《5.5三角恒等变换》专题复习与训练

《5.5三角恒等变换》专题复习与训练5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式学习目标核心素养1.了解两角差的余弦公式的推导过程．(重点)2．理解用向量法导出公式的主要步骤．(难点)3．熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．(重点、易混点)1.通过两角差的余弦公式的推导，培养数学运算素养．2.借助公式的变形、正用、逆用，提升逻辑推理素养.【新课导入】两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β适用条件公式中的角α，β都是任意角公式结构公式右端的两部分为同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反1．sin14°cos16°＋sin76°cos74°＝()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)B[∵sin14°＝cos76°，cos74°＝sin16°，∴原式＝cos76°cos16°＋sin76°sin16°＝cos(76°－16°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]2．cos(－15°)的值是()A.eq\f(\r(6)－\r(2),2) B.eq\f(\r(6)＋\r(2),2)C.eq\f(\r(6)－\r(2),4) D.eq\f(\r(6)＋\r(2),4)D[cos(－15°)＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),4).]3．cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝________.eq\f(\r(2),2)[cos65°cos20°＋sin65°sin20°＝cos(65°－20°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).]【合作探究】给角求值问题【例1】(1)coseq\f(13π,12)的值为()A.eq\f(\r(6)＋\r(2),4) B.eq\f(\r(6)－\r(2),4)C.eq\f(\r(2)－\r(6),4) D．－eq\f(\r(6)＋\r(2),4)](2)求下列各式的值：①cos75°cos15°－sin75°sin195°；②sin46°cos14°＋sin44°cos76°；③eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°.(1)D[coseq\f(13π,12)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,12)))＝－coseq\f(π,12)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,4)coseq\f(π,6)－sineq\f(π,4)sineq\f(π,6)＝－eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(3),2)－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,2)＝－eq\f(\r(6)＋\r(2),4).](2)解：①cos75°cos15°－sin75°sin195°＝cos75°cos15°－sin75°sin(180°＋15°)＝cos75°cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝eq\f(1,2).②sin46°cos14°＋sin44°cos76°＝sin(90°－44°)cos14°＋sin44°cos(90°－14°)＝cos44°cos14°＋sin44°sin14°＝cos(44°－14°)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2).③eq\f(1,2)cos15°＋eq\f(\r(3),2)sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).1．解含非特殊角的三角函数式的求值问题的一般思路是：(1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．2．两角差的余弦公式的结构特点：(1)同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．(2)把所得的积相加．1．化简下列各式：(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；(2)－sin167°·sin223°＋sin257°·sin313°.[解](1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]＝cos45°＝eq\f(\r(2),2).(2)原式＝－sin(180°－13°)sin(180°＋43°)＋sin(180°＋77°)·sin(360°－47°)＝sin13°sin43°＋sin77°sin47°＝sin13°sin43°＋cos13°cos43°＝cos(13°－43°)＝cos(－30°)＝eq\f(\r(3),2).给值(式)求值问题[探究问题]1．若已知α＋β和β的三角函数值，如何求cosα的值？提示：cosα＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cosβ＋sin(α＋β)sinβ.2．利用α－(α－β)＝β可得cosβ等于什么？提示：cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)．【例2】(1)已知sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，则cos(α－β)＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(2)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，求cosα的值．[思路点拨](1)先将已知两式平方，再将所得两式相加，结合平方关系和公式C(α－β)求cos(α－β)．(2)由已知角eq\f(π,3)＋α与所求角α的关系即α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq\f(π,3)寻找解题思路．(1)D[因为sinα－sinβ＝1－eq\f(\r(3),2)，所以sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(\r(3),2)))2，①因为cosα－cosβ＝eq\f(1,2)，所以cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2，②①，②两式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－eq\r(3)＋eq\f(3,4)＋eq\f(1,4)所以－2cos(α－β)＝－eq\r(3)所以cos(α－β)＝eq\f(\r(3),2).