2023年高考数学一轮复习习题：第十章第2节　随机抽样

第2节随机抽样

考纲要求L理解随机抽样的必要性和重要性；2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;

了解分层抽样和系统抽样方法.会用随机抽样的基本方法解决一些简单的实际问题.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.简单随机抽样

(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取"个个体作为样本如

果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都也笠，就把这种抽样方法叫做简单随机抽

样.

(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法.

2.系统抽样

(1)定义：当总体中的个体数目较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照事先定出

的规则，从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样方法叫做系统抽样.

(2)系统抽样的操作步骤

假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.

①先将总体的N个个体编号；

②确定分段间隔k,对编号进行分段，当斗〃是样本容量)是整数时，取Zd(否则，先剔除

一些个体)；

③在第I段用简单随机抽样确定第一个个体编号/(/≤⅛);

④按照一定的规则抽取样本，通常是将/加上间隔Z得到第2个个体编号0±四，再加々得

到第3个个体编号(/+2%),……，依次进行下去，直到获取整个样本.

3.分层抽样

⑴定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层,然后按照一定的比例，从各层独立地抽取

一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样.

(2)应用范围：当总体是由差异明显的几个部分组成时,往往选用分层抽样.

•——常用结论与微点提醒

1.不论哪种抽样方法，总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.

2.系统抽样一般也称为等距抽样，入样个体的编号相差分段间隔&的整数倍.

3.分层抽样是按比例抽样，每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

诊断自测

〉思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关.()

(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样∙()

(3)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.()

(4)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，

这样对被剔除者不公平.()

答案(1)×(2)√(3)×(4)×

〉教材衍化

2.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5(X)O名居民某天的阅读时间，从中抽取了200

名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中，5000名居民的阅读时间的全体是()

A.总体B.个体

C.样本的容量D.从总体中抽取的一个样本

答案A

解析由题目条件知，5000名居民的阅读时间的全体是总体；其中每1名居民的阅读时间

是个体；从5000名居民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的

一个样本，样本容量是200.

3.一个公司共有N名员工，下设一些部门，要采用等比例分层抽样的方法从全体员工中抽

取样本容量为”的样本，已知某部门有机名员工,那么从该部门抽取的员工人数是.

答案T

解析每个个体被抽到的概率是设这个部门抽取了X个员工，则方=£，,X=等.

►•考题体验

4.(2020•上饶一模)总体由编号为00,01,02,…,48,49的5。个个体组成,利用下面的随机

数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依

次选取两个数字，则选出的第3个个体的编号为()

附：第6行至第9行的随机数表如下：

26357900337091601620388277574950

32114919730649167677873399746732

27486198716441487086288885191620

7477Olll163024042979799196835125

A.3B.16C.38D.20

答案D

解析按随机数表法，从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两

个数字,超出(M)〜49及重复的不选，则编号依次为33,16,20,38,49,32,…,则选出的第3

个个体的编号为20,故选D.

5.(2021•郑州调研)某校有高中生1500人，现采用系统抽样法抽取50人作问卷调查，将高

一、高二、高三学生(高一、高二、高三分别有学生495人、490人、515人)按1,2,3,…，

1500编号，若第一组用简单随机抽样的方法抽取的号码为23,则所抽样本中高二学生的人

数为（）

A.15B.16C.17D.18

答案C

解析采用系统抽样法从1500人中抽取50人，所以将1500人平均分成50组，每组30

人，并且在第一组抽取的号码为23,所以第〃组抽取的号码为即=23+（〃-1）义30=30"-7,

而高二学生的编号为496到985,所以496W30”-7≤985,又〃©N*,所以17≤"W33,则

共有17人，故选C.

6.（2018•全国川卷）某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异.为

了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽

样和系统抽样，则最合适的抽样方法是.

答案分层抽样

解析因为不同年龄段的客户对公司的服务评价有较大差异，所以需按年龄进行分层抽样，

才能了解到不同年龄段的客户对公司服务的客观评价.

考点分层突破考点聚焦•题型剖析

考点一简单随机抽样及其应用自主演练

1.下面的抽样方法是简单随机抽样的是（）

A.在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号

码的后四位为2709的为三等奖

B.某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是

否合格

C.某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革

的意见

D.用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验

答案D

解析A,B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；C不是简单随机抽样,

因为总体中的个体有明显的层次；D是简单随机抽样.故选D.

2.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一

个体。“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）

I1r31

ʌ-ɪθ-10B-IO-5

1ɪ3ɪ

c∙5,ToD∙IO,W

答案A

解析在抽样过程中，个体。每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10,故个体

。“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为∙⅛,故选A.

3.（2021・南昌一模）总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成,利用下面的随机数表

选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取

两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

答案D

解析从第1行第5列和第6列组成的数65开始由左到右依次选出的数为08,02/4,07,01,

所以第5个个体编号为OL

感悟升华1.简单随机抽样需满足：（1）被抽取的样本总体的个体数有限；（2）逐个抽取；（3）

是不放回抽取；（4）是等可能抽取.

