第02讲 空间向量基本定理【秋季讲义】（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第02讲空间向量基本定理【人教A版2019】·模块一空间向量基本定理·模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题·模块三课后作业模块一模块一空间向量基本定理1．空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．用基底表示向量的步骤:(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．(3)下结论：利用空间的一个基底{，，}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，，，不能含有其他形式的向量．3．空间向量的正交分解(1)单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．(2)向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．【考点1用空间基底表示向量】【例1.1】（2023春·高二单元测试）如图，在空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，且OM=2MA，

A．23a+C．-23a【解题思路】根据空间向量的线性运算可得结果.【解答过程】因为BN=NC，即N为BC的中点，所以ON=因为OM=2MA，所以OM=MN=ON-OM故选：C.【例1.2】（2023春·江苏常州·高二校考阶段练习）已知空间四边形OABC中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在BC上，且MB=2MC，N为A．12a-C．-12a【解题思路】根据空间向量的线性运算，用OA、OB和OC表示出MN即可.【解答过程】解：因为点M在BC上，且MB=2MC，所以MC=所以MN====-=-故选：D.【变式1.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，P为AD1与A1A．a+12C．-a+1【解题思路】利用空间向量线性运算结合平行六面体的结构特征计算作答.【解答过程】在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，因P为所以CP=故选：B.【变式1.2】（2023秋·河南许昌·高二校考期末）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AC与BD的交点为A．-a+b+2c B．a+【解题思路】根据题意用向量A1B1,A1【解答过程】由图可得B1所以2B故选：A.【考点2由空间向量基本定理求参数】【例2.1】（2023春·甘肃兰州·高二校考期末）已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点，PA⊥平面ABCD，点M,N满足PM=12PC，PN=23A．-1 B．1 C．-12 D【解题思路】根据题意，由平面向量基本定理结合平面向量的线性运算，即可得到结果.【解答过程】

