数学模型课件

建立数学模型1.1从现实对象到数学模型1.2数学建模的重要意义1.3数学建模示例1.4数学建模的方法和步骤1.5数学模型的特点和分类1.6怎样学习数学建模玩具、照片、飞机、火箭模型……~实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机……~物理模型地图、电路图、分子结构图……~符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征1.1

从现实对象到数学模型我们常见的模型原型是现实世界的实际对象,实际问题。你碰到过的数学模型——“航行问题”用x

表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小时20千米/小时.甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?x=20y=5求解航行问题建立数学模型的基本步骤

作出简化假设（船速、水速为常数）；

用符号表示有关量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以时间）列出数学式子（二元一次方程）；

求解得到数学解答（x=20,y=5）；

回答原问题（船速每小时20千米/小时）。数学模型(MathematicalModel)和数学建模（MathematicalModeling)数学模型近藤次郎（日）的定义：数学模型是将现象的特征或本质给以数学表述的数学关系式。它是模型的一种。本德（美）的定义：数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的简化的数学结构。对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学建模数学模型姜启源(中)的定义：1.2

数学建模的重要意义

电子计算机的出现及飞速发展；

数学以空前的广度和深度向一切领域渗透。数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视。

在一般工程技术领域数学建模仍然大有用武之地；

在高新技术领域数学建模几乎是必不可少的工具；

数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地。数学建模的具体应用

分析与设计

预报与决策

控制与优化

规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼1.3

数学建模示例1.3.1

椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常~三只脚着地放稳~四只脚着地

四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;

地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面;

地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来

椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性xBADCOD´C´B´A´用

(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置

四只脚着地距离是

的函数四个距离(四只脚)A,C两脚与地面距离之和~f(

)B,D两脚与地面距离之和~g(

)两个距离

椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来f(

),g(

)是连续函数对任意

,f(

),g(

)至少一个为0数学问题已知：f(

),g(

)是连续函数;

对任意

，f(

)•g(

)=0;

且g(0)=0，f(0)>0.证明：存在

0，使f(

0)=g(

0)=0.模型构成地面为连续曲面

椅子在任意位置至少三只脚着地连续函数的零点定理（介值定理）oxyab提示：利用零点定理（介值定理）模型求解给出一种简单、粗糙的证明方法将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h(

)=f(

)–g(

),则h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的连续性知

h为连续函数,据连续函数的基本性质,必存在

0,使h(

0)=0,即f(

0)=g(

0).因为f(

)•g(

)=0,所以f(

0)=g(

0)=0.评注:建模的关键~

和f(

),g(

)的确定长方形的椅子会有同样的性质吗？思考:1.3.2

商人们怎样安全过河问题(智力游戏)3名商人

3名随从随从们密约,在河的任一岸,一旦随从的人数比商人多,就杀人越货.但是乘船渡河的方案由商人决定.商人们怎样才能安全过河?问题分析多步决策过程决策~每一步(此岸到彼岸或彼岸到此岸)船上的人员要求~在安全的前提下(两岸的随从数不比商人多),经有限步使全体人员过河.河小船(至多2人)试一试模型构成xk~第k次渡河前此岸的商人数yk~第k次渡河前此岸的随从数xk,yk=0,1,2,3;

k=1,2,

sk=(xk,yk)~过程的状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}S~允许状态集合uk~第k次渡船上的商人数vk~第k次渡船上的随从数dk=(uk,vk)~决策D={(u

