2023年人教版数学中考第一轮复习三角形

人教版2022-2023中考数学第一轮复习三角形

线与角

1.(1)线段和射线是直线的一部分，直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点；两点确定一条

直线；两点之间，线段最短.

(2)线段的中点及有关计算.

2.角：

(1)如果两个角的和是一个直角(90°),那么这两个角互为余角；

⑵如果两个角的和是一个平角(180°),那么这两个角互为补角；

(3)同角(或等角)的余角相等，同角(或等角)的补角相等；

(4)对顶角相等；

⑸方位角；

⑹角的测量与比较：1=60',1'=60".

3.平行线的性质与判定：

(1)同位角相等Q两直线平行；

(2)内错角相等=两直线平行；

(3)同旁内角互补Q两直线平行；

(4)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.

4.垂线：

(1)经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

(2)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.

5.角平分线与中垂线：

(1)角平分线上的点到角两边的距离相等；到角两边距离相等的点在角的平分线上.

(2)线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线

上.

三角形基础知识

1.多边形的内角和公式：(n-2)∙180o(n为大于2的整数)；任意多边形的外角和等于360°.

2.三角形的边角关系：

(1)三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；

⑵三角形的内角和等于180°,外角和等于360°；

(3)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.

3、三角形中的重要线段：

(1)三角形的中线

三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段.

(2)三角形的角平分线

三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段

(3)三角形的高

从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.

注意：三角形的中线、角平分线、高是均是线段。

练习

一.选择题(共6小题)

1.将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中BC〃AE,则/DFC的度数为()

A.60oB.45oC.75oD.55°

123

2.如图，直线a〃b,等边AABC的顶点C在直线b上，若/1=42°,则/2的度数为（）

A.92oB.102oC.112oD.114°

3.如图所示，在AABC中，ZACB=90o,ZBAC=750,D为AB中点且DEJ_AB,交BC于点E,AC=8cm,

则BE等于（）

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

4.已知三角形三边为a、b、c,其中a、b两边满足∣a-6∣+√彘=0,那么这个三角形的最大边C的取

值范围是（）

A.c>8B.8<c<14C.6<c<8D.2<c<14

5.如图，Rt∆ΛBCΦ,ZC=90o,BD平分NABC交AC于点D,点E为AB的中点，若AB=12,CD=3,

则ADBE的面积为（）

A.10B.12C.9D.6

6.如图，在AABC中，DE是AC的垂直平分线,AC=8cm,且aABD的周长为16cm,则AABC的周长为（）

A.24cmB.21cmC.18cmD.16cm

二.填空题（共2小题）

7.已知：如图所示,在Z∖ABC中,点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且S△型=4cm∖则阴影部分

的面积为cm2.

8.如图，在aABC中，NB与NC的平分线交于点P.若NBPC=I30°,则NA=°.

等腰三角形与直角三角形

1.有两边相等的三角形叫做等腰三角形.

（1）性质：等腰三角形的两腰相等；等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）；等腰三角形的顶角平分

线、底边上的中线、底边上的高相互重合（“三线合一”）.

⑵判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形；

②有两个角相等的三角形是等腰三角形（即“等角对等边”）.

2.三边相等的三角形叫做等边三角形.

（1）性质：具备等腰三角形的所有性质；等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°；等边三角形是

轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴.

⑵判定：

①三条边都相等的三角形是等边三角形；

②三个内角都相等（或都等于60°）的三角形是等边三角形；

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.

3.直角三角形：

（1）性质：

①直角三角形的两锐角互余；

②在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半；

③在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.

-.选择题（共11小题）

1.如图，在aABC中，ΛB=AC,以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E,再分别以点C与点

E为圆心，大于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F,连接BF交AC于点D,若NA=50°,则/

4.如图，^ABC中，AB=AC,AD平分NBAC与BC相交于点D,点E是AB的中点，点F是DC的中点，

连接EF交AD于点P.若AABC的面积是24,PD=I.5,则PE的长是（）

A.2.5B.2C.3.5D.3

5.如图，AABC的面积为16cnΛAP垂直NB的平分线BP于P,则APBC的面积为（）

A.7cm'B.8cm2C.9cπΓD.IOcm2

6.如图，AB=AC,AE=EC=CD,ZA=60o,若EF=2,则DF=（）

A.3B.4C.5D.6

7、已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A.50oB.130oC.50°或130°D.65°或130°

