2022年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷(含答案)

2022年湖南省娄底市娄星区中考数学模拟试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）

1.下列说法，正确的是（）

A.一个数不是正数就是负数B.只有符号不同的两个数叫做互为相反数

C.没有绝对值最小的有理致D.倒数等于本身的数是0，+1

2.下列各式正确的是（）

A.3a,∙2α2=6<zftB.（-a2）3=aβ

C.（-3a）2-a2=Sa2D.（加共a*

3.把一块直尺与一块三角板如图放置，若/1=41。，则/2的度数为（）

A.1290B.121oC.141oD.131°

4.某学习小组的6名同学在第一次数学测试中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、90

分，则下列结论正确的是（）

A.中位数是90分B.众数是94分

C.平均数是91分D.极差是20

5.下列图形中，是中心对称图形的是（）

A策B卷。簪。蹴

6.2022年3月12日是我国第44个植树节.全国绿化委员会办公室3月11日发布《2021年中国国

土绿化状况公报》显示，全国完成造林360万公顷，种草改良草原306.67万公顷，治理沙化、石漠化

土地144万公顷.数据360万用科学记数法表示为（）

A.3.6×105B.36×IO5

C.3.6×IO6D.0.36×IO7

7.已知一个〃边形的每一个外角都相等，一个内角与其相邻的一个外角的度数之比是7:2,则〃的

值是（）

A.8B.9C.10D.12

8.己知当x>0时,反比例函数y=（的函数值随自变量的增大而减小,此时关于X的方程x2-2（k+l）

X

x+k2-1=0的根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.没有实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

k

9.如图，点A的坐标是（4,0）,AABO是等边三角形，点B在第一象限.若反比例函数、=一（x>0）

X

的图象经过点B,则k的值是（）.

A.4B.8C.46D.8√3

10.观察下列等式：①1=厂；②2+3+4=32；③3+4+5+6+7=52；④4+5+6+7+8+9+10=72；…请根据上述

规律判断下列等式正确的是（）

A.1008+1009+...+3025=20162B.1009+1010+...+3026=20172

C.1009+1010+...+3025=20172D.1010+1011+...+3029=20192

11.下列关于X的方程中，有实数根的是（）

___JV+]

A.X4+1=0B.X2-1=0C・∖∣x+l+1=0D.—ʒ^=0

X-1

12.二次函数y=αχ2+⅛r+c对于X的任何值都恒为负值的条件是（）

A.a>0,Δ>0B.ɑ>0,Δ<0C.a<0,Δ>0D.α<0,Δ<0

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）

13.若关于X的一元二次方程x2—3x+m=0有一个解为x=-1,则m的值为.

14.如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷飞镖，击中黑色三角形

区域的概率是.

L_L」_」_」_」

IIIIII

L_l__I__I-J-J

15.若3=L,贝Hi=

b3h-

16.如图在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的半径为2,小圆的半径为1,4408=100。.则阴

影部分的面积是.AB的长是.

17.已知圆锥的底面直径为6cm,其母线长为5cm,则它的侧面积为.

18.如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，是我国古代数学的骄傲，巧

妙地利用面积关系证明了勾股定理、已知小正方形的面积1,直角三角形的两直角边分别为。、b且

ab=6,则图中大正方形的边长为.

三、解答题(本大题共2小题，每小题6分，共12分)

19.(1)计算：(-3)2-(√2-1)O+√12

(2)化简：(2—a)(2+a)+a(a—3)

20.先化简，再求值：+-1)÷4ς^--并在3,-3,4这三个数中取一个合适的数作

d—6a+93—aa—9

为a的值代入求值.

四、解答题(本大题共2小题，每小题8分，共16分)

21.某校七年级(1)班班主任对本班学生进行了“我最喜欢的课外活动'’的调查，并将调查结果分为

书法和绘画类(记为A)、音禾类(记为B)、球类(记为C)、其他类(记为D).根据调查结果发现

该班每个学生都进行了登记且每人只登记了一种自己最喜欢的课外活动.班主任根据调查情况把学生

进行了归类，并制作了如下两幅统计图.请你结合图中所给信息解答下列问题：

(1)七年级(1)班学生总人数为人,扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为度,

请补全条形统计图;

(2)学校将举行书法和绘画比赛，每班需派两名学生参加，A类4名学生中有两名学生擅长书法，

另两名学生擅长绘画.班主任现从A类4名学生中随机抽取两名学生参加比赛，请你用列表或画树

状图的方法求出抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率.

