2023年河北省石家庄市高三高考三模数学试卷含答案

石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测(三)

数学

(时间120分钟，满分150分)

注意事项：

L答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上的对应题目的答案标号涂黑.如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

3.在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应的答题

区域的答案一律无效.不得用规定以外的笔和纸答题，不得在答题卡上做任何标记.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.如图，集合48均为U的子集，(6A)C3表示的区域为()

CX2)〉0,则函

.已知函数同时满足性质：/(力；②对于

2/(x)①F(T)=-∀X1,Λ⅛∈(0,1),

数/(χ)可能是()

AJ(X)=eyB."*)=/

C.f(x)=sin4xD.∕(X)=X2

3.3.观察下列四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差的假定的是()

4.18世纪数学家欧拉研究调和级数得到了以下的结果：当〃很大时，1+'+』++i=lnn+y

（常数

23n

1

/=0.577）.利用以上公式，可以估计------------1--------------FH--的----值-----为-（)

200012000230000

AJnlO4B.ln3+ln2C.ln3-ln2D.1∏2

5.已知函数/（x）=2Sin（S+0）（0＞（）,。＜0＜乃）的部分图像如图所示，则/（x）图象的一个对称中心是

6.已知加,“是两条不同的直线，是两个不同的平面，其中下列命题正确的是（）

A.若加〃则〃?〃a

B.若mUa,αc∕?=J_〃，则加

C.若加Ua6，则a_L6

D.若α_L£,/n-La,则/〃〃4

7.已知直线2x+3y-l=0经过圆（X-加［+⑶一〃）2=1的圆心，其中机＞0且〃∈（-l,0）,则----------

m+2nn

的最小值为（）

A.9B.5+2√5C.lD.5+√5

8.中国结是一种盛传于民间的手工编织工艺品，它原本是旧石器时代的缝衣打结，后推展至汉朝的仪礼记

事，再演变成今日的装饰手艺.中国结显示的精致与智慧正是中华民族古老文明中的一个侧面.已知某个中国结

的主体部分可近似地视为由一个大正方形（内部是16个边长为2的小正方形）和16个半圆所组成，如图，

A、C是中国结主体部分上的定点，点8是16个半圆上的动点，则AC∙4B的最大值为（）

3B

A.66+6√Γ7B.66+4√Γ7C.66+2√Γ7D.18√Π

二.多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求：全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分

9.已知复数z∣=l+2i,复数Z满足IZ-Zll=2,则()

A.z1∙z1=5

B.√5-2<∣z∣<√5+2

C.复数4在复平面内所对应的点的坐标是(-1,2)

D.复数Z在复平面内所对应的点为Z(x,y),则(X-I)2+(y-2)2=4

10.设函数/(x)的定义域为R,/Go≠0)是/(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()

A.Vx∈R,∕(Λ)≤∕(Λ0)B.是/(一X)的极大值点

C.X0是-/(X)的极小值点D.一玉)是-/(-X)的极大值点

11.已知函数/(x)图象上的点(XM都满足卜3_5*+力°"+/。23=4%7一/，则下列说法中正确的有

()

AJ(X)=-X3+4X

B.若直线/与函数/(x)的图象有三个交点A,3,C,且满足IABl=忸C∣=则直线AC的斜率为3.

C.若函数g(x)=/(X)-Or2-4x+α(αw0)在X=Xo处取极小值0,则°=#1.

D.存在四个顶点都在函数/(x)的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.

12.已知曲线CHX-4y3=4,P(xo,%)为。上一点，则()

A.mτneR,x-2y+机=O与曲线C有四个交点

B.x：+y；的最小值为1

c.∣⅞-2y0+的取值范围为（J3,2√2+√3]

D.过点卜2枝,-2挺）的直线与曲线C有三个交点，则直线的斜率

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

（2Y

13.X1-^=的展开式中的常数项为.

、yχ>

14.已知数列｛%｝的通项公式为q=〃-1,数列也｝是以1为首项，2为公比的等比数列，则

aa

ι,l+h2++%=.

15.己知正四面体A—BCD的棱长为6,P是二AjBC外接圆上的动点，Q是四面体A-BS内切球球面上的

动点，则∖PQ∖的取值范围是.

