九 点的合成运动

理论力学TheoreticalMechanicsCHINAUNIVERSITYOFMININGANDTECHNOLOGYCompositeMotionofaPoint第九章点的合成运动运动学目录§9-1点的合成运动的概念

——绝对运动、相对运动和牵连运动§9-2点的速度合成定理§9-3点的加速度合成定理§9-4结论与讨论§9-1点的合成运动的概念动点相对于不同的参考系的运动有何不同？大梁不动时，p点的运动轨迹：相对于地面：相对于行车：平面曲线竖直向上的直线相对于地面：相对于直升机：螺旋线圆周运动相对于地面（坐标系oxy）：平面曲线（旋轮线）圆周运动相对于车（坐标系）：相对于地面（固定坐标系oxy）：水平直线螺旋线相对于工件（坐标系）：点的运动相对于不同的参考系是不同的。不同的运动之间有没有联系？如何联系？约定：动点:

所研究的点。定系:

固定在地球表面或相对于地球表面静止的坐标系。动系:

固连于相对地球（定系）运动的参考体上的坐标系。三种运动：动点相对于定参考系的运动；绝对运动：动点相对于动参考系的运动；相对运动：动参考系相对于定参考系的运动。牵连运动：动点动系定系绝对运动相对运动牵连运动绝对运动＝相对运动＋牵连运动注：绝对运动与相对运动都是指点的运动；牵连运动则是刚体的运动。牵连点？M1OM

牵连点:

动系上与动点相重合的点。（M1’）oxzy§9-2点的速度合成定理

、、的关系M（）如图，oxyz为定参考系，为动参考系。有如下关系：在图示瞬时，还有：①动点M

的相对速度为：相对导数②动点的牵连速度为：oxzyM（）已知：③动点的绝对速度为：速度合成定理oxzyM（）已知：速度合成定理注：⑴该定理不限定牵连运动的类型，即动参考系可以作平移、转动或其他任何复杂的运动。⑵该方程是一矢量方程，不论动点轨迹是平面曲线还是空间曲线，三个矢量共面，可求解两个未知量。⑶特点：避免列写运动方程，求导求出速度。而是通过建立某一时刻三个运动的速度关系来求解，直接求出速度。得到的是瞬时速度。例题1已知：OA＝l；

＝

t求：T型杆的速度和加速度.C

OAB

解：（1）取滑块A为动点，T型杆为动系（2）分析三种运动，确定速度的方向（3）作出速度平行四边形，求解求知量M30°例题2求：雨点下落的速度。解：取雨点M为动点，汽车为动系：OM

AB2

C已知：R，

=t(

为常数)求：(1)小环M的速度(2)小环M相对于AB杆的速度例题3解：（1）取小环M为动点

AB杆为动系

1

OO1AB

例题4已知：OO1＝l；OA=r;;求：当OA水平时摇杆的角速度

1解：取曲柄端点A为动点,

摇杆为动系:

1

OO1AB

C例题5求：BC

杆的速度

1

vBaOAB

h

例题6已知：h；

；

求：AB

杆的速度解：取AB

杆端点A

为动点，凸轮为动系例题7求：O1A杆的角速度

CO1O3rA

解：取轮心C为动点，O1A为杆动系2

D

1

2MO1O2例题8求：小环M

的速度已知：

2

=2

1

解:（1）取小环M

为动点圆环

为动系

（2）取小环M

为动点，杆为动系y

将上式向My

轴投影

将上式向

My轴投影其中：

1

2MO1O2y动点与动系选取原则●

动点与动系应选在不同的刚体上。●

动点相对于动系的相对轨迹应易于确定。（1）

对于没有约束联系的，一般可根据题意选取所研究的点为动点，如雨滴、矿石；而动系固定在另一运动的物体上，如车辆、传送带。

（2）

对于由主动件和被动件组成的机构，要根据约束与被约束的性质确定动点与动系。（3）

类似于下图的机构中，一个构件上总有一个点始终被另一个构件所约束。这时，以被约束的点作为动点，在约束动点的构件上建立动系，相对运动轨迹便是约束构件的轮廓线。

（4）

对于特殊问题，进行特殊处理。

CO1O3rA

CO

AB§9-3点的加速度合成定理

、、的关系Aoxzy1.准备工作为了便于推导，先分析动参考系为定轴转动时，其单位矢量对时间的导数。即：设动参考系以角速度绕定轴转动，不失一般性，可把转轴取为定坐标轴的z

