人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（共五套）

人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（一）考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题的指定位置.2.回答选择題时，选出每小题答案后，用铅笔把答題卡对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.2.全称量词命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，3.已知函数，则（）A.5 B.2 C.0 D.14.（）A.1 B.0 C.-1 D.5.若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.6.已知，，则（）A. B. C. D.7.已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（）A.2 B.1 C.-1 D.-28.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知a，b，c为非零实数，且，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.10.已知函数，则（）A.的最小值为-1B.点是的图象的一个对称中心C.的最小正周期为D.在上单调递增11.下列说法中正确的有（）A.不等式恒成立B.存在a，使得不等式成立C.若，则D.若正实数x，y满足，则12.已知函数，则（）A.函数有两个不同零点B.函数上单调递增C.当时，若在上的最大值为8，则D.当时，若在上最大值为8，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.14.每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.若的部分图象如图所示，则的解析式为________.15.若函数的图象关于直线对称，则的最小值是________.16.某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.四、解答题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中的a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由.已知集合________，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18.已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）求值.19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴的交点，点P为单位圆上的一点，且，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到达点.（1）求阴影部分的面积；（2）当时，求的值.20.已知函数，，且.（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.21.已知函数的图象过点，且相邻的两个零点之差的绝对值为6（1）求的解析式；（2）将的图象向右平移3个单位后得到函数的图象若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.22.已知函数.（1）求的定义域；（2）若函数，且对任意，，恒成立，求实数a的取值范围.【答案解析】1.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据补集定义计算．【详解】因为集合，又因为全集，所以，.故选：A.【点睛】本题考查补集运算，属于简单题．2.全称量词命题“，”的否定为（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】【分析】由命题的否定的概念判断．否定结论，存在量词与全称量词互换．【详解】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，可得命题“”的否定是“”．故选：C.【点睛】本题考查命题的否定，属于基础题．3.已知函数，则（）A.5 B.2 C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】由分段函数，选择计算．【详解】由题意可得.故选：C.【点睛】本题考查分段函数的求值，属于简单题．4.（）A.1 B.0 C.-1 D.【答案】A【解析】【分析】用诱导公式化简计算．【详解】因为，所以，所以原式.故选：A.【点睛】本题考查诱导公式，考查特殊角的三角函数值．属于基础题．5.若偶函数在区间上单调递增，且，则不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由偶函数定义可确定函数在上的单调性，由单调性可解不等式．【详解】由于函数是偶函数，在区间上单调递增，且，所以，且函数在上单调递减.由此画出函数图象，如图所示，由图可知，的解集是.故选：D.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，属于基础题．6.已知，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算．【详解】因为，所以，所以，所以.故选：B.【点睛】本题考查同角间的三角函数关系，考查余弦的二倍角公式．求值时要注意角的取值范围，以确定函数值的正负．7.已知定义在R上的奇函数满足：当时，.则（）A.2 B.1 C.-1 D.-2【答案】D【解析】【分析】由奇函数定义得，从而求得，然后由计算．【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，所以，而当时，，所以，所以当时，，故.由于为奇函数，故.故选：D.【点睛】本题考查奇函数的定义，掌握奇函数的概念是解题关键．8.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】与中间值1和2比较．【详解】，，，所以．故选：D.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，在比较对数和幂的大小时，能化为同底数的化为同底数，再利用函数的单调性比较，否则可借助中间值比较，如0，1，2等等．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知a，b，c为非零实数，且，则下列结论正确的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根据不等式的性质判断，错误的命题可举反例．【详解】因为，所以.根据不等式的性质可知A，B正确；因为a，b的符号不确定，所以C不正确；.可得，所以D正确.故选：ABD．【点睛】本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．10.已知函数，则（）A.的最小值为-1B.点是的图象的一个对称中心C.的最小正周期为D.在上单调递增【答案】ACD【解析】【分析】结合正弦函数的性质判断．【详解】由正弦函数性质知的最小值是，A正确；令，，没有一个整数，能使，B错误；，C正确；，，时，而，D正确．故选：ACD．【点睛】本题考查三角函数的性质．解题时函数化为形式，然后结合正弦函数性质求解．11.下列说法中正确的有（）A.不等式恒成立B.存在a，使得不等式成立C.若，则D.