第03讲：函数的概念和性质 解析版

第03讲：函数的概念和性质【考点梳理】考点一：函数的定义域 考点二：复杂（根式、分式）函数的值域考点三：求解析式三大方法 考点四：分段函数考点五：根据函数的单调性求参数范围 考点六：函数不等式恒成立问题考点七：利用奇偶性求函数的解析式 考点八：抽象函数的奇偶性问题考点九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式 考点十：函数性质的综合性问题【知识梳理】知识一：函数的有关概念函数的定义设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数函数的记法y＝f(x)，x∈A定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域值域函数值的集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(fx|x∈A))叫做函数的值域知识二：函数的单调性增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的知识三．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值知识四．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【题型归纳】题型一：函数的定义域1．（2023上·河北沧州·高一统考期中）函数的定义域是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】按定义域的定义计算即可【详解】由题有故故选：A2．（2023·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意先求得函数的定义域为，然后结合抽象函数定义域与求解即可；【详解】由题意可知，所以，要使函数有意义，则解得.故选：D3．（2023上·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考期末）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）【答案】D【分析】由复合函数的定义求定义域，同时注意分母不为0．【详解】由解得，又，得.故选：D．题型二：复杂（根式、分式）函数的值域4．（2023上·江苏苏州·高一苏州中学校考期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域.【详解】令，，则，所以函数，函数在上单调递增，时，有最小值，所以函数的值域为.故选：C5．（2023上·浙江宁波·高一镇海中学校考期中）函数的值域为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知得，平方化简得，则，解不等式组可求得结果.【详解】由，得或，则函数定义域为，由，得，所以，得，显然，所以，所以，由，得，所以，所以，，解得或，由，得，，解得，由，得，，解得，综上，或，所以函数的值域为，故选：D6．（2023上·重庆永川·高一重庆市永川中学校校考期中）下列函数中，值域为[1，+∞)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分别利用换元，分离常数，上下同除结合基本不等式，函数单调性求解各选项对应函数值域即可得答案.【详解】A选项，令，则，则函数在上单调递增，则，故A错误；B选项，，则，故B错误；C选项，因，则，又注意到，当且仅当时取等号，则，故C错误.D选项，注意到函数均在上单调递增，则，故D正确.故选：D题型三：求解析式三大方法7．（2023上·湖北·高一校联考期中）已知，则函数的解析式为（

）A． B．（）C．（） D．（）【答案】C【分析】令（），采用换元法求函数的解析式.【详解】设（），则，，所以（），故选：C.8．（2023上·河南开封·高一统考期中）已知函数的定义域为，且满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，可得，然后化简求得，利用基本不等式即可求解.【详解】由①，令，②，由得，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：D9．（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）已知，则函数的表达式为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用配凑法先求出函数，再整体代入即可求出函数的表达式.【详解】因为所以所以，即.故选：C.题型四：分段函数10．（2024上·重庆北碚·高一统考期末）设函数，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，先分段讨论求得，再分段讨论求得，从而得解.【详解】因为，令，则可化为，当时，，即，解得（负值舍去），即，当时，，即，而，故上述不等式无解；综上，，若，则，解得（负值舍去）；若，则，解得（舍去）；综上：.故选：A.11．