人教版高中数学必修二《第七章 复数》单元教案

人教版高中数学必修二《第七章复数》单元教案7.1.1数系的扩充和复数的概念【教材分析】本节作为复数一章的开篇，主要包括数系概念的发展简介，数系的扩充，复数的相关概念、分类、相等条件，代数表示和几何意义.复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数集的扩充过程．2.理解复数的概念、表示法及相关概念．3.掌握复数的分类及复数相等的充要条件．数学学科素养1.数学抽象：复数及相关概念；2.逻辑推理：复数的分类；3.数学运算：复数相等求参.【教学重点和难点】重点：复数的分类及复数相等的充要条件．难点：复数的概念.【教学过程】一、情景导入提问：1、N、Z、Q、R分别代表什么？它们的如何发展得来的？2．若给方程一个解，则这个解要满足什么条件？是否在实数集中？实数与相乘、相加的结果应如何？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本68-69页，思考并完成以下问题1、实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？2、复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．复数的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全体复数所构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做复数集．2．复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.3．复数的分类z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非纯虚数a≠0,纯虚数a＝0))))思考：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间存在怎样的关系？[提示]四、典例分析、举一反三题型一复数的概念例1下列命题中，正确命题的个数是()①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1；②若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；⑤－1没有平方根；⑥若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，①错．②由于两个虚数不能比较大小，所以②错．③当x＝1，y＝i时，x2＋y2＝0也成立，所以③错．④当一个复数实部等于零，虚部也等于零时，复数为0，所以④错．⑤－1的平方根为±i，所以⑤错．⑥当a＝－1时，(a＋1)i＝0是实数，所以⑥错．故选A.解题技巧（复数概念的理解）(1)两个复数不全是实数，就不能比较大小．(2)一个数的平方非负在实数范围内是真命题，在复数范围内是假命题，所以在判定数的性质和结论时，一定要关注在哪个数集上．(3)对于复数实部、虚部的确定不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．跟踪训练一1．下列命题正确的是________．①复数－i＋1的虚部为－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，则z1>z2.③任意两个复数都不能比较大小．【答案】①．【解析】①复数－i＋1＝1－i，虚部为－1，正确；②若z1，z2不全为实数，则z1，z2不能比较大小，错误；③若两个复数都是实数，可以比较大小，错误．题型二复数的分类例2实数x分别取什么值时，复数z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【答案】(1)x＝5时，z是实数．(2)x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．【解析】(1)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5时，z是实数．(2)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5时，z是虚数．(3)当x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，))即x＝－2或x＝3时，z是纯虚数．解题技巧：(复数分类的注意事项)判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数，应首先保证复数的实部、虚部均有意义．其次根据分类的标准，列出实部、虚部应满足的关系式再求解．跟踪训练二1．实数m为何值时，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．【答案】(1)m＝－2时，z为实数．(2)m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)m＝0时，z为纯虚数．【解析】(1)若z为实数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m＝－2或m＝－1，))解得m＝－2.∴当m＝－2时，z为实数．(2)若z是虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m≠－2且m≠－1，))解得m≠－2且m≠－1.∴当m≠－2且m≠－1时，z为虚数．(3)若z为纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2＋2m＋1＝0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1＝1，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝－2，,m≠－1且m≠－2.))解得m＝0.∴当m＝0时，z为纯虚数．题型三复数相等的充要条件例3根据下列条件，分别求实数x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y－(3－y)i.【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)∵(2x－1)＋i＝y－(3－y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y，,1＝－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))解题技巧（复数相等问题的解题步骤）复数相等的充要条件是复数问题实数化的主要依据，多用来求参数，其步骤是：分别确定两个复数的实部与虚部，利用实部与实部、虚部与虚部分别相等，列方程组求解．跟踪训练三1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求实数m的值．【答案】1或2.【解析】因为M∪N＝N，所以M⊆N，所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝1或m＝2.所以实数m的值是1或2.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.7.1.1数系的扩充和复数的概念1.复数及其相关概念例1例2例32.复数相等的充要条件3.复数分类七、作业课本70页练习，73页习题7.1的1-3题.【教学反思】本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.通过使学生体会数系的扩充是生产实践的需要，是数学学科自身发展的需要，从而让学生积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类等.进而对本节课的知识掌握的更加牢固.7.1.2复数的几何意义【教材分析】复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，引入复数以后，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认知，也为进一步学习数学打下基础.通过本节课学习，要使学生在问题情境中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用.【教学目标与核心素养】课程目标：1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系；2.掌握实轴、虚轴、模等概念；3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.数学学科素养1.