若正实数x，y满足，则【答案】BCD【解析】【分析】根据基本不等式的条件和结论对所有选择支分别判断．【详解】不等式恒成立的条件是，，故A不正确；当a为负数时，不等式成立.故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即时取等号，故D正确.故选：BCD【点睛】本题考查基本不等式的应用，基本不等式的条件不能忘记，如果用基本不等式求最值一定要注意一正二定三相等．另外存在性命题举例可说明正确，全称性命题需证明才能说明正确性．12.已知函数，则（）A.函数有两个不同的零点B.函数在上单调递增C.当时，若在上的最大值为8，则D.当时，若在上的最大值为8，则【答案】ACD【解析】【分析】由二次函数的性质判断各命题．【详解】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式，所以函数有两个不同的零点，A正确；因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，所以在上单调递增，B不正确；令，则.当时，，故在上先减后增，又，故最大值为，解得（负值舍去）.同理当时，，在上的最大值为，解得（负值舍去）.故C，D正确故选：ACD．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数是高中数学的一个重要函数，诸多方面都有涉及，其图象与性质务必掌握．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数，的图象恒过定点P，则P点的坐标是_____.【答案】【解析】令，解得，且恒成立，所以函数的图象恒过定点；故填.14.每一个声音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.若的部分图象如图所示，则的解析式为________.【答案】【解析】【分析】结合正弦函数的性质确定参数值．【详解】由图可知，最小正周期，所以，所以.故答案为：．【点睛】本题考查由三角函数图象确定其解析式，掌握正弦函数的图象与性质是解题关键．15.若函数的图象关于直线对称，则的最小值是________.【答案】【解析】【分析】根据正弦函数图象的对称性求解．【详解】依题意可知，得，所以，故当时，取得最小值.故答案为：．【点睛】本题考查三角函数的对称性．正弦函数的对称轴方程是，对称中心是．16.某种商品在第天的销售价格（单位：元）为，第x天的销售量（单位：件）为，则第14天该商品的销售收入为________元，在这30天中，该商品日销售收入的最大值为________元.【答案】(1).448(2).600【解析】【分析】销售价格与销售量相乘即得收入，对分段函数，可分段求出最大值，然后比较．【详解】由题意可得（元），即第14天该商品的销售收入为448元.销售收入，，即，.当时，，故当时，y取最大值，，当时，易知，故当时，该商品日销售收入最大，最大值为600元.故答案为：448；600.【点睛】本题考查分段函数模型的应用．根据所给函数模型列出函数解析式是基本方法．四、解答题共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中若问题中a存在，求a的值；若a不存在，请说明理由.已知集合________，.若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分【答案】见解析【解析】【分析】选择第1个，然后根据充分不必要条件的定义判断．【详解】由题意知，A不为空集，.选条件①，因为“”是“”的充分不必要条件，所以B，则，等号不同时取到，解得.所以实数a的取值范围是.【点睛】本题考查充分不必要条件．充分必要条件与集合的包含之间有一定的关系：命题对应集合，命题对应集合，则是的充分条件是的必要条件，是的充分不必要条件是的必要不充分条件，是的充要条件．18.已知函数为奇函数.（1）求实数a的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由奇函数定义求；（2）代入后结合对数恒等式计算．【详解】（1）因为函数为奇函数，所以恒成立，可得.（2）由（1）可得.所以.【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对数恒等式，属于基础题．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为单位圆与x轴正半轴交点，点P为单位圆上的一点，且，点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到达点.（1）求阴影部分的面积；（2）当时，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数定义求出点坐标，用扇形面积减三角形面积可得弓形面积；（2）由三角函数定义写出点坐标，计算后用二倍角公式和诱导公式计算．【详解】（1）由三角函数定义可知，点P的坐标为.所以的面积为，扇形OPA的面积为.所以阴影部分的面积为.（2）由三角函数的定义，可得.当时，，即，所以.【点睛】本题考查三角函数的定义，正弦的二倍角公式和诱导公式，属于基础题．20.已知函数，，且.（1）求实数m的值，并求函数有3个不同的零点时实数b的取值范围；（2）若函数在区间上为增函数，求实数a的取值范围.【答案】（1）..（2）【解析】【分析】（1）由求得，作出函数图象可知的范围；（2）由函数图象可知区间所属范围，列不等式示得结论．【详解】（1）因为，所以.函数的大致图象如图所示令，得.故有3个不同的零点.即方程有3个不同的实根.由图可知.（2）由图象可知，函数在区间和上分别单调递增.因为，且函数在区间上为增函数，所以可得，解得.所以实数a的取值范围为.【点睛】本题考查由函数值求参数，考查分段函数的图象与性质．考查零点个数问题与转化思想．属于中档题．21.已知函数的图象过点，且相邻的两个零点之差的绝对值为6（1）求的解析式；（2）将的图象向右平移3个单位后得到函数的图象若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合正弦函数性质，相邻两个零点之差为函数的半个周期，由此得，代入已知点坐标可求得，得解析式；（2）由图象变换得，求出时的值域，由属于这个值域可得的范围．【详解】（1）设的最小正周期为T，因为相邻的两个零点之差的绝对值为6，所以，所以.因为的图象经过点，所以，又因为，所以.所以.（2）由（1）可得.当时，，则.因为关于x的方程在上有解，所以，解得或.所以a的取值范围为.【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，由图象求解析式，可结合“五点法”中的五点求解．方程有解问题可由分离参数法转化为求函数值域问题．22.已知函数.（1）求的定义域；（2）若函数，且对任意的，，恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）.（2）（2，+∞）.【解析】【分析】（1）使对数式有意义，即得定义域；（2）命题等价于，如其中一个不易求得，如不易求，则转化为恒成立，再由其它方法如分离参数法求解或由二次不等式恒成立问题求解．【详解】（1）由题可知且，所以.所以的定义域为.（2）由题易知在其定义域上单调递增.所以在上的最大值为，对任意的恒成立等价于恒成立.由题得.令，则恒成立.当时，，不满足题意.当时，，解得，因为，所以舍去.当时，对称轴为，当，即时，，所以；当，即时，，无解，舍去；当，即时，，所以，舍去.综上所述，实数a的取值范围为（2，+∞）.【点睛】本题考查求对数型复合函数的定义域，不等式恒成立问题．解题时注意转化与化归思想的应用．