2023年中考数学情境类题目练习：数与式

2023年中考情境类题目练习：数与式

学校」姓名：班级：一—考号：一

一、选择题

1.我们发现：√6T3=3,√6+√673=3-，6+«+后5'=3,…，V6+ʌ/ð+^++√6+√6T3=3,

〃个朝-

一般地，对于正整数。，b,如果满足如出+如+屈屈^=。时，称(。1)为一组完美方根数

―-

对.如上面(3,6)是一组完美方根数对.则下面4个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美

方根数对；③若(4,38O)是完美方根数对，则a=20;④若(羽田是完美方根数对，则点尸(乂»在抛物

线y=∕-χ上.其中正确的结论有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.对多项式x-y-z-%-〃任意加括号后仍然只含减法运算并将所得式子化简，称之为“加算操

作”,例如：(x-y')-(z-m-n')=x-y-z+m+n,x-y-(z-ni)-n=x-y-z+m-n,•••,给出下

列说法：

①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；

②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0;

③所有的“加算操作”共有8种不同的结果.

以上说法中正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

二、填空题

3.阅读材料：整体代值是数学中常用的方法.例如“已知3α-b=2,求代数式6α-2%-l的值.”可

以这样解：6α-2Λ-l=2(3α-")-l=2x2-l=3∙根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于X的一元

一次方程Or+b=3的解，则代数式4〃+4ab+b2+4a+2b-↑的值是.

4.数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：

ba

2

已知实数。力同时满足/+24=b+2,b+2b=a+2f求代数式,+石的值.

结合他们的对话，请解答下列问题：

(1)当4=b时，a的值是.

(2)当出〃时，代数式2+/的值是

ab

三、解答题

5.【材料阅读】2020年5月27日，2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛峰，将用中国科技

“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法，在山顶上立一个规标，找到2个以上测量

点，分段测量山的高度，再进行累加.因为地球面并不是水平的，光线在空气中会发生折射，所以当

两个测量点的水平距离大于300m时，还要考虑球气差，球气差计算公式为f=2强C（其中d为两

R

点间的水平距离，R为地球的半径，RMX6400000m）,即：山的海拔高度=测量点测得山的高度+测

量点的海拔高度+球气差.

【问题解决】某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图，点A,B的水

平距离d=800m,测量仪AC=1.5m,觇标DE=2m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上，在测量

点A处用测量仪测得山项觇标顶端E的仰角为37°,测量点A处的海拔高度为1800m.

（1）数据6400000用科学记数法表示为；

（2）请你计算该山的海拔高度.（要计算球气差，结果精确到0.0Im）

（参考数据：sin37o七0.60,cos37o^0.80,tan37oPO.75）

6.“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为己知”是数学学习中解决问题的基本思维方式，例如:

解方程x-4=0,就可以利用该思维方式，设√7=y,将原方程转化为：V-y=O这个熟悉的关

于y的一元二次方程，解出y,再求X,这种方法又叫“换元法”.请你用这种思维方式和换元法解

'5x2y2+2x+2y=133

决下面的问题.已知实数X,y满足χ+y22,求产+产的值.

-^-+,2xiyl=51

7.某矩形人行道由相同的灰色正方形地砖与相同的白色等腰直角三角形地砖排列而成，图1表示此

人行道的地砖排列方式，其中正方形地砖为连续排列.

［观察思考］

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块（如图2）；当正方形地砖有2块时，等腰直

角三角形地砖有8块（如图3）；以此类推，

图1图2图3

［规律总结］

（1）若人行道上每增加1块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖增加块；

（2）若一条这样的人行道一共有n（n为正整数）块正方形地砖，则等腰直角三角形地砖的块数为一（用

含n的代数式表示）.

［问题解决］

（3）现有2021块等腰直角三角形地砖，若按此规律再建一条人行道，要求等腰直角三角形地砖剩余

最少，则需要正方形地砖多少块？

8.（1）计算：（-l）4χ∣-8∣+（-2）'x［;1.

