2023年高考数学一轮复习习题：第一章第1节 集合

第一章DlYlZHANG

1集合与常用逻辑用语

第1节集合

考纲要求1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集

合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题；2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别

给定集合的子集；在具体情境中了解全集与空集的含义；3.理解两个集合的并集与交集的含

义，会求两个简单集合的并集与交集；4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给

定子集的补集；5.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.

知识分类落实回扣知识•夯实基础

知识梳理

1.元素与集合

(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.

(2)元素与集合的关系是属于或不属于,表示符号分别为C和电

⑶集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.

2.集合间的基本关系

⑴子集：若对任意XeA,都有恒B贝IJAUB或82A.

(2)真子集：若AUB,且集合B中至少有一个元素不属于集合4,则A8或BA.

(3)相等：若AUB,且率，则A=A

(4)空集的性质：。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.

3.集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集

若全集为U,则集合

符号表示A∩B

A的补集为［以

图形表示

AUBAClBCuA

集合表示[x∖χeA,或χCB}XGA,且χW8){x∖x^U,且依A}

4.集合的运算性质

(1)A∩A=A,4∩0=0,A∩B=B∩A.

(2)41M=A,AU0=4,AUB=BlJA.

(3)A∩(ΓυA)=<3,AUQA)=U,[(X[uA)=A.

•——常用结论与微点提醒

1.若有限集A中有〃个元素，则A的子集有2"个，真子集有2«-1个，非空子集有2"一1个,

非空真子集有2"一2个.

2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.

3∙AU8=A∩B=A=AUB=B=[以？]酒.

4.[,/A∩B)=([(/A)U(IUB),[α(AUB)=(CUA)C([曲).

诊断自测

►■思考辨析

1.判断下列结论正误(在括号内打“J”或“X”)

(1)任何一个集合都至少有两个子集.()

(2){x∣y=χ2+l}={),∣y=∕+l}={(χ,y)∣y=∕+]}.()

(3)若U2,l}={0,1},则x=O,1.()

(4)对于任意两个集合A,8,(A∩B)U(4U8)恒成立.()

答案(1)×(2)×(3)X(4)√

解析(1)错误.空集只有一个子集.

⑵错误.{x∣y=x2+l}=R,{y∣y=N+l}=[l,+∞),{(x,y)∣y=∕+l}是抛物线y=N+l上

的点集.

(3)错误.当x=l时，不满足集合中元素的互异性.

〉教材衍化

2.若集合P={χGNbWd2021},α=2√L贝∣J()

A.a∈PB.{α}∈P

C.{a}QPD.a^P

答案D

解析因为〃=2吸不是自然数，而集合P是不大于√Σ面的自然数构成的集合，所以质P,

只有D正确.

3.已知集合A={(x,y)∣Λ2+y2=l},B={(x,y)∣Λ,yGR且y=x},则AnB中元素的个数为

答案2

解析集合4表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆上的点的集合，集合B表示直线y=x

上的点的集合，圆/+产=1与直线y=χ相交于两点，则A∩B中有两个元素.

>考题体验

4.(2020•全国∏卷)已知集合A={x∣∣x∣v3,x∈Z},B={x∣∣x∣>l,x∈Z},则A∩B=()

A.0B.{-3,—2,2,3}

C.{-2,0,2}D.{-2,2}

答案D

解析集合A={X∣-3<Λ<3,X∈Z}={-2,-1,0,1,2},B={xf>l或广一1,x∈Z},

只有一2和2符合题意，所以4CB={-2,2}.

5.(2020•新高考山东卷)设集合A={x∣l<xW3},B={Λ-∣2<X<4},则AUB=()

A.{A∣2<X≤3}B.{X∣2WXW3}

C.{x∣l≤x<4)D.{x∣l<x<4)

答案C

解析AUB={Λ∣1WXW3}U{x∣2<x<4}={x∣l≤x<4).

6.(2021•西安五校联考)设全集U=R,A={x∖y=yj2x-x2],B={y∖y=2∖x∈R},则(CUA)CB

=()

A.{xh<0}B.{x∣0<x≤l}

C.{Λ∣1<X≤2}D.{φ>2}

答案D

解析易知4={x∣0WxW2},^汽比沁小竟源二口仅皿或入乂},故([t∕A)nB={χk>2}.