8.如图，点E是AABC内一点，ZAEB=90o,D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F,点F是

边BC的中点.若AB=6,EF=L则线段AC的长为（）

A.7B.1∑C.8D.9

2

9.如图，以数轴上数1表示的点为圆心，正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P,则点P对应的实

数为（）

C.√2-1D.1-√2

10.如图，《九章算术》中的''折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？

意思是：一根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子

底部6尺远，则折断处离地面的高度为（）

A.3尺B.3.2尺C.3.6尺D.4尺

11.如图，已知AB=AB在AAl的延长线上依次取A2、A3ʌA4……，并依次在三角形的外部作等腰三角

形，使AlBl=AlA2,AB=A2A3,A3B3=A:Al..，若NB=50°,则NA2022A2023B2022度数为（）

A.工B.工C.工D,工

Q2022Q2023Q2022Q2023

二.填空题（共2小题）

12.一等腰三角形一个外角是110°,则它的底角的度数为

13.如图，4ABC是等边三角形∙P是NABC的平分线BD上一点，PE_LAB于点E,线段BP的垂直平分线

交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为.

三.解答题(共3小题)

14.如图，在AABC中，ZABC,ZACB的平分线相交于点0,过点0的直线DE/7BC,分别交AB、AC于

点D、E.

(1)求证:DE=BD+CE.

(2)若AD=3,BD=CE=2,求BC的值.

15.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=20,BC=15,CD,AB于点D.

求：(1)CD的长；

(2)BD的长.

16.如图，Z∖ABC的三边分别为AC=5,BC=12,AB=13,将AABC沿AD折叠，使AC落在AB上.

(1)试判断aABC的形状，并说明理由；

(2)求折痕AD的长.

CDB

全等三角形

（1）判定两个三角形全等的方法有：SSS.SAS.ASA、AAS.HL□

（2）全等三角形的变换基本型

模型图示

平移型B^^£AD

ADCFBCE

中心对称型

今工:囱“

轴对称图形

旋转型（手拉手模

型）

W庐

三垂直型AA

REBEL?CE

选择题（共4小题）

1.已知图中的两个三角形全等，则Na的度数是（）

A.72B.60oC.58oD.50°

b

12

2.如图，ZSABC丝Z∖DBE,ZABC=80o,ZD=65o,则NC的度数为（）

A.20oB.25oC.30oD.35°

3.如图，在aABC和ADEF中，ZB=ZDEF,AB=DE,添加一个条件后，仍然不能证明AABCgADEF,

这个条件可能是（）

A.ZA=ZDB.AC〃DFC.BE=CFD.AC=DF

4.如图，点C为线段AE上一动点(不与点A,点E重合),在AE同侧分别作等边aABC和等边aCDE,

AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,以下四个结论，①AD=BE;②CP

=CQ;③NBOD=I20°；④PQ〃AE,正确结论是()

A.①②③④B.①②③C.②③D.①③④

二.填空题(共1小题)

5.如图，平面直角坐标系中，AABC之AFDE,若A点的坐标为(-3,1),B,C两点的纵坐标均为-4,

D,E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为个单位.

三.解答题(共5小题)

6.如图，已知AB=AC,ΛD=AE,ZBΛC=ZDAE,且B、D、E三点共线，

(1)证明：AABDgAACE;

(2)证明：Z3=Z1+Z2.

7.如图，DE_LAB于点E,DF_LAC于点F,若BD=CD,BE=CF.

(1)求证：AD平分NBAC；

(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明.

8.已知，如图，在四边形ABCD中，ND=NB=90°,且AO平分NBAC,点0是BD的中点.

(1)求证：CO平分NACD；

(2)求证:AC=AB+CD.

9.已知，如图，4ABC为等边三角形，ΛE=CD,AD、BE相交于点P.

(1)求证：Z∖AEBgZ∖CDA;

(2)求NEPQ的度数；

(3)若BQLAD于Q,PQ=7,PE=3,求BE的长.

10.如图1,直角三角形ABC和直角三角形DCE的直角顶点C重合，点D在斜边AB上，AC=BC,CD=CE,

连接AE.

(1)求证:AE=BD.

(2)若BD=LΛD=3,求DE的长.

(3)如图2,点F也在AB边上，且在点A,D之间，若NDCF=45°,求证：AF2+BD2=DF2.

相似三角形

1.比例的基本性质

(1)两条线段的长度之比叫做两条线段的比.

⑵在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段,简

称比例线段.