人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（二）（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合，，则它们之间最准确的关系是()。A、B、C、D、2．下列命题中，真命题是()。A、，B、如果，那么C、，D、，使3．已知，，且，则的最小值为()。A、B、C、D、4．已知，则()。A、B、C、D、5．若，则函数的最大值为()。A、B、C、D、6．若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为()。A、B、C、D、7．已知函数()，则()。A、B、C、D、8．已知数，则下列说法错误的是()。A、的图像关于点对称B、的图像关于直线对称C、在上单调递增D、是周期函数二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下面说法中正确的是()。A、集合中最小的数是B、若，则C、若，，则的最小值是D、的解集组成的集合是。10．已知，且，则下列说法错误的是()。A、B、C、D、11．给出函数，则下列说法错误的是()。A、函数的定义域为B、函数的值域为C、函数的图像关于原点中心对称D、函数的图像关于直线轴对称12．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是()。A、B、C、D、三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设参加某会议的代表构成集合，其中的全体女代表构成集合，全体男代表构成集合，则。(填“”或“”或“”)14．函数(且)的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为。15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为。16．若函数()的值域为，则的最小值为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知命题：关于的方程的解集至多有两个子集，命题：，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。18．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，。(1)求证：；(2)求；(3)解不等式。19．（本小题满分12分）已知函数，且当时的最小值为。(1)求的值；(2)先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和。20．（本小题满分12分）已知幂函数()满足。(1)求的值并求出相应的的解析式；(2)对于(1)中得到的函数，试判断是否存在()，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。21．（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足。(1)若，求；又若，求；(2)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。22．（本小题满分12分）已知函数。(1)求函数的周期；(2)若函数，试求函数的单调递增区间；(3)若恒成立，试求实数的取值范围。【答案解析】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．设集合，，则它们之间最准确的关系是()。A、B、C、D、【答案】C【解析】由集合得，，则，由集合得，，则，则∴，故选C。2．下列命题中，真命题是()。A、，B、如果，那么C、，D、，使【答案】D【解析】A显然是假命题，B中若虽然但不小于，C中不存在，使得，D中对总有，∴，故D是真命题，故选D。3．已知，，且，则的最小值为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，，且，∴，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为，故选B。4．已知，则()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由可得，∴，∴，∴，故选D。5．若，则函数的最大值为()。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，，两边平方，又，∴，，即最大值为，故选D。6．若直线与函数(且)的图像有两个公共点，则的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】作图，由图可知，作出和两种图像易知，只有有可能符合，∴，故选A。7．已知函数()，则()。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，故选C。8．已知数，则下列说法错误的是()。A、的图像关于点对称B、的图像关于直线对称C、在上单调递增D、是周期函数【答案】C【解析】，∵，，∴，∴的图像关于点中心对称，A对，∵，，∴，∴的图像关于直线轴对称，B对，∵，∴是函数的一个周期，D对，综上，故选C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．下面说法中正确的是()。A、集合中最小的数是B、若，则C、若，，则的最小值是D、的解集组成的集合是。【答案】AC【解析】A选项，是正整数集，最小的正整数是，A对，B选项，当时，，且，B错，C选项，若，则的最小值是，若，则的最小值也是，当和都取最小值时，取最小值，C对，D选项，由的解集是，D错，故选AC。10．已知，且，则下列说法错误的是()。A、B、C、D、【答案】ABD【解析】∵，选项A，取，，则，A错，选项B，取，，则，B错，选项C中，在上是减函数，∴，∴成立，C正确，选项D，取，，则，D错，故选ABD。11．给出函数，则下列说法错误的是()。A、函数的定义域为B、函数的值域为C、函数的图像关于原点中心对称D、函数的图像关于直线轴对称【答案】ABD【解析】∵函数，则，解得且，∴，做函数图像如图，∴定义域为，A选项错，∴值域为，B选项错，∴的图像关于原点成中心对称，C选项对，∴的图像不关于轴对称，D选项错，故选ABD。12．已知函数的定义域为，值域为，则的值可能是()。A、B、C、D、【答案】ABC【解析】函数的定义域为，值域为，∴时，，故能取到最小值，最大值只能取到，把、其中的一个按住不动，则：①当不动时，设，则，则，又为周期函数，则()，当时，，可取、、，②当不动时，设，则，则，又为周期函数，则()，当时，，可取、、，∴综上，一定取不到，故选ABC。三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设参加某会议的代表构成集合，其中的全体女代表构成集合，全体男代表构成集合，则。(填“”或“”或“”)【答案】【解析】表示参加该会议的全体女代表和全体男代表构成的集合即为集合，故。14．函数(且)的图像恒过定点，若点在直线上，其中，，则的最小值为。【答案】【解析】由题意，点，故，故，，当且仅当时等号成立。15．若不等式对恒成立，则实数的取值范围为。【答案】【解析】结合函数及在上的图像易知，只需满足条件：，且即可，从而得到。16．若函数()的值域为，则的最小值为。【答案】【解析】∵二次函数()的值域为，∴，，则，∴，，而，即，∴的最小值为。四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）已知命题：关于的方程的解集至多有两个子集，命题：，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围。