考点分层突破考点聚焦・题型剖析

考点一集合的基本概念自主演练

1.(2020・东北师大附中模拟)已知集合A={x∈Z∣—2<xWl},BQAf则集合B中的元素个数最

多是()

A.1B.2

C.3D.4

答案C

解析A={x∈Z∣—2αWl}={-l,0,1},由2UA,当B=A={—1,0,1}时，B中元素

最多，有3个.

2.(2021•百校联盟联考)已知集合A={20-1,a2,0},B={↑~a,a~5,9},且A∩B={9},

则”=()

A.±3,5B.3,5

C.-3D.5

答案C

解析易知“2=9或2a—1=9,.∖4=±3或α=5.

当α=3时，则1—α=α-5=-2,不满足集合中元素的互异性，舍去.

当α=5时，则ACB={9,0},与题设条件ACB={9}矛盾，舍去.

当”=-3时，A={-7,9,0),B=[4,-8,9},满足ACB={9},故。=一3.

3.已知集合A=且gwz},则集合A中的元素个数为()

A.2B.3

C.4D.5

答案C

3

解析V-—∈Z,.∙.2-χ的取值有-3,-1,1,3,又∙."∈Z,.∙.x值分别为5,3,1,

2~X

-1,故集合A中的元素个数为4,故选C.

4.设集合A={x∣(χ-a)2<l},且2CA,3初，则实数α的取值范围为.

答案(1，2]

(2-α)2<1,l<a<3,

解析由题意得解得,

(3—a)221ɑ≤2或“24.

所以1<67≤2.

感悟升华1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、

点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合

的含义.

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元

素是否满足互异性.

考点二集合间的基本关系师生共研

【例1】(1)已知集合A={T,1},B={x∣0x+l=O}.若BUA,则实数4的所有可能取值的

集合为()

A∙{-l(B.{l}

C.{-l,1}D.{-l,0,1}

(2)(2020・南阳一模)已知集合A={x∣(x+l)(x—6)W0},B={^tn~1≤x≤2m+1}.⅛BQA,则

实数m的取值范围为.

「5^l

答案(I)D(2)(—8,-2)"θ,2

解析(1)当8=0时，4=0,此时，BQA.

当8#0时，则ΛB=j.v∣x=-ɪj.

XBQA,Λ-^∈Λ,Λα=+I.

综上可知，实数。所有取值的集合为{-1,0,1).

(2)A={x∣-l≤x≤6}.

Vβ⊂A,.∙.B=0或

当6=0时，/%—l>2m+1,即〃?<—2.符合题意.

m~ɪ≤2AΠ+1,

当3≠0时，"m—1≥-1,

2m+lW6.

解得0≤∕nW∣.

得m<-2或0≤∕n≤,.

感悟升华1.若BUA,应分8=0和8W0两种情况讨论.

2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的

关系，进而转化为参数满足的关系.合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.确定

参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.

【训练1】⑴若集合M={耶长1},N={y∖y=x1,∣Λ∣≤1},则()

AM=NB.MQN

C.MΓ∣N=0D.NEM

(2)已知集合A={x|log2(x—1)<1},B={x^c-a∖<2},若AUB,则实数“的取值范围为()

A.(I,3)B.[l,3J

C.[l,+∞)D.(-∞,3]

答案(I)D(2)B

解析(1)易知河=(川一1忘》忘1},N=HIy=X2,IXlWI}={y∣0WyWl),：.NQM.

⑵由l0g2(x—1)<1,得0令一1<2,所以A=(l,3).

由仇一川<2得α—2<x<a+2,所以8=(α—2,α+2).

a^~2W1,

因为AU8,所以、解得lWαW3.

[a+ι2∖3,

所以实数”的取值范围为U,3J.

