《平面与平面垂直的判定》教案、导学案、课后作业

《8.6.3平面与平面垂直》教案第1课时平面与平面垂直的判定【教材分析】在平面与平面的位置关系中，垂直是一种非常重要的关系，本节内容是直线与平面垂直关系延续和提高.通过本节使学生对整个空间中的垂直关系有一个整体的认知，线线垂直、线面垂直、面面垂直是可以相互转化的.【教学目标与核心素养】课程目标1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．数学学科素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2.数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【教学重点和难点】重点：平面与平面垂直的判定定理及其应用.难点：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.【教学过程】一、情景导入我们知道如果两个平面的二面角是直角，那么这两个平面一定垂直.那么有没有更简单的方法证明两个平面垂直？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本155-158页，思考并完成以下问题1、什么是二面角？什么是直二面角？2、平面与平面平行的判定定理是什么？3、怎样用符号语言表示平面与平面平行的判定定理？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作α⊥β.(2)判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直&l⊥β&l⊂α⇒α⊥四、典例分析、举一反三题型一对面面垂直判定定理的应用例1如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．证明：平面平面.【答案】证明见解析．【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，∴，即．又∵垂直于所在平面，平面∴．∴∴平面．又平面，∴平面平面．解题技巧（判定两个平面垂直的常用方法）(1)定义法:即说明两个平面所成的二面角是直二面角;(2)判定定理法:其关键是在其中一个平面内寻找一直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.跟踪训练一1、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.【答案】证明见解析.【解析】证明由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.题型二求二面角例2如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.【答案】(1)45°.(2)45°.【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D的大小为45°.解题技巧：(作二面角的三种常用方法)(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.(3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角α-l-β的平面角.跟踪训练二1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=23.(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.【答案】证明见解析【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.经计算,得AC=2,AB=2.所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.(2)如图,取AB的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,又平面PAB∩平面ABC=AB,PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.过F作FG⊥EC于G,连接PG.因为PF⊥EC,PF∩FG=F,所以EC⊥平面FPG.因为PG⊂平面FPG,所以EC⊥PG.于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,因此,∠PGF=30°.又PF====,所以FG=.设BE=x(x>2),由(1)知BC⊥AB,所以△EFG∽△ECB,得=.因此,=,即x2-4x-8=0,解得x=2+4(x=2-4舍去).所以BE=2+4.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计8.8.6.3平面与平面垂直第1课时平面与平面垂直的判定1.二面角例1例22.平面与平面垂直的判定定理七、作业课本158页练习，162页习题8.6的3、6、7、8题.【教学反思】学生了解两个平面垂直的判定，但在问题中应用的时候就不够灵活或找不到需要的条件.为此，本节的课堂中心是判定定理的引入与理解，判定定理的应用及立体空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养.《8.6.3平面与平面垂直》导学案第1课时平面与平面垂直的判定【学习目标】知识目标1．理解二面角的概念，并会求简单的二面角；2．理解直二面角与面面垂直的关系，理解平面和平面垂直的判定定理并能运用其解决相关问题.3.通过面面垂直定理的理解及运用，培养学生的空间转化能力和逻辑推理能力．核心素养1.逻辑推理：探究归纳平面和平面垂直的判定定理，找垂直关系；2.数学运算：求二面角；3.直观想象：题中几何体的点、线、面的位置关系.【学习重点】：平面与平面垂直的判定定理及其应用.【学习难点】：平面与平面垂直的判定定理，找垂直关系.【学习过程】一、预习导入阅读课本155-158页，填写。1.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的_________,这两个半平面叫二面角的_________.图中的二面角可记作:二面角α-AB-β或α-l-β或P-AB-Q.(2)二面角的平面角:如图,在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作_________的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角.2.平面与平面垂直(1)定义:一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是_________,就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直,记作_________.(2)判定定理文字语言图形语言符号语言一个平面过_________,则这两个平面垂直&l⊥β&l⊂α⇒α⊥小试牛刀1.下列结论:(1)两个相交平面组成的图形叫做二面角;(2)异面直线a,b分别和一个二面角的两个半平面垂直,则a,b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补.(3)二面角的平面角是从棱上一点出发,分别在两个半平面内作射线所成角的最小角;(4)二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系.其中正确的是()A.①③ B.②④C.③④ D.①②2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是()A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,n⊥β,m⊂αD.m∥n,m⊥α,n⊥β3.在正方体ABCD-A1B1C1D1的六个面中,与面ABCD垂直的平面有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.如图,P是边长为2的正方形ABCD所在平面外一点,PA⊥AB,PA⊥BC,且PC=5,则二面角P-BD-A的余弦值为.