2.简单随机抽样常有抽签法（适用于总体中个体数较少的情况）、随机数法（适用于个体数较

多的情况）.

考点二系统抽样及其应用师生共研

【例1】（1）（2021.太原调研）某校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况,

将每个班编号，依次为1到24,现用系统抽样法，抽取4个班进行调查，若抽到的最小编

号为3,则抽取的最大编号为（）

A.15B.18C.21D.22

（2）（2019全国I卷）某学校为了解IoOo名新生的身体素质,将这些学生编号为1,2,…，1000,

从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则

下面4名学生中被抽到的是（）

A.8号学生B.200号学生

C.616号学生D.815号学生

（3）中央电视台为了解观众对某综艺节目的意见，准备从502名现场观众中抽取10%进行座

谈，现用系统抽样的方法完成这一抽样，则在进行分组时，需剔除个个体，抽样间

隔为.

答案（I）C（2）C（3）210

24

解析（1）由已知得间隔数为Z=z^=6,则抽取的最大编号为3+（4—1）X6=21.

⑵根据题意，系统抽样是等距抽样，

所以抽样间隔为喘=10.

因为46除以10余6,所以抽到的号码都是除以10余6的数，结合选项知应为616.故选C.

(3)把502名观众平均分成50组，由于502除以50的商是10,余数是2,所以每组有10名

观众，还剩2名观众，采用系统抽样的方法抽样时，应先用简单随机抽样的方法从502名观

众中抽取2名观众，这2名观众不参加座谈；再将剩下的500名观众编号为1,2,3,…，500,

并均匀分成50段，每段含怨=10个个体.所以需剔除2个个体，抽样间隔为10.

感悟升华1.如果总体容量N能被样本容量”整除，则抽样间隔为k=。否则，可随机地

从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样，特别注意，每个个体被抽到的机会均是3

2.系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本

的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码.

【训练1】(1)(2021•衡水调研)衡水中学高三⑵班现有64名学生，随机编号为0,1,2,…,

63,依编号顺序平均分成8组，组号依次为1,2,3,…，8.现用系统抽样方法抽取一个容量为

8的样本，若在第一组中随机抽取的号码为5,则在第6组中抽取的号码为.

(2)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示：

1300345668889

1411122233445556678

150122333

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在

区间［139,151］上的运动员人数是.

答案⑴45(2)4

解析(1)分组间隔为∙6⅜4=8,：在第一组中随机抽取的号码为5,二在第6组中抽取的号码

O

为5+5X8=45.

(2)依题意，可将编号为1〜35号的35个数据分成7组，每组有5个数据，从每组中抽取一

人.

成绩在区间［139,151］上共有20个数据，分在4个小组内，每组抽取1人，共抽取4人.

考点三分层抽样及其应用多维探究

角度1求某层入样的个体数

【例2】某电视台在网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有

20000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：

最喜爱喜爱一般不喜欢

4800720064001600

电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取IOO人进行详细的调查，为此要进行

分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽取的人数分别为()

A.25,25,25,25B.48,72,64,16

C.20,40,30,10D.24,36,32,8

答案D

解析法一因为抽样比为王舐=上，所以每类人中应抽取的人数分别为480OX焉=

^∖J∖j∖J∖jΛ^∖J∖J^∖J∖J

24,720OX为=36,6400X^=32,1600X志=8.

^∖J∖∕乙Ii/1，乙

法二最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800：7200：6400：1600=6：9：8：2,

69

所以每类人中应抽取的人数分别为匚H口；XIoO=24,,,O,×100=36,

6十9十8十2λ6十o9十8十2o

8“2C

6+9+8+2×100=32>6+9+8+2×1°O-8∙

角度2求总体或样本容量

【例3】(l)(2021∙东北三省四校联考)某中学有高中生960人，初中生480人，为了了解学

生的身体状况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取容量为〃的样本，其中高中生有

24人，那么〃等于()

A.12B.18C.24D.36

(2)(2020・西安调研)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中

抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生

产的产品总数为________件.

答案(I)D(2)1800

24

解析(1)根据分层抽样方法知QAC工n二C=急,解得〃=36.

VOUI4oUVOU

(2)由题设，抽样比为焉磊.

设甲设备生产的产品为X件，则高=50,.∙.x=3000.

故乙设备生产的产品总数为4800—3000=1800.

感悟升华1.求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算.

2.已知某层个体数量，求总体容量或反之求解：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式

进行计算.

样本容量

3.分层抽样的计算应根据抽样比构造方程求解，其中“抽样比=

总体容量

各层样本数量,,

各层个体数量

【训练2](1)(2020•郴州二模)已知我市某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分

别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取

30%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为()

A.240,18B.200,20C.240,20D.200,18

(2)(2021.合肥模拟)某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分

别有40种，10种，30种，20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，若

采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是.

答案(I)A(2)6

解析(1)样本容量n=(250+150+400)×30%=240,抽取的户主对四居室满意的人数为

150×30%×40%=18.

