（江苏专用）高考数学二轮复习 专题六 概率与统计考点整合 理-人教版高三数学试题

概率与统计高考定位高考对本内容的考查主要有：(1)抽样方法的选择、与样本容量相关的计算，尤其是分层抽样中的相关计算，A级要求．(2)图表中的直方图、茎叶图都可以作为考查点，尤其是直方图更是考查的热点，A级要求．(3)特征数中的方差、标准差计算都是考查的热点，B级要求．(4)随机事件的概率计算，通常以古典概型、几何概型的形式出现，B级要求．真题感悟1．(2015·江苏卷)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析用a表示1只白球，b表示1只红球，c1，c2表示2只黄球，从中一次随机摸出2只球的所有基本事件有如下6种：(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，其中除了(c1，c2)余下的5种均表示取出的两球颜色不同，故所求概率为eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)2．(2014·江苏卷)从1，2，3，6这4个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是________．解析取两个数的所有情况有：(1，2)，(1，3)，(1，6)，(2，3)，(2，6)，(3，6)，共6种情况．乘积为6的情况有：(1，6)，(2，3)，共2种情况．所求事件的概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)3．(2015·江苏卷)已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________．解析这组数据的平均数为eq\f(1,6)(4＋6＋5＋8＋7＋6)＝6.答案64．(2014·江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100cm.解析由频率分布直方图可知，抽测的60株树木中，底部周长小于100cm的株数为(0.015＋0.025)×10×60＝24.答案24考点整合1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A的对立事件A的概率，然后利用P(A)＝1－P(A)可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A中的基本事件，利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件．2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，难点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据分布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了．热点一统计中的命题热点[微题型1]抽样方法【例1－1】(1)(2015·湖南卷改编)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示13003456688891411122233445556678150122333若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是________．(2)(2015·北京卷改编)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为________.类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300解析(1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，落在区间[139，151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．(2)由题意抽样比为eq\f(320,1600)＝eq\f(1,5)，∴该样本的老年教师人数为900×eq\f(1,5)＝180(人)．答案(1)4(2)180探究提高系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．[微题型2]用样本估计总体【例1－2】(2015·湖北卷)某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位：万元)都在区间[0.3，0.9]内，其频率分布直方图如图所示．(1)直方图中的a＝________；(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为________．解析由频率分布直方图及频率和等于1可得0.2×0.1＋0.8×0.1＋1.5×0.1＋2×0.1＋2.5×0.1＋a×0.1＝1，解得a＝3.于是消费金额在区间[0.5，0.9]内频率为0.2×0.1＋0.8×0.1＋2×0.1＋3×0.1＝0.6，所以消费金额在区间[0.5，0.9]内的购物者的人数为：0.6×10000＝6000，故应填3，6000.答案(1)3(2)6000探究提高频率分布直方图是表达和分析数据的重要工具，求解此类问题的关键是准确把握数与形的相关转换，注意频率分布直方图中每一个小矩形都是等宽的，且宽都等于组距，高是“eq\f(频率,组距)”．因此，每一个小矩形的面积表示这一组的频率，所有小矩形的面积之和等于1.【训练1】(1)(2013·江苏卷)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下：运动员第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为________．(2)(2014·山东卷改编)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16，17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为________．解析(1)对于甲，平均成绩为eq\o(x,\s\up4(－))甲＝eq\f(1,5)(87＋91＋90＋89＋93)＝90，所以方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)(32＋12＋02＋12＋32)＝4；对于乙，平均成绩为eq\o(x,\s\up4(－))乙＝eq\f(1,5)(89＋90＋91＋88＋92)＝90，所以方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)(12＋02＋12＋22＋22)＝2，由于2<4，所以乙的平均成绩稳定．(2)全体志愿者共有eq\f(20,0.24＋0.16)＝eq\f(20,0.4)＝50(人)所以第三组有志愿者0.36×1×50＝18(人)∵第三组中没有疗效的有6人，∴有疗效的有18－6＝12(人)．答案(1)2(2)12热点二概率中的命题热点[微题型1]古典概型【例2－1】(1)(2015·广东卷改编)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________．(2)(2013·江苏卷)现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为________．解析(1)5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10种．恰有一件次品的结果有6种，则其概率为p＝eq\f(6,10)＝0.6.(2)基本事件总数为N＝7×9＝63，其中m，n都为奇数的事件个数为M＝4×5＝20，所以所求概率p＝eq\f(M,N)＝eq\f(20,63).答案(1)0.6(2)eq\f(20,63)探究提高求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法，具体应用时可根据需要灵活选择．[微题型2]几何概型【例2－2】(2015·陕西卷改编)设复数z＝(x－1)＋yi(x，y∈R)，若|z|≤1，则y≥x的概率为________．解析由|z|≤1可得(x－1)2＋y2≤1，表示以(1，0)为圆心，半径为1的圆及其内部，满足y≥x的部分为如图阴影所示，由几何概型概率公式可得所求概率为：p＝eq\f(\f(1,4)π×12－\f(1,2)×12,π×12)＝eq\f(\f(π,4)－\f(1,2),π)＝eq\f(1,4)－eq\f(1,2π).