【自主探究】题型一对面面垂直判定定理的应用例1如图，是的直径，点是上的动点，垂直于所在的平面．证明：平面平面.跟踪训练一1、如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,M是棱CC1的中点.证明:平面ABM⊥平面A1B1M.题型二求二面角例2如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中:(1)求二面角D′-AB-D的大小;(2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小.跟踪训练二1、如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面PBC,PA=PB=2,PC=4,BC=23.(1)求证:平面PAB⊥平面ABC;(2)E为BA的延长线上一点,若二面角P-EC-B的大小为30°,求BE的长.【达标检测】1.下列说法中,正确的是()A.垂直于同一直线的两条直线互相平行B.平行于同一平面的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面互相平行D.平行于同一平面的两条直线互相平行2.如图,AB是圆的直径,PA垂直于圆所在的平面,C是圆上一点(不同于A,B)且PA=AC,则二面角PBCA的大小为()A.60° B.30°C.45° D.15°3.如图所示,已知PA⊥矩形ABCD所在的平面,则图中互相垂直的平面有()A.2对 B.3对C.4对 D.5对4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍.沿AD将△ABC翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角BADC的大小为____________.5.如图,三棱柱ABCA1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1⊥平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.答案小试牛刀1.B2．C.3．D.4.213自主探究例1【答案】证明见解析．【解析】证明：∵是的直径，点是上的动点，∴，即．又∵垂直于所在平面，平面∴．∴∴平面．又平面，∴平面平面．跟踪训练一1、【答案】证明见解析.【解析】证明由长方体的性质可知,A1B1⊥平面BCC1B1,又BM⊂平面BCC1B1,所以A1B1⊥BM.又CC1=2,M为CC1的中点,所以C1M=CM=1.在Rt△B1C1M中,B1M==,同理BM==,又B1B=2,所以B1M2+BM2=B1B2,从而BM⊥B1M.又A1B1∩B1M=B1,所以BM⊥平面A1B1M.因为BM⊂平面ABM,所以平面ABM⊥平面A1B1M.例2【答案】(1)45°.(2)45°.【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角,在Rt△D′DA中,∠D′AD=45°.所以二面角D′-AB-D的大小为45°.(2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB.从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45°.所以二面角M-AB-D的大小为45°.跟踪训练二1、【答案】（1）证明见解析.(2)2+4.【解析】（1）证明:因为PA⊥平面PBC,所以PA⊥PC,PA⊥PB.经计算,得AC=2,AB=2.所以AB2+BC2=AC2,故BC⊥AB.又PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC.因为PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB.又BC⊂平面ABC,故平面PAB⊥平面ABC.(2)如图,取AB的中点F,连接PF.因为PA=PB,所以PF⊥AB.由(1)知平面PAB⊥平面ABC,又平面PAB∩平面ABC=AB,PF⊂平面PAB,所以PF⊥平面ABC,PF⊥EC.过F作FG⊥EC于G,连接PG.因为PF⊥EC,PF∩FG=F,所以EC⊥平面FPG.因为PG⊂平面FPG,所以EC⊥PG.于是∠PGF是二面角P-EC-B的平面角,因此,∠PGF=30°.又PF====,所以FG=.设BE=x(x>2),由(1)知BC⊥AB,所以△EFG∽△ECB,得=.因此,=,即x2-4x-8=0,解得x=2+4(x=2-4舍去).所以BE=2+4.当堂检测 1-3.BCD4.60°.5．【答案】(1)证明见解析.(2)平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.【解析】(1)证明:由题设知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C,所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1,所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°,所以∠CDC1=90°,即DC1⊥DC.又DC∩BC=C,所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1,故平面BDC1⊥平面BDC.(2)解:设棱锥BDACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1=13×1+2又三棱柱ABCA1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)∶V1=1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.《8.6.3平面与平面垂直》课后作业第1课时平面与平面垂直的判定基础巩固1．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定3．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的个数是（）①面面②面面③面面④面面A．1 B．2 C．3 D．44．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定5．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．36．