(3)如果全市有5万名初中生，那么全市初中生中，喜欢球类的学生有多少人？

22.如图，5G信号塔AB建在垂直于水平面的悬崖边B点处(点A、B、C在同一直线上).某测量

员从悬崖底C点出发沿水平方向前行60米到D点，再沿斜坡DE方向前行52米到E点(点A、B、

C、D、E在同一平面内)，在点E处测得5G信号塔顶端A的仰角为37。，悬崖BC的高为78米，斜

坡DE的坡度户/=1:2.4.(参考数据：Siriylo“。60,CoS37。≈0.80√an37o≈0.75.)

(1)求斜坡DE的高EH的长；

(2)求信号塔AB的高度.

五.解答题(本大题共2小题，每小题9分，共18分)

23.游泳馆每年夏季推出两种游泳付费方式，方式一：先购买会员证，每张会员证100元，只限本人

当年使用，凭证游泳每次再付费5元；方式二：不购买会员证，每次游泳付费9元.

(1)分别写出两种方式所花费用y(元)与游泳次数X(次)之间的函数关系式；

(2)若洋洋今年夏季游泳的总费用为270元，选择哪种付费方式，他游泳的次数比较多？

(3)游泳多少次时，洋洋选择两种方式付费相同？

(4)优优说今年夏季我最多游泳20次，他选择哪种方式更合算？并说明理由.

24.图1,图2均为4x4的正方形网格，每个小正方形的顶点被称为格点，小正方形的边长都为1,

线段AB的端点均在格点上.按要求在图1,图2中画图.

图1图2

(1)在图1中，以线段AB为一边，画一个矩形，且使其面积为4,其余两个顶点均为格点；

(2)在图2中，以线段AB为对角线，画一个面积是4的菱形，且其余两个顶点均为格点.

六、综合题(本大题共2小题，25题8分，26题12分，共20分)

25.如图，ZkABC内接于。O,AB是。。的直径，过OO外一点D作3G∕∕8C,DG交线段AC于点

G,交AB于点E,交Θ0于点F,连接DB,CF,NA=ND.

(1)求证：BD与。0相切；

(2)⅛AE=OE1CF平分NACB,BD=12,求DE的长.

26.如图，抛物线y=aχ2+bx-3与X轴交于A(-1,0)、B两点，交直线1于点A、C(2,-3).

(1)求该抛物线的解析式；

(2)在y轴上是否存在点D,使SAABD=SAABC?若存在，请求出所有符合条件的点D的坐标；若

不存在，请说明理由；

(3)P是线段AC上的一个动点，过点P作PE〃丫轴交抛物线于点E,求线段PE长度的最大值；

(4)点F是抛物线上的动点，在X轴上是否存在点G,使得以点A,C,G,F为顶点的四边形是平

行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点G的坐标；如果不存在，请说明理由.

参考答案：

1•【分析】根据有理数、正负数、绝对值、相反数和倒数的定义即可得出答案.

解：A.一个数不是正数就是负数，说法错误，如0,既不是正数也不是负数：

B.只有符号不同的两个数叫做互为相反数，说法正确；

C.没有绝对值最小的有理数，说法错误，绝对值最小的有理数是0；

D.倒数等于本身的数是0,±1,说法错误，。没有倒数.

故选：B.

【点评】本题考查了有理数、正负数、绝对值、相反数和倒数，解题的关键是要理解概念.

2.【分析】分别根据单项式乘以单项式、积的乘方、嘉的乘方、合并同类项的运算法则逐一判断即可.

解：A.3/.2/=6/,故错误,该项不符合题意；

B.(-a2)3=-aβ,故错误，该项不符合题意；

C.(-3a)2-a2=9a2-a2=8a2,正确,该项符合题意；

D.(ab2)3=a3b6,故错误,该项不符合题意;

故选：C.

【点评】本题考查单项式乘以单项式，积的乘方，基的乘方，合并类同类，掌握单项式乘以单项式、

基的乘方、积的乘方、合并同类项法则是解题的关键.

3.【分析】利用三角形内角和定理可求出N3的度数，结合邻补角互补可求出N4的度数，由直尺的

对边平行，利用“两直线平行，同位角相等“可求出/2的度数.

解：：/1+/3+90°=180°,

ΛZ3=180o-90°-Zl=180o-90°-41o=49o.

VZ3+Z4=180o,

.∙.N4=180°-/3=180°-49o=131o.

又；直尺的对边平行，

ΛZ2=Z4=131o.

故选：D.

【点评】本题考查了平行线的性质、邻补角以及三角形内角和定理，利用三角形内角和定理以及邻补

角互补，求出/4的度数是解题的关键.

4.【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及极差的计算公式对各选项进行判断即可.

