边形．[证明]在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC.同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′，所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC.因为平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，所以AB∥CD.同理AD∥BC.所以四边形ABCD是平行四边形．面面平行的性质定理是由面面平行证明线线平行.证明线线平行的关键是把要证明的直线看作是平面的交线，所以构造三个平面：即两个平行平面，一个经过两直线的平面，有时需要添加辅助面.[变式训练1]如右图，已知α∥β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)．直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D.(1)求证：AC∥BD；(2)已知PA＝4cm，AB＝5cm，PC＝3cm，求PD的长．解：(1)证明：∵PB∩PD＝P，∴直线PB和PD确定一个平面γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD.(2)由(1)得AC∥BD，∴eq\f(PA,AB)＝eq\f(PC,CD).∴eq\f(4,5)＝eq\f(3,CD).∴CD＝eq\f(15,4).∴PD＝PC＋CD＝eq\f(27,4)cm.类型二证明线面平行[例2]如图所示，两条异面直线BA，DC与两平行平面α，β分别交于B，A点和D，C点，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.[分析]利用三角形的中位线及面面平行的性质证明．[证明]如图，过点A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED，AC.∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC.则平面AEDC∩平面α＝DE，平面AEDC∩平面β＝AC，∵α∥β，∴AC∥DE.又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥DE.PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α.又M，P分别为AB，AE的中点，∴MP∥BE，且MP⊄α，BE⊂α，∴MP∥α.∴平面MPN∥平面α.又MN⊂平面MPN，∴MN∥α.证明直线与平面平行，除了定义法，判定定理法以外，还可以用两平面平行的性质，也就是说为了证明直线与平面平行，也可以先证明两平面平行，再由两平面平行的性质得到线面平行.[变式训练2]如图，在三棱柱ABC­A′B′C′中，M，N分别为BB′，A′C′的中点．求证：MN∥平面ABC′.证明：取B′C′的中点P，连接MP，NP，则MP∥BC′，NP∥A′B′.因为A′B′∥AB，所以NP∥AB.又因为AB⊂平面ABC′，NP⊄平面ABC′，所以NP∥平面ABC′.同理，MP∥平面ABC′.又因为NP∩MP＝P，所以平面MNP∥平面ABC′.因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面ABC′.类型三平行关系的综合应用[例3]已知：如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C(1)当eq\f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1；(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC)的值．[分析]由(1)的条件可知，应由线线平行判定线面平行；由(2)的条件可知，应用面面平行的性质定理推导线线平行．[解](1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时eq\f(A1D1,D1C1)＝1，连接A1B，设交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1.所以BC1∥平面AB1D1，所以当eq\f(A1D1,D1C1)＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)因为平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝OD1，所以若平面BC1D∥平面AB1D1，则BC1∥OD1.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(A1O,OB)＝1.又因为平面A1ACC1∩平面BC1D＝DC1，平面A1ACC1∩平面AB1D1＝AD1，所以AD1∥DC1.又因为A1C1∥AC所以四边形ADC1D1为平行四边形，所以AD＝D1C1所以A1D1＝DC.所以eq\f(A1D1,D1C1)＝eq\f(DC,AD).又因为eq\f(A1D1,D1C1)＝1，所以eq\f(DC,AD)＝1，即eq\f(AD,DC)＝1.1在遇到线面平行时，常需作出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质.2要灵活应用线线平行、线面平行和面面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.[变式训练3]如图，在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，P，Q分别是BC，C1D1，AD1，BD(1)求证：PQ∥平面DCC1D1；(2)求PQ的长；(3)求证：EF∥平面BB1D1D.解：(1)证明：如图所示．连接AC，CD1，∵P，Q分别是AD1，AC的中点，∴PQ∥CD1.又PQ⊄平面DCC1D1，CD1⊂平面DCC1D1，∴PQ∥平面DCC1D1.(2)由(1)易知PQ＝eq\f(1,2)D1C＝eq\f(\r(2),2)a.(3)证明：取B1C1的中点E1，连接EE1，FE1，则有FE1∥B1D1，EE1∥BB1，∴平面EE1F∥平面BB1D1D.又EF⊂平面EE1F，所以EF∥平面BB1D1．已知a，b表示直线，α、β、γ表示平面，下列推理正确的是(D)A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b2．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(D)A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行C．存在无数多条直线与a平行D．存在唯一一条直线与a平行3．平面α∥平面β，平面γ∥平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是(A)A．互相平行B．交于一点C．相互异面D．不能确定解析：根据面面平行的性质定理知：a∥b，a∥c，b∥d，c∥d，所以a∥b∥c∥d，故选A.4．已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为24或eq\f(24,5).解析：当点P在α，β的同一侧时，BD＝eq\f(24,5)，当点P在α，β之间时，BD＝24.5．已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，A，B，C，D四点共面，M，N分别为AB，CD的中点，求证：MN∥平面α.证明：平面ABDC与α，β的交线为AC，BD.因为α∥β，所以AC∥BD.又M，N分别为AB，CD的中点，所以MN∥BD，所以MN∥AC.又AC⊂平面α，MN⊄平面α，所以MN∥平面α.——本课须掌握的两大问题1．对面面平行性质定理的理解(1)面面平行的性质定理的条件有三个：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可．(2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其