数学抽象：复平面及复数的几何意义的理解;2.逻辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的一一对应及复数模公式;3.数学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复数的模;4.数学建模：根据复数的代数形式，数形结合，多方位了解复数的几何意义，提高学生学习数学的兴趣.【教学重点和难点】重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量．难点：根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.【教学过程】一、情景导入提问：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本70-72页，思考并完成以下问题1、复平面是如何定义的，复数的模如何求出？2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是虚数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．复平面2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Za，b.2复数z＝a＋bia，b∈R平面向量eq\o(OZ,\s\up17(→)).[规律总结]实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3．复数的模(1)定义：向量eq\o(OZ,\s\up17(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．四、典例分析、举一反三题型一复数与复平面内的对应关系例1求实数a分别取何值时，复数z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方.【答案】(1)a＜－3.(2)a＞5或a＜－3.【解析】(1)点Z在复平面的第二象限内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)<0，,a2－2a－15>0，))解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－15>0，,a＋3≠0，))即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.解题技巧（利用复数与点的对应的解题步骤）(1)复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标．(2)已知复数在复平面内对应的点满足的条件求参数取值范围时，可根据复数与点的对应关系，建立复数的实部与虚部满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．跟踪训练一1、实数x取什么值时，复平面内表示复数z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的点Z：(1)位于第三象限；(2)位于直线x－y－3＝0上【答案】(1)－3<x<2．(2)x＝－2．【解析】因为x是实数，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是实数．(1)当实数x满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6<0，,x2－2x－15<0，))即－3<x<2时，点Z位于第三象限．(2)当实数x满足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2时，点Z位于直线x－y－3＝0上．题型二复数与平面向量的对应关系例2已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq\o(OA,\s\up17(→))，eq\o(OB,\s\up17(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up17(→))对应的复数是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i【答案】B．【解析】向量eq\o(OA,\s\up17(→))，eq\o(OB,\s\up17(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，根据复数的几何意义，可得向量eq\o(OA,\s\up17(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up17(→))＝(－3,2)．由向量减法的坐标运算可得向量eq\o(BA,\s\up17(→))＝eq\o(OA,\s\up17(→))－eq\o(OB,\s\up17(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量eq\o(BA,\s\up17(→))对应的复数是5－5i.解题技巧：(复数与平面向量对应关系的解题技巧)(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．(2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．跟踪训练二1、在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i.（1）求向量eq\o(AB,\s\up17(→))，eq\o(AC,\s\up17(→))，eq\o(BC,\s\up17(→))对应的复数；（2）若ABCD为平行四边形，求D对应的复数．【答案】（1）eq\o(AB,\s\up17(→))，eq\o(AC,\s\up17(→))，eq\o(BC,\s\up17(→))对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.（2）D对应的复数为－2＋i.【解析】（1）设O为坐标原点，由复数的几何意义知：eq\o(OA,\s\up17(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up17(→))＝(2,1)，eq\o(OC,\s\up17(→))＝(－1,2)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up17(→))－eq\o(OA,\s\up17(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))－eq\o(OA,\s\up17(→))＝(－2,2)，eq\o(BC,\s\up17(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))－eq\o(OB,\s\up17(→))＝(－3,1)，所以eq\o(AB,\s\up17(→))，eq\o(AC,\s\up17(→))，eq\o(BC,\s\up17(→))对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.（2）因为ABCD为平行四边形，所以eq\o(AD,\s\up17(→))＝eq\o(BC,\s\up17(→))＝(－3,1)，eq\o(OD,\s\up17(→))＝eq\o(OA,\s\up17(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D对应的复数为－2＋i.题型三复数模的计算与应用例3设复数．（1）在复平面内画出复数对应的点和向量；（2）求复数的模，并比较它们的模的大小．【答案】（1）图见解析，对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．．【解析】（1）如图，复数对应的点分别为，对应的向量分别为，．（2），．所以．例4设，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？（1）；（2）．【答案】（1）以原点O为圆心，以1为半径的圆．（2）以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界．【解析】（1）由得，向量的模等于1，所以满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆．（2）不等式可化为不等式不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点Z的集合．容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界（如图）．