（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务.

2x-l3x-2

------>----------11

32

解：2(2%一1)>3(38一2)-6第一步

4x-2>9x-6-6第二步

4x-9x>-6-6+2第三步

-5x>T()第四步

x>2第五步

任务一：填空：

①以上解题过程中，第二步是依据(运算律)进行变形的；

②第步开始出现错误，这一步错误的原因是；

任务二：请直接写出该不等式的正确解集.

9.阅读下面的材料：

如果函数y=f(χ)满足：对于自变量X取值范围内的任意七，々，

⑴若石<。,都有〃再)</(>),则称/(χ)是增函数；

(2)X1<X2,W/(X1)>/U2),则称/(X)是减函数.

例题：证明函数f(x)=/(X>0)是增函数.

证明：任取用<々，且XI>0，匕>0

xxxx

则/(ʃl)-/*2)=I-2=(Xl+-X2)(l-2)

∙.∙X∣<*2且&>0,-V2>0

.∙.xl+x2>0,xl-x2<0

Λ(x,+x2)(x∣-x2)<0,即((Xl)-f(%)<0,/(xl)</(X2)

.∙.函数F(x)=x2(x>0)是增函数.

根据以上材料解答下列问题：

(1)函数/(X)=L(X>0),/(D=γ=l,/(2)=i/(3)=______,/(4)=______；

X12

(2)猜想AX)=L(X>0)是函数—(填“增”或“减”)，并证明你的猜想.

X

10.阅读下列材料

定义运算：min∣<2,⅛∣,当α≥b时，min∣α,⅛∣=b;当α<b时,min∣α,⅛∣=a.例如:min∣-l,3∣=-l；

nτin∣-l,-2∣=-2.

完成下列任务

⑴①min∣(-3)°,2∣=；②min卜√jZ,-4∣=

⑵如图，已知反比例函数X=V和一次函数为=-2x+。的图像交于A、8两点.当-2<x<0时,

X

min-,~2x+b=(x+l)(x-3)-x2.求这两个函数的解析式.

11.下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务.

X12

X2-4x+2j'x—2

(Xx-2ʌX—2

第一步

(χ2-4X2-4)2

x-x-2,x—2

第二步

X2-4~2~

-2X—2

第三步

(x+2)(x-2)2

=一一⅛第四步

x+2

任务一：填空

①以上化简步骤中，第步是通分，通分的依据是.

②第步开始出现错误，错误的原因是

任务二：直接写出该分式化简后的正确结果.

12.发现两个已知正整数之和与这两个正整数之差的平方和一定是偶数，且该偶数的一半也可以表示

为两个正整数的平方和.验证：如，（2+1）2+（2-1）2=10为偶数，请把10的一半表示为两个正整数

的平方和.探究：设“发现”中的两个已知正整数为m,n,请论证“发现”中的结论正确.

13.阅读以下材料，苏格兰数学家纳皮尔（J.NPIer,1550—1617年）是对数的创始人，他发明对

数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（EVIer.1707—1783年）才发现指数与对

数之间的联系.

对数的定义：一般地.若a*=N（4>0且αxl）,那么X叫做以a为底N的对数，

记作X=log,,N,比如指数式T=16可以转化为对数式4=Iog216,对数式2=Iog39可以转化为指数

式32=9.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

logβ(MJV)=log,,M+]ogllN(a>0,a≠},M>0,∕V>0),理由如下:

设IogdM=w,loguN=n,则M="皿,N=.

n+n

.∖M-N=a"'-a"=a'.由对数的定义得m+n=IOg(J(M∙N)

又1m+n=∖ogaM+log„N

log,,(Λ/∙N)=IoguM+IoguN.

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

(1)填空：①logz32=；②log327=,③l0g7l=；

M

(2)求证：Iog,,—=log„M-IogoN(a>0,a≠1,M>0,∕V>0)；

(3)拓展运用:计算logs125+logs6-logs30.