【解析】∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，2分对于命题，依题意知，∴，令：，：，由题意知，∴或，解得，因此实数的取值范围是。18．（本小题满分12分）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，。(1)求证：；(2)求；(3)解不等式。【解析】(1)令，，则，∴；(2)，，故；(3)设、且，于是，∴，∴在上为增函数，又∵，∴，解得，∴原不等式的解集为。19．（本小题满分12分）已知函数，且当时的最小值为。(1)求的值；(2)先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和。【解析】(1)，∵，∴，∴，∴；(2)依题意得，由得，∴()或()，∴或，解得或，∴所有根的和为。20．（本小题满分12分）已知幂函数()满足。(1)求的值并求出相应的的解析式；(2)对于(1)中得到的函数，试判断是否存在()，使函数在区间上的值域为？若存在，求出；若不存在，说明理由。【解析】(1)∵，且当时在第一象限一定单调，∴在第一象限是单调递增函数，故，解得，又∵，∴或，当或时，∴；(2)假设存在()满足题设，由(1)知，，∵，∴两个最值点只能在端点和顶点处取得，而，∴，，解得，∴存在满足题意。21．（本小题满分12分）已知定义域为的函数满足。(1)若，求；又若，求；(2)设有且仅有一个实数，使得，求函数的解析表达式。【解析】(1)∵对，有，∴，又由得，即，若，则，即；(2)∵对，有，又∵有且仅有一个实数，使得，∴对，有，令，则，又∵，∴，故或，若，则，即，但方程有两个不相等的实数根，与题设条件矛盾，故，若，则，即，易验证该函数满足题设条件，综上，所求函数为()。22．（本小题满分12分）已知函数。(1)求函数的周期；(2)若函数，试求函数的单调递增区间；(3)若恒成立，试求实数的取值范围。【解析】(1)∵，∴的周期，(2)由(1)，知由，解得，∴函数的单调递增区间，，(3)∵，∴当时，，∵恒成立，等价于，∴，即，解得，∴实数的取值范围为。人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（三）一、单项选择题1.设集合，，那么下列结论正确的是（）A.B.C.D.⫋2.下列函数为偶函数的是（）A.B.C.D.3.已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是（）A.B.C.D.4.命题“,”的否定为（）A., B.,C., D.,5.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.6.下列各式正确的是（）A. B.C. D.7.“，为正实数”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A.8100 B.900 C.81 D.9二、多项选择题9.关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A.当或时，有个交点B.当或时，有个交点C.当时，有个交点D.当时，有个交点10.已知函数，下列命题正确的有（）A.对于任意实数，为偶函数B.对于任意实数a，C.存实数，在上单调递减D.存在实数，使得关于不等式的解集为三、填空题11.函数的定义域是_____．12.等于_____.13.函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）14.在国庆周年庆典活动中，东城区教育系统近名师生参与了国庆中心区合唱、方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设是参与国庆中心区合唱学校，是参与27方阵群众游行的学校，是参与国庆联欢晚会的学校．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____．15.已知函数，则_____；若，则实数_____．16.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是平方米；②第个月浮草的面积超过平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到平方米，平方米，平方米所经过的时间分别为，则．其中正确命题的序号有_____．（注：请写出所有正确结论的序号）四、解答题17.已知集合，全集．（1）求；（2）设，若，求的取值范围．18.已知函数，，．（1）求的解析式和最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．19.在平面直角坐标系中，角，β的顶点与坐标原点重合，始边为的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为（1）求的值；（2）求的值．20.已知函数（1）判断的奇偶性并证明；（2）判断的单调性并说明理由；（3）若对任意恒成立,求取值范围．21.对于集合，定义函数对于两个集合，，定义运算．（1）若，，写出与值，并求出；（2）证明：；（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．【答案解析】一、单项选择题1.设集合，，那么下列结论正确的是（）A.B.C.D.⫋【答案】C【解析】【分析】利用集合与集合的关系直接求解．【详解】∵集合,,∴．故选：C【点睛】本题考查集合的关系的判断,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．2.下列函数为偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案．【详解】解：根据题意,依次分析选项：对于A,,是偶函数,符合题意；对于B,,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；对于C,,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；对于D,,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题．3.已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】结合正弦函数的单调性即可得出区间.【详解】解：由正弦函数的性质得函数的单调增区间为：,所以区间可以是.故选：D【点睛】本题考查正弦函数的单调性,是基础题.4.命题“,”的否定为（）A., B.,C., D.,【答案】A【解析】【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【详解】解：命题为全称命题,则命题“,”的否定为：“,”,故选：A【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础．5.若，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用不等式性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．【详解】解：由于,且和的正负号不确定,所以选项ACD都不正确．对于选项B，由于函数为单调递增函数,且,故正确故选：B【点睛】函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．6.下列各式正确的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式、三角函数单调性求解.【详解】解：选项A：,因为,又因为,所以,故A错误；选项B：,因为,在单调递减,又因为,,所以成立,故B正确；选项C.