（2023上·吉林·高一吉林一中校考期末）设，则的值为（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】根据分段函数的解析式，将x的值代入相应的解析式中计算，即可求得答案【详解】由题意得，故的值为9，故选：B12．（2023上·云南·高一云南师大附中校考期末）已知函数是上的减函数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据分段函数的单调性的判定方法，结合二次函数与反比例函数的性质，列出不等式组，即可求解.【详解】由函数是上的减函数，则满足，解得，所以a的取值范围为.故选：D．题型五：根据函数的单调性求参数范围13．（2023上·北京·高一北京四中校考期中）函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分类讨论，根据一次函数、二次函数性质运算求解即可.【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意；当时，因为函数的对称轴为，若函数在区间上是增函数，则或，所以或；综上，，故实数的取值范围是.故选：D14．（2023上·辽宁·高一沈阳二中校联考期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据对数型复合函数的单调性求出的单调区间，即可求出参数的取值范围.【详解】对于函数，令，解得或，所以函数的定义域为，又在上单调递减，在上单调递增，在定义域上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，因为函数在上单调递增，所以，即的取值范围是.故选：A15．（2023上·全国·高一期末）已知是上的增函数，那么a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，利用一次函数，对数函数及分段函数的单调性列不等式组即可求的取值范围.【详解】因为是上的增函数.则是增函数，所以，即，又也是增函数，则有，所以，即，解得.故实数的取值范围为.故选：D.题型六：函数不等式恒成立问题16．（2023上·甘肃陇南·高二校考期末）已知函数，且不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得到对任意恒成立，根据开口方向和对称轴，得到，求出答案.【详解】由不等式对任意恒成立，即对任意恒成立，∵，对称轴，∴只需即可，可得．即，解得，又，所以，故选：D．17．（2023上·江西南昌·高一校考期中）已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先判定分段函数的单调性，再计算即可.【详解】由二次函数的单调性可知，时，单调递减，时，单调递减，且，故函数在区间上单调递减，因此不等式等价于，即，因此有.故选：A18．（2023上·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期中）设函数，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】研究函数的单调性和对称性，根据函数性质把恒成立问题转化为，利用函数单调性求解最值即可求解.【详解】因为，，所以，所以函数关于直线对称，当时，，则函数在上单调递增，所以在上单调递减，又不等式在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以在上恒成立，所以，因为函数在上单调递增，所以，因为函数在上单调递减，所以，所以，即.故选：D题型七：利用奇偶性求函数的解析式19．（2023上·山东济宁·高一统考期中）已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则时，的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性求得正确答案.【详解】是定义域为的奇函数，当时，，所以.故选：A20．（2023上·江西九江·高一九江一中校考期中）定义在上的奇函数，当时，，则的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用奇函数的定义求出函数在时的解析式，然后分、两种情况解不等式，综合可得出不等式的解集.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，则，当时，，当时，，则，下面解不等式.当时，即当时，则，解得，此时，；当时，即当时，则，可得，解得或，此时，或.综上所述，不等式的解集为.故选：A.21．（2023上·辽宁大连·高一大连市一0三中学校考期中）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则函数解析式为.【答案】【分析】利用奇函数的性质求出函数在时的解析式，由奇函数的性质得出，综合可得出函数的解析式.【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，，则，由奇函数的性质可得，因此，.故答案为：.题型八：抽象函数的奇偶性问题22．（2023上·江苏·高一期末）若定义在上的奇函数在上单调递减，且，则满足的的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，得到的单调性及，再结合不等式，分类讨论，即可得出答案.【详解】因为在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，所以当时，，当时，.所以由可得：或或,解得或或，即或.所以满足的的取值范围是.故选：D.23．（2023上·海南海口·高一校考期中）定义在上的函数满足：对任意都有，且，，则下列命题错误的是（