解：A、这组数据按从小到大排列为：80分、90分、90分、94分、94分、98分，所以这组数据的

中位数为92分，所以A选项错误；

B、这组数据的众数是90分和94分，所以B选项错误；

C、这组数据的平均分：∣(94+98+90+94+80+90)=91(分)，所以C选项正确；

D、极差是98-80=18,所以D选项错误.

故选：C.

【点评】此题考查了平均数、中位数、众数和极差的意义，解题的关键是正确理解各概念的含义.

5.【分析】中心对称图形是指把一个图形绕着某一点旋转180。，如果它能够与另一个图形重合，那

么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，根据定义结合图形判断即可.

解：根据对中心对称图形的定义结合图像判断，A、B属于轴对称图形，C选项满足中心对称图形的

定义，

故选：C.

【点评】本题考查中心对称图形的定义,根据定义结合图形分析并选出适合的选项是解决本题的关键.

6.【分析】科学记数法的表示形式为"χlθ"的形式，其中l≤∣a∣<10,n为整数；确定n的值要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值等于小数点移动的位数，当原数绝对值等于1时，n

是正数，当原数的绝对值小于1时，n是负数.

解：360万=3600000=3.6XU

故选：C.

【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是确定a和n的值.

7.【分析】根据题意利用内角与外角的比值可以求出这个外角，再利用外角和公式即可计算出n的值.

解：设这个n边形的一个内角为7x,则与这个内角相邻的外角的度数为2x,

根据题意可知7x+2x=180°,

解得：X=20。.

则与这个内角相邻的外角的度数为2x=2*20。=40。.

Λ40o×n=360°,.

解得："=9.

故选：B.

【点评】本题考查多边形内角与其相邻外角的关系，多边形外角和公式.掌握多边形外角和为360。是

解答本题的关键.

8.【分析】由反比例函数的增减性得到k>0,表示出方程根的判别式，判断根的判别式的正负即可

得到方程解的情况.

解：•••反比例函数y=5当x>0时，y随X的增大而减小，.∙.k>0,.∙.方程2(Z+1)X+F7=O

中，A=4(A+1)2-4(公-l)=8k+8>0,.∙.方程有两个不相等的实数根.

故选C.

【点评】本题考查了根的判别式，以及反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解答本题的

关键.

9.【分析】首先过点B作BC垂直OA于C,根据AO=4,AABO是等以三角形，得出B点坐标，进而

求出k的值.

解：

解：过点B作BC垂直OA于C,

；点A的坐标是(2,0),A0=4,

：AABO是等边三角形

.∙.0C=2,BC=2√3

.∙.点B的坐标是(2,2班)，

把(2,2百)代入y=£得：

X

k=xy=4√3

故选：C

【点评】本题考查的是利用等边三角形的性质来确定反比例函数的k值.

10.【分析】根据题目中各个式子的变化规律为n+(n+l)+(n+2)+...+(3n-2)=(2n-l)2,可以判断各个

选项中的等式是否成立，从而可以解答本题.

1008.∣-3022

解：由题意可得：1008+1009+...+3022+(3023+3024+3025)=(----------------)2+9072=20152+9072≠20162.

故选项A错误.

Ioo9+1010+…+3025+3026=(--------:~~-)2+3026=20172+3026.故选项B错误.

2

1009+30252

1009+1010+...+3025=()2=2017.故选项C正确.

2

1010+30282

1010+1011+...+3029=()2+3029=2019+3029.故选项D错误.

2

故选C.

【点评】本题考查了有理数的混合运算、规律型：数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现

各个式子的变化规律，可以判断各个选项中的等式是否成立.

11•【分析】根据偶次方、偶次方根的非负性判断A、C,再解一元二次方程判断B,解分式方程，并

验根判断D.

解：A、∙.∙d+l=0,Y一个实数的偶次方不为负，.∙.f+l>0,.∙.没有实数根，故该选项错误，不

符合题意；

B、V-i=o,∙.∖=o2-4flc=4>O,.∙.有实数根，解得X=I或-1,故该选项正确，符合题意；

eʌV√77T+1=O..∙.√77T=-∣,JX+ι是一个非负数,左右不可能相等，；.没有实数根，故该选

项错误，不符合题意；

r4-1

D、∙.∙==0,...x=-l,而当X=-I时，f-l=0,.∙.没有实数根，故该选项错误，不符合题意.

√-l

故选：B.

【点评】•本题考查了方程的解，掌握高次方程、无理方程、分式方程的解法是解决本题的关键.