,v)

u+v=1,2}~允许决策集合uk,vk=0,1,2;k=1,2,

sk+1=sk

dk+(-1)k~状态转移律求dk

D(k=1,2,n),使sk

S,并按转移律由s1=(3,3)到达sn+1=(0,0).多步决策问题模型求解xy3322110

穷举法~编程上机

图解法状态s=(x,y)~16个格点~10个点允许决策~移动1或2格;k奇,左下移;k偶,右上移.s1sn+1d1,

，d11给出安全渡河方案评注和思考规格化方法,易于推广考虑4名商人各带一随从的情况d1d11允许状态S={(x

,y)

x=0,y=0,1,2,3;

x=3,y=0,1,2,3;x=y=1,2}思考：

(1)若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡河？

(2)m名商人m个随从(m≥4)能否安全渡河？

(3)一般地，m个商人n个随从,m>n能否安全渡河?若能,怎样渡河?六狗过河问题

有三条大狗A、B、C，三条小狗a，b，c要过河，只有大狗和c小狗能划船。船最多能载两条狗。问狗应如何过河?阿拉伯夫妻过河问题

有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。

约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场的情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河?四对夫妻呢？

人、狗、鸡、米过河问题

某人要带一条狗、一只鸡、一箩米过河，但小船除需要人划外，最多只能载一物过河，而当人不在场时，狗要咬鸡、鸡要吃米。问此人应如何过河?练习：

从表中看出，人口每增加十亿的时间，由一百多年缩短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界经济的发展。1.3.3、人口增长的预报问题

随着科学技术的发展，在近几个世纪来，世界人口也得到了快速的的增长。下面的数据表反映了近几个世纪的人口增长情况。年1625183019301960人口（亿）5102030年197419871999人口（亿）405060

下面介绍两个基本的人口模型，并利用表1给出的近两个世纪的美国人口统计数据（单位：百万）对模型作出检验，最后用它预报2010年美国的人口。

下表是我国在20世纪中人口发展的状况：年1908193319531964人口（亿）3.04.76.07.2年198219902000人口（亿）10.311.312.95

认识人口数量变化的规律，建立合适的人口模型，作出准确的预报，是有效控制人口增长的前提。年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4表1

美国人口数据统计在上面的问题中，假定人口的年增长率是一个不变的常数。⑴指数增长模型

一个简单的人口模型是指数模型：记今年人口为，年增长率为，则以后第年的人口为

200多年前，马尔萨斯基于人口增长率不变的基础，建立了著名的人口指数模型。⑴

建模记时刻时的人口为，并视其为连续变量，初始时的人口为，从到时间内人口的增量为，则有令则得到应满足的微分方程：⑵由这个方程容易解得：当时，⑶式表明人口将按指数规律无限增长。故称为指数增长模型。⑶

参数估计：⑶式中的和可以用表1中的数据进行估计。为了利用简单的最小二乘法，将⑶式取对数后得其中：。⑷

以1790年到1900年的数据拟合⑷式，可得

以1790年到2000年的全部数据拟合⑷式，可得1790—1900实际人口与计算人口的比较计算人口曲线实际人口1790—2000实际人口与计算人口比较计算人口曲线实际人口年179018001810182018301840人口3.95.37.29.612.917.1x14.25.57.29.512.516.5x26.07.49.111.113.616.6年185018601870188018901900人口23.231.438.650.262.976.0x121.728.637.649.565.185.6x220.324.930.537.345.755.9表2

指数增长模型拟合美国人口数据的结果

结果分析用上面得到的参数代入⑶式，将计算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口是用1790年的数据拟合的结果；计算人口是用全部数据拟合的结果，用这个模型基本上能够描述19世纪以前美国人口的增长情况，但是进入20世纪后，美国人口增长明显放慢，此时模型不再适合了。这是为什么?年191019201930194019501960人口92.0106.5123.2131.7150.7179.3x1x268.483.7102.5125.5153.6188.0年1970198019902000人口204.0226.5251.4281.4x1x2230.1281.7344.8422.1阻滞增长模型(Logistic模型)人口增长到一定数量后，增长率下降的原因：资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用且阻滞作用随人口数量增加而变大假设r~固有增长率(x很小时)xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）r是x的减函数dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲线,x增加先快后慢x0xm/2阻滞增长模型(Logistic模型)参数估计用指数增长模型或阻滞增长模型作人口预报，必须先估计模型参数r或r,xm