）A． B．的图象关于点对称C． D．是偶函数【答案】B【分析】利用赋值法和函数的性质逐项分析即可.【详解】对于A，令得，，且，所以，故A正确；对于D，令得，，，且定义域关于原点对称，故是偶函数，故D正确；对于C，，所以令得，，,,，即.所以，故C正确；对于B，，且是偶函数，，即的图象关于对称，故B错误.故选：B24．（2023下·浙江宁波·高二统考期末）已知函数的定义域为R，为奇函数，且对于任意，都有，则下列结论中一定成立的是（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】C【分析】由是奇函数，得即可判断，先证明，得到，从而判断，证明的周期为，再证明函数的图象关于对称，可判断C，由结合周期性判断D.【详解】由是奇函数，得，即，选项错误；由，得，所以，即，则，B错；由可得可得函数的周期为，与可得，即函数的图象关于对称，根据周期为2可得函数的图象关于对称，即，所以为偶函数，C正确；因为且函数的周期为，所以，为偶函数，，故选项错误．故选：．题型九:利用函数的奇偶性与单调性解不等式25．（2024上·黑龙江·高一校联考期末）已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由于时单调递增，且，则时，，时，，再结合奇偶性即可得时，，时，，分和两种情况讨论即可得解集.【详解】当时，单调递增，又，故当时，，当时，，因为是定义在R上的奇函数，所以当时，，当时，.若，.故，解集为；若，，故，解集为，综上，解集为.故选：D.26．（2023上·四川·高一校联考期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性、奇偶性画出的大致图象，结合图象来求得不等式的解集.【详解】根据题意可得在上单调递增，因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增．令，解得或（舍去），则．画出的大致图象，则由不等式，得或，解得或，所以不等式的解集为.故选：D27．（2024上·吉林辽源·高一辽源市实验高级中学校校联考期末）已知函数的定义域为的图象关于点对称，，且对任意的，满足.则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先研究函数的单调性与对称性，结合函数零点作出图象，借助函数图象由符号法则解不等式.【详解】由题意，不妨设，则由可得，，，即当时，恒有成立，故在单调递减；的图象关于点对称，则是奇函数，所以在单调递减；由函数的定义域为，则，又，则，作出函数大致图象，不等式等价于或，①由方程，得，或或或，解得或或或.②由不等式可化为，或，即，或，解得，或，综上可知，，或.故选：C.题型十：函数性质的综合性问题28．（2024上·上海奉贤·高一统考期末）已知函数（且）(1)若，求函数的值域；(2)若，是否存在正数，使得函数是偶函数，请说明理由.(3)若，，且函数在上是严格增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用分离常数法由指数函数值域即可求出该函数值域为,（2）由函数奇偶性定义即可解得，（3）利用函数单调性定义并根据基本不等式计算即可求得实数的取值范围是.【详解】（1）若可得函数，由指数函数值域易知，所以，因此可得，即该函数的值域为；（2）若，则函数，显然定义域为，假设存在正数，使得函数是偶函数，即满足，又易知，即可得，即，解得，此时为偶函数，符合题意，所以存在正数，使得函数是偶函数；（3）若，，则，取，且则，若函数在上是严格增函数，则可知,由于，所以，又易知，所以在上恒成立即可，即，因此求得即可，因此可不予考虑，只需考虑时成立即可；当，易知,显然为减函数，所以；当且仅当时，等号才成立，显然取不到等号，因此.即实数的取值范围为.29．（2024上·上海·高一校考期末）已知函数，且．(1)求实数，判断函数在上的单调性，并用定义证明；(2)利用函数的单调性和奇偶性，解不等式．【答案】(1)，在上的单调递增，证明见详解(2)【分析】（1）先由求出实数，再用定义法判断和证明函数的单调性；（2）利用函数的单调性和奇偶性得出关于的不等式，求出取值范围.【详解】（1）由题知，则，所以.在上的单调递增.证明：对，且，则，因为，所以，，所以，即，所以在上的单调递增.（2）由（1）知，定义域为关于原点对称，又，所以为奇函数.由，得，即，又，，由（1）知在上的单调递增，所以，所以.30．（2024上·上海·高一上海市实验学校校考期末）定义在上的函数满足对于任意实数，都有，且当时，，.(1)判断的奇偶性并证明；(2)判断的单调性并证明；(3)解关于的不等式（）.【答案】(1)奇函数，证明见解析(2)在上是减函数，证明见解析(3)答案见解析【分析】（1）根据奇函数的定义法证明，即可求解；（2）由函数的定义法证明单调性，从而姐姐；（3）根据（1）（2）结论并利用函数的单调性并结合分类讨论从而可求解.