解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）(1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小．(2)根据复数模的计算公式|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)可把复数模的问题转化为实数问题解决．(3)根据复数模的定义|z|＝|eq\o(OZ,\s\up17(→))|，可把复数模的问题转化为向量模(即两点的距离)的问题解决．跟踪训练三1、已知复数z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则复数z等于()A．－1＋eq\r(3)iB．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)iD．－2＋eq\r(3)i【答案】A.【解析】由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3＝4，,a<0，))解得a＝－1.故z＝－1＋eq\r(3)i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.7.1.2复数的几何意义1.复平面例1例2例3例42.复数的几何意义3.复数的模七、作业课本73页练习，73页习题7.1的剩余题.【教学反思】本节重在研究复数的几何意义，顾名思义就是从平面和向量两方面研究复数，得出其几何意义，内容比较抽象，学生理解起来有一定难度。所以本节课定要提前安排好预习工作，应采用诱思探究式教学，逐层拨开其真实面目，让学生达到融会贯通的目的.7.2.1复数的加、减法运算及其几何意义【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的加法的运算法则是一种规定，复数的减法运算法则是通过转化为加法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的加、减运算法则；2.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.数学学科素养1.逻辑推理：根据复数与平面向量的对应关系推导其几何意义;2.数学运算：复数加、减运算及有其几何意义求相关问题;3.数学建模：结合复数加、减运算的几何意义和平面图形，数形结合，综合应用.【教学重点和难点】重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义．难点：加、减运算及其几何意义.【教学过程】一、情景导入提问：1、试判断下列复数在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。2、同时用坐标和几何形式表示复数所对应的向量，并计算。3、向量的加减运算满足何种法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本75-76页，思考并完成以下问题1、复数的加法、减法如何进行？复数加法、减法的几何意义如何？2、复数的加、减法与向量间的加减运算是否相同？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．复数加法与减法的运算法则(1)设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，则①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)对任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．复数加减法的几何意义图3­2­1如图3­2­1所示，设复数z1，z2对应向量分别为eq\o(OZ,\s\up12(→))1，eq\o(OZ,\s\up12(→))2，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，向量eq\o(OZ,\s\up12(→))与复数z1＋z2对应，向量eq\o(Z2Z1,\s\up12(→))与复数z1－z2对应．思考：类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？提示|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．四、典例分析、举一反三题型一复数的加减运算例1计算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．【答案】(1)－7＋7i.(2)－10i.(3)3a＋(4－2b)i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.解题技巧（复数加减运算技巧）(1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复数的实部与虚部．(2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算．跟踪训练一1．计算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．【答案】(1)－9i.(2)－2a＋(6b－5)i.【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.题型二复数加减运算的几何意义例2根据复数及其运算的几何意义，求复平面内的两点Z1x1【答案】Z1【解析】因为复平面内的点Z1x1,y所以Z1,==解题技巧：(运用复数加、减法运算几何意义注意事项)向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据．利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数．注意向量对应的复数是zB－zA(终点对应的复数减去起点对应的复数)．跟踪训练二1、已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长．【答案】D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是eq\r(53)和13.【解析】如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点，所以有zM＝eq\f(zA＋zC,2)＝eq\f(zB＋zD,2)，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因为eq\o(AC,\s\up17(→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|eq\o(AC,\s\up17(→))|＝|7＋2i|＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，因为eq\o(BD,\s\up17(→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|eq\o(BD,\s\up17(→))|＝|5－12i|＝eq\r(52＋122)＝13.故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是eq\r(53)和13.题型三复数加、减运算几何意义的应用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值与最小值．【答案】|z|max＝6，|z|min＝4.【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在复平面上，复数z对应的点Z与复数－3＋4i对应的点C之间的距离等于1，故复数z对应的点Z的轨迹是以C(－3,4)为圆心，半径等于1的圆．而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，又|OC|＝5，所以点Z到原点O的最大距离为5＋1＝6，最小距离为5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.解题技巧（复数的加、减法运算几何意义的解题技巧）(1)|z－z0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对值号内变为两复数差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0对应的点为圆心，r为半径的圆．(3)涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题，均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判断，然后通过几何方法进行求解．