利用统计数据用最小二乘法作拟合例：美国人口数据（单位~百万）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4专家估计阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392.1模型检验用模型计算2000年美国人口，与实际数据比较实际为281.4(百万)模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数Logistic模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)阻滞增长模型(Logistic模型)r=0.2490,xm=434.0x(2010)=306.0一、机理分析法----根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律面得出模型。

1.比例分析法----建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。

2.代数方法----求解离散问题（离散的数据、符号、图形）的主要方法。

3.逻辑方法----是数学理论研究的重要方法，对社会学和经济学等领域的实际问题，在决策，对策等学科中得到广泛应用。

4.常微分方程----解决两个变量之间的变化规律，关键是建立"瞬时变化率"的表达式。

5.偏微分方程----解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

数学建模的基本方法1.4

数学建模的方法和步骤二、测试分析(或数据分析法)----将对象看作“黑箱”,通过大量对测量数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型。

1.回归分析法----用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式，由于处理的是静态的独立数据，故称为数理统计方法。

2.时序分析法----处理的是动态的相关数据，又称为过程统计方法。

数学建模的基本方法三、仿真和其他方法

1.计算机仿真（模拟）----实质上是统计估计方法，等效于抽样试验。

①离散系统仿真----有一组状态变量。

②连续系统仿真----有解析表达式或系统结构图。

2.因子试验法----在系统上作局部试验，再根据试验结果进行不断分析修改，求得所需的模型结构。

数学建模的基本方法机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究(CaseStudies)来学习。以下建模主要指机理分析。结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数

数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的‘问题’模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具

数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法(解方程、画图形、证明定理以及逻辑运算)、软件和计算机技术如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性(符合,不符合,阶段性或局部性符合)模型应用

数学建模的一般步骤应用中可能发现新问题，需继续完善。数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题选择适当的数学方法求得数学模型的解答将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象用现实对象的信息检验得到的解答实践现实世界数学世界理论实践1.5

数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性

数学模型的特点数学模型的分类应用领域人口、交通、经济、生态……数学方法初等数学、微分方程、规划、统计……表现特性描述、优化、预报、决策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续1.6怎样学习数学建模数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力

学习、分析、评价、改进别人作过的模型

亲自动手，认真作几个实际问题经验直觉与灵感练习1某甲早8时从山下旅店A出发沿一条路径上山，下午6时到达山顶B并留宿；次日早8时从山顶B沿同一条路径下山，下午6时回到旅店A。某乙说，甲必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？AB甲乙解：我们从A点为始点记路程，设从A点到B点的路程函数为，设从B点到A点的路程函数为。由题意有：

又都是连续函数，因此也为连续函数，由零点定理，一定存在某一时刻使37支球队进行冠军争夺赛，每轮比赛中出场的每两支球队中的胜者及轮空者进入下一轮，直至比赛结束。问共需进行多少场比赛？一般思维：逆向思维：每场比赛淘汰一名失败球队，只有一名冠军，即就是淘汰了36名球队，因此比赛进行了36场。3某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车于6时抵达T市车站，它的妻子驾车准时到车站接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5时半抵达T市车站，随即步行回家，它的妻子像往常一样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？车站家5：30相遇早10钟5分钟5分钟6：005：55共走了25分钟。甲乙两站有电车相通，每隔10分钟甲乙两站互发一趟车，但发车时间不一定相同。甲乙两站有一中间站丙，某人每天在随机的时刻到达丙站，并搭乘最先经过丙站的那趟车，结果发现100天中约有90天到达甲站，仅约有10天到达乙站。问开往甲乙两站的电车经过丙站的时刻表是如何安排的？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:195.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家中的小狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。试分析半小时后，狗在何处？一小时后，狗又在何处？（1）由于本题并未给出开始散步时狗的具体位置，因此，我们无法确定半小时后狗在何处。即使假设开始散步时狗在哥哥处，我们仍然无法确定狗在半小时后的位置，因为题目中并没有给出狗的奔跑方式（比如说狗是从哥哥处没街道跑到妹妹处，再沿路返回，周而复始）。因此，最后的答案仍是狗可以在任何位置。（2）由于哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，因此一小时后，哥哥和妹妹都已到家，而狗一直在二人之间，因此狗也到家了。练习：一男孩和一女孩分别在离家2km和1km且方向相反的两所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中。问小狗奔波了多少路程？如果男孩和女孩上学时小狗也往返奔波在他们中间，问当他们到达学校时小狗在何处？6某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办法求解。）dAB河思考题长方形椅子稳定性问题oxyABCD