14.数学课外活动小组的同学在学习了完全平方公式之后，针对两个正数之和与这两个正数之积的算

术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题.

猜想发现：由5+5=2√^=10;，+，=2JIXi=2；0.4+0.4=2√0.4×0.4=0.8;-+5>2,-×5=2;

33丫3335Y5

0.2+3.2>2∙Vθ∙2×3.2=1.6:—I—>2.-×—=—

28V282

猜想：如果“>0,h>0,那么存在4+22疝(当且仅当α=A时等号成立).

猜想证明：•••(&-扬Y≥0

，①当且仅当G-扬=0,即α=6时，a-2>Jab+b=0,a+b=2∖[ab；

-∖[b≠0,B∣Ja'〃时，a-2∖[ab÷⅛>0»ʌtz+⅛>2>∕ab.

综合上述可得：若白>0,人>0,贝IJa+b≥2>∕^成立(当且仅当α=b时等号成立).

猜想运用：(1)对于函数y=χ+g(χ>o),当X取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

变式探究：(2)对于函数y=—∖+x(x>3),当X取何值时，函数y的值最小？最小值是多少？

拓展应用：(3)疫情期间、为了解决疑似人员的临隔离问题.高速公路榆测站入口处，检测人员利

用检测站的一面墙(墙的长度不限)，用63米长的钢丝网围成了9间相同的长方形隔离房，如图.设

每间离房的面积为S(米2).问：每间隔离房的长、宽各为多少时，可使每间隔离房的面积S最大？

最大面积是多少？

/////////////////////1//华)

15.阅读材料:

材料1：若关于X的一元二次方程aχ2+bx+c=0(aWO)的两个根为x”x,则xι+x2=-∙^^,XiX

2a2

_c

a

材料2：已知一元二次方程χ2-χ-l=O的两个实数根分别为m,n,求n⅛+nu√的值.

解：；一元二次方程χ2-x—1=0的两个实数根分别为m,n,

Λm÷n=1,mn=-1,

则∏r'n+mn2=mn(m÷n)=-1X1=—1

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

2

(1)材料理解：一元二次方程2x-3χ-l=0的两个根为X.,X2,则x>+x2=；x1x2=.

Mιγι

(2)类比应用：已知一元二次方程2χ2-3χ-1=0的两根分别为m、n,求上+竺的值.

mn

⑶思维拓展：己知实数s、t满足2—-3S-I=0,2t2-3t-l=0,且s≠t,求的值.

st

16.【算一算】

如图①，点A、B、C在数轴上，B为AC的中点，点A表示-3,点B表示1,则点C表示的数为,

AC长等于；

【找一找】

如图②，点MN、P、Q中的一点是数轴的原点，点A、B分别表示实数变-1、也+1,Q是AB的

22

中点，则点—是这个数轴的原点；

【画一画】

如图③，点A、B分别表示实数c-n、c+n,在这个数轴上作出表示实数n的点E(要求：尺规作图，

不写作法，保留作图痕迹)；

【用一用】

学校设置了若干个测温通道，学生进校都应测量体温，已知每个测温通道每分钟可检测a个学生.凌

老师提出了这样的问题：假设现在校门口有m个学生，每分钟又有b个学生到达校门口.如果开放3

个通道，那么用4分钟可使校门口的学生全部进校；如果开放4个通道，那么用2分钟可使校门口的

学生全部进校.在这些条件下，a、m、b会有怎样的数量关系呢？

爱思考的小华想到了数轴，如图④，他将4分钟内需要进校的人数m+4b记作+(m+4b),用点A表示；

将2分钟内由4个开放通道检测后进校的人数，即校门口减少的人数8a记作-8a,用点B表示.

①用圆规在小华画的数轴上分别画出表示+(m+2b)、-12a的点F、G,并写出+(m+2b)的实际意义；

②写出a、m的数量关系：.

