【数学 】平面向量的概念同步练习-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第=page11页，共=sectionpages11页6.1平面向量的概念一、单选题：1.设点O是等边三角形ABC的中心，则向量AO，OB，OC是(

)A.有相同起点的向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.相等向量2.下列命题中，正确的是(

)A.|a|=|b|⇒a=b B.3.下列说法中错误的是(

)A.零向量与任一向量平行 B.方向相反的两个非零向量不一定共线

C.单位向量的长度为1 D.相等向量一定是共线向量4.下列结论中正确的为(

)A.两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B.向量AB与向量BA的长度相等

C.对任意向量a，a|a|是一个单位向量5.a，b为非零向量，且a+b=aA.a=b B.a，b是共线向量且方向相反

C.a/​/b，且a与b方向相同 D.6.在四边形ABCD中，已知AB=DC，|AB|=|BC|A.梯形 B.矩形 C.菱形 D.正方形7.已知a，b，c均为单位向量，且a+2b=2A.−12 B.−14 C.8.已知a，b满足：|a|=3

，|b|=2，|aA.

3 B.5 C.3 二、多选题：9.若四边形ABCD是矩形，则下列命题中正确的是(

)A.AD，CB共线 B.AC，BD相等

C.AD，CB模相等，方向相反 D.AC，BD模相等10.下列说法中错误的是(

)A.单位向量都相等

B.向量AB与CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上

C.若a为非零向量，则aa表示为与a同方向的单位向量

D.若a/​/b，11.如图，在四边形ABCD中，若AB=DC，则图中相等的向量是(

)

A.AD与BC B.OB与OD C.AC与BD D.AO与OC12.下面的命题正确的有(

)A.方向相反的两个非零向量一定共线

B.单位向量都相等

C.若，满足|a|>|b|且a与同向，则a>b

D.“若A、B、C、D是不共线的四点，且AB=DC三、填空题：13.已知向量a=(1,−2)，b=(m,4)，且a/​/b，那么14.已知向量a=(2,2)，b=(3,3m−2)，c=(−2,2−2m).若a/​/(b15.设向量a和b不平行，若向量2λa+8b与a+λb16.设a，b是两个不共线的向量，AB=2a+kb，BC=a+b，CD=a−2b，若四、解答题：17.设向量a=(−1,2)，b=(1,−1)．

(Ⅰ)求|a+2b|；

(Ⅱ)若AB=a+b，BC=18.已知向量a=−3,2(1)若a−tb与c共线，求实数(2)请用向量a,b表示向量c19.设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1−8(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF=3e1−ke2，且B，D20.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北方向走了米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．(1)作出向量AB，BC，CD；(2)求AD的模．21.设e1，e2是两个不共线向量，已知AB=2e1−8e2(1)求证：A，B，D三点共线；(2)若BF=3e1−ke2，且B，D，答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了向量的模，以及平面向量基本概念，属基础题．

易知O是等边三角形ABC外接圆的圆心，从而|AO|=|OB|=|OC【解答】

解：因为O是等边三角形△ABC的中心，

所以O是等边三角形ABC外接圆的圆心，

所以|AO|=|OB|=|OC|=R(R为△ABC外接圆的半径)，

所以向量2.【答案】C

【解析】【分析】本题主要考查了向量的概念，属于简单题．

利用向量既有方向又有长度，以及向量不能比较大小，零向量的概念，共线向量的定义进行判定即可．

【解答】解：向量的模相等，向量不一定相等，故A错误；

向量不能比较大小，故B错误；

若两个向量相等，则方向一定相同，则一定平行，故C正确；

向量不能等于一个数，显然a为零向量而不是数字零，故D错误，

故选C．3.【答案】B

【解析】【分析】

本题主要考查单位、零、共线、相等向量的概念，属于基础题．

根据向量的概念，逐项判断正误即可得出正确结论．

【解答】

解：零向量的方向任意，故零向量与任一向量平行，故A正确；

方向相同或相反的两个非零向量一定共线，故B错误；

单位向量的长度为1，故C正确；

相等向量长度和方向都相等，故一定是共线向量，故D正确，

故选B．4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查向量的相关概念，属于基础题．

根据向量的概念判断各个选项．【解答】

解：A选项，单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一定相同，故A不正确;

B选项，向量AB是向量BA是的负向量，方向相反，长度相等，故B正确;

C选项，当a=0时，a|a|无意义，故C不正确;

D选项，零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故D5.【答案】C

【解析】【分析】本题考查两个向量的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量的性质的合理运用．

由已知条件推导出cos<a,b>=1，从而得到a【解答】

解：∵a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，

∴|a+b|2=(|a|+|b6.【答案】C

【解析】解：∵AB=DC，

∴AB=DC，且AB//DC，

∴四边形ABCD是平行四边形，又|AB|=|BC|，

∴四边形ABCD是菱形．

故选：C．

可根据AB=DC7.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查平面向量的数量积，考查计算能力，属于基础题．