12•【分析】由二次函数y="f+6x+c对于X的任何值都恒为负值，抛物线开口向下，a<0,二次函

数y=or?+6x+c与X轴没有交点，方程OX°+⅛x+c=o没有实数根，△<()即可.

解：：二次函数y=0χ2+fcc+c对于X的任何值都恒为负值，

抛物线开口向下，a<0,

二次函数y=αχ2+⅛r+c与X轴没有交点，

方程以2+灰+C=O没有实数根，

.∙.Δ<O,

tz<O,Δ<O.

故选择D.

【点评】本题考查抛物线的函数值符号问题，掌握抛物线开口方向，以及抛物线与X轴的交点情况是

解题关键.

13.【分析】将x=-l代入一元二次方程中即可求出.

解：将x=-l代入一元二次方程中得到

l+3+m=0

解得m=-4

故答案为：-4

【点评】此题主要考查了己知一元二次方程的解，解题的关键是将解代入原方程.

14•【分析】击中黑色区域的概率等于黑色区域面积与正方形总面积之比.

解：由图可知，黑色区域为等腰直角三角形，腰长为行，

•••黑色三角区域的面积为：→√io×√io=5,

飞镖游戏板的面积为：25,

击中黑色三角形区域的概率是：K=g,

故答案为：—.

【点评】此题考查了几何概率计算公式以及其简单应用.注意面积之比=几何概率.

15•【分析】根据比例性质求解即可.

解：•・•：=:，

b3

/.b=3a,

•..-a-+b=-α-+-3α=一4,

b3a3

4

故答案为：—.

【点评】本题考查比例性质、代数式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键.

16.【分析】用大扇形的面积减去小扇形的面积得出阴影部分的面积.

解：阴影部分的面积Je)Wjo01XF=W

3603606

3"100r10

4B的长丽臣2=瓦"

故答案为：卷,

O9

【点评】本题考查了求弧长，扇形的面积的计算，熟练掌握弧长与扇形的面积公式是解题的关键.

17•【分析】利用扇形的面积公式计算.

解：根据题意得，圆锥的侧面积=gx6兀χ5=15π(cm2).

故答案为：15兀cm2.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,

扇形的半径等于圆锥的母线长.

18•【分析】根据题意可知每个直角三角形的面积为∕ab,即可表示出大正方形的面积，代入ab=6,

即可求出大正方形的面积，进而可得边长.

解：；直角三角形的两直角边分别为a、b,

•••直角三角形的面积=Wab,

，大正方形的面积=4xgab+l=2ab+l,

*.*ab=6,

工大正方形的面积=2x6+1=13,

.∙.大正方形的边长为JB∙

故答案为：√13.

【点评】本题是以“赵爽弦图''为背景的计算题，利用直角三角形的面积正确表示出大正方形的面积是

解题关键.

19•【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；

（2）先根据平方差公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可.

解：（1）原式=9—1+2>∕J

≈8+2√3;

（2）原式=4-/+/-34

=4一3。.

【点评】本题考查了实数的混合运算，以及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

20.【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据分式有意义的条件和除数不能为。的条件求

出a的取值，然后代值计算即可.

a2-3a,5-aa-3

解:------------÷(---------1)÷—-

a2-6a+93-aa2-9

—3)5—ci—3+Q、a-3

(a—3)~3—a(a+3)(a-3)

ci2(〃+3)(a-3)

a-33-a。一3

a2(〃+3)

a-3a-3

a-2a-6

a-3

a+6

=3≡a'

；分式要有意义和除数不能为0,

a-3≠0

.∖∙a2-9≠0,

a2-6a+9≠0

a≠±3,

4+6

.∙.当α=4时，原式=―=-10.

3-4

【点评】本题主要考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，解题的关键在于能够熟练掌握分式的

相关知识.

21•【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图可得七年级（1）班学生总人数为：12+25%=48（人），

继而可得扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角为为：360。X1=4=105°；然后求得C类的人数，则

48

可补全统计图；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到的两名学生恰好是一名

擅长书法，另一名擅长绘画的情况，再利用概率公式即可求得答案.

（3）利用样本估计总体思想求解可得.

解：（1）七年级（1）班学生总人数为：12÷25%=48（人），扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角

14

为360°Xn=IO5°，；

48

C类人数:48-4-12-14≈18（人），如图：

・我最喜点的:果外活动”窃捌人数条形统计图

小AS

20

IS

16

14

12

10

8

6

^ABCD

图1

故答案为48,105；

（2）分别用A,B表示两名擅长书法的学生，用C,D表示两名擅长绘画的学生,

画树状图得:

开始

ABCD

∕1∖/N/N/N

BCDAcnABDABC

；共有12种等可能的结果，抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的有8种情况,

∙∙.抽到的两名学生恰好是一名擅长书法，另一名擅长绘画的概率为：|.