BC

—A4---------•-------•-->

-301

图①

MANPQB、

—•—F*------•-----------•------•------------------------Fe~>

ɪ-i县1

22

图②

AB

----------------------------•--------1-----------------------------------∙→

C-W0C÷Λ

图③

•B1---------A♦A

-Sa0冽-45

图④

17.实际问题：

某商场为鼓励消费，设计了投资活动.方案如下：根据不同的消费金额，每次抽奖时可以从IOO张面

值分别为1元、2元、3元、…、Ioo元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取2张、3张、4张、…

等若干张奖券，奖券的面值金额之和即为优惠金额.某顾客获得了一次抽取5张奖券的机会，小明想

知道该顾客共有多少种不同的优惠金额？

问题建模：

从1,2,3,…，”(〃为整数，且“≥3)这〃个整数中任取α(l<α<")个整数，这。个整数之和共

有多少种不同的结果？

模型探究：

我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法.

探究一：

(1)从1,2,3这3个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表①

所取的2个整数1,21,3,2,3

2个整数之和345

如表①，所取的2个整数之和可以为3,4,5,也就是从3到5的连续整数，其中最小是3,最大是

5,所以共有3种不同的结果.

(2)从1,2,3,4这4个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有多少种不同的结果？

表②

所取的2个整数1,21,3,1,42,32,43,4

2个整数之和345567

如表②，所取的2个整数之和可以为3,4,5,6,7,也就是从3到7的连续整数，其中最小是3,

最大是7,所以共有5种不同的结果.

(3)从1,2,3,4,5这5个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有种不同的结果.

(4)从1,2,3,…，n("为整数，且〃≥3)这"个整数中任取2个整数，这2个整数之和共有—

种不同的结果.

探究二：

(1)从1,2,3,4这4个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有种不同的结果.

(2)从1,2,3,…，〃(”为整数，且"24)这〃个整数中任取3个整数，这3个整数之和共有

种不同的结果.

探究三：

从1,2,3,…，”(〃为整数，且〃≥5)这〃个整数中任取4个整数，这4个整数之和共有一

种不同的结果.

归纳结论：

从1,2,3,…，«("为整数，且〃23)这〃个整数中任取α(l<a<")个整数，这“个整数之和共

有种不同的结果.

问题解决：

从100张面值分别为1元、2元、3元、…、100元的奖券中(面值为整数)，一次任意抽取5张奖

券，共有种不同的优惠金额.

拓展延伸：

(1)从1,2,3,…，36这36个整数中任取多少个整数，使得取出的这些整数之和共有204种不同

的结果？（写出解答过程）

（2）从3,4,5,〃+3（〃为整数，且〃≥2）这（〃+1）个整数中任取α（l<α</+l）个整数，这

«个整数之和共有种不同的结果.

18.问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形.）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论.

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1,第三边长也是L按照（最长边

长，最短边长，第三边长）的形式记为（LU）,有1个，所以总共有IXI=I个整数边三角形.

表①

最长边最短边整数边三角形个计算方

（最长边长，最短边长，第三边长）算式

长长数法

11(Si)11个1Ixl

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三

边，当最短边长为1时，第三边长只能是2,记为（2,1,2）,有1个；当最短边长为2时，显然第三边

长也是2,记为（2,2,2）,有1个，所以总共有1+I=lx2=2个整数边三角形.

表②

最长边最短边整数边三角形个计算方

（最长边长，最短边长，第三边长）算式

长长数法

1(2,1,2)1

22个11×2

2(2,2,2)1

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:

表③

最长边最短边整数边三角形个计算方

（最长边长，最短边长，第三边长）算式

长长数法

1(3,1,3)1

32个22×2

2(3,2,2),(3,2,3)2

3(3,3,3)1

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况:

表④

最长边最短边整数边三角形个计算方

(最长边长，最短边长，第三边长)算式

长长数法

1（4,1,4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43个22×3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

(5)请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:

表⑤

最长边最短边整数边三角形个计算方

(最长边长，最短边长，第三边长)算式

长长数法

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

53——

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

问题解决：

(1)最长边长为6的整数边三角形有一个.

