第17章 勾股定理 人教版数学八年级下册素养综合检测(含解析)

第十七章素养综合检测(满分100分,限时45分钟)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(2023安徽安庆期中)下列各组数中,属于勾股数的一组是()A.3,4,7B.9,40,41C.0.9,1.2,1.5D.13,142.(2023江苏南京金陵汇文学校期末)已知△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是()A.b2-c2=a2B.a=2,b=3,c=5C.∠A+∠B=∠CD.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶53.(2022四川成都石室中学月考)下列命题中,其逆命题不成立的是()A.若两个数的差为正数,则这两个数都为正数B.等腰三角形的两个底角相等C.若ab=1,则a与b互为倒数D.如果|a|=|b|,那么a2=b24.(2023山东临沂期中)如图,正方形ABCD是由9个边长为1的小正方形组成的,点E,F均在格点(每个小正方形的顶点都是格点)上,连接AE,AF,则∠EAF的度数是()A.35°B.40°C.45°D.50°5.【数学文化】(2023重庆期末)我国是最早了解勾股定理的国家之一.据《周髀算经》记载,勾股定理的公式与证明是由商高发现的,故又称之为“商高定理”.三国时代的蒋铭祖在《蒋铭祖算经》中对勾股定理作出了详细注释,并给出了另外一个证明,下面四幅图中,不能证明勾股定理的是()6.一艘轮船位于灯塔P的南偏东60°方向,距离灯塔45海里的A处,它沿北偏东30°方向航行60海里到达B处,此时与灯塔P的距离为()A.27海里B.50海里C.75海里D.153海里7.(2020陕西中考)如图,在3×3的网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,若BD是△ABC的高,则BD的长为()A.101313B.91313C.8.如图所示的是等腰三角形屋架设计图的一部分,AB、FB是斜梁,立柱BC垂直于横梁AF,∠ABF的度数为120°,AB=8m,则横梁AF的长为()A.16mB.43mC.83mD.163m9.(2023重庆黔江期末)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离BC为0.7m,梯子顶端到地面的距离AC为2.4m.如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙,梯子顶端到地面的距离A'D为1.5m,则小巷的宽为()A.2.4mB.2mC.2.5mD.2.7m10.(2019河南中考)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3,分别以点A、C为圆心,大于12AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若点O是AC的中点,则CD的长为(A.22B.4C.3D.10二、填空题(每小题3分,共24分)11.已知△ABC的三边长分别为a、b、c,且a、b、c满足a2-6a+9+b-4+|c-5|=0,则△ABC的形状是三角形12.(2023天津一模)如图,△OAB的顶点O(0,0),顶点A在第一象限,顶点B(6,0)在x轴上,若OA=AB=5,则点A的坐标是.

13.【新独家原创】某学校体育器材室侧面示意图如图所示,它是一个轴对称图形.已知BC=4.8m,AB=3m,则房顶A离地面EF的高度为m.

14.(2023山东滨州期中)如图,在△ABC中,点D为AB上一点,点E为AC上一点,且DE=12AC,其中BD=1,DC=3,BC=10,AD=7,则DE=15.(2023浙江宁波外国语学校期末)如图,已知∠BAC=60°,AD是角平分线且AD=10,作AD的垂直平分线交AC于点F,连接DF,作DE⊥AC于E,则△DEF的周长为.

16.如图,在△ABC中,AC=24,AB=25,BC=7.在AB上取一点E,AC上取一点F,连接EF,若∠EFC=125°,过点B作BD∥EF,且点D在AB的右侧,则∠CBD的度数为.

17.如图,在长方体ABCD-EFGH盒子中,已知AB=4cm,BC=3cm,CG=5cm,长为10cm的细直木棒IJ恰好从小孔G处插入,木棒的一端I与底面ABCD接触,当木棒的端点I在长方形ABCD内及边界运动时,GJ的长度最小为cm.

18.如图,长方体的底面是边长为2cm的正方形,高为6cm.如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达B,那么所用细线最短需要cm.