(2)抽样比为水匚后为=｝则抽取的植物油类种数是10X：=2,抽取的果蔬类食品种

t

τχ√II∖JIDUI∕ΛJJJ

数是20×∣=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2+4=6.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2020•兰州二模)某学校为响应“平安出行”号召，拟从2019名学生中选取50名学生加

入“交通志愿者”，若采用以下方法选取：先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的

2000名再按照系统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率()

A.不全相等B.均不相等

C.都相等，且为小D.都相等，且为湍ξ

答案D

解析先用简单随机抽样方法剔除19名学生，剩下的2000名再按照系统抽样的方法抽取,

则每名学生入选的概率相等，且为p=∙⅛j,故选D.

2.(2021.永州模拟)现从已编号(1〜50)的50位同学中随机抽取5位以了解他们的数学学习

状况，用选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5位同学的编号可能是（）

A.5,10,15,20,25B.3,13,23,33,43

C.1,2,3,4,5D.2,10,18,26,34

答案B

解析抽样间隔为芋=10,只有选项B符合题意.

3∙（2020∙长春一模）完成下列两项调查：①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家

庭、95户低收入家庭中选出100户，调查社会购买能力的某项指标；②从某中学的15名艺

术特长生中选出3名调查学习负担情况.宜采用的抽样方法依次是（）

A.①简单随机抽样，②系统抽样

B.①分层抽样，②简单随机抽样

C.①系统抽样，②分层抽样

D.①②都用分层抽样

答案B

4.在一个容量为N的总体中抽取容量为〃的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层

抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为0，pι,P3,则（）

A.P∖=P2<P3B.P2=P3<P1

C.P∣=p3<"2D.Pl=P2=P3

答案D

解析由随机抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.

5∙（2021∙襄阳联考）如图是调查某学校高三年级男女学生是否喜欢数学的等高条形图，阴影部

分的高表示喜欢数学的频率.己知该年级男、女生各500名（所有学生都参加了调查），现从

所有喜欢数学的学生中按分层抽样的方式抽取32人，则抽取的男生人数为（）

答案C

解析由题中等高条形图可知喜欢数学的女生和男生的人数比为1：3,,所以抽取的男生人

数为24做选C.

6.某中学400名教师的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名教师作样本，若用分层抽样

方法，则40岁以下年龄段应抽取（）

A.40人B.200人

C.20人D.10人

答案C

解析由图知,40岁以下年龄段的人数为400×50%=200,若采用分层抽样应抽取200

=20（Λ）.

7.为了解IoOo名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则

分段的间隔为（）

A.50B.40C.25D.20

答案C

解析由系统抽样的定义知，分段间隔为曙=25.

8.某工厂在12月份共生产了3600双皮靴，在出厂前要检查这批产品的质量，决定采用分

层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为4,b,c,且α,b,C构

成等差数列，则第二车间生产的产品数为（）

A.800双B.IoOo双

C.1200双D.I500双

答案C

解析因为a,b,C成等差数列，所以26=α+c,即第二车间抽取的产品数占抽样产品总

数的去根据分层抽样的性质可知，第二车间生产的产品数占12月份生产总数的;,即为1200

双皮靴.

二、填空题

9.某单位在岗职工共620人，为了调查工人用于上班途中的时间，决定抽取62名工人进行

调查，若采用系统抽样方法将全体工人编号等距分成62段，再用简单随机抽样法得到第1

段的起始编号为4,则第40段应抽取的个体编号为.

答案394

解析将620人的编号分成62段，每段10个编号，按系统抽样，所抽取工人编号成等差数

列，因此第40段的编号为4+（40—I）XIo=394.

10.假设要考察某公司生产的500克袋装牛奶的三聚鼠胺是否超标，现从800袋牛奶中抽取

60袋进行检验，利用随机数表抽取样本时，将800袋牛奶按OOO,001,…，799进行编号，

若从随机数表第7行第8列的数开始向右读,则得到的第4个样本个体的编号是（下

面摘取了随机数表第7行至第9行）.

87421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

答案068

解析由随机数表知，前4个样本的个体编号分别是331,572,455,068.

11.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3OOo件，根据分层抽样的结果，企业统计

员制作了如下的统计表格：

产品类别ABC

产品数量（件）1300

样本容量（件）130

由于不小心，表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容

量比C产品的样本容量多10,根据以上信息，可得C的产品数量是_______件.

答案800

Y

解析设样本容量为X,则获面乂1300=130,；3=300.

：.A产品和C产品在样本中共有300—130=170（件）.

设C产品的样本容量为y,则y+y+10=170,.∙.y=80.

.∙.C产品的数量为端^X80=800（件）.

12.某校高三年级共有30个班，学校心理咨询室为了了解同学们的心理状况，将每个班编

号，依次为1到30,现用系统抽样的方法抽取5个班进行调查，若抽到的编号之和为75,

则抽到的最小的编号为.

答案3

30

解析系统抽样的抽取间隔为彳=6.设抽到的最小编号为X,则x+（6+x）+（12+x）+（18+

x）+（24+x）=75,所以X=3.

B级能力提升

13.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡

七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣（）

A.104人B.108人C.112人