⑶若a：b=b:c或一=—,则b叫做a,c的比例中项.

(4)比例的基本性质=*≠>ad=bc.

bɑ

(5)合比性质:一=一=-ɪ-=

(6)等比性质：

-=-(b+d+∙∙∙+nWO)n-=::1:..

⑺黄金分割：如图，点C为线段AB上一点,AC>BC,若AC2=AB∙BC,则点C为线段ΛB的黄金分割点,AC=？AB

≈0.618AB,BC=-AB,---------------------------1

2AICIi

一条线段有2个黄金分割点.

(8)平行线分线段成比例定理：

①平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.

②推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例.

2.相似三角形

(1)定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.

(2)相似三角形的判定定理

①相似三角形的判定定理1:两角对应相等的两个三角形相似；

②相似三角形的判定定理2:三边对应成比例的两个三角形相似；

③相似三角形的判定定理3:两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；

④平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似；

⑤直角三角形被斜边上的高分成的两个三角形与原三角形相似.补充:若CD为RtΔΛBC斜边上的高(如

图)，则RtΔABC^RtΔACD^RtΔCBD,且AC2=AD∙AB,CD2=AD∙BD,BC2=BD∙AB.

⑶性质：

①相似三角形的对应角相等；

②相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比例；

③相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.

3.相似多边形

⑴定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形;相似多边形对应边的比叫做相

似比.

(2)性质：

①相似多边形的对应角相等、对应边成比例.

②相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.

4.图形的位似

⑴位似图形定义：如果两个图形不仅相似,而且每组对应点所在直线都经过同一点，那么这样的两个图

形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又称位似比.

(2)位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比,位似图形周长的比等

于位似比,面积比等于位似比的平方.

-.选择题（共5小题）

1.如图，^OAB和aOCD是以点O为位似中心的位似图形，已知A（-4,2）,aOAB与aOCD的相似比

为2：1,则点C的坐标为（）

A.(2,-1)B.(-2,1)C.(1,-2)D.(-1,2)

2.如图，AB〃CD〃EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=I,DF=5,贝∣JCE:BC=()

A.5：3B.1：3C.3：5D.2：3

3.一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人身材好.如图，

是一个参加空姐选拔的选手的实际身高情况，如果要使身材好，那么她穿鞋子的高度最好为（）

cm（精确到Iem,参考数据：黄金分割比为近二！七0.618）.

2

A.5B.8C.10D.12

4.如图，在平行四边形ABCD中，延长CD至点E,使DE=DC,连接BE交AC于点F,则也变的值是（）

SZkCEF

A.1B.1C.9D.1

9442

5.如图，D、E分别是aABC的边AB、AC的中点，若AADE的面积为1,则四边形DECB的面积为（）

A

A.2B.3C.4D.6/A

二.填空题（共4小题）/\

6.在阳光下，高为6m的旗杆在地面上的影长为4m,在同一时刻，测得附近建筑影长为20m,

则这座建筑物的高度为m.

7.如图，正方形ABCD中，P为AD上一点，PE_LBP交BC的延长线于点E,交CD于点F,若AB=6,AP

=4,则CE的长为.

8.如图，1”L分别是反比例函数y=K和y=-2在第二象限内的图象，点A在L上，线段OA交1?

XX

于点B,作ACJ_x轴于点C,交k于点D,连接OD并延长交L于点E,作EF_LX轴于点F,若世上，

AE3

则k的值是.

9.如图1,在aABC中，ZB=36o,动点P从点A出发，沿折线AfBfC匀速运动至点C停止.若点P

的运动速度为ICm∕s,设点P的运动时间为t（s）,AP的长度为y（cm）,y与t的函数图象如图2

所示.当AP恰好平分NBAC时t的值为

三.解答题(共3小题)

10.如图，四边形ACBD内接于。O,AB是OO的直径，CD平分NACB交AB于点E,点P在AB延长线上,

ZPCB=ZBDC.

(1)求证：PC是Θ0的切线；

(2)求证：PE2=PB∙PA.

11.如图，在矩形ABCD中，ΛB=5,BC=IO,点E是边BC上一点(点E不与B,C重合)，过点E作EF

_LDE交AB于点F,连接DF.

(1)当BE=2时，求tanN印F的值；

(2)当AF=EF时，求NADF的度数；

(3)若点F为AB的中点，求BE的长.