依题意，由a+2b=2c平方可得a·b=−14，然后由a⋅c=a⋅(12a+b)计算即可．

【解答】

解：a8.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了向量的模．利用向量的模的性质计算得结论．【解答】解：因为|a→|=3，|所以|a=29+4因此a→故选D．9.【答案】ACD

【解析】【分析】本题主要考查向量共线、相等、相反的概念，向量的模，属于基础题．

根据向量的基本概念，逐一判断各选项正误即可．【解答】

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AC=BD，

故AD，CB共线，A正确；AC，BD模相等，方向不同，B错误，D正确；

AD，CB模相等，方向相反，C10.【答案】ABD

【解析】【分析】

本题考查平面向量的概念，属于基础题．

根据向量相等判断A;根据向量共线判断B;根据单位向量的定义判断C;由b=0可判断D．

【解答】

解：对于A，单位向量方向不同，则不相等，故A错误;

对于B，向量AB与CD是共线向量，也可能是AB/​/CD，故B错误;

对于C，若a为非零向量，则aa表示为与a同方向的单位向量，故C正确;

对于D，当b=011.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查向量的相等，属于基础题．

根据条件得出四边形为平行四边形，根据图形逐项判断即可．【解答】解：由AB=DC可得四边形ABCD为平行四边形，由图可知：A．AD与BC为相等向量；

B.OB与OD为相反向量；C.AC与BD不共线；D.AO与OC为相等向量．故选AD.

12.【答案】AD

【解析】【分析】本题考查向量的基本概念以及向量的模，属于基础题．

根据相反向量，单位向量的概念可分析A，B选项，由向量的性质可分析C选项，运用平行四边形的性质可分析D选项．【解答】

解：对于A，由相反向量的概念可知A正确；

对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；

对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；

对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且AB=DC，

可得AB//DC，且AB=DC，故四边形ABCD是平行四边形；

若四边形ABCD是平行四边形，可知AB//DC，且AB=DC，

此时A、B、C、D是不共线的四点，且AB=DC，故D正确．13.【答案】2【解析】【答案】

解：∵a//b，则4+2m=0，解得m=−2，

故b=(−2,4)，

故b=4+16=25．14.【答案】10【解析】【分析】

根据已知条件，结合向量平行的性质，先求出m，再结合向量模公式，即可求解．

本题主要考查向量平行的性质，以及向量模公式，属于基础题．

【解答】

解：b=(3,3m−2)，c=(−2,2−2m)，

则b+c=(1,m)，

∵a/​/(b+c)，a=(2,2)，

∴1×2=2m15.【答案】−2

【解析】【分析】

本题考查了向量共线的充要条件，属于基础题．

利用向量平行即共线的条件，得到向量2λa+8b与a+λb之间的关系，利用向量相等解答.

【解答】

解：因为向量2λa+8b与a+λb反向共线，

所以存在t(t<0)，使得2λa+8b=ta+λ16.【答案】−1

【解析】【分析】本题考查实数值的求法，考查共线向量的性质等基础知识，属于基础题．

求出BD=BC+CD=2a−b，由A，【解答】

解：∵a，b是两个不共线的向量，AB=2a+kb，BC=a+b，CD=a−2b

∴BD=BC+CD=a+b+a−2b17.【答案】解：(I)a+2b=(1,0)，

∴|a+2b|=1+0=1；

(II)证明：∵AC【解析】(I)利用向量坐标运算性质、模的计算公式即可得出结论；

(II)利用向量共线定理即可证明结论．

本题考查了向量坐标运算性质、模的计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：(1)由题意知：a−tb=−3,2−t(2,1)=−3−2t,2−t，

又a−tb与c共线可得−3−2t×−1=2−t×3，解得t=35；【解析】本题考查了平面向量基本定理和向量共线时的坐标表示，考查待定系数法的应用，属于基础题．

(1)先求出a−t(2)设c=ma+n19.【答案】(1)证明：∵BD=CD−CB=e1−4e2，

AB=2(e1−4e2)=2BD，

∴AB//BD，

∵AB与BD有公共点，

∴A，B，D三点共线；

(2)解：∵B，D，F三点共线，

∴存在实数λ，使BF【解析】本题考查了平面向量共线的运用，属于基础题．

(1)先求出BD，可得AB=2BD，则A，B，D三点共线；

(2)设存在实数λ，使BF=λBD，由此可得20.【答案】解：(1)作出向量AB，BC，CD，

如图所示：．

(2)由题意得，△BCD是直角三角形，

其中∠BDC=90°，BC=102米，CD=10米，

所以BD=10米．

△ABD是直角三角形，其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米，

所以AD=52+102=5【解析】本题属于向量的物理运算，主要要求掌握向量的基本知识，属于基础