：,因为在单调递增,所以,故,故C错误；选项D：,因为在单调递增,在单调递减,且,,,故,故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查诱导公式在三角函数化简中的应用,考查利用三角函数单调性比较三角函数值的大小，属于中档题.7.“，为正实数”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】可以取特殊值讨论充分与必要性都不成立．【详解】解：,为正实数,取,,则,则“,为正实数”不是“”的充分条件；若,取,,则不是正实数,则“”不是“,为正实数''的必要条件；则“a,b为正实数”是“”的既不充分也不必要条件,故选：D．【点睛】本题考查命题充分条件与必要条件的定义,以及不等式的性质,属于基础题．8.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（）A.8100 B.900 C.81 D.9【答案】C【解析】【分析】利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：,解得；当鲑鱼游静止时的耗氧量：,解得；所以.故选：C【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.二、多项选择题9.关于函数，的图象与直线（为常数）的交点情况，下列说法正确的是（）A.当或时，有个交点B.当或时，有个交点C.当时，有个交点D.当时，有个交点【答案】AB【解析】【分析】直接利用函数的图象和函数的性质及参数的范围求出函数的交点的情况,进一步确定结果．【详解】解：根据函数的解析式画出函数的图象：①对于选项A：当或时,有个交点,故正确．②对于选项B：当或时,有个交点,故正确．③对于选项C：当时,只有一个交点,故错误．④对于选项D：当,只有一个交点,故错误．故选：AB【点睛】函数的图象的应用,利用函数的图象求参数的取值范围,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．10.已知函数，下列命题正确的有（）A.对于任意实数，为偶函数B.对于任意实数a，C.存在实数，在上单调递减D.存在实数，使得关于的不等式的解集为【答案】ACD【解析】【分析】直接利用函数的对称性和函数的单调性的应用求出结果．【详解】解：函数,①对于选项A：由于,且,故函数为偶函数．故选项A正确．②对于选项B：当时时,,故选项B错误．③对于选项C：由于函数的图象关于轴对称,在时,函数为单调递增函数,在时,函数为单调递减函数,故在上单调递减,故选项C正确．④对于选项D：由于函数的图象关于轴对称,且在时,函数为单调递增函数,在时,函数为单调递减函数,故存在实数时,使得关于的不等式的解集为,故选项D正确．故选：ACD.【点睛】函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于综合题型．三、填空题11.函数的定义域是_____．【答案】【解析】【分析】根据对数的真数大于,解不等式即可．【详解】解：令,解得,即函数的定义域为．故答案为：【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题．12.等于_____【答案】【解析】【分析】直接运用正弦的诱导公式，结合特殊角的正弦值求接求出即可.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查了正弦诱导公式，考查了特殊角的正弦值，属于基础题.13.函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）【答案】【解析】【分析】由函数的值域为,且在定义域内单调递减,即是符合要求的一个函数．【详解】解：∵函数的值域为,且在定义域内单调递减,∴函数即是符合要求的一个函数,故答案为：【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．14.在国庆周年庆典活动中，东城区教育系统近名师生参与了国庆中心区合唱、方阵群众游行、联欢晚会及万只气球保障等多项重点任务．设是参与国庆中心区合唱的学校，是参与27方阵群众游行的学校，是参与国庆联欢晚会的学校．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____．【答案】(1).(2).【解析】【分析】①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解．【详解】解：①设是参与国庆中心区合唱的学校,是参与27方阵群众游行的学校,是参与国庆联欢晚会的学校．既参与国庆中心区合唱又参与方阵群众游行的学校的集合为．故答案为：．②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为．故答案为：．【点睛】本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．15.已知函数，则_____；若，则实数_____．【答案】(1).(2).或【解析】【分析】结合已知函数解析式,把代入即可求解,结合已知函数解析式及,对进行分类讨论分别求解．【详解】,则；,①当时,可得,即,②当时,可得,即,综上可得或．故答案为：；或【点睛】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题．16.某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是平方米；②第个月浮草的面积超过平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到平方米，平方米，平方米所经过的时间分别为，则．其中正确命题的序号有_____．（注：请写出所有正确结论的序号）【答案】①②④【解析】【分析】直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．【详解】解：浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且,函数的图象经过所以,解得．①当时,故选项A正确．②当第个月时,,故②正确．③当时,,增加,当时,,增加,故每月的增加不相等,故③错误．④根据函数的解析式,解得,同理,,所以,所以则．故④正确．故答案为：①②④．【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．四、解答题17.已知集合，全集．（1）求；（2）设，若，求的取值范围．【答案】（1）或；（2）．【解析】分析】（1）根据题意,求出集合,进而由补集的性质分析可得答案；（2）根据题意,结合集合间的关系分析可得答案．【详解】解：（1）根据题意,因为．因为全集,所以或,（2）根据题意,或,若,当或,即或,所以的取值范围为．【点睛】本题考查集合的补集运算,涉及集合的子集关系,属于基础题．18.已知函数，，．（1）求的解析式和最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．【答案】（1），；（2）最大值2，最小值【解析】【分析】（1）先将代入,结合求出函数解析式,再用公式求出最小正周期.（2）根据,求出的范围,再求出的范围,即可得出在区间上的最大值和最小值.【详解】解：（1）因为,,所以,所以,又因为,所以,故的解析式为,所以的最小正周期为.（2）因为,所以,所以,则,故在区间上的最大值2,最小值.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换的应用,三角函数的性质,注重对基础知识的考查.19.在平面直角坐标系中，角，β的顶点与坐标原点重合，始边为的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用三角函数的定义求出和,即可求出的值.