《平面向量基本定理》教案、导学案、课后作业

《6.3.1平面向量基本定理》教案【教材分析】本节内容是学生在学习平面向量实际背景及基本概念、平面向量的线性运算（向量的加法、减法、数乘向量、共线向量定理）之后的又一重点内容，它是引入向量坐标表示，将向量的几何运算转化为代数运算的基础，使向量的工具性得到初步的体现，具有承前启后的作用。【教学目标与核心素养】课程目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.数学学科素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【教学重点和难点】重点：平面向量基本定理；难点：平面向量基本定理的理解与应用.【教学过程】一、情景导入已知平面内一向量a是该平面内两个不共线向量b，c的和，怎样表达？问题：如果向量b与ｅ１共线、c与ｅ２共线，上面的表达式发生什么变化？根据作图进行提问、引导、归纳，板书表达式：a=λ1要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本25-27页，思考并完成以下问题1、平面向量基本定理的内容是什么？2、如何定义平面向量的基底？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究平面向量基本定理：如果ｅ１、ｅ２是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，ｅ１、ｅ２唯一确定的数量.四、典例分析、举一反三题型一正确理解向量基底的概念例1例1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))；②eq\o(DA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))；③eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))；④eq\o(OD,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④【答案】B【解析】①eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))不共线；②eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(DA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))共线；③eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))不共线；④eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OB,\s\up16(→))，则eq\o(OD,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．解题技巧（基底向量满足什么条件）考查两个向量能否作为基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．注意零向量不能作基底．跟踪训练一1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．题型二用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，试用基底a，b表示eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→)).【答案】eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.【解析】由题意知，eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b.所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))－eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.解题技巧：(用基底表示向量的方法)将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，一般是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且eq\f(DC,AB)＝k，设eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，以e1，e2为基底表示向量eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).2、【答案】eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2.eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.【解析】法一：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up15(→))＝keq\o(AB,\s\up15(→))＝ke2.∵eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(DA,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.又eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AM,\s\up15(→))＝0，且eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝－eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.法二：同法一得eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2，eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→)))得eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(k＋1,2)e2.题型三平面向量基本定理的应用例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).【解析】设eq\o(BM,\s\up15(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up15(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CM,\s\up15(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AM,\s\up15(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up15(→))＝μeq\o(BN,\s\up15(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(AP,\s\up15(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up15(→))，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).解题技巧（平面向量基本定理应用时注意事项）若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得．跟踪训练三1．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，BE与CD交于点P，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq\o(AP,\s\up16(→)).【答案】eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝eq\f(1,3)AE，连接DM，则DM//BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.又AE＝eq\f(1,4)AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，eq\f(CE,CM)＝eq\f(CP,CD)＝eq\f(9,11)，∴CP＝eq\f(9,11)CD，∴DP＝eq\f(2,11)CD，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))))＝eq\f(3,11)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计6.3.16.3.1平面向量基本定理1.