思考题1长方形椅子稳定性问题表示A,B与地面距离之和表示C,D与地面距离之和则由三点着地，有ACABCD思考2：

(1)若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡河？

(2)m名商人m个随从(m≥4)能否安全渡河？

(3)一般地，m个商人n个随从,m>n能否安全渡河?若能,怎样渡河?一.比例代表制例：有A、B、C、D四个政党，代表50万选民，各政党的选民数为：

A党：199,000B党：127,500C党：124,000D党：49,500要选出5名代表：

A党：2席B党：1席

C党：1席D党：0席缺少1席，如何分配这最后一席呢？

2.1

公平的席位分配1、大余数法按每10万选民1席分配后，按余数大小排序，多余的席位分给余数较大的各党。党名代表选民数整数席余数余额席总席数

A199,000199,00012B127,500127,50001C124,000124,00001D49,500049,500112.1

公平的席位分配2、洪德(d

Hondt)规则分配办法是：把各党代表的选民数分别被1、2、3、…除，按所有商数的大小排序，席位按此次序分配。即若A党的人数比D党的人数还多，那么给A党3席、给D党0席也是合理的。除数A党B党C党D党1199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500299,500(4)63,75062,00024,750366,333(5)42,50041,33316,500449,75031,875－－总席位31102.1

公平的席位分配3、北欧折衷方案作法与洪德规则类似，所采用的除数依次为1.4、3、5、7、…

A党B党C党D党

2

2

1

0三种分配方案，得到了完全不同的结果，最大余数法显然对小党比较有利，洪德规则则偏向最大的党，北欧折衷方案对最大和最小党都不利2.1

公平的席位分配二．份额分配法(QuotaMethod)一种以“相对公平”为标准的席位分配方法，来源于著名的“阿拉巴玛悖论”(AlabamaParadox)。美国宪法第1条第2款对议会席位分配作了明确规定，议员数按各州相应的人数进行分配。最初议员数只有65席，因为议会有权改变它的席位数，到1910年，议会增加到435席。宪法并没有规定席位的具体分配办法，因此在1881年，当考虑重新分配席位时，发现用当时的最大余数分配方法，阿拉巴玛州在299个席位中获得8个议席，而当总席位增加为300席时，它却只能分得7个议席。这一怪事被称为有名的“阿拉巴玛悖论”。2.1

公平的席位分配

某校有200名学生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位，问三系各有多少个席位？按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则

表示某单位的席位数

表示某单位的人数

表示总人数

表示总席位数1问题的提出2.1

公平的席位分配问题20个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲100100/200(50/100)•20=10乙6060/200(30/100)•20=6丙4040/200(20/100)•20=4现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%•20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%•20=3.410641064现象1

丙系虽少了6人，但席位仍为4个。（不公平！）为了在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一个席位。21个席位的分配结果系别人数所占比例分配方案席位数甲103103/200=51.5%51.5%•21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%•21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%•21=3.5701173现象2