12.如图，AB是OO的直径，点C是OO上异于A、B的一点，点D是NABC角平分线上一点，连接AD、

BD,其中BD交AC于点E,交Θ0于点F,且点F是DE的中点.

(1)求证：直线AD是。O的切线；

(2)若点E是BF的中点，求SinNCAB的值；

(3)若AB=13,BC=5,求BE的长.

三角函数

1、锐角三角函数

1.在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦.锐角A的正弦记作,SinA.

2.在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦.锐角A的余弦记作CoSA.

3.在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切..锐角A的正切记作

IanA.

..NA的对边a

正弦:SlnA='~~而市,=一

斜边C

NA的邻边b

余弦:CoSAλ=——7—=-

斜边C

正切:

NA的邻边b

常见三角函数值:

∖7W

三角X30°45°60°

ɪ√2√3

Sina

2~T^2^

♦√2ɪ

CoSa

T~T2

√3

tana1√3

T

2、三角函数的应用

（1）仰角、俯角

如图①，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在.水平线下方的叫

做俯角.

视线

'A

线，、娜水平线

西F匕

I、视线

图①南

⑵坡度（坡比）、坡角图③

如图②，坡面的高度h和水平距离1的比叫坡度（或坡比），即i=tanα=:,坡面与水平面的夹角

ɑ叫坡角.

⑶方向角

指南或指北的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角.如图③，OA是表示北

偏东60」方向'的一条射线.

注意：东北方向指北偏东45°方向，东南方向指南偏东45°方向，西北方向指北偏西45°方向，西南

方向指南偏西4。5°方向.我们一般画图的方位为上北下南，左西右东。

-.选择题（共4小题）

1.在RtAABC中，ZC=90o,若COSA=工，则NA的大小是（）

2

A.30oB.45oC.60oD.75°

2.如图，要测量小河两岸相对的两点P,A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一点C,测得PC

=IoO米，ZPCA=32o,则小河宽PA等于（）

A.100sin32o米B.100sin58o米C.100tan32o米D.100tan58o米

2345

3.如图，在平面直角坐标系中，点A,B分别在X轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：OB=I:

3,连接AC,过点。作OP〃AB交AC的延长线于点P.若P（1,1）,则tan/ACO的值是（）

A.1B.3c.AD.2

32

4.如图，点A、B、0都在格点上,则NAOB的正切值是（)_

A.汉适B.1C.AD.叵

102310

二.填空题（共3小题）

5.拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：√3,坝高BC=8m,则坡面AB

6.计算6sin45o-2cos60o=

7.将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD,连接AC,探究tanZACD的值

为•

三.解答题（共2小题）

8.数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度.如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为

37°,再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为45°,点C,D,B在同一直线上，求该建筑物

AB的高度.（参考数据：sin37o,cos37°弋2，tan37oQ旦）

554

9.虎门外语学校教师宿舍AB后面有一座山城，其坡度为i=√3,山坡坡面上E点处有一休息亭，测

得山坡坡脚C与楼房水平距离BC=20米，与亭子距离CE=16米，数学周老师从楼房顶测得E点的俯

角为45°.

求：

（1）山城坡角NDCF；

（2）教师宿舍AB的高度.

人教版2022-2023中考数学第一轮复习三角形答案

三角形

一.选择题（共6小题）

1.将一副三角板的直角顶点重合按如图方式放置，其中BC〃AE,则/DFC的度数为（)

E

A.60oB.45oC.75oD.55o

【分析】依据平行线的性质，即可得到NBCE=NE=30°,再根据三角形外角的性质得到NDFC=NB+NBCE,计算

即可.

【解答】解：VBC/7AE,

ΛZBCE=ZE=30o,

VZB=45o,

ΛZDFC=ZB+ZBCE=45o+30°=75°.

故选：C.

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解决问题的关键是运用两直线平行，内错角相等.

2.如图，直线a〃b,等边AABC的顶点C在直线b上，若Nl=42°,则N2的度数为()

A.92oB.102oC.112oD.114°

【分析】根据等边三角形性质求出NA=NACB=60°,根据平行线的性质求出N2的度数.

【解答】解：YaABC是等边三角形，

ΛZA=ZACB=60o,

VZl=42°,

ΛZADE=420,

ΛZAED=180°-60°-42°=78°,

ΛZAEF=180o-ZAED=180°-78°=102°,

Y直线a〃直线b,

ΛZ2=ZAEF,

ΛZ2=102o,

故选：B.