因为PM=12所以MN=2因为MN=xAB+yAD+zAP，所以所以x+y+z=-1故选：C.【例2.2】（2023·江苏·高二专题练习）设P-ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，D是PG上的一点，且PD=DG，若PD=xPA+yA．56,13,23 B．【解题思路】G是等边△ABC的重心，可得AG=13AB+13AC=13(【解答过程】因为三棱锥P-ABC是正三棱锥，G是△ABC的重心，所以AG=因为D是PG上的一点，且PD=所以PD=因为PG=所以PD===1因为PD=x所以x=y=z=1所以x,y,z为16故选：B.【变式2.1】（2022·全国·高二假期作业）如图，在三棱锥O-ABC中，点G为底面△ABC的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若OD=kOA，OE=mOB，OF=nA．133 B．23 C．32【解题思路】由空间向量基本定理，用OA，OB，OC表示OM，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数λ,μ，使DM【解答过程】由题意可知，OM=因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数λ,μ，使DM=λ所以OM-所以OM=(1-λ-μ)所以(1-λ-μ)k=2所以1k故选：D.【变式2.2】（2022秋·河南·高二校考阶段练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，H分别在棱BB1，BC，BA上，且满足BM=34BB1，BN=A．105 B．125 C．145【解题思路】根据条件确定O点位置，再根据向量表示确定x,y,z的值，即得结果.【解答过程】如图，Q为AC与BD交点，P为BQ中点，O为MQ与B1P的交点.过P作PT平行MQ交BB如图,则T为BM中点，所以MT=1所以B1因此BO=因为BO=xBH+yBN+z故选：C.【考点3正交分解】【例3.1】（2023春·高二课时练习）已知a,b,c是空间的一个单位正交基底，向量p=a+2b+3A．32,-12,3 B．-3【解题思路】设p=xa+b+y【解答过程】解：设p=x=x+y所以x+y=1x-y=2z=3，解得所以向量p在基底a+b,故选：A.【例3.2】（2023·全国·高二专题练习）设{i,j,k}是单位正交基底，已知a=i+j,b=A．(10,12,14) B．(14,12,10)C．(12,14,10) D．(4,3,2)【解题思路】根据向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4得到p=12i【解答过程】因为向量p在基底a,b,c下的坐标为8,6,4，所以p=8a+6故选：C.【变式3.1】（2023·高二课时练习）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD1的中点为M，B1D1的中点为N，若以{DA,DC,DD1}为单位正交基底,A．(12,C．(0,12【解题思路】根据正方体的性质，应用空间向量加减的几何表示可得MN=0⋅DA+12【解答过程】由MN=DN-DM=DD1+D1故选：C.【变式3.2】（2023秋·黑龙江大庆·高二统考期末）a,b,c是空间的一个单位正交基底，p在基底a,b,c下的坐标为A．(-1,2,3) B．(1,-2,3) C．(1,2,-3) D．(-3,2,1)【解题思路】设向量p在基底a+b,b【解答过程】解：由题意向量p=2a+b+5c，设向量∴p∴2∴x+z=2x+y=1y+z=5所以向量p在基底a+b,故选：A．模块二模块二用空间向量基本定理解决相关的几何问题1．证明平行、共线、共面问题(1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.2．求夹角、证明垂直问题(1)θ为a，b的夹角，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.3．求距离(长度)问题eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路:(1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题；(2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围；(3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得．【注】用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【考点4证明平行、共线、共面问题】【例4.1】（2023·全国·高二假期作业）如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为A1C上一点，且A【解题思路】取空间的基底，利用空间向量基本定理探求MC1【解答过程】在正方体ABCD-A1BA1O=23A1C，BD与于是MO=1MC因此MC1=3MO，即MC1//所以C1,O,M【例4.2】（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为【解题思路】利用空间向量基本定理和空间向量共线定理证明.【解答过程】证明：设DA=i，DC=则｛i，j，k｝构成空间的一个单位正交基底．所以EF=D'所以EF=所以EF//AC．【变式4.1】（2023秋·高二课时练习）已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足OM=(1)判断MA,(2)判断点M是否在平面ABC内.【解题思路】（1）根据空间向量的线性运算，结合平面向量基本定理证明即可；（2）根据（1）结合平面向量的基本定理判断即可.【解答过程】（1）由题知OA+∴OA-即MA=∴MA,MB（2）由（1）知，MA,MB,∴M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内.【变式4.2】（2022秋·湖北武汉·高二校考阶段练习）在正四棱锥P-ABCD中，点M,N,S分别是棱PA,PB,PC上的点，且PM=xPA,(1)若x=1,y=12，且PD//平面MNS(2)若x=23,y=12，且点D∈【解题思路】（1）由PD//平面MNS利用共面定理可得PD=λMN+μMS再将（3）由点D∈平面MNS，可知D、M【解答过程】（1）∵PM=xPA,∴PM在正四棱锥P-ABCD中BD=可得PD-即PD=又PD//平面MNS∴所以存在实数λ、μ即PD=λPN-又PD=PA-∴-λ-μ=1λ2=-1（2）由（2）可知PD又PM=xPA,可得PD又点D∈平面MNS，即D、所以32-2+1【考点5几何中的求夹角、证明垂直问题】【例5.1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都为【解题思路】设出基向量，然后根据图形，结合几何关系用基向量表示出BD1=-a+b+c，【解答过程】设AB=a，AD=b由已知可得a⋅因为BD1=BA+AC=所以，BD12=-AC2=a+bBD1⋅AC=所以BD1=所以，cosB故直线BD1与AC的夹角的余弦值为【例5.2】（2023·江苏·高二专题练习）已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．【解题思路】取定基底向量OA,OB,OC，并分别记为a,b【解答过程】在空间四边形OABC中，令OA=a,令∠AOB=∠BOC=∠AOC=θ，G是MN的中点，如图，则OG=12于是得OG=1因此，OG⊥所以OG⊥BC.【变式5.1】（2023·全国·校联考一模）如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点．设AB=a，AC=(1)求证EG⊥AB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值．【解题思路】（1）作出辅助线，利用三线合一证明出CE⊥AB,DE⊥AB，从而得到线面垂直，进而证明线线垂直；（2）用a,b,c表达AG与EC，利用空间向量夹角公式求解异面直线AG【解答过程】（1）证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以AC=BC,BD=AD，故CE⊥AB,DE⊥AB，又因为CE∩DE=E，CE,DE⊂平面CDE，所以AB⊥平面CDE，因为EG⊂平面CDE，所以AB⊥EG.（2）由题意得：△ABC,△ACD,△ABD均为等边三角形且边长为1，所以AG=EC=AG=12所以AG==1设异面直线AG和CE所成角为θ，则cosθ=【变式5.2】（2022秋·天津滨海新·高二校考阶段练习）已知平行六面体ABCD-A1B1C1D（1）证明：DD（2）求异面直线CA1与AB【解题思路】（1）由题，选定空间中三个不共面的向量为基向量，只需证明DD（2）用基向量求解向量CA1【解答过程】设CD=a，CB由题可知：a,b,c两两之间的夹角均为π（1）由D=所以DD1（2）由CA1所以CA1又C则cos<又异面直线夹角范围为(0,所以异面直线CA1,AB【考点6几何中的求距离(长度)问题】【例6.1】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为