【详解】（1）奇函数，证明如下，证明：由题意知，令，则，得，再令，得，所以，所以为奇函数，故即证为奇函数.（2）在上是减函数，证明如下，证明：任取，则，由题意知，则，所以，所以在上是减函数.（3）不等式，即为，即，即有，由（2）知在上是减函数，则，即，即有.当时，得解集为；当时，即，时，，此时解集为；当时，，此时解集为；当时，即有，时，，此时解集为，当时，，此时解集为.【强化精练】一、单选题31．（2023上·吉林·高一校联考期末）奇函数在上单调递增，且，则满足的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的性质可得出，.结合已知单调性，即可得出的单调性，列出不等式，求解即可得出答案.【详解】由为奇函数，得，且，所以不等式等价于.根据已知在上单调递增，以及奇函数的对称性，可知在上单调递增，所以，解得.故选：B.32．（2023上·广东广州·高一广州市南武中学校考期末）下列哪一组的函数与是同一函数（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项即可.【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数；B：定义域为R，定义域为，不为同一函数；C：定义域和对应法则都相同，是同一函数；D：显然定义域不同，不是同一函数.故选：C33．（2024上·云南大理·高二统考期末）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二次函数的单调性求实数的取值范围.【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴方程为，由函数在区间上单调递减，则有，所以实数的取值范围是.故选：B.34．（2024上·上海虹口·高一统考期末）对于以下两个结论，说法正确的是（

）结论①：设，若任取，且，则必有；结论②：设，则有对恒成立．A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错【答案】B【分析】利用增函数的性质即可判断①，举反例即可判断②.【详解】对于①，因为在上是增函数，且在上也是增函数，所以在上是增函数，则任取，且，必有，①正确；对于②，，②错误.故选：B35．（2024上·辽宁大连·高一大连二十四中校考期末）已知函数是定义在的奇函数，且在上单调递增，若，则实数t的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】运用奇函数性质可得及单调性性质求解即可.【详解】因为是定义在的奇函数，且在上单调递增，所以在上单调递增，又，所以，所以，解得，故t的范围为.故选：D.36．（2021上·内蒙古赤峰·高一校考期中）定义在上的函数的图象关于对称，且满足：对任意的，，且（）都有，且，则关于的不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由已知可得函数在上为减函数，且，又由函数的图象关于对称，可得函数在上为增函数，且，分类讨论可得答案.【详解】因为对任意的，，且都有，所以函数在上为减函数，又由函数的图象关于对称，且，所以函数在上为增函数，，对于，显然，当时，，满足；当时，，满足；当时，，满足；当时，，不满足；综上，.故选：D.【点睛】关键点睛：本题解决的关键利用函数的对称性得出函数的单调性.37．（2023上·重庆九龙坡·高一重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数在上是增函数，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性列不等式，由此求得的取值范围.【详解】由于在上是增函数，所以，解得，所以的取值范围是.故选：D38．（2024上·辽宁沈阳·高一统考期末）定义域为的函数满足，，且，，当时，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得出函数的单调性和对称性，再进行分类讨论即可.【详解】由题意，是函数的对称轴，在上是增函数，又，所以，所以当时，满足，当时，，也满足，所以不等式的解集为故选：D.【点睛】关键点睛：本题的关键是得到函数的对称性和单调性，再根据其单调性和对称性对分类讨论即可.二、多选题39．（2024上·云南大理·高一统考期末）已知函数，且，则（

