陕西省榆林市2022-2023学年高三第一次模拟考试数学（文科）含解析

榆林市2022〜2023年度第一次模拟考试

数学试题(文科)

考生注意：

1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共150分。考试时间120分钟。

2.请将各题答案填写在答题卡上。

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1,复数Z=-i(l+2i)在复平面内对应的点位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

2.已知集合A={巾=In(X+1)},B={Λ∣2X-1>-5},贝IJ(ORA)∩B=()

(A)(-l,+∞)(B)(-2,-1)(C)(-2,-1](D)(-2,+∞)

3.若"?，"为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列结论正确的是()

(A)若加〃a,a//βy则m//β(B)若m.Lafa.Lβf则m//β

(C)若加〃",n//af则m//a(D)若m,La,a∕∕βf则mVβ

JT

4.已知tan(α+R=9,则tanα=()

433

--

A)54

5.已知函数,/(x)=HnX+『的图像在X=1处的切线方程为3x—y+b=0,则α+b=()

(A)-2(B)-I(C)O(D)I

6.为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分

100分)按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方

图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为()

(A)70(B)竿(。毕(D)60

7.如图1,某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般

的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C：f=2py(p>0)的

一部分，尸为抛物线C上一点，F为抛物线C的焦点，若NOFP=I20°,且IoPl=哼I则p=()

(A)I(B)2(C)3(D)4

8.AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asinλ+3+㈤SinB=CSinC,则2的取值范围为()

(A)(-2,2)(B)(0,2)(C)[-2,2](D)[0,2J

9.在平行四边形ABCZ)中，AB=2AO=4,ZBAD=6Qa,^CE^2ED,^BC^2BF,则熊•/=()

(A)4(B)y(C)y(D)3

10.已知四面体ABCO外接球的球心。与正三角形ABC外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为

2√3,则该四面体外接球的体积为()

(A)8π(C)16π(D)号ɪ

11.已知0>0,函数/)=小Sin(OX+令+3CoS(CoX+；)在(0,2π)上恰有3个极大值点，则co的取值范围为

()

(A)帚(B)忌H)(C)(11,T2](D)厝⅛

12.已知“2+hw=9∕+21nb+l,则下列结论一定成立的是()

(A)α<⅛2+1(B)4V2庐+1(C)a>3b(D)a<3b2

第∏卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若X,y满足约束条件错误!，则z=2x+)，的最小值为▲.

14.自然对数的底数e,也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和π一样是无限不循环小数，e的近

似值约为2.7182818….若从欧拉数的前4位数字2,7,1,8中任选2个，则至少有I个偶数被选中的概

率为

15.已知函数T(X)是定义在(一2,2)上的增函数，且的图象关于点(0,—2)对称，则关于X的不等式T(X)

+∕x+2)+4>0的解集为▲.

22

16.已知双曲线C：，一，=1的右焦点为F,直线/：x=my+2(,w>0)与双曲线C相交于A,B两点，点

P(6,0),以尸尸为直径的圆与/相交于凡例两点，若M为线段AB的中点，则∣Mfl=A∙

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考

题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球

赛.某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，

得到如下列联表.

关注不关注合计

男高中生4

女高中生14

合计

已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为去

(1)完成上面的2X2列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

mɔn(acl-bc)λɪ..,

附：*=(α+∕7)(c+d)m+c)(∕,+d)'其中"="+18f+c+1df∙

P(Z22公)0.100.050.0100.001

ko2.7063.8416.63510.828

18.(12分)

已知数列｛如｝的前"项和为S”,且“1=3,Sn+ι+SH=(W+l¼n+∣.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若bn=-^~,求数列｛儿｝的前n项和为T11.

ClnCln+］

19.(12分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，平面H4D_L底面ABC。，AB//CD,NDAB=60°,PAI.PD,且PA

=PD=√2,AB=2CD=2.

(1)证明：ADLPB.

(2)求点A到平面PBC的距离.

20.（12分）

已知P(l,0)是椭圆C：R+%=l(∕w>0,〃>0)的一个顶点，圆E：(X-2)2+。-2)2=4经过C的一个

顶点.

(1)求C的方程；

(2)若直线/：y=kx+1与C相交于M、N两点(异于点尸)，记直线PM与直线PN的斜率分别为左、A⅛,

且A∣+%2=%I%2,求女的值.

21.(12分)

已知函数兀V)=(X—>2)InX+(*+*2~(k+1)X,⅛∈R.

(I)若无>0,求火x)的单调区间；

(2)若A∈Z,且当x>l时，F(X)Vlnx+1,求/的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、

漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.

22.［选修4—4：坐标系与参数方程］(10分)

在直角坐标系/0)，中，已知点P(l,0),曲线C的参数方程为错误!”为参数).以坐标原点O为极点，

X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为2psin(6+3一√i=0.