总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！）惯例分配方法：按比例分配完取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。存在不公平现象，能否给出更公平的分配席位的方案？2建模分析目标：建立公平的分配方案。反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量。系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系别人数席位数每席位代表的人数甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系别人数席位数每席位代表的人数公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，单位人数席位数每席位代表的人数AB当席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下标准来判断。此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。单位人数p席位数n每席位代表的人数绝对不公平标准A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大为改善！2）相对不公平表示每个席位代表的人数，总人数一定时，此值越大，代表的人数就越多，分配的席位就越少。则A吃亏,或对A是不公平的。定义“相对不公平”对A的相对不公平值；同理，可定义对B的相对不公平值为：对B的相对不公平值；建立了衡量分配不公平程度的数量指标制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小。3建模若A、B两方已占有席位数为用相对不公平值讨论当席位增加1个时，应该给A还是B方。不失一般性，有下面三种情形。情形1说明即使给A单位增加1席，仍对A不公平，所增这一席必须给A单位。情形2说明当对A不公平时，给A单位增加1席，对B又不公平。计算对B的相对不公平值情形3说明当对A不公平时，给B单位增加1席，对A不公平。计算对A的相对不公平值则这一席位给A单位，否则给B单位。结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A单位，反之，应分配给B单位。记则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方。这样的分配席位的方法称为Q值方法。若A、B两方已占有席位数为4推广有m方分配席位的情况设方人数为，已占有个席位，当总席位增加1席时，计算则1席应分给Q值最大的一方。从开始，即每方至少应得到以1席，（如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。）5举例甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4练习：学校共1000学生，235人住在A楼，333人住在B楼，432住在C楼。学生要组织一个10人委员会，试用惯例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各楼的委员数，并比较结果。思考题：现有外形相同的１2个球，其中有一个的重量与其他11个不同。请用一架天平称三次，将那个不同的球找出来。d’Hondt方法有k个单位，每单位的人数为pi

，总席位数为n。做法：用自然数1,2,3,…分别除以每单位的人数，从所得的数中由大到小取前n个，（这n个数来自各个单位人数用自然数相除的结果），这n个数中哪个单位有几个所分席位就为几个。进一步的讨论Q值方法比“比例加惯例”方法更公平吗？席位分配的理想化准则已知:m方人数分别为

p1,p2,…,pm,记总人数为P=p1+p2+…+pm,待分配的总席位为N。设理想情况下m方分配的席位分别为n1,n2,…,nm(自然应有n1+n2+…+nm=N)，记qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni应是N和p1,…,pm

的函数，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均为整数，显然应ni=qi

qi=Npi/P不全为整数时，ni

应满足的准则：记[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即当总席位增加时，ni不应减少“比例加惯例”方法满足1），但不满足2）Q值方法满足2）,但不满足1）。令人遗憾！问题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？2.2

录像机计数器的用途经试验，一盘标明180分钟的录像带从头走到尾，时间用了184分，计数器读数从0000变到6061。录像机计数器的工作原理0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向问题背景要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。思考计数器读数是均匀增长的吗？主动轮压轮0000左轮盘右轮盘磁头计数器录像带录像带运动方向录像带运动右轮盘半径增大右轮转速不是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢问题分析观察计数器读数增长越来越慢！模型假设

录像带的运动速度是常数

v

；

计数器读数

n与右轮转数

m成正比，记

m=kn；

录像带厚度（加两圈间空隙）为常数

w；

空右轮盘半径记作r

；

时间

t=0时读数n=0.建模目的建立时间t与读数n之间的关系（设v,k,w,r为已知参数）模型建立建立t与n的函数关系有多种方法1.右轮盘转第

i圈的半径为r+wi,

m圈的总长度等于录像带在时间t内移动的长度vt,所以2.考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即3.考察t到t+dt录像带在右轮盘缠绕的长度，有模型建立思考13种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思考2模型求解参数估计另一种确定参数的方法——测试分析将模型改记作只需估计a,b理论上，已知t=184,n=6061,

再有一组(t,n)数据即可。实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得用最小二乘法模型检验应该另外测试一批数据检验模型：模型应用回答提出的问题：由模型算得n=4450时t=116.4分，剩下的录像带能录184-116.4=67.6分钟的节目。揭示了“t

与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计a,b

即可。2d墙室内T1室外T2dd墙l室内T1室外T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失假设热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数建模热传导定律Q1Q2Q~单位时间单位面积传导的热量

T~温差,d~材料厚度,k~热传导系数2.3

双层玻璃窗的功效dd墙l室内T1室外T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta~内层玻璃的外侧温度Tb~外层玻璃的内侧温度k1~玻璃的热传导系数k2~空气的热传导系数建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内T1室外T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用取h=l/d=4,则Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数k2,而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁……损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大2.4

汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背景与问题

正常驾驶条件下,车速每增10英里/小时，后面与前车的距离应增一个车身的长度。

实现这个规则的简便办法是“2秒准则”：

后车司机从前车经过某一标志开始默数

2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断“2秒准则”与“车身”规则是否一样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问题分析常识：刹车距离与车速有关10英里/小时(

16公里/小时)车速下2秒钟行驶29英尺(

9米)>>车身的平均长度15英尺(=4.6米)“2秒准则”与“10英里/小时加一车身”规则不同刹车距离反应时间司机状况制动系统灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候……最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。车速常数反应距离制动距离常数假设与建模1.刹车距离d等于反应距离d1与制动距离d2之和2.反应距离d1与车速v成正比3.刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变;Fd2=mv2/2F

mt1为反应时间且F与车的质量m成正比

反应时间t1的经验估计值为0.75秒参数估计

利用交通部门提供的一组实际数据拟合k模型最小二乘法

k=0.06计算刹车距离、刹车时间车速(英里/小时)(英尺/秒)实际刹车距离（英尺）计算刹车距离（英尺）刹车时间（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则”应修正为“t秒准则”模型车速(英里/小时)刹车时间（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里/小时）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234

一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化，在全部距离上尽力地快跑不一定是最好的策略。试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。2.5雨中行走问题1建模准备建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度2）降雨大小用降雨强度厘米/时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。3）风速保持不变。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假设及符号说明1）把人体视为长方体，身高米，宽度米，厚度米。淋雨总量用升来记。3模型建立与计算1）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。淋雨的面积雨中行走的时间降雨强度模型中结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能减少淋雨量。从而可以计算被淋的雨水的总量为2.041（升）。经仔细分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大约有4酒瓶的水量。这是不可思议的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。2）考虑降雨方向。人前进的方向若记雨滴下落速度为（米/秒）雨滴的密度为雨滴下落的反方向表示在一定的时刻在单位体积的空间内，由雨滴所占的空间的比例数，也称为降雨强度系数。所以，因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。顶部的淋雨量前表面淋雨量总淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。问题转化为给定，如何选择使得最小。情形1结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得情形2结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时淋雨量达到最小。假设你以6米/秒的速度在雨中猛跑，则计算得情形3

此时，雨滴将从后面向你身上落下。出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从你的前面落到身上情形。因此，对于这种情况要另行讨论。当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨总量为再次代如数据，得结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角从背后落下，你应该以此时，淋雨总量为这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是淋雨总量为4结论若雨是迎着你前进的方向向你落下，这时的策略很简单，应以最大的速度向前跑；若雨是从你的背后落下，你应控制你在雨中的行走速度，让它刚好等于落雨速度的水平分量。5注意

关于模型的检验，请大家观察、体会并验证。雨中行走问题的建模过程又一次使我们看到模型假设的重要性，模型的阶段适应性。2.5

划艇比赛的成绩赛艇2000米成绩t(分)种类1234平均单人7.167.257.287.177.21双人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇长l

艇宽b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

浆手数n

16.313.618.114.7对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。问题准备调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不变问题分析

前进阻力~浸没部分与水的摩擦力

前进动力~浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定划浆功率

赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力浆手数量艇重浸没面积

对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定

运用合适的物理定律建立模型模型假设1）艇形状相同(l/b为常数),w0与n成正比2）v是常数，阻力f与sv2成正比符号：艇速v,浸没面积

s,浸没体积A,空艇重w0,阻力f,浆手数n,浆手功率

p,浆手体重

w,艇重W艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比浆手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比赛成绩

t

n

–1/9npfv模型检验n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型

t

n

–1/9进行检验tn12487.216.886.325.84••••与模型巧合！问题的提出：四足动物的躯干的长度(不含头尾)与它的体重有什么关系？这个问题有一定的实际意义。比如，在生猪收购站或屠宰场工作的人们，往往希望能从生猪的身长估计出它的体重。动物的生理构造因种类不同而异，如果陷入对生物学复杂生理结构的研究，将很难得到满足上述目的有使用价值的模型．这里我们仅在十分粗赂的假设基础上，利用类比方法，借助力学的某些结果，建立动物身长和体重间的比例关系。2.6