）A． B．是奇函数C．函数的图象关于点对称 D．不等式的解集为【答案】BD【分析】由，解得，从而判断A；根据奇函数的定义判断B；通过判断是否成立判断C；判断出函数在R上单调递增，将原不等式转化为，求解后判断D.【详解】解：因为，所以，解得，故A错误；所以，因为，所以是奇函数，故B正确；因为，所以函数的图象不关于点对称，故C错误；因为，易知在R上单调递增，所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：BD.【点睛】结论点睛：如果，则函数关于点中心对称.40．（2023上·四川凉山·高一校联考期末）下列各组函数中，两个函数是同一函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】CD【分析】根据相同函数的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，的定义域为，的定义域是，所以两个函数不是同一函数，所以A选项错误.B选项，，，所以两个函数不是同一函数，所以B选项错误.C选项，对于，，所以的定义域为，且，对于，，所以的定义域为，所以两个函数是同一函数，所以C选项正确.D选项，，，两个函数的定义域为，对应关系相同，是同一函数，所以D选项正确.故选：CD41．（2024上·云南玉溪·高二统考期末）已知函数是定义域为的奇函数，则下列式子一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】对于AC：举反例说明即可；对于BD：根据奇函数的定义分析判断.【详解】因为是定义域为的奇函数，所以，则B一定成立；令，则，解得，则D一定成立；例如，则为奇函数，符合题意，但，可知，即A不一定成立；且，即C不一定成立；故选：BD．42．（2023上·广东佛山·高一佛山一中校考阶段练习）已知定义域为R的函数对任意实数都有，且，则以下结论正确的有（

）A． B．是偶函数C．关于中心对称 D．【答案】BCD【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义判断ABC，利用BC中的结论，结合赋值法得到，从而得解.【详解】因为定义域为R的函数，有，令，则或，故A错误，若时，令，则，此时是偶函数；若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，令，则，所以关于中心对称，故C正确，由关中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以，所以，令，则，故，进而，故D正确.故选：BCD.43．（2023上·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考期末）已知函数.记，则下列关于函数的说法正确的是（

）A．当时，B．函数的最小值为-1C．函数在上单调递减D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或【答案】ABD【分析】由定义作出函数的图像，结合图像验证选项中的结论.【详解】在同一直角坐标系下作出函数和的图像，由函数的定义，得的图像如图所示，结合图像可知，当时，，，A选项正确；函数的最小值为-1，B选项正确；函数在上单调递增，C选项错误；若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或，D选项正确.故选：ABD三、填空题44．（2023上·江西赣州·高一江西省信丰中学校考阶段练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是.【答案】【分析】应用求解抽象函数的定义域的方法求出的定义域，和的解集，即可求解.【详解】由题意得函数的定义域是，令，所以，即，解得，由，解得或，所以函数的定义域为.故答案为：.45．（2023上·河南新乡·高一校考期末）已知，则.【答案】【分析】利用换元法求解即可【详解】令，则，所以，即，故答案为：46．（2024上·上海杨浦·高一校考期末）已知奇函数在区间上的解析式为，则在区间上的解析式．【答案】【分析】根据奇函数满足求解即可.【详解】依题意，当时，，故在区间上的解析式.故答案为：47．（2023上·浙江·高一校联考期中）若函数的值域为R，则实数a的取值范围是.【答案】【分析】根据分段函数性质，注意时，二次函数分类讨论求解即可.【详解】因为函数，当时，有，当且仅当时等号成立.值域为R，当，有，满足题意;当，二次函数开口向上，不满足题意;当，的对称轴当时，即，，要使的值域是R，则应有，所以；当时，即，，要使的值域是R，则应有，所以故矛盾，舍去.综上所述，当时，的值域是R.故答案为：48．（2024上·上海·高一校考期末）已知，若对任意的，都有，则实数b的取值范围是．【答案】【分析】由题意首项得到，即对任意的，恒成立，结合已知由此即可得解.【详解】由题意对任意的，都有，且，所以，，即对任意的，恒成立，而，不妨设，令，则，所以对任意的，恒成立，当且仅当，即实数b的取值范围是.故答案为：.四、解答题49．（2024上·上海·高一上海南汇中学校考期末）已知函数的表达式为．(1)证明：当时，函数在上是严格增函数；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)当，是偶函数；当，是非奇非偶函数.【分析】（1）根据题意，由函数单调性的定义证明，即可得证；（2）根据题意，由函数奇偶性的定义，分与讨论，即可得到结果.【详解】（1）当时，，任取，则，因为，则，，，则，所以，即，所以函数在上是严格增函数.（2）因为的定义域为关于原点对称，当时，，则为偶函数；当时，，则，，所以是非奇非偶函数.50．（2021上·云南楚雄·高一校考期末）已知函数的定义域为，且对任意的正实数、都有，且当时，，．(1)求证：；(2)求；(3)解不等式．【答案】(1)证明见解析(2)(3)【分析】利用赋值法可以解决（1）（2），证明函数的单调性，转化为代数不等式求解可解决问题（3）.【详解】（1