（2）分别求出、、、,再根据三角函数诱导公式、和差公式,即可求的值．【详解】解：（1）因为在平面直角坐标系中,角,β的顶点与坐标原点重合,终边分别与单位圆交于两点,两点的纵坐标分别为.所以,,,,所以.（2）由题知,,,,所以,所以【点睛】本题考查三角函数的定义,诱导公式与和差公式,属于基础题.20.已知函数（1）判断的奇偶性并证明；（2）判断的单调性并说明理由；（3）若对任意恒成立,求的取值范围．【答案】（1）奇函数,证明见解析；（2）增函数,理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）求出的定义域,再计算与比较,即可判断奇偶性；（2）对函数求导，判断导函数大于，即可的的单调性；（3）利用函数的奇偶性和单调性和将转化为，再分情况讨论即可得出的取值范围．【详解】解（1）判断：是奇函数.证明：因为,定义域为,所以是奇函数；（2）判断：在上是增函数.证明：因为所以所以在上是增函数.（3）若对任意恒成立,求的取值范围．因为所以,由（1）知是奇函数,则又由（2）知在上是增函数,则,对任意恒成立,①当时,,符合题意；②当时,,因为，无最小值,所以不合题意；③当时,,则,解得,所以，符合题意；综上所述：.故若对任意恒成立，的取值范围为．【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明,以及利用函数的奇偶性、单调性解不等式,是基础题.21.对于集合，定义函数对于两个集合，，定义运算．（1）若，，写出与的值，并求出；（2）证明：；（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析【解析】【分析】（1）由新定义的元素即可求出与的值,再分情况求出；（2）对x是否属于集合,分情况讨论,即可证明出；（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．【详解】解：（1）,,,,；（2）①当且时,,所以．所以,所以,②当且时,,,所以．所以,所以,③当且时,,．所以．所以．所以．综上,；④当且时,．所以．所以．所以．（3）因为,,所以．因,,所以．【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题．人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（四）一、选择题1.函数（）A.上的增函数 B.上的减函数C.上的增函数 D.上的减函数2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）A.B.C.D.3.函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B. C. D.4.在范围内，与角终边相同的角是（）A. B. C. D.5.若角的终边经过点，则等于（）A. B. C. D.6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.7.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题9.函数的最小正周期为．10.函数的最小值是_________.11.三个数，，按由小到大的顺序排列是________.12.已知函数在上的最大值与最小值的和是2，则的值为________.13.能说明“若是奇函数，则的图象一定过原点”是假命题的函数是________.14.已知函数，（其中，，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_______，的取值范围是_______.三、解答题15.已知函数.(Ⅰ)设集合,,,分别指出2,3,4是,,中哪个集合的元素;(Ⅱ)若,,当时,都有,求实数的取值范围.16.已知函数，（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，求的值（精确到0.01）.17.已知是第二象限角,且,（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值.18.已知函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）求值；（Ⅱ）求函数在上的单调区间；（Ⅲ）若对任意都有，求实数m的取值范围.19.下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).阶梯户年用水量（立方米）水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0-180（含）5.002071571.36第二阶梯181-260（含）7.004.07第三阶梯260以上9.006.07（Ⅰ）试写出水费(元)与用水量(立方米)之间的函数关系式；（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各多少？20.如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点.（Ⅰ）请你为点确定位置,使的周长最大，并说明理由；（Ⅱ）已知，设，当为何值时，（ⅰ）四边形的周长最大，最大值是多少?（ⅱ）四边形的面积最大，最大值是多少?【答案解析】一、选择题1.函数是（）A.上的增函数 B.上的减函数C.上的增函数 D.上的减函数【答案】A【解析】【分析】对数函数且,定义域为,当时函数在上为增函数.【详解】的定义域为,又,故在上为增函数,故选:A【点睛】本题考查对数函数的定义域以及单调性,属于基础题.2.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用函数性质判断即可.【详解】选项A中不是周期函数,故排除A;选项B,D中的函数均为奇函数,故排除B,D;故选:C.【点睛】本题考查基本初等函数的周期性和奇偶性,属于基础题.3.函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选．【点睛】本题考查求函数的值及函数零点的判定定理，属于基础题．4.在范围内，与角终边相同的角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】与角终边相同的角的集合是:,,再代计算即可.【详解】与角终边相同的角的集合是:,,当时,,在范围内,与角终边相同的角是,故选:D.【点睛】本题考查终边相同的角的求法,考查运算求解能力,属于基础题.5.若角的终边经过点，则等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用任意角的三角函数定义求解.【详解】角的终边经过点,,,故选:C.【点睛】本题考查了三角函数的定义,属于基础题.6.将函数的图象向右平移个单位长度得到图象，则函数的解析式是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意利用三角函数的图象变换原则，即可得出结论．【详解】由题意，将函数的图象向右平移个单位长度，可得.故选C．【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，熟记图像变换原则即可，属于常考题型.7.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据和之间能否推出的关系，得到答案.【详解】由可得，由，得到或，，不能得到，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.【点睛】本题考查充分不必要条件的判断，属于简单题.8.