动物的身长和体重1、问题的分析与假设

把四足动物的躯干看作圆柱体，长度l、直径d、断面面积s如下图所示。将这种圆柱体的躯干类比作—根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的一些研究结果。2、模型的建立：原理：动物在自身体重f作用下躯干的最大下垂度b，即梁的最大弯曲，根据对弹性粱的研究，有：进一步分析b/l的意义……3、生物学角度分析b/lb/l生理学意义：

b/l是动物躯干的相对下垂度。b/l太大，四肢将无法支撑；b/l太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费。生物学进化角度：经过长期进化，对每一种动物而言b/l已经达到其最合适的数值，即b/l应视为与这种动物的尺寸无关的常数。4、结论（1）关系式：（前面分析）（2）另一些比例关系：（3）最终结论：

即体重与躯干长度的4次方戊正比。这样，对于某一种四足动物比如生猪，在根据统计数据确定出上述比例系数以后，就能从躯干长度估计出动物的体重了。讨论题：

大小包装问题

在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g装的每支1.50元，120g装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。（1）分析商品价格C与商品重量w的关系。（2）给出单位重量价格c与w的关系，并解释其实际意义。提示：价格由生产成本，包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。提要：决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。单价随重量增加而减少单价的减少随重量增加逐渐降低

问题:

我们每个人都有跑步的经历,有人会因此而疲惫不堪,但有谁会想:怎么跑步能使我们消耗的能量最少?2.7跑步与走路时如何节省能量

假设:(1)跑步所花费的时间分成两部分:第一部分为两条腿同时离地的时间；第二部分为一条腿或两条腿同时落地的时间。于是人体重心运动轨迹如图。根据经验：ABCdhab（2）假设跑步是匀速的，设为，则跑步是消耗的总能量为2.8、棋子颜色的变化1、问题：任意拿出黑白两种颜色的棋子共8个，排成如下图所示的圆圆，然后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，在两颜色不同的棋子中间放一颗白色棋子，放完后撤掉原来所放的棋子。再重复以上的过程，问这样重复进行下去各棋子的颜色会怎样变化呢?2、最终结论是什么？

可完全用数学的推理方法说明最多经过8次变换，各棋子的颜色都会变黑。3、分析注意：规则是两同色的棋子中间加黑色棋子，两异色的棋子中间加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，与有理数符号规则类似。方法：用+1表尔黑色，用－l表示白色，开始摆的八颗棋子记为a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al与a2中间摆的棋子的颜色由a1和a2是同色还是异色而定。类似的akak+1正好给出了所放棋子的颜色。4、符号运算规则规则：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入记号⊙，则：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１5、各次颜色的确定

可见：最多经过8次变换以后，各个数都变成了+1，这意味着所有棋子都是黑色，且以后重复上述过程，颜色也就不再变化了。问题：要用40块方形瓷砖铺如右图所示形状的地面,但当时市场上只有长方形瓷砖,每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖,试着铺地面,结果弄来弄去始终无法铺好。试问是这人的功夫不到家还是这个问题根本无解？2.9铺瓷砖问题首先必须分析是否可能用20块长方形瓷砖铺成如图所示的地面。为此，在图上黑白相间地染色。发现共有19个白格和21个黑格。铺上19块后，总要剩下2个黑格无法铺，因为一块长方形瓷砖无法盖住两个黑格。唯一的解决办法就是把最后一块分两为两块。这种方法在数学上称为奇偶校验，即可认为涂黑格子是偶数，涂白格子的是奇数，同色的格子有相同的奇偶性。一块长方形瓷砖只能覆盖奇偶性相反的一对方格，只有在剩下的两个方格具有相反的奇偶性时，才可能把最后一块长方形瓷砖铺上。显然这该问题是无解的。即任何改变铺设方式的努力都是徒劳。