答案eq\f(1,4)－eq\f(1,2π)探究提高几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．【训练2】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．(2)(2012·江苏卷)现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．(3)设a，b是区间[0，3]上的两个随机数，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1没有公共点的概率是________．解析(1)甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种的所有可能情况为(红，白)，(白，红)，(红，蓝)，(蓝，红)，(白，蓝)，(蓝，白)，(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共9种，他们选择相同颜色运动服的所有可能情况为(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．故所求概率为p＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).(2)满足条件的数有1，－3，－33，－35，－37，－39；所以p＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).(3)由题意知：eq\f(3,\r(a2＋b2))＞1，即a2＋b2＜9，如图，则直线ax＋by＋3＝0与圆x2＋y2＝1没有公共点的概率为p＝eq\f(\f(1,4)×π×9,3×3)＝eq\f(π,4).答案(1)eq\f(1,3)(2)eq\f(3,5)(3)eq\f(π,4)1．几何概型与古典概型的异同：几何概型与古典概型是经常用的两种概率模型，二者的共同点是基本事件是等可能的；不同点是几何概型的基本事件数是无限的，古典概型的基本事件数是有限的．2．在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应的频率，各小长方形的面积的和为1.3．众数、中位数及平均数的异同：众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．4．当总体的个体数较少时，可直接分析总体取值的频率分布规律而得到总体分布；当总体容量很大时，通常从总体中抽取一个样本，分析它的频率分布，以此估计总体分布．①总体期望的估计，计算样本平均值eq\o(x,\s\up4(－))＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi.②总体方差(标准差)的估计：方差＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up4(－)))2，标准差＝eq\r(方差)，方差(标准差)较小者较稳定.1．(2015·湖北卷改编)我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石(取整数)．解析因为样本中米内夹谷的比为eq\f(28,254)，所以这批米内夹谷为1534×eq\f(28,254)≈169(石)．答案1692．(2012·江苏卷)某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．解析由已知，高二人数占总人数的eq\f(3,10)，所以抽取人数为eq\f(3,10)×50＝15.答案153．(2014·浙江卷)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．解析设3张奖券中一等奖、二等奖和无奖分别为a，b，c，甲、乙两人各抽取1张的所有情况有ab，ac，ba，bc，ca，cb，共6种，其中两人都中奖的情况有ab，ba，共2种，所以所求概率为eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)4．(2015·南通调研)某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为3万元，则11时至12时的销售额为________万元．解析由频率分布直方图知，9时至10时的销售额的频率为0.1，故销售总额为eq\f(3,0.1)＝30(万元)，又11时至12时的销售额的频率为0.4，故销售额为0.4×30＝12(万元)．答案125．利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．解析因为0≤a≤1，由3a－1>0得eq\f(1,3)<a≤1，由几何概型概率公式得事件“3a－1>0”发生的概率为eq\f(1－\f(1,3),1)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)6．(2015·广东卷)已知样本数据x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up4(－))＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．解析由x1，x2，…，xn的均值eq\o(x,\s\up4(－))＝5，得2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为2x＋1＝2×5＋1＝11.答案117．(2015·重庆卷改编)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如下：0891258200338312则这组数据的中位数是________．解析从茎叶图知所有数据为8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中间两个数为20，20，故中位数为20.答案208．(2015·苏北四市模拟)袋中装有大小相同且形状一样的四个球，四个球上分别标有“2”、“3”、“4”、“6”这四个数．现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数恰好能构成一个等差数列的概率是________．解析总的取法是4组，能构成等差数列的有{2，3，4}，{2，4，6}2组；故所求概率为P＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).答案eq\f(1,2)9．(2015·福建卷改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1，0)，且点C与点D在函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的图象上．若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________．解析由图形知C(1，2)，D(－2，2)，∴S四边形ABCD＝6，S阴＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)10．(2015·广州模拟)从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高(单位：cm)数据绘制成频率分布直方图如图所示．由图中数据可知a＝________.若要从身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为________．解析由所有小矩形的面积之和为1，得(0.005＋0.010＋0.020＋a＋0.035)×10＝1，解得a＝0.030.设身高在[120，130)，[130，140)，[140，150]三组中分别抽取的人数为n1，n2，n3，则n1∶n2∶n3＝0.3∶0.2∶0.1＝3∶2∶1，又n1＋n2＋n3＝18，所以n3＝18×eq\f(1,3＋2＋1)＝3.答案0.030311．(2014·新课标全国Ⅰ卷)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．解析设2本数学书分别为A、B，语文书为C，则所有的排放顺序有ABC、ACB、BAC、BCA、CAB、CBA，共6种情况，其