轴，如图所示，A点的速度：又可表示为：先分析对时间的导数：同理可求得：2.推导的相互关系

、、oxzyM()①动点M

的相对加速度为：同理可求得：②

动点的牵连加速度为：oxzyM()2.推导的相互关系

、、同理可求得：③

动点的绝对加速度为：?2.推导的相互关系

、、oxzyM()同理可求得：令：科氏加速度则：加速度合成定理2.推导的相互关系

、、oxzyM()◆

科氏加速度的计算：注：◆当牵连运动为平行移动时，，加速度合成定理为：

特例

高压区低压区旋风的生成高压高压(1)不计地球的自转(2)计入地球的自转信风的生成

在北半球中纬度（

30°左右）地区吹向赤道低压区的风，由于科氏力作用产生右偏，使得北风变成由东北向西南吹的东北信风。由于地球的自转引起的水流科氏惯性力。

水流科氏惯性力对右岸的冲刷。例题9已知：OA＝l；

＝

t求：T型杆的速度和加速度解：取滑块A为动点，T型杆为动系AC

OAB

OO1

ARBC

解：取滑块A为动点圆弧型滑道为动系例题10已知：OA=R=10cm；

=4rad/s;=30°

求：T型杆的速度和加速度将上式向Ay

轴投影yOO1

ARBC

A例题10－解法二已知：OA=R=10cm；

=4rad/s;=30°

求：T型杆的速度和加速度解：取建立图示坐标系OO1

ARBC

x

OO1ABCD60°30°解：取CD杆C点为动点三角板ABC为动系例题11已知：OA＝r；

=const求：CD

杆的速度和加速度

OO1ABCD60°30°y将上式向y

轴投影解：取CD杆C点为动点三角板ABC为动系OM

AB2

C已知：R，

=t(

为常数)求：(1)小环M的速度、加速度(2)小环M相对于AB杆的速度、加速度例题12解：（1）取小环M为动点

AB杆为动系其中：

将上式向n

轴投影

解得：MOM

AB2

Cx

将上式向Mx

轴投影

解得：其中：MOM

AB2

C

1

OO1AB

例题13已知：OO1＝l；OA=r;

求：当OA水平时摇杆的角速度、角加速度。解：（1）取曲柄端点A为动点摇杆为动系

1

OO1AB

x将表达式向Ax轴投影

1

OO1AB

x将表达式向Ax轴投影解得：

1例题14已知：h；

；

；ρ求：AB

杆的速度、加速度。nOAB

h

解：取AB

杆端点A

为动点，凸轮为动系nOAB

h

将表达式向n轴投影例题15求：O1A

杆的角速度、角加速度。

CO1O3rA

解：取轮心C为动点，O1A为杆动系2

y

CO1O3rA

将表达式向Cy

轴投影

解得：例题16已知：OA=OB=l；vA；aA=

0求：套筒O

杆的角速度、角加速度解：取AB上的A

为动点，套筒O

为动系.OAB

eOAB

x

e其中：将表达式向Ax轴投影：练习1杆AB以匀速度沿水平方向向右运动，试求时，杆OC的角速度和滑块B相对于杆OC的加速度。ABCOθbB取滑块B为动点，杆OC为动系。练习2图示直角曲杆OBC

绕O

轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知：OB=0.1m,OB与BC垂直，曲杆的角速度，角加速度为0.求当时，小环M的速度和加速度。BMOCA

MM取小环M为动点，曲杆OBC为动系。练习3图示机构中，AB和OD

两杆可绕A轴和O轴转动，圆轮可绕轮心B相对于AB杆在图平面内转动，同时相对于OD杆作无滑动滚动。已知：AB杆长为

l，匀角速度为ω，圆轮半径为R,在图示瞬时AB杆与水平夹角为θ，OD杆恰处水平，且OE=AB=l

。试求该瞬时OD杆的角速度ωo

和角加速度。ABODE

练习4ABOφ图示机构中，AB杆A

端沿墙下滑，同时带动套筒O转动，在图示位置时，，，，OA=40cm

。试求该瞬时套筒O的角速度ωo

和角加速度。§9-4结论与讨论加速度合成定理：速度合成定理：熟悉运动的相对性

运动分析、速度与加速度分析中要特别注意运动的相对性，也就是对于不同的参考系，有不同的运动方程、轨迹、速度和加速度。合理选择动点、动系

选择动点和动系的原则

动点和动系应分别选择在两个不同的刚体上。

动点和动系的选择应使相对运动的轨迹简单、直观。

选择动点和动系的原则

选择动点和动系的原则

选择动点和动系的原则

选择动点和动系的原则

选择动点和动系的原则

选择动点和动系的原则●对于没有约束联系的，