16.我们常用的数是十进制数，⅜∏1035=IxlO3+0×102+3×lθ'+5×100.表示十进制的数要用0~9这10

个数字.而电子计算机用的数是二进制数，只需0和1两个数字，如四位一进制的数

32o

l∞lω=l×2+O×2+O×2'+l×2,等于十进制的数9,现有一组十进制表示的数列

n2023m

xi,x2,,x2023,（x,∙∈N*,Z=1,2,,2023）,定义a=口玉+"∙xz,"=1,2,∙,2022（口6表示

i=lj=n+∖k=∖

•，《"的乘积），若将伪，打，,4022表示成二进制数，其中有1011个数末位是0,若将外,工2…,％2023

表示成二进制数，则末位是0的数至多有个.

四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分10分）已知一ABC中，角48,。的对边长分别是。,4。3114=4411。以《3,且c=2.

（1）证明：tanB=3tanC;

（2）若匕=2代，求..ABC外接圆的面积

18.（本小题满分12分）如图，在AAQB中，/498=5，。8=豆,。4=1,。为03的中点，将AOB绕

2τr

OB所在的直线逆时针旋转至一BOD形成如图所示的儿何体Γ,ZAOD=—.

(1)求几何体r的体积；

(2)求直线A8与平面AC。所成角的正弦值.

19.(本小题满分12分)已知M,N为抛物线。：丁=2.工5>0)上不同两点，。为坐标原点,

OMLON,过。作LMN于H，且点H(2,2).

(1)求直线MN的方程及抛物线C的方程；

(2)若直线/与直线MN关于原点对称，。为抛物线C上一动点，求。到直线/的距离最短时，Q点的坐

标.

20.(本小题满分12分)已知各项均为正数的等比数列｛α,J满足q=3,%+%=36,数列∙⅛｝的前〃项和

2

2

S11,满足3Sn+n=3nbll+n,bl=—.

(1)求数列｛4｝和也｝的通项公式；

(2)若存在正整数〃，使得27"-8M420成立，求实数M的取值范围.(正a14ln3=1.1).

21.(本小题满分12分)肝脏疾病是各种原因引起的肝脏损伤，是一种常见的危害性极大的疾病，研究表明

有八成以上的肝病，是由乙肝发展而来，身体感染乙肝病毒后，病毒会在体内持续复制，肝细胞修复过程中

形成纤维化，最后发展成肝病.因感染乙肝病毒后身体初期没有任何症状，因此忽视治疗，等到病情十分严重

时，患者才会出现痛感，但已经错过了最佳治疗时机，对乙肝病毒应以积极预防为主，通过接种乙肝疫苗可

以预防感染乙肝病毒、体检是筛查乙肝病毒携带者最好的方法，国家在《中小学生健康体检管理办法》中规

定：中小学校每年组织一次在校学生健康体检，现某学校有4000名学生，假设携带乙肝病毒的学生占，“％,

某体检机构通过抽血的方法筛查乙肝病毒携带者，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验次数4000次.

为减轻化验工作量，统计专家给出了一种化验方法：随机按照人个人进行分组，将各组A个人的血样混合再

化验，如果混合血样呈阴性，说明这《个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈

阳性，就需对该组每个人血样再分别化验一次.假设每人血样化验结果呈阴性还是阳性相互独立.

(1)若m=0.4,记每人血样化验次数为X,当上取何值时，X的数学期望最小，并求化验总次数；

(2)若W=O.8,设每人血样单独化验一次费用5元，氏个人混合化验一次费用人4元.求当后取何值时，每

人血样化验费用的数学期望最小，并求化验总费用.

参考数据及公式：ʌ/lθ≈3.16,(l+x)"≈l+nx(n∈N*,n≥2,∣x∣≤0.01

22.(本小题满分12分)若定义在区间/上的函数y=∕(x),其图象上存在不同两点处的切线相互平行，则

称函数y=/(x)为区间I上的“曲折函数”，"现已知函数/(X)=2a2∖nx+x2(a>0).

(1)证明：y=∕(x)是(0,+8)上的“曲折函数”；

(2)设0</<α,证明：3xl∈(x0,6t),使得对于Vxe(Λpa),均有Ao)/'(x)-∕(α)+∕(Λo)<O.