(1)求C的普通方程与/的直角坐标方程；

(2)若/与C交于A,B两点,求解∣+∣PB∣.

23.[选修4—5：不等式选讲](10分)

已知函数兀V)=IX+α-2∣+∣x+3∣.

(1)当。=0时，求不等式凡r)29的解集；

(2)若函数y(x)>2,求α的取值范围.

绝密★启用前

榆林市2022〜2023年度第一次模拟考试

文科数学试题逐题解析

第I卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.复数z=-i(l+2i)在复平面内对应的点位于()

(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限

【答案】D

【解析】Z=—i(l+2i)=2—i,所以复数z=-i(l+2i)在复平面内对应的点位于第四象限，故选(D).

2.已知集合A={x∣y=ln(x+1)},B={Λ∣2A-1>-5},贝IJ(ORA)∩B=()

(A)(-l,+∞)(B)(-2,-1)(C)(-2,-1](D)(-2,+∞)

【答案】C

【解析】因为A={x∣y=ln(x+l)}={jφ>-l},B={x∣2χ-1>-5}={x∖x>-2},所以(ORA)∩B=(-2,

-1],故选(C).

3.若〃?，〃为两条不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列结论正确的是()

(A)若机〃α,a//β,则加〃S(B)若nz_La,a-Lβ,则机〃夕

(C)若，"〃小n//a,则Wi〃a(D)若a∕∕β,则加_1_4

【答案】D

【解析】(A)(B)(C)中都可能出现线在面内的情况，故选(D).

4.已知tan(α+^)=9,则tanα=()

4433

(A)5(B)-5(C)W(D)-4

【答案】A

【解析】因为tan(a+$=t：n："=9,所以tanα=[,故选(A).

5.已知函数负X)=HnX+f的图像在X=I处的切线方程为3χ-y+方=0,则a+6=()

(A)-2(B)-I(C)O(D)I

【答案】B

【解析】因为式1)=1,所以3—l+b=0,即6=—2,而∕l(x)=∖+2x,故北=∕r(l)="+2=3,解得：a=∖,

所以a+匕=-1,故选(B).

6.为了解市民的生活幸福指数，某组织随机选取了部分市民参与问卷调查，将他们的生活幸福指数(满分

100分)按照[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]分成5组，制成如图所示的频率分布直方

图，根据此频率分布直方图，估计市民生活幸福指数的中位数为()

(A)70(B)竽(C)等(D)60

【答案】C

【解析】因为(0.0050+0.0075+a+0.0125+0.0150)X20=1,解得：a=0.0100,前3组的频率之和为0.1

+0.15+0.2=0.45,第4组的频率为0.3,故市民生活幸福指数的中位数为60+2OX05—045=詈IQO,故选

(C).

7.如图1,某建筑物的屋顶像抛物线，建筑师通过抛物线的设计元素赋予了这座建筑轻盈、极简和雕塑般

的气质.若将该建筑外形弧线的一段按照一定的比例处理后可看成图2所示的抛物线C：X2=_2Py(P>0)

的一部分，P为抛物线C上一点，尸为抛物线C的焦点，若NoFP=I20°,且IOPl=亨，则p=()

(A)I(B)2(C)3(D)4

【答案】A

【解析】设抛物线C的准线为/，∣“∣=r,过P作/的垂线交/于A,连结AP,过尸作尸于B,则IBPl

=r-p,因为NoFP=I20°,所以IFPl=2∣8P∣,r=2(j-p),解得：r=2p,P(√3p,一争，∣OP∣2=3p2+^

=孚=¥，解得：P=L故选(A).

8.∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,h,c,若αsinA+3+24)sinB=csinC,则λ的取值范围为()

(A)(-2,2)⑻(0,2)(C)[-2,2](D)[0,2]

【答案】A

【解析】因为αsinA+3+九OSinB=CSinC,所以由正弦定理可得：a1+b1-∖-λab=c1,即：a1-∖-b1-cλ=-λab

=2McosC,即：A=-2cosC,因为C∈(0,π),所以;l∈(-2,2),故选(A).

9.在平行四边形ABCO中，48=2AO=4,ZBAD=GOo,CE=2ED,BC≈2BF,则足•云声=()

(A)4(B)y(C)y(D)3

【答案】B

【解析】解法1：设前=α,AD=⅛.所以就•前=(5+b)∙(多L/)=3?一加+)∙b=,—2+2=学

故选(B).

解法2：连结B。，因为4B=2AO=4,NBAD=60°,所以以。为坐标原点建立如图所示的平

面直角坐标系，则A(2,0),F(-l,2√3),E(-∣,∣√3),A£=(-|,∣√3),EF=(-∣,∣√3),所以盛

=4,故选(B).

