福建省厦门市2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试题

厦门市20232024学年第一学期高二年级质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列满足，，则（）A. B. C.3 D.2.已知直线的倾斜角为，直线过点，若，则在轴上的截距为（）A. B. C.2 D.3.点到双曲线的渐近线的距离为（）A. B. C. D.4.在四棱锥中，底面为平行四边形，点满足，则（）A. B.C. D.5.已知数列的前项和为，若，则的最大值为（）A. B. C. D.16.已知椭圆的左、右焦点为，，上一点满足，为线段的中垂线与的交点，若的周长为，则的离心率为（）A. B. C. D.7.已知梯形中，，，，，.如图，将沿对角线翻折至，使得，则异面直线，所成角的余弦值为（）A. B. C. D.8.抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，.若，则实数可以为（）A.0 B. C.1 D.210.如图，在棱长为2的正方体中，点，分别是和的中点，则（）A.B.C.点到平面的距离为D.直线与平面所成角的正弦值为11.已知曲线，其中，则（）A.存在使得为圆B.存在使得为两条直线C.若为双曲线，则越大，的离心率越大D.若为椭圆，则越大，的离心率越大12.若数列满足，则（）A.数列是等比数列B.当时，的所有可能取值的和为6C.当时，的取值有10种可能D.当时，三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，三点共线，则______.14.已知抛物线的焦点为，是上一点，的面积为2，则______.15.已知圆和圆，过动点分别作圆，圆的切线，（，为切点），且，则的最大值为______.16.已知直线与直线，点是与轴的交点.过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，过作轴的垂线交于点，依此方法一直继续下去，可得到一系列点，，则______；设的坐标为，则数列的前项和为______.（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）已知等差数列的前项和为，满足，.（1）求；（2）设，求数列的前项和.18.（12分）在平面直角坐标系中，点，，动点满足.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与交于，两点，，求的方程.19.（12分）已知双曲线的左顶点为，为上（异于）一点.（1）已知点，求当取得最小值时直线的方程；（2）若直线与直线交于点，证明：为定值.20.（12分）某工厂去年12月试产了1000个电子产品，产品合格率为0.85.从今年1月开始，工厂在接下来的一年中将生产这款产品，1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加0.01.（1）求今年2月生产的不合格产品的数量，并判断哪个月生产的不合格产品的数量最多；（2）求该工厂今年全年生产的合格产品的数量.参考数据：，.21.（12分）如图，在平行六面体中，平面，，，.（1）求证：；（2）线段上是否存在点，使得平面与平面的夹角为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.22.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上不同两点，满足，当时，.（1）求的方程；（2）设直线，交于点，已知的面积为1，求与的面积之和.厦门市20232024学年度第一学期高二年级质量检测数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1~4：CDAC 5~8：CBCB8.提示：思路1：如图，由光学性质可知：轴，，又，所以，因为轴，，则有，所以，即，由三角不等式可得即（点的轨迹是一个圆除去，）.思路2：设，，易求得，所以，，联立方程可求得，所以.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.ABC 10.BC 11.ABC 12.BCD12.提示：选项A：取，则，故选项A错误；当时，，则或，所以，其中，，，，…，，化简可得：，其中，，，，…，，当时，的取值共有种，其和，选项B，C正确；由可得，即，所以，累加可得，故选项D正确.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1 14.515. 16.8，（或）16.提示：，，则，，则，即，所以，所以，所以，，所以的前项和为.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.解法一：（1）设等差数列的首项为，公差为，据题意，，所以①又因为，当时，，即②由①②可知，，，即.经检验，满足，所以（2）因为，所以，因为，所以数列为等比数列，首项，公比，所以，所以数列的前项和为解法二：（1）设等差数列的首项为，公差为，据题意，，所以①因为，所以，化简得②由①②可知，，，所以（2）同解法一.18.解：（1）设，因为所以化简得，所以点的轨迹的方程为（2）因为，，所以圆心到直线的距离①当直线的斜率不存在时，与圆无交点，舍去；②当直线的斜率存在时，设，即所以，解得所以的方程为或19.解法一：（1）设，其中，所以当时，取得最小值为，此时，所以直线的方程为或（2）设，，则直线的方程为：，所以所以，所以为定值解法二：（1）同解法一；（2）设直线的方程为：，显然存在，联立方程，化简可得：，由韦达定理可知：，所以，可求得所以，所以为定值20.解：（1）记从今年1月起，第月的产量为，第月的产品合格率为.由题可知，数列为等比数列，首项，公比，数列为等差数列，首项，公差，所以，所以今年2月份生产的不合格产品数为设第月生产的不合格产品数为，则，所以当时，；当时，；当时，.所以，即5月或6月生产的不合格产品数最多（2）设今年前个月生产的合格产品总数为，则所以①②①－②得所以，即该工厂今年全年生产的合格产品总数约为19604个21.解法一：（1）因为平面，平面，所以，所以因为，所以又因为，所以，化简得所以，所以（2）假设存在点满足条件.因为平面，，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，，，，，，，设，则设平面的一个法向量为由，得，令，得，所以设平面的一个法向量由，得，令，得，所以所以，因为平面与平面的夹角为，即，解得又因为，所以舍去，所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为解法二：在平面内过点作的垂线，垂足为，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，，，，（1）设，则，所以，由得，所以又因为，所以，解得所以，，，，所以，所以（2）由（1）得平面的一个法向量为假设存在点满足条件，设，则设平面的一个法向量为由，得，令，则，，所以所以，因为平面与平面的夹角为，即，解得又因为，所以舍去，所以线段上不存在点使得平面与平面的夹角为解法三：（1）在平面中，过作的垂线，垂足为，连结交于.因为平面，平面，所以因为，所以平面又因为平面，所以因为，，所以平面因为平面，所以,则所以，所以，所以在中，，，，所以在中，，，，所以在中，，，，所以，所以所以（2）同解法一.22.解法一：（1）当时，，则四边形为平行四边形，由椭圆的对称性可知，四边形为矩形，即轴，所以，所以，解得，所以椭圆的标准方程为（2）因为，所以，由对称性，不妨设，，由，可得又，所以延长交于点，易知，关于原点对称，设直线，显然存在，设，，，联立方程，化简可得：所以，，直线，直线，所以，即，所以，即，所以，代入韦达定理可得：，解得由可得，所以解法二：（1）当时，，则四边形为平行四边形，由椭圆的对称性可知，四边形为矩形，即轴，所以，，即，，所以椭圆的标准方程为（2）因为，所以，由对称性，不妨设，，由，可得又，，所以延长交于点，易知，关于原点对称，设直线，显然存在，设，，，联立方程，化简可得：所以，，因为，所以，同理所以，即代入消可得：，即，即，所以解法三：（1）同解法一；（2）由对称性可知，不妨设，由，可得，延长交于点，易知，关于原点对称，设直线，显然存在，，，，联立方程，化简可得可得，，由，，、，，三点共线可得所以，即，即，所以，，代入韦达定理可得：，解得如图可知：，所以，所以解法四：（1）同解法一；（2）