(2)[解]∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3)))，∴eq\f(π,3)＋α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,13)))2)＝－eq\f(5,13).∵α＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－eq\f(π,3)，cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))coseq\f(π,3)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))sineq\f(π,3)＝－eq\f(5,13)×eq\f(1,2)＋eq\f(12,13)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(12\r(3)－5,26).]1．将例2(2)的条件改为“sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)”，如何解答？[解]∵sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，且eq\f(π,4)<α<eq\f(3π,4)，∴eq\f(π,2)<α＋eq\f(π,4)<π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝－eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝－eq\f(3,5)，∴cosα＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))coseq\f(π,4)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))sineq\f(π,4)＝－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),2)＋eq\f(4,5)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),10).2．将例2(2)的条件改为“sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(12,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(5π,6)))”，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))的值．[解]∵eq\f(π,6)＜α＜eq\f(5π,6)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,3)－α＜eq\f(π,6)，又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝－eq\f(12,13)＜0，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,3)－α＜0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(5,13)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,12)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＋eq\f(\r(2),2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(5,13)＋eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝－eq\f(7\r(2),26).给值求值问题的解题策略1已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.2由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.常见角的变换有：①α＝α－β＋β；②eqα＝\f(α＋β,2)＋\f(α－β,2)；③2α＝α＋β＋α－β；④2β＝α＋β－α－β.给值求角问题【例3】已知sin(π－α)＝eq\f(4\r(3),7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，0＜β＜α＜eq\f(π,2)，求角β的大小．[思路点拨]eq\x(求cosα、sinα－β)→eq\x(\a\al(求cosβ＝,cos[α－α－β]))→eq\x(求β)[解]因为sin(π－α)＝eq\f(4\r(3),7)，所以sinα＝eq\f(4\r(3),7).因为0＜α＜eq\f(π,2)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(1,7).因为cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0＜β＜α＜eq\f(π,2)，所以0＜α－β＜eq\f(π,2)，所以sin(α－β)＝eq\r(1－cos2α－β)＝eq\f(3\r(3),14)，所以cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).因为0＜β＜eq\f(π,2)，所以β＝eq\f(π,3).已知三角函数值求角的解题步骤1界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.2求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.3结合三角函数值及角的范围求角.提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.2．已知α，β均为锐角，且cosα＝eq\f(2\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β的值．[解]∵α，β均为锐角，∴sinα＝eq\f(\r(5),5)，sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＋eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2).又sinα<sinβ，∴0<α<β<eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,2)<α－β<0，故α－β＝－eq\f(π,4).1．给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．【课堂达标练习】1．思考辨析(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝0.()[提示](1)错误．cos(60°－30°)＝cos30°≠cos60°－cos30°.(2)错误．当α＝－45°，β＝45°时，cos(α－β)＝cos(－45°－45°)＝cos(－90°)＝0，cosα－cosβ＝cos(－45°)－cos45°＝0，此时cos(α－β)＝cosα－cosβ.(3)正确．结论为两角差的余弦公式．(4)正确．cos30°cos120°＋sin30°sin120°＝cos(120°－30°)＝cos90°＝0.[答案](1)×(2)×(3)√(4)√2．