（江苏专用）高考数学二轮复习 专题四 立体几何提升训练 理-人教版高三数学试题

立体几何一、填空题1．已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为________． 解析利用圆柱的侧面积公式求解，该圆柱的侧面积为2π×1×2＝4π，一个底面圆的面积是π，所以该圆柱的表面积为4π＋2π＝6π. 答案6π2.(2015·苏、锡、常、镇调研)如图所示，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AC，PC的中点，PA＝2，AB＝1，求三棱锥CPED的体积为________． 解析∵PA⊥平面ABCD， ∴PA是三棱锥PCED的高，PA＝2. ∵ABCD是正方形，E是AC的中点， ∴△CED是等腰直角三角形． AB＝1，故CE＝ED＝eq\f(\r(2),2)， S△CED＝eq\f(1,2)CE·ED＝eq\f(1,2)·eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,4). 故VC­PED＝VP­CED＝eq\f(1,3)·S△CED·PA＝eq\f(1,3)·eq\f(1,4)·2＝eq\f(1,6). 答案eq\f(1,6)3．(2015·山东卷改编)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为________． 解析如图，由题意，得BC＝2，AD＝AB＝1.绕AD所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体． 所求体积V＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5,3)π. 答案eq\f(5π,3)4．(2015·苏、锡、常、镇调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题： ①若α⊥β，l⊥β，则l∥α；②若l⊥α，l∥β，则α⊥β； ③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α；④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________． 解析由线线、线面、面面平行与垂直的判定与性质定理逐个判断，真命题为②④. 答案②④5．如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________． 解析∵EF∥平面AB1C，EF⊂平面ABCD， 平面ABCD∩平面AB1C＝AC，∴EF∥AC， 又∵E是AD的中点， ∴F是CD的中点，即EF是△ACD的中位线， ∴EF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)＝eq\r(2). 答案eq\r(2)6．(2015·全国Ⅰ卷改编)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有________斛(取整数)． 解析由题意知：米堆的底面半径为eq\f(16,3)(尺)，体积V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)πR2·h＝eq\f(320,9)(立方尺)．所以堆放的米大约为eq\f(320,9×1.62)≈22(斛)． 答案227．(2015·南通模拟)已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．给出以下说法： ①若m∥α，n∥α，则m∥n； ②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n； ③若m⊥α，m⊥n，则n∥α； ④若m∥α，m⊥n，则n⊥α； 则上述说法错误的是________(填序号)． 解析法一若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，①错； 若m⊥α，n⊂α，则m⊥n，因为直线与平面垂直时，它垂直于平面内任一直线，②正确； 若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，③错； 若m∥α，m⊥n，则n与α可能相交，可能平行，也可能n⊂α，④错． 法二如图，在正方体ABCDA′B′C′D′中，用平面ABCD表示α.①中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，n∥α，但m与n是相交直线，故①错．②中，m⊥α，n⊂α，满足m⊥n，这是线面垂直的性质，故②正确，③中，若m为AA′，n为AB，满足m⊥α，m⊥n，但n⊂α，故③错．④中，若m为A′B′，n为B′C′，满足m∥α，m⊥n，但n∥α，故④错． 答案①③④8.(2015·南师附中模拟)在正三棱锥P­ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN⊥平面PBC，则此棱锥中侧面积与底面积的比为________． 解析如图，取BC的中点D，连接AD，PD，且PD与MN的交点为E，连接AE.因为AM＝AN，E为MN的中点，所以AE⊥MN，又截面AMN⊥平面PBC，所以AE⊥平面PBC，则AE⊥PD，又E点是PD的中点，所以PA＝AD.设正三棱锥P­ABC的底面边长为a，则侧棱长为eq\f(\r(3),2)a，斜高为eq\f(\r(2),2)a，则此棱锥中侧面积与底面积的比为eq\f(3×\f(1,2)a×\f(\r(2),2)a,\f(\r(3),4)a2)＝eq\r(6). 答案eq\r(6)二、解答题9.(2012·江苏卷)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点． 求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1； (2)直线A1F∥平面ADE. 证明(1)因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC，又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD. 又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E， 所以AD⊥平面BCC1B1，又AD⊂平面ADE， 所以平面ADE⊥平面BCC1B1. (2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1. 因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1F. 又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1， 所以A1F⊥平面BCC1B1. 由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD. 又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE， 所以A1F∥平面ADE.10．(2015·苏北四市调研)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点．求证： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 证明(1)因为平面PAD∩平面ABCD＝AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥AD. 所以PA⊥底面ABCD. (2)因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点， 所以AB∥DE，且AB＝DE. 所以ABED为平行四边形． 所以BE∥AD. 又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因为AB⊥AD， 且四边形ABED为平行四边形． 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD， 所以PA⊥CD.又因为PA∩AD＝A， 所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD， 且CD⊂平面PCD， 又E，F分别是CD和CP的中点， 所以EF∥PD，故CD⊥EF. 由EF，BE在平面BEF内，且EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.11．(2014·常州监测)如图，在直三棱柱A1B1C1­ABC中，AB⊥BC，E，F分别是A1B，AC1的中点． (1)求证：EF∥平面ABC； (2)求证：平面AEF⊥平面AA1B1B； (3)若A1A＝2AB＝2BC＝2a，求三棱锥F­ABC的体积． (1)证明如图连接A1C. ∵直三棱柱A1B1C1­ABC中，AA1C1C是矩形． ∴点F在A1C上，且为A1C的中点． 在△A1BC中，∵E，F分别是A1B，A1C的中点，∴EF∥BC. 又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC， 所以EF∥平面ABC. (2)证明∵直三棱柱A1B1C1­ABC中，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥BC. 又∵EF∥BC，AB⊥BC，