(2)在整数边三角形中，设最长边长为〃，总结上述探究过程，当〃为奇数或〃为偶数时，整数边三

角形个数的规律一样吗？请写出最长边长为〃的整数边三角形的个数.

(3)最长边长为128的整数边三角形有个.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个.

参考答案:

1.【分析】根据定义逐项分析判断即可.

解：/2+4=4,

(4,12)是完美方根数对；

故①正确；

√91+9=10≠9

(9,91)不是完美方根数对；

故②不正确；

若(。，380)是完美方根数对，则回F=

即a2=380+«

解得a=20或“=-19

。是正整数

则α=20

故③正确；

若(χ,y)是完美方根数对，则屈=X

:.y+X=X2,

即y=/一X

故④正确

故选C

【点评】本题考查了求算术平方根，解一元二次方程，二次函数的定义，理解定义是解题的关键.

2.【分析】给X-V添加括号，即可判断①说法是否正确；根据无论如何添加括号，无法使得X的符

号为负号，即可判断②说法是否正确；列举出所有情况即可判断③说法是否正确.

解：V^x-y)-z-m-n=x-y-z-m-n

，①说法正确

VX-y-z-m-n-x+y+z+m+n-O

又∙.∙无论如何添加括号，无法使得X的符号为负号

•••②说法正确

③第1种：结果与原多项式相等；

第2种：X-(y-z)-m-n=χ-y+z-m-n；

第3种：χ-(y-z)-(m-n)=χ-y+z-m+n;

第4种：X-(y-z-m)-n=χ-y+z+m-∏;

第5种：χ-(y-z-m-∏)=χ-y+z+m+n;

第6种：χ-y-(z-ɪn)-n=χ-y-z+m-n;

第7种：χ-y-(z-m-∏)=χ-y-z+m+n;

第8种：χ-y-z-(m-n)=χ-y-z-m+n;故③符合题意；

共有8种情况

.∙.③说法正确

.∙.正确的个数为3

故选D.

【点评】本题考查了新定义运算，认真阅读，理解题意是解答此题的关键.

3.【分析】先根据x=2是关于X的一元一次方程依+6=3的解，得到2α+6=3,再把所求的代数式

变形为(2”+32+2(2〃+3-1,把24+6=3整体代入即可求值.

解：∙.∙χ=2是关于X的一元一次方程依+匕=3的解，

.,.2a+h=3,

•∙4a~+4ab+Z>~+4α+2Z?—1

=(2a+⅛)2+2(2α+⅛)-l

=32+2×3-l

=14.

故答案为：14.

【点评】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方

公式变形是解题的关键.

4.【分析】(1)将a=人代入°2+2α=b+2解方程求出“，6的值，再代入匕z+2b=α+2进行验证

即可；

(2)当出/,时，求出a+〃+3=0,再把通分变形，最后进行整体代入求值即可.

解：已知乜"实数"，b同时满足①,②，

⅛2+2⅛=67+2(2)

①-②得，a2-b2+3a-3b=0

.∙.(。—+。+3)=0

.∙.a-b=0或a+b+3=0

①+②得，a2+b2=4-a-b

(1)当α=〃时，将α=〃代入/+24=6+2得,

a2+a-2=0

解得，4=1,出=-2

.∙.a=1,b2=-2

把α=6=l代入/+28=4+2得，3=3,成立；

把α=6=-2代入〃+如=4+2得，0=0,成立;

.♦.当a=〃时，a的值是1或-2

故答案为：1或-2；

(2)当αl〃时，则α+6+3=0,B∣la+b=-3

∙.∙a2+b2=4-a-b

a2+b2=7

.∖(a+b)2=a2+2ab+b2=9

ah=∖

.bacr+b2Ir

abah1

故答案为：7.