跟踪训练三1．设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝eq\r(2).【解析】设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq\r(2).五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.27.2.1复数的加、减法运算及其几何意义1.复数的加、减法运算例1例2例32.复数的加、减法运算的几何意义七、作业课本77页练习，80页习题7.2的1、2题.【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的概念及其几何意义的基础上，类比实数的加减运算法则探讨得出复数的加减运算法则，类比平面向量的加减运算法则探讨得出复数加减的几何意义，使学生对知识更加融会贯通.7.2.2复数的乘除运算【教材分析】复数四则运算是本章的重点，复数代数形式的乘法与多项式乘法是类似的，不同的是即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．复数的除法运算法则是通过分子分母同时乘分母的共轭复数，将分母实数化转化为乘法运算而得出的.渗透了转化的数学思想方法，使学生体会数学思想的素材.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;3.理解且会求复数范围内的方程根.数学学科素养1.数学抽象：复数乘法、除法运算法则;2.逻辑推理：复数乘法运算律的推导;3.数学运算：复数四则运算;4.数学建模：结合实数范围内求根公式和复数四则运算，解决复数范围内的方程根问题.【教学重点和难点】重点：复数代数形式的乘法和除法运算．难点：求复数范围内的方程根.【教学过程】一、情景导入前面学习了复数的加法、减法运算，根据多项式的乘法、除法运算法则猜测复数的乘法、除法满足何种运算法则？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本77-79页，思考并完成以下问题1、复数乘法、除法的运算法则是什么？2、复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？如何应用共轭复数解决问题？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1．复数代数形式的乘法法则已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把i2换成－1，再把实部、虚部分别合并．2.复数乘法的运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有交换律z1·z2＝z2·z1结合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z33．复数代数形式的除法法则(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)四、典例分析、举一反三题型一复数的乘法运算例1计算下列各题．(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2.【答案】(1)－20＋15i.(2)13.(3)2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解题技巧（复数乘法运算技巧）1．两个复数代数形式乘法的一般方法(1)首先按多项式的乘法展开．(2)再将i2换成－1.(3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i.跟踪训练一1．计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ()A．2－13i B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i【答案】D.【解析】(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.2．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.题型二复数的除法运算例2计算(1＋2i)÷(3－4i).【答案】-【解析】原式解题技巧：(复数的除法运算技巧)1．两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写为分式；(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数；(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．2．常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.跟踪训练二1．复数z＝eq\f(1,1＋i)(i为虚数单位)，则|z|＝________.【答案】eq\f(\r(2),2).【解析】∵z＝eq\f(1,1＋i)＝＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).2．计算：eq\f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.【答案】－2＋i.【解析】＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝＝－2＋i.题型三复数范围内的方程根问题例3在复数范围内解下列方程：（1）；（2），其中，且．【答案】（1）方程的根为．（2）方程的根为．【解析】（1）因为，所以方程的根为．（2）将方程配方，得，．所以原方程的根为．解题技巧（解决复数方程根问题的技巧）与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解．根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用．跟踪训练三1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试判断1－i是否是方程的根．【答案】(1)b＝－2，c＝2.(2)1－i也是方程的一个根．【解析】(1)因为1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2.(2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.27.2.2复数的乘除运算1.复数的乘法运算例1例2例32.复数乘法的运算律3.复数的除法七、作业课本80页练习，80页习题7.2的剩余题.【教学反思】本节课主要是在学生了解复数的加减运算及共轭复数的基础上，类比多项式的乘除运算法则探讨得出复数的乘除运算法则，使学生对知识更加融会贯通.尤其在例3，使学生对方程的根有了更深刻的认识.7.3.1复数的三角表示式【教材分析】《复数的三角形式》是复数这一章中的一个重要内容，引进复数三角式的依据是复数的几何意义和三角函数的定义，它是数形结合的产物，有了它就可借助三角知识帮助处理复数的一些问题.【教学目标与核心素养】课程目标：1.掌握复数的三角形式，熟练进行两种形式的转化; 2.培养学生的转化，推理及运算能力;3.通过学习本节知识，使学生体会数学的严谨美与图形美.数学学科素养1.数学抽象：复数三角表示的理解;2.直观想象：复数的辐角及辐角的主值的含义;3.数学运算：复数的代数表示与三角表示之间的转化.【教学重点和难点】重点：复数三角表达式的理解及其与代数表达式之间的互化．难点：复数三角表达式的理解.【教学过程】一、情景导入提问：1、如图，角θ的终边上一点P(x，y)，设P到原点O的距离|OP|＝r，那么怎样用角θ和r表示x，y?2、我们知道，复数可以用a＋bi(a，b∈R)的形式来表示，复数a＋bi与复平面内的点Z(a，b)一一对应，与平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一对应的，如图，你能用向量eq\o(OZ,\s\up15(→))的模r和以x轴的非负半轴为始边，以向量eq\o(OZ,\s\up15(→))所在射线(射线OZ)为终边的角θ来表示复数z吗？要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本83-85页，思考并完成以下问题1、什么是辐角，辐角的主值用什么表示？取值范围是多少？2、复数的三角形式是怎样定义的?又有什么特点？3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件是什么?