三、解答题(共46分)19.(6分)如图,在4×4的方格纸中,每个小正方形的边长都为1,△ABC的三个顶点都在格点上,已知AC=25,BC=5,画出△ABC,并判断△ABC是不是直角三角形.20.【项目式学习试题】(2023山东济南期末)(6分)某初中数学小组欲测量吊车起重臂顶端与地面的距离,下面是他们设计的项目课题,请你根据下面的表格计算:吊车起重臂的顶端A到地面的距离AF.项目名称测量吊车起重臂顶端与地面的距离对象简介吊车作业时是通过液压杆CD的伸缩使起重臂AB绕点B转动的,从而使得起重臂完成升降作业(起重臂AB的长度也可以伸缩)操作示意图操作数据起重臂AB=10米,点B到地面的距离BE=1.8米,钢丝绳所在直线AF垂直地面于点F,点B到AF的距离BG=8米.提示:四边形BEFG是长方形,BE=FG操作评价\21.(6分)在我区“五水绕城”生态环境提升项目中,有一块三角形空地将进行绿化,如图,△ABC中,AB=AC,E是AC上的一点,CE=50,BC=130,BE=120.(1)判断△ABE的形状,并说明理由;(2)求△ABC的周长.22.(8分)如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=10,在边CD上取一点E,使得将△ADE沿AE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处.(1)求CE的长.(2)在(1)的条件下,BC边上是否存在一点P,使得PA+PE的值最小?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.23.(2023四川成都育才中学期中)(10分)如图,某小区的两个喷泉A,B位于小路AC的同侧,两个喷泉的距离AB为250m.现要为喷泉铺设供水管道AM,BM,供水点M在小路AC上,供水点M到AB的距离MN为120m,BM的长为150m.(1)求供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长;(2)直接写出喷泉B到小路AC的距离.24.【新考向·代数推理】(10分)已知n组正整数:第一组:3,4,5;第二组:8,6,10;第三组:15,8,17;第四组:24,10,26;第五组:35,12,37;第六组:48,14,50;……(1)是否存在一组数,符合上述规律,且其中一个数为71?若存在,请写出这组数;若不存在,请说明理由.(2)以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长,是否一定可以画出一个直角三角形,使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数?若可以,请说明理由;若不可以,请举出反例.答案全解全析1.B7不是整数,不是勾股数,故选项A不符合题意;92+402=412,且9,40,41均为正整数,是勾股数,故选项B符合题意;0.9,1.2,1.5不是正整数,不是勾股数,故选项C不符合题意;13,14,15不是正整数,不是勾股数,故选项D不符合题意2.D∵b2-c2=a2,∴b2=a2+c2,∴△ABC是直角三角形,故选项A不符合题意;∵(2)2+(3)2=(5)2,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故选项B不符合题意;∵∠A+∠B=∠C,∠A+∠B+∠C=180°,∴∠C=90°,∴△ABC是直角三角形,故选项C不符合题意;∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∴∠C=180°×53+4+5=75°,∴△ABC不是直角三角形,故选项D符合题意.故选3.A选项A的逆命题为若两个数都是正数,则这两个数的差为正数,不成立,符合题意;选项B的逆命题为两个角相等的三角形是等腰三角形,成立,不符合题意;选项C的逆命题为若a与b互为倒数,则ab=1,成立,不符合题意;选项D的逆命题为如果a2=b2,那么|a|=|b|,成立,不符合题意.故选A.4.C如图,连接EF,∵AE2=22+12=5,EF2=22+12=5,AF2=32+12=10,∴AE2+EF2=AF2,AE=EF,∴△AEF是等腰直角三角形,∴∠EAF=45°.故选C.5.D选项A中,∵大正方形的面积为c2,也可看成4个直角三角形和1个小正方形的面积和,即12ab×4+(b-a)2=a2+b2,∴a2+b2=c2,故此选项能证明勾股定理选项B中,∵梯形的面积为12(a+b)(a+b)=12(a2+b2)+ab,也可看成2个直角三角形和1个等腰直角三角形的面积和,即12ab×2+12c2=ab+12c2,∴ab+12c2=12(a2+b2)+ab,∴a2选项C中,∵大正方形的面积为(a+b)2,也可看成4个直角三角形和1个小正方形的面积和,即12ab×4+c2=2ab+c2,∴(a+b)2=2ab+c2,∴a2+b2=c2,故此选项能证明勾股定理选项D中,∵大正方形的面积为(a+b)2,也可看成2个长方形和2个小正方形的面积和,即a2+b2+2ab,∴(a+b)2=a2+b2+2ab,故此选项不能证明勾股定理.