考点三集合的运算多维探究

角度1集合的基本运算

【例2】(1)(2020•天津卷)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={—1,0,1,

2},B={-3,0,2,3),则4∩([uB)=()

A.{-3,3}B.{0,2}

C.{-l,1}D.{-3,-2,-L1,3}

(2)(2021・西安测试)设全集U=R,M={x∣y=In(I—x)},ΛΓ={x∣2jc<x^2)<l},那么图中阴影部分

表示的集合为()

C.{Λ∣0<X≤1}D.{X∣X≤I}

答案(I)C(2)B

解析(I)CU8={-2,-1,1},.∙.A∩((uB)={-1,1}.故选C.

(2)图中阴影表示的集合为((UM)CM

易知M={xk<l},N={x∣0<x<2},

.∙.QΛ∕)ΠN={X∣1WX<2}.

角度2利用集合的运算求参数

[例3](1)(2021-日照检测)已知集合A={X∈Z∣X2-4X-5<0},B={x∣4">2"'},若ArIB中

有三个元素，则实数，"的取值范围是()

A.[3,6)B.[l,2)

C.[2,4)D.(2,4]

(2)已知集合4={x∣γ=∖4-χ2},B={x∣α≤x≤α+I),若AU8=A,则实数4的取值范围为

()

A.(-8,-3]U[2,+∞)B.[-L2]

C.[-2,1]D.[2,+∞)

答案(I)C(2)C

解析(1)因为x2-4χ-5<0,解得一l<x<5,则集合A={χdZ*-4x—5<0}={0,1,2,3,

4),易知集合B={x.吗}.又因为A∩8中有三个元素，所以14<2,解之得2W”K4.故实

数m的取值范围是[2,4).

(2)集合A={x∣y=WτP}={x|-2WXW2),

因AUB=A,则BUA.

-2,

又BW。,所以有,1所以一2WαWL

[α+lW2,

感悟升华1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进

行运算.

2.数形结合思想的应用：

(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

【训练2】(1)设全集为R,集合A={x∣0<x<2},B={x[x21},则A∩([R8)=()

A.{JC∣O≤X≤1}B.{x∣0<x<l}

C.{x∣l≤x<2)D.{X∣0<Λ<2)

(2)已知集合A={x∣x2-xW0},B={%∣α-l≤x<α),若A∩B只有一个元素，则”=()

A.0B.1

C.2D.1或2

答案(I)B(2)C

解析(1)因为B={x[x21},所以[R8={X[X<1},

又A={x∣0<x<2},所以AC([RB)={X∣0<X<1}.

(2)易知A=[0,1],且AnB只有一个元素，

∙"∙ci—1=1,解得α=2.

拓展视野/以集合为背景的创新问题

集合的新定义问题，体现了高考命题从能力立意到素养提升的一种命题导向，常见的命题形

式有新概念、新法则、新运算等.解答这类问题，关键是理解新定义的本质，把新情境下的

概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答.

【例1】对于任意两集合A,B,定义4-8={XiXCA且H8},A*8=(A—B)U(B-A),记

A={X∣Λ20},B={X∣-3≤X≤3},则A*B=.

答案{x|-3Wx<0或x>3}

解析∙.∙A={xk>O},8={R-3WxW3},

∙'∙A—B={x∣x>3},B—A={x∖一3≤x<0}.

.∙.A*B={x∣-3Wx<O或x>3}.

［例2］若一个集合是另一个集合的子集，称两个集合构成“全食”；若两个集合有公共

元素，但互不为对方子集，则称两个集合构成“偏食”.对于集合-/l},B={x∣,*

=1,介0},若两个集合构成“全食”或“偏食”，则。的值为.

答案0或1或4

解析因为B={x∣4χ2=］,”20},若α=0,则B=0,满足8为A的真■子集，此时A与B

构成“全食”，若“>0,则B=*k=V=∣古,-⅛

或1或4.

【例3】定义:设有限集合4={小=如iW〃，A∈N*},S=0+α2+…+%T+M则S叫

做集合A的模，记作∣A∣.若集合P={x∣x=2〃-1,〃W5,"∈N*},集合P含有四个元素的全

体子集为P,巳，…，Pk,%GN*,则∣P∣∣+∣B∣+…+1Pd=.