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝eq\f(12,13)，sinβ＝－eq\f(3,5)，则cos(α－β)的值为()A．－eq\f(63,65)B．－eq\f(33,65)C.eq\f(63,65)D.eq\f(33,65)A[∵α为锐角，cosα＝eq\f(12,13)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(5,13)，∵β为第三象限角，sinβ＝－eq\f(3,5)，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(4,5)，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(12,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(63,65).]3．cos(α－35°)cos(α＋25°)＋sin(α－35°)sin(α＋25°)＝________.eq\f(1,2)[原式＝cos[(α－35°)－(α＋25°)]＝cos(－60°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]4．已知sinα＝－eq\f(4,5)，sinβ＝eq\f(5,13)，且180°＜α＜270°，90°＜β＜180°，求cos(α－β)的值．[解]因为sinα＝－eq\f(4,5)，180°＜α＜270°，所以cosα＝－eq\f(3,5).因为sinβ＝eq\f(5,13)，90°＜β＜180°，所以cosβ＝－eq\f(12,13)，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(5,13)＝eq\f(36,65)－eq\f(20,65)＝eq\f(16,65).《两角差的余弦公式》专题训练[合格基础练]一、选择题1．cos78°cos18°＋sin78°sin18°＝()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(1,2)B[cos78°cos18°＋sin78°sin18°＝cos(78°－18°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]2．满足cosαcosβ＝eq\f(\r(3),2)－sinαsinβ的一组α，β的值是()A．α＝eq\f(13π,12)，β＝eq\f(3π,4) B．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,3)C．α＝eq\f(π,2)，β＝eq\f(π,6) D．α＝eq\f(π,3)，β＝eq\f(π,4)B[由已知得cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝eq\f(\r(3),2)，检验知选B.]3．已知sinα＝eq\f(1,3)，α是第二象限角，则cos(α－60°)＝()A.eq\f(－\r(3)－2\r(2),6) B.eq\f(\r(3)－2\r(2),6)C.eq\f(\r(3)＋2\r(2),6) D.eq\f(－\r(3)＋2\r(2),6)B[因为sinα＝eq\f(1,3)，α是第二象限角，所以cosα＝－eq\f(2\r(2),3)，故cos(α－60°)＝cosαcos60°＋sinαsin60°＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(2),3)))×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(－2\r(2)＋\r(3),6).]4．已知点P(1，eq\r(2))是角α终边上一点，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))等于()A.eq\f(3＋\r(6),6) B.eq\f(3－\r(6),6)C．－eq\f(3＋\r(6),6) D.eq\f(\r(6)－3,6)A[由题意可得sinα＝eq\f(\r(6),3)，cosα＝eq\f(\r(3),3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\f(π,6)cosα＋sineq\f(π,6)sinα＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(3＋\r(6),6).]5．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(5,13)，0＜θ＜eq\f(π,3)，则cosθ等于()A.eq\f(5\r(3)＋12,26) B.eq\f(12－5\r(3),13)C.eq\f(5＋12\r(3),26) D.eq\f(5＋5\r(3),13)A[∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))，∴θ＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\r(1－cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6))))＝eq\f(12,13).cosθ＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))－\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝eq\f(5,13)×eq\f(\r(3),2)＋eq\f(12,13)×eq\f(1,2)＝eq\f(5\r(3)＋12,26).]二、填空题6．化简：sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(γ－β)＝________.cos(α＋γ－2β)[原式＝sin(α－β)sin(β－γ)＋cos(α－β)cos(β－γ)＝cos(α－β)cos(β－γ)＋sin(α－β)sin(β－γ)＝cos[(α－β)－(β－γ)]＝cos(α＋γ－2β)．]7．在△ABC中，sinA＝eq\f(4,5)，cosB＝－eq\f(12,13)，则cos(A－B)＝________.－eq\f(16,65)[因为cosB＝－eq\f(12,13)，且0<B<π，所以eq\f(π,2)<B<π，所以sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))2)＝eq\f(5,13)，且0<A<eq\f(π,2)，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2)＝eq\f(3,5)，所以cos(A－B)＝cosAcosB＋sinAsinB，＝eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＋eq\f(4,5)×eq\f(5,13)＝－eq\f(16,65).]8．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝eq\f(1,3)，则cos(α－β)＝________.－eq\f(7,9)[因为角α与角β均以Ox为始边，终边关于y轴对称，所以sinβ＝sinα＝eq\f(1,3)，cosβ＝－cosα，所以cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝－(1－sin2α)＋sin2α＝2sin2α－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2－1＝－eq\f(7,9).]