【点评】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运

算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键.

5.【分析】(1)科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中l≤∣a∣＜10,n为整数.确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝

对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

(2)如图，过点C作CHLBE于H.解直角三角形求出DB,加上海拔高度，加上球气差即可.

解:(1)6400000=6.4XlO6,

故答案为6.4×IO6.

(2)如图，过点C作CHJ_BE于H.

由题意AB=CH=800m,AC=BH=I.5m,

在RtZXECH中，EH=CH∙tan37°≈⅛600(m),

ΛDB=600-DE+BH≈599.5(m),

0.43X8002

由题意s≈0.043(m),

6400000

二山的海拔高度=599.5+0.043+180022399.54(m).

【点评】本题考查解直角三角形的应用，科学记数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构造直角

三角形解决问题.

6.【分析】通过“换元”的思路，可以将所要求的方程组中的元素进行换元，两个式子中都有尤和

x+y,因此可以令D=α,x+y=6,列出方程组，从而求出a,b的值，再求出9+产的值.

解：令孙=",x+y=b,则原方程组可化为:

5/+2匕=133

5∕+2⅛=133①

整理得:

-+2cr=5116/+2/?=408②

4

②-①得：11/=275,

解得：/=25,代入②可得：b=4,

。二5

.∙•方程组的解为:

6=4

X2+y2=(x+y)2-2xy=h2-2a,

当α=5时，

：.x+y=4,xy=5,

：.x=4-y,代入母=5,

可得V-4y+5=0,此时A=16-20<0,方程无解，故不符合题意；

当a=—5时，f+y2=26,

因此f+—的值为26.

【点评】此题主要考查了高次方程的解法以及完全平方公式的运用，利用换元的思想，将高次方程转

化为二元一次方程组是解题关键.

7.【分析】(1)由图观察即可；

(2)由每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖，再结合题干中的条件正方形地砖

只有F块时，等腰直角三角形地砖有6块，递推即可；

(3)利用上一小题得到的公式建立方程，即可得到等腰直角三角形地砖剩余最少时需要正方形地砖

的数量.

解：(1)由图可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；

故答案为：2；

(2)由(1)可知，每增加一块正方形地砖，即增加2块等腰直角三角形地砖；

当正方形地砖只有1块时，等腰直角三角形地砖有6块，即2+4；

所以当地砖有n块时，等腰直角三角形地砖有(2〃+4)块；

故答案为：2/7+4；

(3)令2"+4=2021贝U“=1008.5

当〃=1008时，2/7+4=2020

此时，剩下一块等腰直角三角形地砖

二需要正方形地砖1008块.

【点评】本题为图形规律题，涉及到了一元一次方程、列代数式以及代数式的应用等，考查了学生的

观察、发现、归纳以及应用的能力，解题的关键是发现规律，并能列代数式表示其中的规律等.

8.【分析】(1)根据实数的运算法则计算即可；

(2)根据不等式的性质3判断并计算即可.

(1)解：原式=lx8+(-8)χ[

=8+(—2)=6.

(2)①乘法分配律(或分配律)

②五不等式两边都除以一5,不等号的方向没有改变(或不符合不等式的性质3)；

任务二：不等式两边都除以一5,改变不等号的方向得：x<2.

【点评】本题主要考查实数的运算，不等式的性质等知识点，熟练掌握实数的运算法则以及不等式的

性质是解题关键.

9.【分析】(1)根据题目中函数解析式可以解答本题：

(2)根据题目中例子的证明方法可以证明(1)中的猜想成立.

解：(1)/(3)=∣,

/(4)=7

4

(2)猜想：∕∙(x)=!(x>O)是减函数；

X

证明：任取斗<与，%>0，々>0,则

∕α,)-∕u2)=l--

X1x2xix2

*/x1<x2ɪ>O,x2>0

.∙.x2-X1>O,xix2>O

Λ⅛ΞΛ>O,即/(%)-/(当)>0

x∖x2

函数/(x)=L(X>0)是减函数.