IQ

（3）全市初中生中，喜欢球类的学生有50000χ==18750（人）.

48

【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率

=所求情况数与总情况数之比.

22.【分析】（1）根据斜坡DE的坡度（或坡比i=l：2.4,DE=52米，可设EH=X,则DH=2.4x,利用

勾股定理求出X的值，进而可得出EH；

（2）过点E作EMLAe于点M,结合（1）得DH的长，故可得出CH的长.由矩形的判定定理得

出四边形EHCM是矩形，故可得出EM="C,CM=EH,再由锐角三角函数的定义求出AM的长，

进而可得出答案.

解：（1）Y斜坡DE的坡度i=l：2.4,DE=52米，

设EH=x,则DH=2.4x.

在Rt∆DEH中，

VEH2+DH2=DE2,即χ2+（24x）2=522,

解得，x=20（米）（负值舍去），

.∙.EH=20米；

（2）过点E作EMLAC于点M,

∙.∙DH=2.4x=48（米），

ΛCH=DH+DC=48+60=108（米）.

VEMlAC,AC±CD,EHlCD,

四边形EHCM是矩形，

,EM=CH=108米，CM=EH=20米.

在Rt^AEM中,

∙.∙NAEM=37°,

ΛAM=EM*tan370≈108×0.75=81（米）,

ΛAB=AM+CM-BC=81+20-78=23（米），

答：信号塔AB的高度为23米.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，

构造出直角三角形是解答此题的关键.

23•【分析】（1）根据题意列出函数关系式即可；

（2）根据题意列方程即可得到结论；

（3）根据（1）中的函数小公司列不等式即可得到结论；

（4）当x=20时，分别计算出两种收费方式的付费进行比较，即可得到结论.

解：（1）当游泳次数为X时，方式一费用为：y=100+5x,方式二的费用为：y=9xi

（2）方式一，令100+5x=270,解得：x=34,

方式二、令9x=270,解得：x=30；

V34>30,

选择方式一付费方式，他游泳的次数比较多；

（3）令100+5xV9x,得x>25,

令IOO+5x=9x,得x=25,

令100+5x>9x,得x<25,

.∙.当20<x<25时，洋洋选择方式二的付费方式，

当x=25时，洋洋选择两种付费方式一样，

但x>25时，洋洋选择方式一的付费方式；

（4）他选择方式二更合算，

当x=20时，方式一的总费用为：100+20x5=200,

方式二的费用为：20×9=180,

故他选择方式二更合算.

【点评】本题考查一次函数的应用、列代数式、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意,

找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质解答.

24•【分析】（1）根据题目要求作出矩形ABCD和矩形ABGDI即可；

（2）根据题目要求作出菱形ACBD即可.

解：（1）如图，矩形ABCD和矩形ABGDl即为所求；

理由：根据题意得：ZBAD=ZABC=ZD=90o,AB=4,AD=I,

.∙.四边形ABCD为矩形，

矩形ABCD的面积为AaA£)=4x1=4；

同理四边形ABGDl为矩形，矩形ABGDl的面积为4；

(2)如图，菱形ACBD即为所求.

理由：根据题意得：AB=4,CD=2,CD与AB垂直且互相平分，

;CD与AB互相平分，

•••四边形ACBD为平行四边形，

VCD±AB,

二四边形ACBD为菱形，

菱形ACBD的面积为LA8∙CE>=1X2X4=4.

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【点评】本题考查作图一应用与设计作图，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关

键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.

25.【分析】(1)如图1,延长D8至H,证明？ABD90?,即可根据切线的判定可得Bo与一。相切；

(2)如图2,连接OF,先根据圆周角定理证明OFlAB,再证明4EFOsZ∖EΓ>8,列比例式可得OF=4,

即：O的半径为4,根据勾股定理可得E>E的长.

(1)证明：如图1,延长至

DG/∕BC,

../CBH=ZD,

ZA=ZD,

ZA=NCBH,

旗是，。的直径，

.∙.ZACβ=90o,

.∙.ZA+ZABC=90°,

/.ZCB∕y÷ZABC=90°,

.∙.ZABD=90o,

ΛAB±BD,

.∙.BD与，。相切；

(2)解：如图2,连接OF,

图2

b平分NAC8,

・•.ZACF=/BCF,

AF=BF,

,ZAOF=ZBOF=90o,

OFLAB,

BDrAB,

OF//BDf