C;FB，

zrbʃ

10.已知四面体A8C。外接球的球心。与正三角形A8C外接圆的圆心重合，若该四面体体积的最大值为

2√3,则该四面体外接球的体积为()

(A)8π(C)16π

【答案】B

【解析】设该四面体外接球的半径为R,体积为匕正三角形ABC。的面积为S,则S=ZKsinAsinBsinC=

至譬，Vwιl,irt≤∣SΛ=^=2√3,所以R=2,V=等=苧，故选(B).

11.已知①>0,函数於)=5Sin(S+6+3CoS(S+令在(0,2兀)上恰有3个极大值点，则口的取值范围为

()

(A)(f∣,黄(B)忌γ∣)(C)符⅛(D)[∣∣,⅛

【答案】C

【解析】因为"r)=，§sin(Gx+1)+3cos(s+W)=小sin(s+中)，令cυx+竽=5+2E,⅛∈Z,可得：X=

π2^~1~,故./(X)的第3个正极大值点依次为鬻，第4个正极大值点依次为鬻，因为40在(0,2兀)上恰

有3个极大值点，所以错误!，即：。右(错误!，错误!J,故选(C).

12.已知"2+ina=9∕+21M+l,则下列结论一定成立的是()

(A)a<⅛2+1(B)a<2⅛2+1(C)a>3b(D)a<3b2

【答案】D

【解析】令y(x)=∙x2+lnx,因为/+ina=9∕+21nb+l<9/+21E+ln3=964+ln3/,所以取)<人3/),

而兀0在(0,+8)上递增，所以α<3∕,故选(D).

第∏卷

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若X,y满足约束条件错误!，则z=2x+y的最小值为上.

【答案】-11

【解析】易知当x=-3,y=-5时，z=2x+y取得最小值一11.

14.自然对数的底数e,也称为欧拉数，它是数学中重要的常数之一，和兀一样是无限不循环小数，e的近

似值约为2.7182818….若从欧拉数的前4位数字2,1,1,8中任选2个，则至少有1个偶数被选中的概

率为

【答案】I

【解析】从欧拉数的前4位数字2,7,I,8中任选2个，有(1,2),(1,7),(1,8),(2,7),(2,8),(7,

8),共6种可能，没有偶数有1种，故至少有1个偶数被选中的概率为看.

15.已知函数是定义在(一2,2)上的增函数，且的图象关于点(0,—2)对称，则关于X的不等式共X)

+Xx+2)+4>0的解集为▲.

【答案】(-1,0)

【解析】因为兀V)的图象关于点(0,-2)对称，所以兀V)+；(—X)=—4,故不等式兀v)+∕(x+2)+4>0可化

为：Λx+2)>Λ-χ),而火x)是定义在(一2,2)上的增函数，所以一2<一x<x+2V2,解得：x∈(-I,0).

16.已知双曲线C：5=1的右焦点为F，直线/：x=my+2(,*>0)与双曲线C相交于A,B两点，点

P(6,0),以P尸为直径的圆与/相交于F,M两点，若M为线段4B的中点，贝UIMQ=▲.

【答案】2

【解析】解法1：设Ma0,泗)，联立错误!可得：("[2—l)y2+4∕沙+2=0,泗=一错误!，XO=myo+2=一错误!，

%P=F¾=茄匕=一如因为机>0，所以，〃=号，NMFP=60°，故IMFI=IPFlCOS60°=2.

解法2：设直线/的参数方程为错误!”为参数)，代入C：错误!一错误!=1可得：(COS2夕一sin20)z2+4rcos0

+2=0,，M=co§2~；口2—=4CoS夕，即：cos2p=-2>故夕=60°,故∣Λ∕E]=4cosp=2.

解法3：根据双曲线的焦半径公式可得：n=IAfl=1_&°sYr2=∣BF∣=在盒尉2为直线/的倾斜角)，

即：IMfl=IPFICoSO=4cos0="2也=1夕cos20=-去故8=60°,故IMFl=4cos9=2.

解法4：设双曲线的左焦点为尸I,∣Afl=∏,IBA=A，∖AP∖=∖BP∖=t,在△从尸】P中,由中线定理可得：S

22

+2√2)+∕=2(∕^+16),同理可得：&2+2吸)2+户=2(4+16),两式相减可得：rι+r2=4√2=

13CoS2。=—3，故9=60°,故IMFl=4cos9=2.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个考

题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(12分)

第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔正式拉开序幕，这是历史上首次在北半球冬季举行的世界杯足球

赛.某市为了解高中生是否关注世界杯足球赛与性别的关系，随机对该市50名高中生进行了问卷调查，

得到如下列联表.