已知函数若，，互不相等，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】作出函数的图象,根据,结合函数的图象可得,从而求出结论.【详解】画出的图像如下图所示:因为(a)(b)(c),且,不妨设,结合函数图象可知,,,且即,,故选:C.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用,解题的关键是作出函数图象,利用数形结合思想答题.二、填空题9.函数的最小正周期为．【答案】【解析】试题分析：的周期为考点：三角函数周期10.函数的最小值是_________.【答案】【解析】【分析】运用三角函数的辅助角公式将函数解析式化简即可得到答案.【详解】,的最小值是,故答案为:.【点睛】本题主要考查三角函数辅助角公式的应用,属于基础题.11.三个数，，按由小到大的顺序排列是________.【答案】【解析】【分析】利用三角函数､指数函数以及对数函数的单调性比较大小即可.【详解】,,,三个数,,按由小到大的顺序排列为:,故答案为:.【点睛】本题考查了运用三角函数､指数函数以及对数函数的单调性比较大小,属于基础题.12.已知函数在上的最大值与最小值的和是2，则的值为________.【答案】【解析】【分析】在和两种情况下,利用对数函数的单调性分别确定函数的最大值和最小值,再依据题意列式求解即可.【详解】①当时,在上为增函数,所以在,上最大值为,最小值为;②当,时,在上为减函数,所以在,上最大值为,最小值为.故有,即,解得,又,所以,故答案为:2.【点睛】本题考查了对数函数的单调性以及指数､对数运算,难度不大.解决此类问题时,注意对底数进行分情况讨论.13.能说明“若是奇函数，则的图象一定过原点”是假命题的函数是________.【答案】【解析】【分析】找出一个不过原点的奇函数即可.【详解】依题意,所求函数只需满足是奇函数,同时不过原点即可,显然,函数满足条件.故答案为:.【点睛】本题考查命题及函数的奇偶性,熟悉常见函数的性质是解题关键,属于基础题.14.已知函数，（其中，，为常数，且）有且仅有3个零点，则的值为_______，的取值范围是_______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】函数在,上为偶函数,根据偶函数的性质可知必为函数的一个零点,由此求得,再根据三角函数的图象性质,求得的取值范围.【详解】函数在,上为偶函数,且函数有且仅有3个零点,故必有一个零点为,,;所以函数,,的零点个数,等价于函数与直线的图象在,上交点的个数,而函数相当于函数纵坐标不变,横坐标扩大(或缩小)为原来的倍,当时,函数与直线在,上仅有一个交点,则;当时,函数与直线在,上恰有3个零点,如下图所示,故;当时,函数与直线在,上恰有5个零点,如下图所示,故;综上所述,的取值范围是,.故答案为:;,.【点睛】本题考查三角函数的图象及性质,考查数形结合思想及逻辑推理能力,属于中档题.三、解答题15.已知函数.(Ⅰ)设集合,,,分别指出2,3,4是,,中哪个集合的元素;(Ⅱ)若,,当时,都有,求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ），，；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)根据题意,求出的解集,即可得集合､､,据此分析可得答案;(Ⅱ)根据题意可知函数在上单调递增,再结合二次函数的单调性分析可得答案.【详解】(Ⅰ)函数,若,解得或,则或,或,;所以,,;(Ⅱ)因为二次函数的图象是开口朝上的抛物线,且对称轴是,所以在上单调递减,在上单调递增,因为,,当时,都有,所以函数在上单调递增,所以,所以,即的取值范围是.【点睛】本题考查集合,考查二次函数的性质应用,涉及一元二次不等式的解法,难度不大.16.已知函数，（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若，求的值（精确到0.01）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由函数的解析式,列出使解析式有意义的不等式组,求出解集即可;(Ⅱ)利用定义法判断出为偶函数,进而求出的值.【详解】(Ⅰ)函数,则有,解得,即函数的定义域是;(Ⅱ)因为的定义域是,关于原点对称,且,所以是偶函数,所以.【点睛】本题考查了求函数的定义域和计算函数值的问题,属于基础题.17.已知是第二象限角,且,（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用同角三角函数的基本关系,求得的值;(Ⅱ)由题意利用二倍角公式､诱导公式,求出的值.【详解】(Ⅰ)因为是第二象限角,且,所以,所以;(Ⅱ).【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系以及二倍角公式､诱导公式的应用,属于基础题.18.已知函数的部分图象如图所示.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在上的单调区间；（Ⅲ）若对任意都有，求实数m的取值范围.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）单调递增区间为和，单调递减区间为；（Ⅲ）；【解析】【分析】(Ⅰ)根据三角函数的部分图象求出､和的值;(Ⅱ)由(Ⅰ)写出函数的解析式,再求函数在,上的单调递增区间和单调递减区间;(Ⅲ)由(Ⅱ)求出函数在,的最大值和最小值,得出的最大值,从而求得的取值范围.【详解】(Ⅰ)设函数最小正周期为,由图可知,,所以,又,,所以;又,所以,因为,所以,所以,即;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,因为当时,,所以当,即时,单调递增;当,即时,单调递减;当,即时,单调递增.所以函数单调递增区间为和,单调递减区间为;(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,函数在的最大值为,最小值为,所以对任意,都有,且当,时,取到最大值,又因为对任意,都有成立,所以,即的取值范围是.【点睛】本题考查了三角函数图象与性质的应用问题,也考查了运算求解能力,属于中档题.19.下表为北京市居民用水阶梯水价表(单位：元/立方米).阶梯户年用水量（立方米）水价其中自来水费水资源费污水处理费第一阶梯0-180（含）5.002.071.571.36第二阶梯181-260（含）7.004.07第三阶梯260以上9.006.07（Ⅰ）试写出水费(元)与用水量(立方米)之间的函数关系式；（Ⅱ）若某户居民年交水费1040元，求其中自来水费、水资源费及污水处理费各是多少？【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）自来水费为（元），水资源费为（元），污水处理费（元）【解析】【分析】(Ⅰ)根据北京市居民用水阶梯水价表(单位:元立方米),直接求出水费(元与用水量(立方米)之间的函数关系式即可;(Ⅱ)因为函数在各区间段为单调递增函数,因此可得,再令,即可解出,从而求出对应的自来水费､水资源费及污水处理费.【详解】(Ⅰ)由北京市居民用水阶梯水价表(单位:元立方米)得到水费(元与用水量(立方米)之间的函数关系式为:;(Ⅱ)由于函数在各区间段为单调递增函数,所以当时,,当时,,所以,令,解得,即该用户当年用水量为200立方米,自来水费为(元),水资源费为(元),污水处理费(元).【点睛】本题考查分段函数表达式的求法及其实际应用,考查运算求解能力和应用意识,难度不大.20.如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点.（Ⅰ）请你为点确定位置,使的周长最大，并说明理由；（Ⅱ）已知，设，当为何值时，（ⅰ）四边形的周长最大，最大值是多少?