（江苏专用）高考数学一轮复习 考点14 导数的应用必刷题（含解析）-人教版高三数学试题

考点14导数的应用1．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知e为自然对数的底数，函数的图像恒在直线上方，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】因为函数的图像恒在直线上方，所以，恒成立，即：恒成立.当时，若，，，不满足恒成立.当时，恒成立.当时，不等式恒成立等价于：，记，则，此时，在上递减，在上递增，在上递减，其简图如下：所以，所以，又，解得：.综上所述：．2．（江苏省苏州市2019届高三下学期阶段测试）若函数在其定义域上恰有两个零点，则正实数a的值为_____.【答案】【解析】当x≤0时，f（x）＝x+2x，单调递增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零点存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一个零点；则由题意可得x＞0时，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一个零点，即有a有且只有一个实根．令g（x），g′（x），当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）递减；当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）递增．即有x＝e处取得极大值，也为最大值，且为，当x如图g（x）的图象，当直线y＝a（a＞0）与g（x）的图象只有一个交点时，则a．故答案为：．3．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】【分析】由⇒，又lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函数求导求最值．【详解】∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，∴⇒，∵，∴lne，lnln（）＝lnlneln，令，则lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，则t，可得f（t）在（）递减，在（）递增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值为e2，故答案为：e2．4．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）已知，，，且，则的最小值为_________．【答案】【解析】令，，，，在上递减，在上递增，所以，当时，有最小值：所以，的最小值为故答案为：．5．（江苏省七市(南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港)2019届高三第三次调研考试）已知数列满足（），（）．（1）若，证明：是等比数列；（2）若存在，使得，，成等差数列．①求数列的通项公式；②证明：．【答案】（1）见解析；（2）①，②见解析【解析】（1）由，得，得，即，因为，所以，所以（），所以是以为首项，2为公比的等比数列．（2）①设，由（1）知，，所以，即，所以．因为，，成等差数列，则，所以，所以，所以，即．②要证，即证，即证．设，则，且，从而只需证，当时，．设（），则，所以在上单调递增，所以，即，因为，所以，所以，原不等式得证．6．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知数列，，且对任意n恒成立．（1）求证：(n)；（2）求证：(n)．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）①当时，满足成立.②假设当时，结论成立.即：成立下证：当时，成立。因为即：当时，成立由①、②可知，(n)成立。（2）（ⅰ）当时，成立，当时，成立，（ⅱ）假设时（），结论正确，即：成立下证：当时，成立.因为要证，只需证只需证：，只需证：即证：（）记当时，所以在上递增，又所以，当时，恒成立。即：当时，成立。即：当时，恒成立.所以当，恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：对任意的正整数，不等式恒成立，命题得证.7．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查二）已知函数，其中R．（1）如果曲线在x＝1处的切线斜率为1，求实数的值；（2）若函数的极小值不超过，求实数的最小值；（3）对任意[1，2]，总存在[4，8]，使得＝成立，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）2；（3）【解析】（1）由题可得：，所以又曲线在处的切线斜率为1，所以，解得：（2）因为函数的极小值不超过，说明函数有极小值则，其极小值即：记：，上述不等式可转化成当时，，要使得，则因为恒成立，所以在上递减，所以实数的最小值为（3）记在的值域为，在的值域为对任意，总存在，使得成立，则成立（Ⅰ）当时，在递增，不满足（Ⅱ）当时，在递减，在递增，不满足（Ⅲ）当时，在递减，在递增，要使得，则即：整理得：（Ⅳ）当时，在递减，在递增，要使得，则即：整理得：（Ⅴ）当时，在递减，，不满足.综上所述：．8．（江苏省南通市基地学校2019届高三3月联考）某鲜花小镇圈定一块半径为1百米的圆形荒地，准备建成各种不同鲜花景观带．为了便于游客观赏，准备修建三条道路AB，BC，CA，其中A，B，C分别为圆上的三个进出口，且A，B分别在圆心O的正东方向与正北方向上，C在圆心O南偏西某一方向上．在道路AC与BC之间修建一条直线型水渠MN种植水生观赏植物黄鸢尾（其中点M，N分别在BC和CA上，且M在圆心O的正西方向上，N在圆心O的正南方向上），并在区域MNC内种植柳叶马鞭草．（1）求水渠MN长度的最小值；（2）求种植柳叶马鞭草区域MNC面积的最大值（水渠宽度忽略不计）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】（1）以圆心为原点，建立平面直角坐标系，则圆的方程为设点，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得所以令，即，则令，得当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以当时，所以水渠长度的最小值为百米（2）由（1）可知，，，且则设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米另法：（2）因为，所以由所以设，因为，所以所以，所以当时，种植柳叶马鞭草区域面积的最大值为平方百米．9．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设的导函数为，若有两个不相同的零点．