3.3函数的单调性和奇偶性

第三单元函数3.3

函数的单调性和奇偶性重视学科知识注重学科能力体现学科素养突出重点题型突破难点题型问题提出在初中,我们曾经利用函数图像探究函数值y随自变量x增大而增大(或减小)的变化规律.仔细观察下图的函数图像,随着自变量x的增大,函数y的变化趋势分别是怎样的?函数的单调性像上述情形,在某个区间内,函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫作函数的单调性.

函数的单调性(2)如果对任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减,如图所示.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数.一般地,设函数的定义域为I,区间D⊆I.(1)如果对任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增,如图所示.特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就称函数y=f(x)在区间D上具有(严格的)单调性,并且区间D叫作函数y=f(x)的单调区间.例题讲解例1如图是函数y=f(x),x∈[-1,8]的图像,根据图像回答下列问题.

（1）当x取何值时,函数值最大,最大值是多少?当x取何值时,函数值最小,最小值是多少?(2)说明该函数的单调区间及在每一个区间上的单调性.例题讲解解(1)由图可知,当x=2时,函数值最大,最大值是3;当x=6时,函数值最小,最小值是-3.(2)函数y=f(x)的单调区间有[-1,2],[2,6],[6,8].函数y=f(x)在区间[-1,2]和[6,8]上都是增函数,在区间[2,6]上是减函数.例题讲解

例题讲解

例题讲解例3判断函数f(x)=x+1在(-∞,+∞)上的单调性.解任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,那么f(x1)=x1+1,f(x2)=x2+1,则f(x1)-f(x2)=x1+1-x2-1=x1-x2<0,所以,函数f(x)=x+1在(-∞,+∞)上是增函数.综上所述,当k>0时,函数f(x)=kx+b在区间(-∞,+∞)上是增函数,如图所示;当k<0时,函数f(x)=kx+b在区间(-∞,+∞)上是减函数,如图所示.练习1(1)填我空国题20.19年1月至2020年9月全国居民消费价格月度同比上涨情况如图所示.(注:引自国家统计局)从图中可以看出,我国居民消费价格同比上涨值从2019年2月的

逐渐上升到2020年1月的

,随着时间的推移逐渐降低到2020年5月的

.练习函数y=f(x)的定义域为(-∞,+∞),其图像如图所示函数在区间

上是增函数,在区间

上是减函数.（3）函数f(x)=2x-1在区间(-∞,+∞)上是

(填“增”或“减”)函数,则f(4)

f(1);(填“<”或“>”函数g(x)=x1在区间(-∞,0)上是

(填“增”或“减”)函数,则g(-2)

g(-5)(填“<”或“>”).练习

(1)求函数的对称轴方程和顶点坐标;(2)指出函数的单调区间及在每一个区间上的单调性;(3)当x∈[-1,1]时,求函数的最大值和最小值.偶函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫作偶函数,如图所示.偶函数的图像关于y轴对称.我们可以由函数的图像是否关于y轴对称来判断函数是不是偶函数.例题讲解例1

根据图中函数的图像,判断哪些函数是偶函数.例题讲解例2已知f(x)=|x|+1是偶函数,其图像在y轴右边的部分如图所示.试画出这个函数图像在y轴左边的部分.例题讲解

练习填空题.

(1)点(3,-1)是偶函数y=f(x)图像上的点,则点

也一定在这个函数的图像上.

(2)若偶函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且f(-4)=-3,则f(4)=

.练习2.在下列四个函数的图像中,具有偶函数图像特点的是().练习

练习

奇函数一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果对于任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫作奇函数,如图所示.

奇函数的图像关于原点中心对称.我们也可以由函数图像是否关于原点中心对称来判断函数是不是奇函数.例题解析例4根据图中函数的图像,判断哪些函数是奇函数.例题解析

例题解析例6判断下列函数是不是奇函数.(1)f(x)=

+x;(2)f(x)=x+

;(3)f(x)=x+|x|.如果一个函数是奇函数或偶函数,那么就称这个函数具有奇偶性.否则,函数不具有奇偶性.

练习奇函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),且f(-1)=7,则f(1)=

.2.奇函数f(x)的图像在(-∞,0)的部分如图所示,请你画出函数图像在y轴右边的部分.练习抽象概括29判断函数在给定区间的单调性一般步骤是:取值：在给定区间内取任意两个值，且作差：作差定号:确定差的符号判断：①若，则函数在给定区间上是增函数②若，则函数在给定区间上是减函数抽象概括301.函数的奇偶性2.判断函数奇偶性的方法S1判断当x

A

时，是否有-x

A

；S2当S1成立时，对于任意一个x

A，若

f(-x)=

-f(x)，则函数y=f(x)是奇函数；若

f(-x