关注不关注合计

男高中生4

女高中生14

合计

已知在这50名高中生中随机抽取1人，抽到关注世界杯足球赛的高中生的概率为小

(1)完成上面的2X2列联表；

(2)根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有关.

--------n(ad-bcf------其中++4

pπ-r3+6)(c+√)(α+c)S+d),另'n"十。十C十”.

P(∕22⑹0.100.050.0100.001

2.7063.8416.63510.828

【解析】(1)2X2列联表如下:

关注不关注合计

男高中生26430

女高中生14620

合计401050

(2"=嘤蕊黑£=常＜2.706,故没有90%的把握认为该市高中生是否关注世界杯足球赛与性别有

OU^XU^4τV^1V1/

关.

18.(12分)

己知数列｛斯｝的前"项和为S,,且αι=3,Sn+ι+Sn=(n+l)an÷ι.

(1)求｛斯｝的通项公式；

(2)若⅛=TT-.求数列｛儿｝的前n项和为了“•

anan+∖

【解析】(1)因为SH∙ι+Sn=("+l)斯+1，所以S”+2+S〃+i=(〃+2)a〃+2，两式相减可得:(n÷2)απ+ι=(n÷l)^n+2,

即：^⅛⅜="⅛"⅛^,AI∈N+,又因为αι=3,S2+S1=2,12,解得：«2=6,故&=与=3,即：a∏=3n,n≥2,n

n-τZn-v∖nZ

=1时，。1=3也成立，故如=3〃；

◎也F⅛=9"(∖+1)=⅛⅛f%故^=90^⅛=9(⅛T)∙

19.(12分)

如图，在四棱锥P-ABC。中，平面PADJ_底面ABC。，AB//CD,ZDΛB=60o,PAI.PD,且PA

=PD=√2,AB=ICD=I.

(1)证明：ADVPB.

(2)求点A到平面PBC的距离.

【解析】(1)取AD的中点。，连结。P、OB,因为ND4B=60°,PA±PD,BLPA=PD=y∣2,AB=2,所

以AD_LPO,ADLBO,而POnBo=。，PO、BOU平面尸。8,故AO_L平面尸。8,ADVPB-.

Q)BC=3,PB=PC=2,SMBC=乎，设A到平面PBC的距离为力，¼A-rac=∣×5∆rac×A≈Vp-Λβc≈∣×

SΔAffC×PO4\/15

SAABCXPO，h~=∣ɔ.

SAPBC

20.(12分)

已知P(l,0)是椭圆C：港+∖=1("1>O,〃>0)的一个顶点，圆及(X—2/+。-2)2=4经过C的一个

顶点.

(1)求C的方程；

(2)若直线/：y=H+l与C相交于M、N两点(异于点尸)，记直线PM与直线PN的斜率分别为h、依，

且％l+%2=%l%2,求左的值.

【解析】(1)由题意：桶圆C的两个顶点为(1,0),(0,2),故C的方程为Λ2+]=1;

(2)解法1：联立错误!可得：(⅛2+4)x2+2Aχ-3=0,设M(Xi，ʃɪ),Na2，竺)，则1ι+%2=一错误!，由必=一

2

昌因为—左伙2，所以卷+,=^7i^^+^W^=j∣+；+谓2+；=L即：(⅛-2⅛)x∣x2+(2⅛+1)(X1+

2

3(⅛-2%)2kQk-1).._z_ʌ.

12)+3=——F+4———ICL+4~+3=°，解得：攵=3或k=-1(舍去)・

解法2：以P为坐标原点建立新的坐标系，在新坐标系下椭圆C的方程为：(X+1)2+9=1,即：4/+8X

+/=0,直线/的方程为y—丘=A+1伏≠-l),则4∕+l)∕+8XG—履)+4伏+l*=0,即：4(⅛+l)y2+

8xy+4(l-⅛)x2=0,所以4(&+l)6)2+8g)+4(l—Q=0,因为鬲+依=4水2，所以4(1一&)=-8,解得：k

=3.

21.(12分)

己知函数√(x)=(χ-m?)InX+(3%+土)小一(%+1)X，kWR.

(1)若k>0,求7(x)的单调区间；

(2)若无CZ,且当x>l时，/(x)<lnx+l,求大的最大值.

【解析】⑴因为/(尤)=(LX)(InX-a当0<x<l或x>e"时，八X)V0,当l<x<e*时，/(x)>0,故於)

的增区间为(1,ei),减区间为(0,1)和(e*,+∞);

,,,„„”，，x∖nχ-sr1.xlnx÷1

(2y,(x)=(l-χ)(lnχ-⅛)<lnΛ+1,即πr