①求实数的取值范围；②证明：．【答案】（1）见解析（2）①，②见解析【解析】（1）的定义域为，且．当时，成立，所以在为增函数；当时，（i）当时，，所以在上为增函数；（ii）当时，，所以在上为减函数．（2）①由（1）知，当时，至多一个零点，不合题意；当时，的最小值为，依题意知，解得．一方面，由于，，在为增函数，且函数的图象在上不间断．所以在上有唯一的一个零点．另一方面，因为，所以．，令，当时，，所以又，在为减函数，且函数的图象在上不间断．所以在有唯一的一个零点．综上，实数的取值范围是．②设．又则．下面证明．不妨设，由①知．要证，即证．因为，在上为减函数，所以只要证．又，即证．设函数．所以，所以在为增函数.所以，所以成立．从而成立.所以，即成立.10．（江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港))2019届高三年级第一次质量检测）如图，某公园内有两条道路，，现计划在上选择一点，新建道路，并把所在的区域改造成绿化区域．已知，．（1）若绿化区域的面积为1，求道路的长度；（2）若绿化区域改造成本为10万元/，新建道路成本为10万元/．设（），当为何值时，该计划所需总费用最小？【答案】（1）（2）【解析】（1）因为在中，已知，，所以由的面积，解得．在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，则，．在中，，，由正弦定理得，所以，．记该计划所需费用为，则．令，则，由，得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以时，该计划所需费用最小．11．（江苏省淮安市淮安区2019届高三第一学期联合测试）已知函数，R．（1）当a＝2时，求函数的单调区间；（2）若函数在处取得极值，对(0，)，恒成立，求实数b的取值范围．【答案】（1）递增区间为，单调减区间为；（2）【解析】（1）在区间上，令，则.令，则.从而函数的递增区间为，函数的单调减区间为.（2）因为函数在处取得极值，所以，解得.因为对恒成立即对恒成立.令，，易得在上递减，在上递增所以，即．12．（江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟）设区间，定义在上的函数集合若，求集合设常数.①讨论的单调性；②若，求证【答案】（1）（2）①见解析；②见证明【解析】（1）当时，，则．由可知恒成立，故函数在上单调递增，所以，解得，所以集合（2）①由得，因为，则由，得．在上列表如下：＋0－0＋单调递增极大值单调递减极小值单调递增（ⅰ）当，即时，则，所以在上单调递减；（ⅱ）当，即时，此时，在和上单调递增；在上单调递减．综上，当时，在上单调递减；当时，在，上单调递增；在上单调递减②（方法一）当时，由①可知，（ⅰ）当时，在上单调递减，所以，这与恒成立矛盾，故此时实数不存在；（ⅱ）当时，在，上单调递增；在上单调递减，所以．若，这与恒成立矛盾，故此时实数不存在；若，此时，又，则，．下面证明，也即证：．因为，且，则，下证：．令，则，所以在上单调递增，所以，即．这与恒成立矛盾，故此时实数不存在．综上所述，．（方法二）（ⅰ）当时，成立；（ⅱ）当时，由题意可知恒成立，则，设，则，令，解得．因为，所以，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以；（ⅲ）当时，由题意可知恒成立，则．设，则，因为，所以恒成立，所以在上单调递增，所以，所以．若，则存在实数满足，则成立，即，也即成立，则，这与矛盾，所以．13．（江苏省南通、扬州、泰州、苏北四市七市2019届高三第一次（2月)模拟）如图1，一艺术拱门由两部分组成，下部为矩形，的长分别为和，上部是圆心为的劣弧，．（1）求图1中拱门最高点到地面的距离；（2）现欲以B点为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形所在的平面始终与地面垂直，如图2、图3、图4所示．设与地面水平线所成的角为．记拱门上的点到地面的最大距离为，试用的函数表示，并求出的最大值．【答案】（1）拱门最高点到地面的距离为．（2），其最大值为【解析】（1）如图，过作与地面垂直的直线交于点，交劣弧于点，的长即为拱门最高点到地面的距离．在中，，，所以，圆的半径．所以．答：拱门最高点到地面的距离为．（2）在拱门放倒过程中，过点作与地面垂直的直线与“拱门外框上沿”相交于点．当点在劣弧上时，拱门上的点到地面的最大距离等于圆的半径长与圆心到地面距离之和；当点在线段上时，拱门上的点到地面的最大距离等于点到地面的距离．由（1）知，在中，．以为坐标原点，直线为轴，建立如图所示的坐标系．当点在劣弧上时，．由，，由三角函数定义，得，则．所以当即时，取得最大值．当点在线段上时，．设，在中，，．由，得．所以．又当时，．所以在上递增．所以当时，取得最大值．因为，所以的最大值为．综上，艺术拱门在放倒的过程中，拱门上的点到地面距离的最大值为（）．14．（江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末检测试）已知函数f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若函数h(x)＝在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．【答案】（1）见解析；（2）；（3）4【解析】（1），，令，解得，列表：2+0-极大值∴当时，函数取得极大值，无极小值（2）由，得∵，令，∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立∴，解得．（3），令，∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．∵∴当时，，单调递增，当时，，单调递减则，∴，解得，∴∵在上连续且，∴在和上各有一个实根∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．∴，且，令，，当时，，单调递减∵，∴，即，则∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为4．15．（江苏省如皋市2019届高三教学质量调研三）在平面直角坐标系中，已知定点，点在轴上运动，点在轴上运动，点为坐标平面内的动点，且满足，．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过曲线第一象限上一点（其中）作切线交直线于点，连结并延长交直线于点，求当面积取最大值时切点的横坐标．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设，，.因为，，所以，，，所以.（2）切线：，将代入得，直线：，将代入得，，因为在抛物线上且在第一象限，所以，所以，设，，，，.16．（江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末考试考前模拟）如图，有一张半径为1米的圆形铁皮，工人师傅需要剪