故选D.6.C如图,过点A作AC∥PE交BP于C,根据题意得∠CAP=∠EPA=60°,∠CAB=30°,PA=45海里,AB=60海里,∴∠PAB=∠CAP+∠CAB=90°,在Rt△PAB中,根据勾股定理得,PB=AP2+AB2=故此时与灯塔P的距离为75海里.故选C.7.D由勾股定理得AC=22+3∵S△ABC=3×3-12×1×2-12×1×3-12∴12AC·BD=72,∴13·BD=7,∴BD=故选D.8.C在等腰三角形ABF中,BC⊥AF,∠ABF=120°,∴∠ABC=∠FBC=60°,AC=FC,∴∠BAC=30°,∴BC=12AB=1在Rt△ABC中,根据勾股定理,得AC=AB2-BC2=829.D在Rt△ABC中,由勾股定理得AB=AC2+在Rt△A'BD中,由勾股定理得BD=A'B2∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7(m),即小巷的宽为2.7m,故选D.10.A如图,连接FC,则AF=FC.∵AD∥BC,∴∠FAO=∠BCO.在△FOA与△BOC中,∠∴△FOA≌△BOC(ASA),∴AF=BC=3,∴FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.在Rt△FDC中,∵∠D=90°,∴CD2+DF2=FC2,∴CD2+12=32,∴CD=22(负值舍去).故选A.11.答案直角解析∵a2-6a+9+b-4∴(a-3)2=0,b-4=0,c-5=0,∴a=3,b=4,c=5,∵32+42=52,∴△ABC为直角三角形.12.答案(3,4)解析如图,过A作AC⊥x轴于点C,∵OA=AB=5,AC⊥OB,B(6,0),即OB=6,∴OC=12OB=3,由勾股定理得AC=OA2-OC213.答案5.8解析过点A作AD⊥BC于点D,如图,∵它是一个轴对称图形,∴AB=AC,∵AD⊥BC,BC=4.8m,∴BD=12在Rt△ADB中,根据勾股定理得AD=AB2-∴房顶A离地面EF的高度=AD+BE=1.8+4=5.8(m).14.答案2解析∵BD=1,DC=3,BC=10,12+32=(10)2,∴BD2+CD2=BC2,∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°,∴∠ADC=90°,∴AC=AD2+DC15.答案53+5解析∵AD的垂直平分线交AC于点F,∴DF=AF,∵∠BAC=60°,AD是角平分线,∴∠DAC=30°,∵DE⊥AC,AD=10,∴DE=12根据勾股定理,得AE=AD2-∴△DEF的周长=DF+EF+DE=AF+EF+DE=AE+DE=53+5.16.答案35°解析在△ABC中,AC=24,AB=25,BC=7,∵242+72=625=252,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC为直角三角形,且∠ACB=90°.如图,过点C作CM∥EF交AB于点M,则CM∥BD,∵CM∥EF,∠EFC=125°,∴∠MCF=180°-∠EFC=55°,∴∠BCM=∠ACB-∠MCF=35°.∵CM∥BD,∴∠CBD=∠BCM=35°.17.答案(10-52)解析当GI最长时,GJ最短,当I运动到点A时,GI最长,连接AC(图略),此时GI=AC∵AC2=AB2+BC2=42+32=25,∴GI=25+52=50=5∴GJ的长度最小为(10-52)cm.18.答案273解析如图,将长方体的侧面沿AB展开,取A'B'的中点C,取AB的中点C',连接B'C',AC,则AC+B'C'的值为所求的最短细线长,∵AC2=AA'2+A'C2,AA'=2×4=8(cm),A'C=12×6=3(cm),∴AC=73同理,B'C'=73cm,∴AC+B'C'=273cm.故所用细线最短需要273cm.19.解析如图,△ABC即为所求.△ABC是直角三角形.理由:∵AC=25,BC=5,∴AC2+BC2=20+5=25,∵AB2=42+32=25,∴AC2+BC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.20.解析在Rt△ABG中,由勾股定理得AG=AB2-BG∵FG=BE=1.8米,∴AF=AG+GF=6+1.8=7.8(米).答:点A到地面的距离AF为7.8米.21.解析(1)△ABE是直角三角形.理由:∵BC2=1302=16900,BE2=1202=14400,CE2=502=2500,∴BE2+CE2=BC2,∴∠BEC=90°,∴∠AEB=90°,∴△ABE是直角三角形.(2)设AB=AC=x,则AE=x-50,由(1)可知△ABE是直角三角形,∴BE2+AE2=AB2,∴1202+(x-50)2=x2,解得x=169.∴△ABC的周长为AB+AC+BC=169+169+130=468.22.解析(1)∵四边形ABCD是长方形,AB=8,BC=10,∴∠B=∠BCD=90°,CD=AB=8,AD=BC=10,由折叠知EF=DE,AF=AD=10,在Rt△ABF中,根据勾股定理得BF=AF设CE=x,则EF=DE=CD-CE=8-x,在Rt△ECF中,根据勾股定理得CF2+CE2=EF2,∴16+x2=(8-x)2,∴x=3,∴CE=3.(2)存在.理由:如图,延长EC至E',使CE'=CE=3,连接AE'交BC于P,连接PE,此时P