X

【点评】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，

找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答.

10.【分析】(1)根据材料中的定义进行计算，即可求出答案；

kk

(2)由函数图像可知当一2<x<0时，-2x+b<2,则min-,-2x+6=-2x+6,结合已知可得

XX

-2x+⅛=(x+l)(x-3)-√,即可求出b,得到一次函数解析式，求出点A的坐标，再利用待定系数法

求出反比例函数解析式.

⑴解:根据题意,

Vmin∣tz,⅛∣,当α≥b时，min∣α,⅛∣=⅛;当α<6时,min∣0,6∣=α,

.∙.①min卜3)°,2卜1；

,/-√14>-4，

/.②min∣-T14,-4∣=-4；

故答案为：①1；②T；

(2)解：由函数图像可知当一2<x<0时，-2x+Z)<K,

X

k

.∙.min—,-2x+⅛=-2x+b,

X

又∙.∙min—,-2x+⅛=(x÷l)(x-3)-x2,

・，・-2x+/?=(x+l)(x-3)—M,

I.h=-39

上一次函数%=一2%一3,

当x=-2时，%=1,

ΛA(一2,1),

将A(—2,1)代入y=人得Z=—2x1=—2,

X

2

・・・反比例函I数y

X

【点评】本题考查了新定义的运算法则，零次幕，反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是

掌握题意，正确的运用数形结合的思想求解.

11.【分析】任务一：①根据分式的基本性质分析即可；②利用去括号法则得出答案；

任务二：利用分式的混合运算法则计算得出答案.

任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的性质.

②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号.

故答案为：①一，分式的性质；②二，去括号没有变号.

任务二：

fʌ-ɪkɪ

\X2-4x+2)x-2

_(Xx—2]x—2

∖x2-4X2-4J2

_x-x+2x-2

X2-42^-

2Xς2

^(x÷2)(x-2)'ʃ

]

x+2.

【点评】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质.

12.【分析】通过观察分析验证10的一半为5,22+/=5;将in和n代入发现中验证即可证明.

证明：验证：10的一半为5,22+l2=5;

设“发现”中的两个已知正整数为m,n,

：.(/W÷/?)2÷(∕n-n)2=2(>+"),其中2(加+川)为偶数，

且其一半疗+/正好是两个正整数m和n的平方和，

・・・“发现”中的结论正确.

【点评】本题考查列代数式，根据题目要求列出代数式是解答本题的关键.

13.【分析】(1)直接根据定义计算即可；

(2)结合题干中的过程，同理根据同底数幕的除法即可证明；

M

(3)根据公式：Ioga(M∙N)=IOgaM+1OgaN和IogaF∙=1OgaMTogaN的逆用，将所求式子表示为：

N

125x6由一妨…、人

1logs30，计算可得结论.

5

W：(1)①•・•2=32,ΛIog232=5,

②；33=27,，log327=3,

③：7°=1,ΛIog7I=O;

(2)设logaM=m,logaN=n,

∙*∙am=M1an=N9

..M

∙♦∣0g,,R∙=机

...log,,—=loguM-log,,N；

(3)Iog5125+Iog56-Iog530

=Iog325

【点评】本题考查整式的混合运算、对数与指数之间的关系与相互转化的关系，解题的关键是明确新

定义，明白指数与对数之间的关系与相互转化关系.

14.【分析】猜想运用：根据材料以及所学完全平方公式证明求解即可：

变式探究：将原式转换为>=一1+x-3+3,再根据材料中方法计算即可；

拓展应用：设每间隔离房与墙平行的边为X米，与墙垂直的边为y米，依题意列出方程，然后根据两

个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系探究最大值即可.

猜想运用：

Vx>0,

・・y—X—≥2Jx,一=2,

，当X=ɪ•时，‰in=2,

X

此时f=1,

只取x=l,

即X=I时，函数y的最小值为2.