三、解答题9．已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，求cosβ的值．[解]∵α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴α＋β∈(0，π)，又cosα＝eq\f(1,7)，cos(α＋β)＝－eq\f(11,14)，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(4\r(3),7)，sin(α＋β)＝eq\r(1－cos2α＋β)＝eq\f(5\r(3),14).又β＝(α＋β)－α，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,14)))×eq\f(1,7)＋eq\f(5\r(3),14)×eq\f(4\r(3),7)＝eq\f(1,2).10．已知cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，eq\f(π,2)<α－β<π，eq\f(3π,2)<α＋β<2π，求β的值．[解]∵eq\f(π,2)<α－β<π，cos(α－β)＝－eq\f(4,5)，∴sin(α－β)＝eq\f(3,5).∵eq\f(3π,2)<α＋β<2π，sin(α＋β)＝－eq\f(3,5)，∴cos(α＋β)＝eq\f(4,5)，∴cos2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(3,5)＝－1.∵eq\f(π,2)<α－β<π，eq\f(3π,2)<α＋β<2π，∴eq\f(π,2)<2β<eq\f(3π,2)，2β＝π，∴β＝eq\f(π,2).[等级过关练]1．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝－eq\f(\r(3),3)，则cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A．－eq\f(2\r(3),3) B．±eq\f(2\r(3),3)C．－1 D．±1C[cosx＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝cosx＋eq\f(1,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\f(3,2)cosx＋eq\f(\r(3),2)sinx＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosx＋\f(1,2)sinx))＝eq\r(3)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))＝eq\r(3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1.]2.eq\f(2cos10°－sin20°,sin70°)的值是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(3) D.eq\r(2)C[原式＝eq\f(2cos30°－20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(2cos30°·cos20°＋2sin30°·sin20°－sin20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)cos20°,sin70°)＝eq\f(\r(3)sin70°,sin70°)＝eq\r(3).]3．若cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,5)，cos(α－β)＝eq\f(3,5)，则tanα·tanβ＝________.eq\f(1,2)[∵cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)＝eq\f(3,5)，cosαcosβ－sinαsinβ＝eq\f(1,5)，解得cosαcosβ＝eq\f(2,5)，sinαsinβ＝eq\f(1,5)，∴tanαtanβ＝eq\f(sinαsinβ,cosαcosβ)＝eq\f(\f(1,5),\f(2,5))＝eq\f(1,2).]4．若cos(α－β)＝eq\f(\r(5),5)，cos2α＝eq\f(\r(10),10)，并且α，β均为锐角且α＜β，则α＋β的值为________．eq\f(3π,4)[sin(α－β)＝－eq\f(2\r(5),5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)＜α－β＜0))，sin2α＝eq\f(3\r(10),10)，∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)×eq\f(\r(5),5)＋eq\f(3\r(10),10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq\f(\r(2),2)，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝eq\f(3π,4).]5．已知0＜β＜eq\f(π,4)，eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝eq\f(5,13)，求sin(α＋β)的值．[解]∵eq\f(π,4)＜α＜eq\f(3π,4)，∴－eq\f(π,2)＜eq\f(π,4)－α＜0.∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2)＝－eq\f(4,5).又∵0＜β＜eq\f(π,4)，∴eq\f(3π,4)＜eq\f(3π,4)＋β＜π，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))＝－eq\r(,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,13)))2)＝－eq\f(12,13)，sin(α＋β)＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋β))＝－coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋β))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－α))＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq\f(3,5)－eq\f(5,13)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝eq\f(56,65).第2课时两角和与差的正弦、余弦公式学习目标核心素养1.掌握两角差的余弦公式推导出两角和的余弦公式及两角和与差的正弦公式．2．会用两角和与差的正弦、余弦公式进行简单的三角函数的求值、化简、计算等．3．熟悉两角和与差的正弦、余弦公式的灵活运用，了解公式的正用、逆用以及角的变换的常用方法.1.借助公式的推导过程，培养数学运算素养．2.通过公式的灵活运用，提升逻辑推理素养.【新课导入】1．