石家庄市2023届高中毕业年级教学质量检测(三)

数学答案

一、单选：

1-4DABC5-8DCAC

二、多选：

9.AD10.BC11.ACD12BCD

三、填空题：

13.8014.50215.[^,2√6]16.1012

四、解答题：(学生出现的其他解答方法，教研组商定给分)

17..解：(1)因为SinA=4sinCcosB

所以Sin(JB+C)=4sinCcosB

SinBcosC+CosBsinC=4sinCcosB,SirLBCOSC=3sinCcosB

.,.tanB=3tanC

2

〃24-r_韬

(2)因为SinA=4sinCbos8,所以α=4c-----------------,

2ac

a2÷2C2-2Z?2=0，又b=25c=2,;.a=4

/.c2+⅛2=a2,:.ZA=-

2

R=-a=2,.∖S=4√T.

2

18.解：(1)依题意V=JX—x»xl2XJJ；

33

√3

=----71

9

(2)解法一：过。点作OMLQA,分别以OAoM,OB所在的直线为％,%z轴

,建立如图所示的空间直角坐标系，则：

A(I,O,O),C∣^O,O,^,B(O,O,√3),D-ɪ,ɪ,o,

则AC=TOg,AD=-∣,^,0,Aβ=(-l,0,√3)

∖J∖/

设平面ACz)的法向量为"=(x,y,z),

-Aπ-----ZZ--UO

n∙AC=O2

贝∣J,4=><

n∙AD=O3工后C

----XH-------V=O

I22

令y=3,得〃=(6,3,2)

ABn

设直线AB与平面ACO所成角为6»,则Sine=

A训〃

所以直线AB与平面ACD所成角正弦值为B

8

解法二：

设AD的中点为E，点B到平面ACD的距离为h，

、2

AC=Co=IOCZ+ACP=+『=1

AD2=OA2+OD2-2。AOr)CoS丁=3,二AO="

CA=CD,:.CE±AD根据勾股定理得CE=1,

∙∙∙SACD=LAD∙CE=L®I=@

λcd222

C_1一-2

SAoD=

=kaod

B-ACD~B-AOD~^C-ΛODɜ^∙BC

・∙SACD∙h=SAOD∙BC

同∙JLB,∙.=B

2h42h4

B

设直线AB与平面ACo所成角为A.ch彳Br

0,sιn0=----=-r-=——

AB28

19.解：⑴由点H(2,2),得直线。”的斜率为1,又OHLMN,则直线MN的斜率为-1,

故直线MN的方程为y-2=,整理得直线MN的方程为χ+y=4

设Ma,y),N(x2,M),

x+y=4.fʃi+¾=-2p

联立《ɔ∖,^y2+2py-8p=0,贝"…°,

J=2PXIMy2=-8P

由OMLQN,得OMoN=0，

即XlX2+X%=V⅛+MN2=0，因为Xy2工°，所以弘力=-4,2,

4p-

所以一4p2=—8p,解得P=2,故抛物线方程为V=4x

(2)设点A(X,〉)是直线/上任一点，则点A关于原点的对称点A(-x,-y)在直线MN上，所以

-Λ+(-γ)=4,

即直线/的方程为x+y=-4.

设点Q(∙⅞,%),则巾=4x0,点Q到直线/的距离d=%缓+'

—+y+4、2

二420(%+2)+12

√2—4后

当先=-2时，〃的最小值是乎，此时，Q。,—2)

20.解：(1)设数列｛α,,｝公比为4,

由已知得3q+3q2=36,即/+g-12=0,解得4=3或q=-4(舍),

所以4,,=3∙3"τ=3".

因为3S“+〃2=3〃2+〃，所以，当〃22时，3SAT+(〃-1)2=3(〃-1)。“_|+〃-1

两式作差得(3〃一3以=3(〃一1)%+2〃-2,

222

因为〃22,所以即数列也｝是首项为不，公差为H的等差数列,

292

所以d

(2)27^-8Ma,,>0^M≤∣r,设％==r,则〃小于等于数列｛c,,｝的最大项.

jQ

解法一：设〃=左时，C“最大，因为CI=W,。2=A>G，所以攵>1

39

Ck-Ck-I,

由《

Ck≥或M

%∖d)3≈3.5

左3≥3(%—1)3

即《3*—31即〈33

二>(k+l)33%3≥(%+l)3

3r-^r^≈2.5

即2.5≤左≤3.5(左∈Z),所以左=3

[3

故数列｛%｝的最大项是03=/=1,所以M≤ι,即实数/的取值范围是(y,i]

解法二设〃x)$r(X)=ElM⅛

当XG(I⅛'+00)时，r(χ)<°'在/(χ)在区间(高，+QO)上单调递减，

所以在〃≥3时，数列｛q,｝是递减数列，

1Qo3

又q==x，G=1，所以数列｛%｝的最大项是C3=F=I，所以M<l,

393'

即实数M的取值范围是(一纥』.