答案IOO

解析集合尸={1,3,5,7,9),依题意，集合P含有四个元素的全体子集为{1,3,5,

7},{1,3,5,9},{1,3,7,9},{3,5,7,9},{1,5,7,9),根据“模”的定义，回|

+IBI+…+1Pd=(I+3+5+7)+(1+3+5+9)+(1+3+7+9)+(3+5+7+9)+(1+5+7+

9)=4×(1+3+5+7+9)=100.

课后巩固作业分层训练•提升能力

A级基础巩固

一、选择题

1.(2019,全国I卷)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B=[2,3,6,

7),则BC(CUA)=()

A.{l,6}B.(l,7)

C.{6,7}D.{l,6,7)

答案C

解析由题意知又

CUA={1,6,7}.B={2,3,6,7},ΛB∩([(7A)={6,7}.

2.(2021•郑州模拟)设集合A={x∣3χ-l<m},若1∈A且2初，则实数的取值范围是()

A.(2,5)B.[2,5)

C.(2,5]D.[2,5]

答案C

解析∙.∙A={R3χ-l<m,1∈4且2阵4,

.∙.3X1-1<机且3X2-12机，解得2<mW5.

3.(2020・浙江卷)已知集合P={x∣l<x<4},Q={x∖2<x<3},则PnQ=()

A.{x∣l≤x≤2}B.{x∣2<x<3)

C.{x∣3≤x<4}D.{x∣l<x<4}

答案B

fl<x<4,

解析由题意得可得2<χV3,

I2<x<3,

即P∩Q={x∣2<x<3}.故选B.

4.已知集合4={x*+20r+2"≤0},若A中只有一个元素，则实数α的值为()

A.0B.0或一2

C.0或2D.2

答案C

解析TA中只有一个元素，

只有一个实数满足x2+2or+24W0,

因此/=4/一4X2α=0,.∙.α=0或α=2.

5.设集合M={x*-x>0},N={x,<l],则下列说法正确的是()

AJWNB.NM

CM=ND.MUN=R

答案C

解析集合M={4χ2-X>0}={小>1或x<0},N=im={4r>l或x<O},所以M=N.

6.(2021•豫晋名校联考)设全集Q=Ul2x2—5xW0,x∈N},PQQ,则满足条件的集合P的

个数是()

A.3B.4

C.7D.8

答案D

解析集合Q={x∣0Wx*X∈N}={0,1,2},满足PUQ的集合P的个数为23=8.

7.(2019・全国∏卷改编)已知集合A={xk2-5x+6>0},B={X∣Λ—120},全集U=R,则

AnQB)=()

A.(-∞,1)B.(-2,1)

C.(—3,—1)D.(3,+o°)

答案A

解析由题意A={x∣x<2或x>3}.又8={也21},知QB={x∣x<l},.∙.4∩(‰B)={x∣x<l}.

8.(2020•成都诊断)设集合A={X∣(X+2)(Λ~3)W0},B={a},若AUB=A,则〃的最大值为

()

A.-2B.2C.3D.4

答案C

解析因为A={x∣(x+2)(x—3)W0},所以A={x∣-2WxW3}.

又因为B={4},且AUB=A,所以BUA,所以〃的最大值为3.

二、填空题

9.(2020•北京卷改编)已知集合A={-l,0,1,2},B={x∣0<x<3},则A∩B=.

答案{1，2}

解析VA={-1,0,1,2},B={x∖O<x<3},ΛA∩B={1,2}.

10.(2021・湖南雅礼中学检测)设集合A={φ=√xτ3},B={x∣l<xW9},则([RA)ΠB=

答案(1,3)

解析因为A={x∣y=m二5},所以4={x∣x23},所以(RA={x∣x<3}.

又B={x∣l<xW9},所以([RA)CB=(1,3).

11.已知集合A={x仅=Ig(X一炉)},B={φ2-cχ<0ιc>0},若AUB,则实数C的取值范围是

答案[1,+∞)

解析由题意知，A={x∣y=lg(χ-X2)}={X∣X-x2>O}=(O,1),B={x∣x2-cx<0,c>0}=(0,

c).由AUB,画出数轴，如图所示，得CeL

B

Λ

OɪcX

2

12.若全集U=R,集合A=M