两角和与差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦公式C(α－β)cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_βα，β∈R两角和的余弦公式C(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βα，β∈R2.两角和与差的正弦公式名称简记符号公式使用条件两角和的正弦S(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βα，β∈R两角差的正弦S(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βα，β∈R3.重要结论－辅助角公式y＝asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ)(a，b不同时为0)，其中cosθ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinθ＝eq\f(b,\r(a2＋b2)).1．cos57°cos3°－sin57°sin3°的值为()A．0B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2) D．cos54°B[原式＝cos(57°＋3°)＝cos60°＝eq\f(1,2).]2．sin245°sin125°＋sin155°sin35°的值是()A．－eq\f(\r(3),2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D.eq\f(\r(3),2)B[∵sin245°＝sin(155°＋90°)＝cos155°，sin125°＝sin(90°＋35°)＝cos35°，∴原式＝cos155°cos35°＋sin155°sin35°＝cos(155°－35°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).]3．若cosα＝－eq\f(3,5)，α是第三象限的角，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝______.－eq\f(\r(2),10)[∵cosα＝－eq\f(3,5)，α是第三象限的角，∴sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(4,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sinα－eq\f(\r(2),2)cosα＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))－eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝－eq\f(\r(2),10).]【合作探究】,给角求值问题【例1】(1)cos70°sin50°－cos200°sin40°的值为()A．－eq\f(\r(3),2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)(2)若θ是第二象限角且sinθ＝eq\f(5,13)，则cos(θ＋60°)＝________.(3)求值：(tan10°－eq\r(3))eq\f(cos10°,sin50°).(1)D(2)－eq\f(12＋5\r(3),26)[(1)∵cos200°＝cos(180°＋20°)＝－cos20°＝－sin70°，sin40°＝cos50°，∴原式＝cos70°sin50°－(－sin70°)cos50°＝sin(50°＋70°)＝sin120°＝eq\f(\r(3),2).(2)∵θ是第二象限角且sinθ＝eq\f(5,13)，∴cosθ＝－eq\r(1－sin2θ)＝－eq\f(12,13)，∴cos(θ＋60°)＝eq\f(1,2)cosθ－eq\f(\r(3),2)sinθ＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))－eq\f(\r(3),2)×eq\f(5,13)＝－eq\f(12＋5\r(3),26).](3)[解]原式＝(tan10°－tan60°)eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin10°,cos10°)－\f(sin60°,cos60°)))eq\f(cos10°,sin50°)＝eq\f(sin－50°,cos10°cos60°)·eq\f(cos10°,sin50°)＝－2.]解决给角求值问题的策略(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．提醒：在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．1．化简求值：(1)eq\f(sin50°－sin20°cos30°,cos20°)；(2)sin(θ＋75°)＋cos(θ＋45°)－eq\r(3)cos(θ＋15°)．[解](1)原式＝eq\f(sin20°＋30°－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(sin20°cos30°＋cos20°sin30°－sin20°cos30°,cos20°)＝eq\f(cos20°sin30°,cos20°)＝sin30°＝eq\f(1,2).(2)设α＝θ＋15°，则原式＝sin(α＋60°)＋cos(α＋30°)－eq\r(3)cosα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sinα＋\f(\r(3),2)cosα))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosα－\f(1,2)sinα))－eq\r(3)cosα＝0.给值求值、求角问题【例2】(1)已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为eq\f(4,5)，点Q的横坐标为eq\f(5,13)，则cos∠POQ＝________.(2)已知cosα＝eq\f(\r(5),5)，sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)，且α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).求：①cos(2α－β)的值；②β的值．[思路点拨](1)先由任意角三角函数的定义求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依据∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及两角和的余弦公式求值．(2)先求sinα，cos(α－β)，依据2α－β＝α＋(α－β)求cos(2α－β)．依据β＝α－(α－β)求cosβ再求β.(1)eq\f(56,65)[由题意可得，cos∠xOP＝eq\f(4,5)，所以sin∠xOP＝eq\f(3,5).