问题：哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其中。18世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来，如图所示。人们闲暇时经常在这上边散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又回到原来的位置。这就是著名七桥问题。ABCD2.10

哥尼斯堡七桥问题这个问题看起来很简单有很有趣的问题吸引了大家，很多人在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。1736年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的：既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D四个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图所示。问题可以转化成从四个点中的任意一个出发，每条线只能走一次，最后回到这一点。即能不能用一笔就把这个图形画出来。除起点和终点处，一笔画中出现在交点处的边总是一进一出的，故交点的度数总和为偶数。即从每一点出发的线的条数只能是偶数，而图中每一点处都只有奇数条线，故不可能！一般结论：(1)连接奇数个桥的陆地仅有一个或超过两个以上，不能实现一笔画；(2)连接奇数个桥的陆地仅有两个时，则从两者任一陆地出发，可以实现一笔画而停在另一陆地(3)每个陆地都连接有偶数个桥时，则从任一陆地出发都能实现一笔画，而回到出发点。小结:欧拉把这个问题首先简化，他把两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。那么这个问题就简化成，经过进一步的分析，欧拉得出结论——不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。问题：均匀正方体骰子的六个面分别刻有1,2,3,4,5,6的字样,将一对骰子抛25次决定胜负。问将赌注押在“至少出现一次双六”或“完全不出现双六”的哪一种上面有利？2.11

赌博问题从数学上看是确定哪一种事件发生的概率大。记A为“至少出现一个双六”这一事件，则为“完全不出现双六”事件。故有记Ai为第i次抛掷这对骰子时出现双六这一事件，则一对骰子抛掷一次可视为1次随机实验，抛掷25次可视为25次独立随机实验，所以问题甲有物品X,乙有物品Y,双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量。设交换前甲占有X的数量为x0,乙占有Y的数量为y0,作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo••2.12

实物交换xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1,p2对甲是无差别的，MN将所有与p1,p2无差别的点连接起来，得到一条无差别曲线MN,线上各点的满意度相同,线的形状反映对X,Y的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：

单调减(x增加,y减小)

下凸(凸向原点)

互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的

y换取较少的x;在p2点占有y少、x多，就要以较多的

x换取较少的y。甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1~满意度（f~等满意度曲线）xyOg(x,y)=c2c2

乙的无差别曲线族g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）

双方的交换路径xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的无差别曲线族g=c2

(坐标系x’O’y’,且反向）甲的无差别曲线族f=c1ABp

P’

双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上因为在AB外的任一点p’,(双方)满意度低于AB上的点p两族曲线切点连线记作ABABp

交换方案的进一步确定交换方案~交换后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形内任一点交换路径AB双方的无差别曲线族等价交换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线CDAB与CD的交点p设X单价a,Y单价b,则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.13

量纲分析与无量纲化物理量的量纲长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记M=[m]时间t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=LMT-2引力常数

k

的量纲[k]对无量纲量

，[

]=1(=L0M0T0)2.13.1量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系例：单摆运动lmgm求摆动周期t

的表达式设物理量t,m,l,g

之间有关系式

1,

2,

3

为待定系数，

为无量纲量(1)的量纲表达式对比对x,y,z的两组测量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为单摆运动中t,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,

为无量纲量设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

与

f(q1,q2,,qm)=0

等价,F未定Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量纲,n

m,q1,q2,

,

qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

个无量纲量

F(

1,

2,

3)=0与

(g,l,,v,s,f)=0等价为得到阻力f的显式表达式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0与

f(q1,q2,,qm)=0等价量纲分析法的评注

物理量的选取

基本量纲的选取

基本解的构造

结果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的基本量纲个数n;选哪些基本量纲有目的地构造Ay=0的基本解

方法的普适性函数F和无量纲量未定不需要特定的专业知识2.12.2量纲分析在物理模拟中的应用例:航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力~模型船的参数(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的参数(f1未知，