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．7．如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：①∥平面；②∥平面；③平面；④平面平面．其中正确的命题的序号是______．8．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，．（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小．能力提升9．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A． B． C． D．10．如图所示，正方形的边长为，已知，将△ABE沿边折起，折起后点在平面上的射影为点，则翻折后的几何体中有如下描述：①与所成角的正切值为；②AB//CE；③；④平面平面，其中正确的命题序号为___________．11．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱，求证：（1）平面；（2）平面平面；（3）二面角的平面角的大小.素养达成12．如图，矩形所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，是CD上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．《8.6.3平面与平面垂直》课后作业答案解析第1课时平面与平面垂直的判定基础巩固1．在长方体的侧面中，与平面ABCD垂直的平面有（）个A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【解析】如图在长方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.平面、平面、平面、平面均与平面ABCD垂直.故选：D2．一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的关系是（）A．相等 B．互补 C．相等或互补 D．不确定【答案】D【解析】如图所示，在正方体中，二面角与二面角的两个半平面分别对应垂直，但是这两个二面角既不相等，也不互补，所以这两个二面角不一定相等或互补.例如：开门的过程中，门所在平面及门轴所在墙面分别垂直于地面与另一墙面，但门所在平面与门轴所在墙面所成二面角的大小不定，而另一二面角却是，所以这两个二面角不一定相等或互补.3．垂直于正方形所在平面，连接，，，，，则下列垂直关系正确的个数是（）①面面②面面③面面④面面A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】证明：对于①,因为底面为正方形所以由题意可知平面所以,而所以平面又因为平面所以平面平面,所以①正确;对于②,因为故由①可得平面,而平面所以平面平面,所以②正确③④错误,不垂直.综上可知,正确的为①②故选：B4．从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是()A．60°B．120°C．60°或120°D．不确定【答案】C【解析】∠EPF=60°就是两个平面α和β的法向量的夹角，它与二面角的平面角相等或互补，故二面角的平面角的大小为60°或120°．故选：C．5．如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF=∠BCE=90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB=DE=2BC=2AF（如图1），将四边形ADEF沿AD折起，连结BE、BF、CE（如图2）．在折起的过程中，下列说法中正确的个数（）①AC∥平面BEF；②B、C、E、F四点可能共面；③若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD；④平面BCE与平面BEF可能垂直A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对①，在图②中，连接交于点，取中点，连接MO，易证AOMF为平行四边形，即AC//FM，所以AC//平面BEF，故①正确；对②，如果B、C、E、F四点共面，则由BC//平面ADEF，可得BC//EF，又AD//BC，所以AD//EF，这样四边形ADEF为平行四边形，与已知矛盾，故②不正确；对③，在梯形ADEF中，由平面几何知识易得EFFD，又EFCF，∴EF平面CDF，即有CDEF，∴CD平面ADEF，则平面ADEF平面ABCD，故③正确；对④，在图②中，延长AF至G，使得AF=FG，连接BG，EG，易得平面BCE平面ABF，BCEG四点共面．过F作FNBG于N，则FN平面BCE，若平面BCE平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾，故④错误．故选：C．6．设α，β是空间内两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：________(用序号表示)．【答案】①③④⇒②【解析】将①③④作为条件，因为所以或，又因为，所以故①③④⇒②；7．如图,AB为圆O的直径,点C在圆周上异于点A,,直线PA垂直于圆O所在的平面,点M是线段PB的中点有以下四个命题：①∥平面；②∥平面；③平面；④平面平面．其中正确的命题的序号是______．【答案】①④【解析】对①,因为为的中点,故为三角形的中位线,故∥平面.故①正确.对②,因为平面,故②错误.对③,因为,故不会垂直于,故不垂直于平面.故③错误对④,因为,面,故.又.故平面,又平面,故平面平面.故④正确.故答案为①④8．如图所示，四棱锥的底面是边长为1的菱形，，E是CD的中点，PA底面ABCD，．（I）证明：平面PBE平面PAB；（II）求二面角A—BE—P和的大小．【答案】（I）同解析（II）二面角的大小为【解析】（I）如图所示,连结由是菱形且知，△BCD是等边三角形.因为E是CD的中点，所以又所以又因为PA平面ABCD，平面ABCD，所以而因此平面PAB.又平面PBE，所以平面PBE平面PAB.（II）由（I）知，平面PAB,平面PAB,所以又所以是二面角的平面角．在Rt△PAB中,．故二面角的大小为能力提升9．在四面体中，已知棱的长为，其余各棱长都为1，则二面角的平面角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由已知可得AD⊥DC又由其余各棱长都为1得正三角形BCD，取CD得中点E，连BE，则BE⊥CD在平面ADC中，过E作AD的平行线交AC