再根据cos∠xOQ＝eq\f(5,13)，可得sin∠xOQ＝－eq\f(12,13)，所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOP·cos∠xOQ－sin∠xOP·sin∠xOQ＝eq\f(4,5)×eq\f(5,13)－eq\f(3,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))＝eq\f(56,65).](2)[解]①因为α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α－β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，又sin(α－β)＝eq\f(\r(10),10)＞0，所以0＜α－β＜eq\f(π,2)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(5),5)，cos(α－β)＝eq\r(1－sin2α－β)＝eq\f(3\r(10),10)，cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)]＝cosαcos(α－β)－sinαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),10).②cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(\r(2),2)，又因为β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以β＝eq\f(π,4).给值求值问题的解题策略在解决此类题目时，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，同时分析角之间的关系，利用角的代换化异角为同角，具体做法是：1当条件中有两角时，一般把“所求角”表示为已知两角的和或差.2当已知角有一个时，可利用诱导公式把所求角转化为已知角.2．已知锐角α，β满足cosα＝eq\f(2\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq\f(3,5)，求sinβ的值．[解]因为α，β是锐角，即0＜α＜eq\f(π,2)，0＜β＜eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,2)＜α－β＜eq\f(π,2)，因为sin(α－β)＝－eq\f(3,5)＜0，所以cos(α－β)＝eq\f(4,5)，因为cosα＝eq\f(2\r(5),5)，所以sinα＝eq\f(\r(5),5)，所以sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(4,5)＋eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3,5)＝eq\f(2\r(5),5).辅助角公式的应用[探究问题]1．能否将函数y＝sinx＋cosx(x∈R)化为y＝Asin(x＋φ)的形式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(|φ|∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))))？提示：能．y＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4))).2．如何推导asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ＝\f(b,a)))公式．提示：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(a2＋b2))sinx＋\f(b,\r(a2＋b2))cosx))，令cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))，sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))，则asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)(sinxcosφ＋cosxsinφ)＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符号确定，φ角的值由tanφ＝eq\f(b,a)确定，或由sinφ＝eq\f(b,\r(a2＋b2))和cosφ＝eq\f(a,\r(a2＋b2))共同确定)．【例3】(1)sineq\f(π,12)－eq\r(3)coseq\f(π,12)＝________.(2)已知f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx，求函数f(x)的周期，值域，单调递增区间．[思路点拨]解答此类问题的关键是巧妙构建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右侧，逆用公式化成一个角的一种三角函数值．(1)－eq\r(2)[原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)sin\f(π,12)－\f(\r(3),2)cos\f(π,12))).法一：(化正弦)原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)sin\f(π,12)－sin\f(π,3)cos\f(π,12)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,12)cos\f(π,3)－cos\f(π,12)sin\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)－\f(π,3)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＝－eq\r(2).法二：(化余弦)原式＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,6)sin\f(π,12)－cos\f(π,6)cos\f(π,12)))＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)cos\f(π,12)－sin\f(π,6)sin\f(π,12)))＝－2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,12)))＝－2coseq\f(π,4)＝－eq\r(2).](2)[解]f(x)＝eq\r(3)sinx－cosx＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx·\f(\r(3),2)－cosx·\f(1,2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinxcos\f(π,6)－cosxsin\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，∴T＝eq\f(2π,ω)＝2π，值域[－2,2]．由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x－eq\f(π,6)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)＋2kπ，\f(2π,3)＋2kπ))，k∈Z.1．若将例3(2)中函数改为f(x)＝－sinx＋eq\r(3)cosx，其他条件不变如何解答？