要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。三、新知探究1.复数的辐角以x轴的正半轴为始边、向量OZ所在的射线为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角。适合于0≤θ<2π的辐角θ的值，叫辐角的主值。记作：argz,即0≤argz<2π.2.复数的三角表达式一般地，任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是复数的模；θ是复数z＝a＋bi的辐角．r(cosθ+isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．为了与三角形式区分开来a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．注意：复数三角形式的特点模非负，角相同，余弦前，加号连3、两个用三角形式表示的复数相等的充要条件：两个非零复数相等当且仅当它们模与辐角的主值分别相等．四、典例分析、举一反三题型一复数的三角形式例1下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°；(2)z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.【答案】(1)z1＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)z2＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5)).(3)z3＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，模r＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，与z1对应的点在第一象限，所以取θ＝eq\f(π,4).即z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)由“加号连”知，不是三角形式．复平面上的点Z2(2coseq\f(π,5)，－2sineq\f(π,5))在第四象限，不需要改变三角函数名称，可用诱导公式“2π－eq\f(π,5)”变换到第四象限．所以z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))＝2[(cos(2π－eq\f(π,5))＋isin(2π－eq\f(π,5))]＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5))．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．复平面上的点Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ为锐角)，需要改变三角函数名称，可用诱导公式“eq\f(π,2)＋θ”将θ变换到第二象限．所以z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).解题技巧（复数三角形式的判断依据和变形步骤）(1)判断依据：三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．(2)变形步骤：首先确定复数z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角．此步骤可简称为“定点→定名→定角”.跟踪训练一1．下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式．(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)；(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．【答案】(1)是三角形式．(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)符合三角形式的结构特征，是三角形式．(2)由“加号连”知，不是三角形式．z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i，模r＝eq\f(1,2)，cosθ＝－eq\f(1,2).复数对应的点在第三象限，所以取θ＝eq\f(4,3)π，即z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)由“模非负”知，不是三角形式．复平面上的点Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．题型二复数的代数形式表示成三角形式例2画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：（1）；（2）.【答案】（1）作图见解析;（2）作图见解析;【解析】（1）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第一象限，所以.于是.（2）复数对应的向量如图所示，则.因为与对应的点在第四象限，所以.于是.当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角不一定取主值.例如也是的三角形式.解题技巧：(复数的代数形式化三角形式的步骤)(1)先求复数的模；(2)决定辐角所在的象限；(3)根据象限求出辐角(常取它的主值)；(4)写出复数的三角形式．跟踪训练二1．把下列复数表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)eq\r(3)－i;(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．【解析】(1)r＝1，对应的点在x轴的正半轴上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，对应的点在y轴的负半轴上，所以arg(－2i)＝eq\f(3π,2).所以－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)r＝2，对应的点在第四象限，且cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以取θ＝－eq\f(π,6).所以eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝－eq\r(2)＋eq\r(2)i，r＝2，对应的点在第二象限，且cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，所以取θ＝eq\f(3π,4).所以－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．题型三把复数表示成代数形式例3分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：（1）；（2）.【答案】（1）复数的模，一个辐角，作图见解析,（2）复数的模，一个辐角，作图见解析,【解析】（1）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.（2）复数的模，一个辐角，对应的向量如图所示.所以.解题技巧（把复数表示成代数形式的注意事项）（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连．（2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可．跟踪训练三1．把下列复数表示成代数形式：(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))；(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．【答案】(1)z1＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.【解析】(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))＝3×eq\f(\r(3),2)＋3×eq\f(1,2)i＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－eq\f(\r(2),2))＋5×eq\f(\r(2),2)i＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计7.37.3.1复数的三