【解题思路】设AB=a, 【解答过程】设AB=则a=b=1，c=2，因为DB所以DB【例6.2】（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为

【解题思路】设AB=a，AD=b，A【解答过程】设AB=a，AD=则a=b=1，cc⋅∵AC∴A==1∴线段AC1的长为【变式6.1】（2023·高二课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90∘，沿它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60∘【解题思路】利用空间向量线性运算可得BD=BA+AC【解答过程】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB//CD，又∠ACD=90∘∴AC⋅CD∵在空间四边形ABCD中，AB与CD成60∘角，∴<BA,又BD=BA+AC+当<BA,CD>=60∘时，BD2当<BA,CD>=120∘时，BD2综上所述：B,D两点间的距离为2或2.【变式6.2】（2022秋·河南洛阳·高二校考阶段练习）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：(1)AB⋅AD(2)线段AC1的长【解题思路】（1）直接套用向量的内积公式即可；（2）选取AB，AC，A=(AB+【解答过程】（1）AB⋅AD=1×1=12（2）选取AB，则AC则A=(=(=AB=1=4=2.模块三模块三课后作业1．（2023春·甘肃天水·高二校考期中）已知空间向量a,b,A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线B．若a,C．若a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量pD．若a,b不共线，向量c=λa+μb（【解题思路】根据共线向量、共面向量、空间向量的基本定理、基底等知识对选项进行分析，由此确定正确答案.【解答过程】A选项，若a与b共线，b与c共线，当b为零向量时，a与c不一定共线，所以A选项错误.B选项，若a,比如正方体上底面的两条对角线，和下底面的一条对角线，对应的向量共面，但直线不共面，所以B选项错误.C选项，根据空间向量的基本定理可知，C选项正确.D选项，若a,b不共线，向量c=λa+μ则a,b,c共面，所以a故选：C.2．（2023秋·高二课时练习）已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是（）A．3a，a-b，a+2b B．C．a，2b，b-c D．c，【解题思路】利用空间向量的基底的定义，逐项判断作答.【解答过程】向量a,对于A，3a=2(a-b对于B，2b=(b-2a对于D，2c=(a+c对于C，假定向量a,2b,b-c共面，则存在不全为整理得a-(2λ1+λ所以向量a,2b,b故选：C.3．（2023春·高二课时练习）若a,b,A．2a-b，B．2a+b，C．2a+b，D．2a-b，【解题思路】根据空间向量基本定理以及空间基底逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【解答过程】解：对于A，设7a所以2λ+μ=7μ-λ=5-μ=3，此方程组无解，所以2a-b对于B，因为22a+b+3a+对于C，设6a所以2λ+μ=6μ+λ=2μ=4，此方程组无解，所以对于D，设6a所以2λ+μ=6μ-λ=4-μ=2，此方程组无解，所以2a-b故选：B.4．（2023春·高二课时练习）在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心，M是线段OG的中点，若AM=xOA+yOB+zA．-12 B．14 C．-【解题思路】根据空间向量的运算，用基底表示出相关向量，根据空间向量基本定理，即可求得答案.【解答过程】如图在三棱锥O-ABC中，连接AG并延长交BC于D，则D为BC的中点，M是线段OG的中点，G是△ABC的重心，则AM=-=-=-5故x=-56,y=故选：A.5．（2023秋·高二课时练习）在四面体OABC中，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC的中点，若OG=13OA+x4OB+xA．1 B．2 C．23 D．【解题思路】根据G,M,N三点共线，进行求解即可.【解答过程】ON=12假设G,M,N三点共线，则存在实数λ使得OG===1得21-λ3=1故选：A.6．（2023春·江西南昌·高二校联考阶段练习）半正多面体又称“阿基米德多面体”，它是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美.把正四面体的每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，得到一个有八个面的半正多面体，如图，点P，A，B，C，D为该半正多面体的顶点，若PA=a，PB=b，PC=