[解]f(x)＝－sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\f(\r(3),2)cosx－eq\f(1,2)sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))，∴T＝2π，值域为[－2,2]，由－π＋2kπ≤x＋eq\f(π,6)≤2kπ，得递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,6)＋2kπ，－\f(π,6)＋2kπ))，k∈Z.2．若将例3(2)中函数改为f(x)＝msinx＋mcosx，其中m＞0，其他条件不变，应如何解答？[解]f(x)＝msinx＋mcosx＝eq\r(2)msineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))，∴T＝2π，值域为[－eq\r(2)m，eq\r(2)m]，由－eq\f(π,2)＋2kπ≤x＋eq\f(π,4)≤eq\f(π,2)＋2kπ，得递增区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)＋2kπ，\f(π,4)＋2kπ))，k∈Z.辅助角公式及其运用1公式形式：公式asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)sinα＋φ或asinα＋bcosα＝eq\r(a2＋b2)cosα－φ将形如asinα＋bcosαa，b不同时为零的三角函数式收缩为同一个角的一种三角函数式.2形式选择：化为正弦还是余弦，要看具体条件而定，一般要求变形后角α的系数为正，这样更有利于研究函数的性质.提醒：在使用辅助角公式时常因把辅助角求错而致误.1．两角和与差公式可以看成是诱导公式的推广，诱导公式可以看成两角和差公式的特例，例如：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝sineq\f(3π,2)·cosα－coseq\f(3π,2)sinα＝－cosα.2．使用和差公式时不仅要会正用，还要能够逆用公式，如化简sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)时，不要将cos(α＋β)和sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sinβcos(α＋β)－cosβsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sinα.3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．【课堂达标练习】1．思考辨析(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．()(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sinα－sinβ成立．()(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ都不成立．()(4)sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin30°.()[提示](1)正确．根据公式的推导过程可得．(2)正确．当α＝45°，β＝0°时，sin(α－β)＝sinα－sinβ.(3)错误．当α＝30°，β＝－30°时，sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立．(4)正确．因为sin54°cos24°－sin36°sin24°＝sin54°cos24°－cos54°sin24°＝sin(54°－24°)＝sin30°，故原式正确．[答案](1)√(2)√(3)×(4)√2．化简eq\r(2)cosx－eq\r(6)sinx等于()A．2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋x)) B．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－x))C．2eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－x)) D．2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x))D[eq\r(2)cosx－eq\r(6)sinx＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cosx－\f(\r(3),2)sinx))＝2eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)cosx－sin\f(π,3)sinx))＝2eq\r(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋x)).]3．cosβcos(α－β)－sinβsin(α－β)＝________.cosα[cosβcos(α－β)－sinβsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cosα.]4．已知α，β均为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，求α－β.[解]∵α，β均为锐角，sinα＝eq\f(\r(5),5)，cosβ＝eq\f(\r(10),10)，∴sinβ＝eq\f(3\r(10),10)，cosα＝eq\f(2\r(5),5).∵sinα<sinβ，∴α<β，∴－eq\f(π,2)<α－β<0，∴sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(\r(5),5)×eq\f(\r(10),10)－eq\f(2\r(5),5)×eq\f(3\r(10),10)＝－eq\f(\r(2),2)，∴α－β＝－eq\f(π,4).《两角和与差的正弦、余弦公式》专题训练[合格基础练]一、选择题1．化简sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝()A．－sinx B．sinxC．－cosx D．cosxB[sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))＝eq\f(1,2)sinx＋eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝sinx．]2．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))的值是()A.eq\r(2) B．－eq\r(2)C．0 D.eq\f(\r(2),2)A[coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))－sin\f(π,4)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))))＝eq\r(2)coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17π,4)))))＝eq\r(2)cos(－4π)＝eq\r(2).]3．