21.解：(1)设每人血样化验次数为X,由题意若混合血样呈阴性，则X=!，

若混合血样呈阳性，则X=∕+l,P(X=B)=O∙996∖p(x=：+1]=]_0.9963.

所以E(X)=LXo.996'+[1+，)X(I-0.996')=1+，一0.9964,

k∖k)k

=1+L-(1-0.004)i」+0.004攵

kk

令/(X)=L+0.004X,则/(X)在仅,5JiU)上单调递减，在卜JW+“)为单调递增，

A∈z,且"15)=W+0.004xl5≈0.1267,"16)=0.1265

.∙M=16取得最小值，E(X)最小值为0.1265.

所以，按16人一组，每个人血样化验次数的数学期望最小

此时化验总次数为4000x0.1265=506次..

(2)设每组Z人，每组化验总费用为y元，

若混合血样呈阴性则丫=人+4,若混合血样为阳性，则Y=6A+4,

且P(y=Z+4)=0.992∖P(y=6Z+4)=1—0.992”,

所以E(Y)=(Z+4)χ0.992λ+(6⅛+4)(l-0.992t)=6⅛-5Λ×0.992%+4,

每个人血样的化验费用为：

^^=6-5×0.992A+-=6-5×(l-O.OO8/+-

kkk

44I4-

≈6-5×(l-0.008Z:)+-=l+0.04)l+->1+2/0.04/:--=1.8

kkNk

4

当且仅当0.04攵=丁，即Z=IO时取等号，所以10个人一组，每个人血样化验费用的数学期望最小,

k

化验总费用为4000X1.8=7200元.

22.(1)解法一：要证y=∕(x)是(0,+8)上的曲折函数，

,

即证存在两个不同的玉,尤2e(0,+∞)，使得f'M=∕(¾)，

ɔ2

令g(X)=r(X)=——+2x>

X

即证：使得

3Λ⅛,X2∈(0,+∞),XI≠X-1,g(χ)=g(w)∙

任取m>4a,考虑方程g(x)=加的正数解的情况.

------h2x=ιτιu>2χ2—YYlX+2。~—O

X

判别式△=m2-{6a2>0，故方程有两个不等实根%，

1

由韦达定理可知：xl+x2=^->0,xlx2=a>0,从而x∣,%2>0.

即g(X)=加有两个不同的正实数解Λ1,X2,

所以g(玉)=g(%)，即y=∕(χ)是(0,+8)上的曲折函数.

解法二.设Pa,χ),Q(w,%)是函数图象上两点，X产W,r(x)=丝+2x,(x>0),

X

rα)=r(Λ2)等价于芋+2%=千+2%,

,(CT\

即2(玉_々)----'-Il=O(X尸4)，即Xl尤2=。2>0，

<x]x2)

即存在王,工2，使ra)=r(x2)，

所以y=∕(χ)是((),+8)上的曲折函数.

(2)设函数/(X)=(a-∕)r(x)-/(α)+/(Xo)

代入广(x)=丝+2X及/(X)=2a2∖nx+x2,可得：

/ʌ2、

2

/(X)=(Q-A0)------F2X—2βln-----矿+x；

IX√∙⅞

则：F(X)=UWJ(2/—2/),因为x0<a,所以：

当x∈(0,a)时，F(X)<0,当x∈(a,+a?)时，F,(x)>O,

故：E(X)在(O,a)上单调递减，在(a,+⑹上单调递增.

解法一：取X=XO代入函数y=E(x),可得：

222

F(xΛ^(a-x0](^+2x^-2a∖n--a+x^a[^^-^+^-2∖n--i

V⅞)⅞IXoa-a⅞

(12

令土=t,其中，>1,故∕7(xo)="2Z-3--y+——21nr

X。I厂t√

构造函数"(f)=2r-3-,+T-21n∕Q>l)

227(f+l)

则”'(。=