（ⅱ）四边形的面积最大，最大值是多少?【答案】（Ⅰ）点是半圆的中点，理由见解析；（Ⅱ）（ⅰ）时，最大值（ⅱ）时，最大面积是【解析】【分析】(Ⅰ)设,,,法一:依题意有,再利用基本不等式求得,从而得出结论;法二:由点在半圆上,是直径,利用三角函数求出,,再利用三角函数的性质求出结论;(Ⅱ)(ⅰ)利用三角函数值表示四边形的周长,再求的最大值;(ⅱ)利用三角函数值表示出四边形的面积,再结合基本不等式求的最大值.【详解】(Ⅰ)点在半圆中点位置时,周长最大.理由如下:法一:因为点在半圆上,且是圆的直径,所以,即是直角三角形,设,,,显然a,b,c均为正数,则,因为,当且仅当时等号成立,所以,所以,所以的周长为,当且仅当时等号成立,即为等腰直角三角形时,周长取得最大值,此时点是半圆的中点.法二:因为点在半圆上,且是圆的直径,所以,即是直角三角形,设,,,,则,,,因为,所以,所以当,即时,周长取得最大值,此时点是半圆的中点.(Ⅱ)(ⅰ)因为,所以,所以,,设四边形的周长为,则,显然,所以当时,取得最大值;(ⅱ)过作于,设四边形的面积为,四边形的面积为,的面积为,则,所以;当且仅当,即时,等号成立,显然,所以,所以此时,所以当时,,即四边形的最大面积是.点睛】本题考查解三角形的应用问题,考查三角函数与基本不等式的应用,需要学生具备一定的计算分析能力,属于中档题.人教版新教材高一上学期期末考试数学试卷（五）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A. B. C. D.2.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.设，则的大小关系是()A B.C. D.4.已知为第三象限角，则所在的象限是()．A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限5.函数的最大值是3，则它的最小值是（）A.0B.1C.D.与有关6.设函数是定义在R上奇函数，当时，则的零点个数为（）A1 B.2 C.3 D.47.要得到函数y=cos()的图像，只需将y=sin的图像()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度8.若且则的值是().A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（）A.B.C.D.10.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.11.下列函数，最小正周期为的偶函数有（）A.B.C.D.12.定义运算，设函数，则下列命题正确的有（）A.的值域为B.值域为C.不等式成立的范围是D.不等式成立的范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数（且）的图象恒过定点，则________.14.若，则________.15.已知则的最小值是.16.关于函数有下列命题，其中正确的是___________.（填序号）①的表达式可改写为；②是以为最小正周期的周期函数；③的图像关于点对称；④的图像关于直线对称.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，求：（1）的值.（2）的值.18.已知．(1)求的值；(2)求的值．19.已知函数.（1）求证：函数为奇函数；（2）用定义证明：函数在上是增函数20.已知(a＞0且a≠1)（1）求f（x）的定义域;（2）求使f（x）＞0成立的x的取值范围.21.已知函数，求：（1）函数y的最大值，最小值及最小正周期；（2）函数y的单调递增区间22.某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．(1)试求的函数关系式；(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．【答案解析】一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由已知，所以考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.已知，则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为,所以0<a<2;所以“”是“”的必要不充分条件3.设，则的大小关系是()A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以；故选B.4.已知为第三象限角，则所在的象限是()．A.第一或第二象限 B.第二或第三象限C.第一或第三象限 D.第二或第四象限【答案】D【解析】【详解】试题分析：为第三象限角，当时，当时，在第二或第四象限考点：角的概念的推广点评：角的范围推广到任意角后与角终边相同的角为5.函数的最大值是3，则它的最小值是（）A.0B.1C.D.与有关【答案】C【解析】【分析】设，转化为在上的最大值是3,分的符号进行分类讨论，先求出的值，再求其最小值.【详解】设，当时，不满足条件.当时,当时，有最大值3，即，则，则当时，有最小值-1，当时,当时，有最大值3，即，则，则当时，有最小值-1，综上的最小值是-1.故选：C.【点睛】本题考查正弦函数的最值，还可以由函数的最大值是3，得到，函数的最小值为，从而得到函数的最小值，属于基础题.6.设函数是定义在R上的奇函数，当时，则的零点个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】试题分析：时，由数形结合知，此时有一个零点．依据奇函数的对称性知，时也有一个零点．又因为奇函数定义域为全体实数，所以，即过原点．因此共有3个零点．选C．考点：函数零点问题，‚奇函数图像性质．7.要得到函数y=cos()的图像，只需将y=sin的图像()A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【解析】试题分析：本题考查三角函数的图像平移问题，要注意将函数解析式变为，然后根据“左加右减”的口诀平移即可.考点：三角函数图像平移.8.若且则的值是().A. B. C. D.【答案】C【解析】由题设，又，则，所以，，应选答案C．点睛：角変换是三角变换中的精髓，也是等价化归与转化数学思想的具体运用，求解本题的关键是巧妙地将一个角变为已知两角的差，再运用三角变换公式进行求解．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】【分析】根据集合中角的范围，对选项逐一分析，由此得出正确选项.【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.对于C选项，锐角第一象限角，故C选项正确.对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.故选：BC【点睛】本小题主要考查角的范围比较，考查集合交集、并集和集合相等的概念，属于基础题.10.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据基本初等函数的单调性，对选项进行逐一判断即可.【详解】选项A，在上单调递增，所以A正确.选项B，在上单调递增，所以B正确.选项C，在上单调递增，所以C正确.选项D，在上单调递减，所以D不正确.故选：ABC.【点睛】本题考查基本初等函数的单调性，属于基础题.11.下列函数，最小正周期为的偶函数有（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】对选项逐一分析函数的奇偶性和最小正周期，由此选出正确选项.【详解】对于A选项，函数为奇函数，不符合题意.对于B选项，函数是最小正周期为的偶函数，符合