已知cosα＝eq\f(3,5)，cos(α－β)＝eq\f(7\r(2),10)，且0＜β＜α＜eq\f(π,2)，那么β＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)C[∵0＜β＜α＜eq\f(π,2)，∴0＜α－β＜eq\f(π,2)，由cosα＝eq\f(3,5)得sinα＝eq\f(4,5)，由cos(α－β)＝eq\f(7\r(2),10)得sin(α－β)＝eq\f(\r(2),10)，∴sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝eq\f(4,5)×eq\f(7\r(2),10)－eq\f(3,5)×eq\f(\r(2),10)＝eq\f(25\r(2),50)＝eq\f(\r(2),2)，∴β＝eq\f(π,4).]4．如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED等于()A.eq\f(3\r(10),10) B.eq\f(\r(10),10)C.eq\f(\r(5),10) D.eq\f(\r(5),15)B[由题意知sin∠BEC＝eq\f(1,\r(5))，cos∠BEC＝eq\f(2,\r(5))，又∠CED＝eq\f(π,4)－∠BEC，所以sin∠CED＝sineq\f(π,4)cos∠BEC－coseq\f(π,4)sin∠BEC＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(2,\r(5))－eq\f(\r(2),2)×eq\f(1,\r(5))＝eq\f(\r(10),10).]5．函数f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的值域为()A．[－2,2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\r(3)，\r(3)))C．[－1,1] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(\r(3),2)))B[f(x)＝sinx－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＝sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＋eq\f(1,2)sinx＝eq\f(3,2)sinx－eq\f(\r(3),2)cosx＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))，所以函数f(x)的值域为[－eq\r(3)，eq\r(3)]．故选B.二、填空题6．若cosα＝－eq\f(1,3)，sinβ＝－eq\f(\r(3),3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，则sin(α＋β)的值为________．eq\f(5\r(3),9)[∵cosα＝－eq\f(1,3)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，∴sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\f(2\r(2),3).∵sinβ＝－eq\f(\r(3),3)，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))，∴cosβ＝eq\r(1－sin2β)＝eq\f(\r(6),3)，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝eq\f(5\r(3),9).]7．在△ABC中，3sinA＋4cosB＝6,4sinB＋3cosA＝1，则角C等于________．30°[已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sinAcosB＋cosAsinB)＝37，即25＋24sin(A＋B)＝37，∴sinC＝sin(A＋B)＝eq\f(1,2)，∴C＝30°或150°.当C＝150°时，A＋B＝30°，此时3sinA＋4cosB＜3sin30°＋4cos0°＝eq\f(11,2)与已知矛盾，∴C＝30°.]8．设当x＝θ时，函数f(x)＝sinx－2cosx取得最大值，则cosθ＝________.－eq\f(2\r(5),5)[f(x)＝eq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)sinx－\f(2\r(5),5)cosx))＝eq\r(5)sin(x－φ)，其中sinφ＝eq\f(2\r(5),5)，cosφ＝eq\f(\r(5),5).由已知得sin(θ－φ)＝1，∴cos(θ－φ)＝0，∴cosθ＝cos[(θ－φ)＋φ]＝cos(θ－φ)cosφ－sin(θ－φ)sinφ＝－sinφ＝－eq\f(2\r(5),5).]三、解答题9．已知sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝eq\f(4,5)，β是第三象限角，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))的值．[解]∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sinβ＝eq\f(4,5)，∴sinβ＝－eq\f(4,5)，又β是第三象限角，∴cosβ＝－eq\r(1－sin2β)＝－eq\f(3,5)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(β＋\f(π,4)))＝sinβcoseq\f(π,4)＋cosβsineq\f(π,4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))×eq\f(\r(2),2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))×eq\f(\r(2),2)＝－eq\f(7\r(2),10).10．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，且0＜α＜eq\f(π,4)＜β＜eq\f(3π,4)，求cos(α＋β)的值．[解]∵0＜α＜eq\f(π,4)＜β＜eq\f(3π,4)，∴eq\f(3π,4)＜eq\f(3π,4)＋α＜π，－eq\f(π,2)＜eq\f(π,4)－β＜0.又sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝eq\f(5,13)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(3,5)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))＝－eq\f(12,13)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝－eq\f(4,5)，∴cos(α＋β)＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α＋β))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－β))＝eq\f(5,13)×eq\f(3,5)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(12,13)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)))＝－eq\f(33,65).[等级