变式探究：

Vx>3,

.*.X-3>0»------>0,

・・・当U=X-3时，‰in=5,

此时(X-3)2=1,

.∙.ɪi=4,X2=2（舍去）,

即尤=4时，函数y的最小值为5.

拓展应用：

设每间隔离房与墙平行的边为X米，与墙垂直的边为y米，依题意得:

9%+12y=63,

即3x+4y=21,

V3x>0,4y>0f

φ

..3x+4y≥2λ∕3x∙4y,

即21N2j3x∙4y,

147

整理得：,

Io

即SW㈣，

16

147

・・・当3x=4y时SX=M

maIo

此时X=：7,y=2?1,

28

7ɔi147

即每间隔离房长为:米，宽为4米时，S的最大值为2米2.

2816

【点评】本题主要考查根据完全平方公式探究两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之

间的关系，熟练运用完全平方公式并参照材料中步骤进行计算是解题关键，属于创新探究题.

15,【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可；

（2）根据根与系数的关系先求出然后将“+%进行变形求解即可；

22mn

3111

（3）根据根与系数的关系先求出s+f==,sr=-；,然后求出s-t的值，然后将∙L-L进行变形求解

22Sf

即可.

（1）解：一元二次方程2d-3χ-l=0的两个根为X”x2,

31

故答案为：—;--.

22

(2)：一元二次方程2χ2-3XT=O的两根分别为m、n,

⅛-33CI

..m+n=——=-----=一,mn=一=——,

a22a2

.nmιτr2+n~2

••—+——-----

mnmn

("z+∕ι)~-2mn

mn

2

13

^2

（3）,・,实数s、t满足2S2-3S-1=0,2t2-3t-l=0,

・・・s、t可以看作方程2χ2-3XT=O的两个根,

•：（Z-5）2=（，+Sy-Ast

17

-T

“S.叵或一=一叵,

22

√∏

当/-S=姮时，ɪ-ɪ=-=-⅛=-√∏,

2SfSrɪ

~2

_7n

当f-s=—姮时，ɪ-ɪ=-=—^-=√∏,

2StStɪ

^2

综上分析可知，」-1的值为＞/万或-a.

St

【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，根据根与系数的

关系求出"S=M□或LS=-姮，是解答本题的关键.

22

16.【分析】(1)根据数轴上点A对应-3,点B对应1,求得AB的长，进而根据AB=BC可求得AC

的长以及点C表示的数；

(2)可设原点为0,根据条件可求得AB中点表示的数以及线段AB的长度，根据AB=2,可得AQ=

BQ=I,结合OQ的长度即可确定N为数轴的原点：

(3)设AB的中点为M,先求得AB的长度，得到AM=BM=n,根据线段垂直平分线的作法作图即可；

c_一一∖ιn+4b=12a

(4)①根据每分钟进校人数为b,每个通道每分钟进入人数为a,列方程组ɔ,。，根据m+2b

=0F,m+4b=12a,即可画出F,G点，其中m+2b表示两分钟后，校门口需要进入学校的学生人数；

②解①中的方程组，即可得到m=4a∙

解：(1)【算一算】：记原点为0,

VAB=I-(-3)=4,

.∖AB=BC=4,

Λ0C=0B+BC=5,AC=2AB=8.

所以点C表示的数为5,AC长等于8.

故答案为：5,8；

(2)【找一找］:记原点为0,

VAB=-+1-(―-1)=2,

22

ΛAQ=BQ=1,

AOQ=OB-BQ=-+1-1=—,

22

AN为原点.

故答案为：N.

(3)【画一画】：记原点为0,

F∣lAB=c+n-(c-n)=2n,

作AB的中点M,

得AM=BM=n,

以点0为圆心，

AM=n长为半径作弧交数轴的正半轴于点E,

则点E即为所求；

AOEB

—•