平面向量基本定理例1例2例3注意：七、作业课本27页练习，36页习题6.3的1，11题.【教学反思】教学过程中说到基底问题时，要注重数形结合思想的培养.特别是很多学生总是把他和单位向量分不开，教师需要给学生引导，要注意不共线的两个向量都可以作为基底这个思想.在进行向量运算时需要进行转化，运用相等向量，比例等知识来进行；学生在解题时很少注意到这个问题，只是纯粹的利用向量知识解题，所以很难找到思路.《6.3.1平面向量基本定理》导学案【学习目标】知识目标1、了解平面向量基本定理；2、理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；3、能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.核心素养1.数学抽象：平面向量基底定理理解；2.逻辑推理：用基底表示向量；3.数学建模：利用数形结合的思想运用相等向量，比例等知识来进行转换.【学习重点】：平面向量基本定理；【学习难点】：平面向量基本定理的理解与应用.【学习过程】一、预习导入阅读课本25-27页，填写。1、定理探究：平面向量基本定理：注意：(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的;(2)基底不惟一，关键是；(3)由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式.即λ1，λ2是被，，唯一确定的数量小试牛刀1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任意两个向量都可以作为基底． ()(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．()(3)零向量不可以作为基底中的向量．()2．设e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是()A．e1，e2 B．e1＋e2,3e1＋3e2C．e1,5e2 D．e1，e1＋e23．A，B，O是平面内不共线的三个定点，且eq\o(OA,\s\up16(→))＝a，eq\o(OB,\s\up16(→))＝b，点P关于点A的对称点为Q，点Q关于点B的对称点为R，则eq\o(PR,\s\up16(→))等于()A．a－bB．2(b－a)C．2(a－b)D．b－a4．已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1＋3e2，则x－y＝________.【自主探究】题型一正确理解向量基底的概念例1设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：①eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))；②eq\o(DA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))；③eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))；④eq\o(OD,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))，其中可作为这个平行四边形所在平面的一组基底的是()A．①② B．①③C．①④ D．③④跟踪训练一1、设e1，e2是平面内一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1题型二用基底表示向量例2如图，在平行四边形ABCD中，设对角线eq\o(AC,\s\up15(→))＝a，eq\o(BD,\s\up15(→))＝b，试用基底a，b表示eq\o(AB,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→)).跟踪训练二1、如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，M，N分别是DA，BC的中点，且eq\f(DC,AB)＝k，设eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1，eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，以e1，e2为基底表示向量eq\o(DC,\s\up15(→))，eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(MN,\s\up15(→)).题型三平面向量基本定理的应用例3如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN＝2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN的值．跟踪训练三1．在△ABC中，eq\o(AD,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AE,\s\up16(→))＝eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up16(→))，BE与CD交于点P，且eq\o(AB,\s\up16(→))＝a，eq\o(AC,\s\up16(→))＝b，用a，b表示eq\o(AP,\s\up16(→)).【达标检测】1．已知e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么下面四组向量中，不能作为一组基底的是()A．e1，e1＋e2B．e1－2e2，e2－2e1C．e1－2e2，4e2－2e1D．e1＋e2，e1－e22．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为()A．0，0B．1，1C．3，0D．3，43．如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，eq\o(OP,\s\up16(→))＝xeq\o(OA,\s\up16(→))＋yeq\o(OB,\s\up16(→))，且eq\o(BP,\s\up16(→))＝3eq\o(PA,\s\up16(→))，则()A．x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3) B．x＝eq\f(1,3)，y＝eq\f(2,3)C．x＝eq\f(1,4)，y＝eq\f(3,4) D．x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,4)4．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________．5．如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若eq\o(AM,\s\up16(→))＝λeq\o(AB,\s\up16(→))＋μeq\o(BC,\s\up16(→))，则λ＋μ＝________.6．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．答案小试牛刀1.(1)×(2)√(3)√2．B.3．B.4.3自主探究例1【答案】B【解析】①eq\o(AD,\s\up16(→))与eq\o(AB,\s\up16(→))不共线；②eq\o(DA,\s\up16(→))＝－eq\o(BC,\s\up16(→))，则eq\o(DA,\s\up16(→))与eq\o(BC,\s\up16(→))共线；③eq\o(CA,\s\up16(→))与eq\o(DC,\s\up16(→))不共线；④eq\o(OD,\s\up16(→))＝－eq\o(OB,\s\up16(→))，则eq\o(OD,\s\up16(→))与eq\o(OB,\s\up16(→))共线．由平面向量基底的概念知，只有不共线的两个向量才能构成一组基底，故①③满足题意．跟踪训练一1、【答案】B.【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴两个向量共线，不能作为基底．例2【答案】eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.