A．-12aC．a-12【解题思路】根据空间向量线性运算法则计算可得.【解答过程】如下图所示PC=所以PD=-故选：A.

7．（2023春·高二单元测试）已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是（）A．OM=OA+C．OM=12【解题思路】首先利用坐标法，排除错误选项，然后对符合的选项验证存在λ,μ使得AM=λAB【解答过程】不妨设O0,0,0对于A选项，OM=OA+OB+OC=1,1,3，由于M的竖坐标3>1对于B选项，OM=OA+2OB+3OC=1,3,6，由于M的竖坐标6>1对于C选项，OM=12OA+12OB+12OC对于D选项，OM=13OA+13OB+13OC=由OM=13即AM=13AB+13AC故选：D.8．（2023春·江西抚州·高一统考期末）把边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD与平面CBD所成二面角的大小为60°，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为（

A．14 B．-14 C．-【解题思路】画出图形，利用空间向量基本定理转化求解即可【解答过程】如图，取的中点，连接，因为AB=BC=CD=AD=22，∠BAD=∠BCD=90°所以OA=OB=OC=OD=2,OC⊥BD,OA⊥BD，所以∠AOC为平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角，即∠AOC=60°，所以△AOC为等边三角形，所以AC=2，因为AC=所以AC2所以4=AD所以4=8+16+8+2×22即16cosAD,所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为14故选：A.9．（2023春·江苏淮安·高二统考期中）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在棱BB1和DD1A．12 B．14 C．13【解题思路】设BEBB1=λ，由空间向量的线性运算可得EF【解答过程】设BEBB=-λA所以x=-1，y=1，z=1因为x+y+z=12-λ=故选:B.10．（2023春·黑龙江牡丹江·高一校考期末）如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的正方形，若A．5 B．22 C．10 D．【解题思路】将AB,AD,【解答过程】由题意得AB=AD=1,因为A=AB所以A==1+1+4+2×1×1=10，所以AC故选：C.11．（2023秋·高二课时练习）已知e1,e2,e3为空间的一个基底，且OA【解题思路】假设存在不全为0的实数m，n，使得OA=mOB+n【解答过程】假设存在不全为0的实数m，n，使得OA=m即e1所以1=-3m+n2=m+n即不存在不全为0的实数m，n，使得OA=m因此假设不成立．所以OA,所以能以OA,12．（2023秋·高二课时练习）如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在(1)证明：A、E、C1、F(2)若EF=xAB+y【解题思路】（1）在CC1上取一点G，使得CG=13CC1，连接EG、DG（2）结合图形，根