【解析】由题意知，eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a，eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\o(OD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)b.所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))－eq\o(BO,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b，eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(BO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b.跟踪训练二1、【答案】eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2.eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.【解析】法一：∵eq\o(AB,\s\up15(→))＝e2，eq\f(DC,AB)＝k，∴eq\o(DC,\s\up15(→))＝keq\o(AB,\s\up15(→))＝ke2.∵eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DA,\s\up15(→))＝0，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))－eq\o(CD,\s\up15(→))－eq\o(DA,\s\up15(→))＝－eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.又eq\o(MN,\s\up15(→))＋eq\o(NB,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＋eq\o(AM,\s\up15(→))＝0，且eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))，eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(MN,\s\up15(→))＝－eq\o(AM,\s\up15(→))－eq\o(BA,\s\up15(→))－eq\o(NB,\s\up15(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\f(k＋1,2)e2.法二：同法一得eq\o(DC,\s\up15(→))＝ke2，eq\o(BC,\s\up15(→))＝e1＋(k－1)e2.连接MB，MC，由eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MB,\s\up15(→))＋eq\o(MC,\s\up15(→)))得eq\o(MN,\s\up15(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(MD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→)))＝eq\f(k＋1,2)e2.例3【答案】AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).【解析】设eq\o(BM,\s\up15(→))＝e1，eq\o(CN,\s\up15(→))＝e2，则eq\o(AM,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CM,\s\up15(→))＝－3e2－e1，eq\o(BN,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CN,\s\up15(→))＝2e1＋e2.∵A，P，M和B，P，N分别共线，∴存在实数λ，μ使得eq\o(AP,\s\up15(→))＝λeq\o(AM,\s\up15(→))＝－λe1－3λe2，eq\o(BP,\s\up15(→))＝μeq\o(BN,\s\up15(→))＝2μe1＋μe2.故eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))＋eq\o(PA,\s\up15(→))＝eq\o(BP,\s\up15(→))－eq\o(AP,\s\up15(→))＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋μ)e2.而eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝2e1＋3e2，由平面向量基本定理，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋2μ＝2，,3λ＋μ＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(4,5)，,μ＝\f(3,5).))∴eq\o(AP,\s\up15(→))＝eq\f(4,5)eq\o(AM,\s\up15(→))，eq\o(BP,\s\up15(→))＝eq\f(3,5)eq\o(BN,\s\up15(→))，∴AP∶PM＝4，BP∶PN＝eq\f(3,2).跟踪训练三1．【答案】eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．【解析】如图，取AE的三等分点M，使AM＝eq\f(1,3)AE，连接DM，则DM//BE.设AM＝t(t＞0)，则ME＝2t.又AE＝eq\f(1,4)AC，∴AC＝12t，EC＝9t，∴在△DMC中，eq\f(CE,CM)＝eq\f(CP,CD)＝eq\f(9,11)，∴CP＝eq\f(9,11)CD，∴DP＝eq\f(2,11)CD，eq\o(AP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\o(DP,\s\up16(→))＝eq\o(AD,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(DC,\s\up16(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)(eq\o(DA,\s\up16(→))＋eq\o(AC,\s\up16(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\o(AB,\s\up16(→))＋\o(AC,\s\up16(→))))＝eq\f(3,11)eq\o(AB,\s\up16(→))＋eq\f(2,11)eq\o(AC,\s\up16(→))＝eq\f(3,11)a＋eq\f(2,11)b．当堂检测 1-3.CDD4.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b5.eq\f(2,3)6.【答案】（1）见解析.（2）c＝2a＋b.（3）λ，μ的值分别为3和1.【解析】(1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,3λ＝－2))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝1，,λ＝－\f(2,3).))∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,－2m＋3n＝－1))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＋μ＝4，,－2λ＋3μ＝－3))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝3，,μ＝1.))故所求λ，μ的值分别为3和1.《6.3.1平面向量基本定理》课后作业基础巩固1．如果是平面内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有（）①可以表示平面内的所有向量；②对于平面内的任一向量，使的实数，有无数多对；③若向量与共线，则有且只有一个实数，使；④若实数，使，则.A．①② B．②③C．③④ D．②2．已知向量，不共线，实数x，y满，则的值是（）A．3 B． C．0 D．23．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（）A． B． C． D．4．如图，在平行四边形中，分别为上的点，且，，连接交于点，若，则的值为（）A． B． C． D．5．已知△ABC中，，则（）A．1 B． C