【点评】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质的应用，解此题的关键掌握两直线平行，同位角相等.

3.如图所示，在AABC中，ZACB=90o,ZBAC=750,D为AB中点且DE_LAB,交BC于点E,AC=8cm,则BE等于

()

A.4cmB.8cmC.12cmD.16cm

【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得NB=15°,再利用线段垂直平分线的性质可得EA=EB,从而可得

ZB=ZBAE=15°,然后利用三角形的外角性质可得NAEC=30°,再在RtZXAEC中，利用含30度角的直角三角形

可求出AE的长，即可解答.

【解答】解：VZACB=90o,ZBAC=75°,

ΛZB=90o-ZBAC=15°,

∙.∙D为AB中点且DEj_AB,

・・・DE是AB的垂直平分线，

ΛEA=EB,

・・・NB=NBAE=15°,

ΛZAEC=ZB+ZBAE=30o,

VAC=8cm,

.β.AE=2AC=16cm,

/.BE=AE=16cm,

故选：D.

【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形，以及线

段垂直平分线的性质是解题的关键.

4.已知三角形三边为a、b、c,其中a、b两边满足;a-6+√彘=0,那么这个三角形的最大边C的取值范围是（）

A.c>8B.8<c<14C.6<c<8D.2<c<14

【分析】根据两个非负数的和是0,可以求得a,b的值.因而根据三角形的三边关系就可以求得第三边的范围.

【解答】解：根据题意得：a-6=0,b-8=0,

解得a=6,b=8,

因为C是最大边，所以8<c<6+8,

即8<c<14.

故选：B.

【点评】本题考查了三角形三边关系和非负数的性质，根据三角形三边关系定理结合题目的已知条件列出不等式，

然后解不等式即可.

5.如图，RtZSABC中，ZC=90o,BD平分NABe交AC于点D,点E为AB的中点，若AB=12,CD=3,则ADBE的面

积为（）

【分析】过D作DF_LAB于F,由角平分线的性质求出DF,根据三角形的面积公式即可求出ADBE的面积.

【解答】解：过D作DFLAB于F,

VZC≈90o,

ΛDC±BC,

YBD平分NABC,CD=3,

ΛDF=CD=3,

；点E为AB的中点,AB=12,

BE=6,

.∖ADBE的面积=」BE・DF=」X6X3=9,

22

故选：C.

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积公式，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解决问

题的关键.

6.如图，在aABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=8cm,且aABD的周长为16cm,则aABC的周长为（）

BfD

A.24cmB.21cmC.18cmD.16cm

【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA=DC,根据三角形的周长公式计算，得到答案.

【解答】解：:DE是AC的垂直平分线，

ΛDA=DC,

,.∙AABD的周长为16cm,

AB+BD+DA=AB+BD+DC=AB+BC=16cm,

,△ABC的周长=AB+BC+AC=16+8=24(cm),

故选：A.

【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解

题的关键.

二.填空题(共2小题)

7.已知：如图所示，在aABC中，点D,E,F分别为BC,AD,CE的中点，且SA∖BC=4C√,则阴影部分的面积为1cπΛ

【分析】易得AABD,AACD为AABC面积的一半，同理可得ABEC的面积等于AABC面积的一半，那么阴影部分的

面积等于aBEC的面积的一半.

【解答】解：∙.∙D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等，

SAABD=Szu0>=-^∙SzkABc=-ɪ∙X4=2(Cm),

22

同理SABDlJ=SACDE=a∙SzιBCE=1∙X2=l(Cnr),

22

∙'∙SΔBCE=2(Cm),

∙.∙F为EC中点，

∙'∙S∆BEF--^-S∆BCE--ɪ-X2—1(cm).

22

故答案为1.

【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等.

8.如图，在AABC中，NB与NC的平分线交于点P.若NBPC=I30°,则/A=80°.

【分析】据三角形的内角和等于180°,求出NPBC+NPCB的度数，再根据角平分线的定义，求得NABC+NACB.在

△ABC中，根据三角形内角和定理，即可求出NBAC的度数.

【解答】解：⅛ΔPBCΦ,VZBPC=130°,

ΛZPBC+ZPCB=180°-130°=50°.

VPB›PC分别是/ABC和NACB的角平分线，

.∙.∕ABC+NACB=2(ZPBC+ZPCB)=2X50°=100°,

在aABC中，NA=I80°-(ZABC+ZACB)=180°-IOO0=80°.

故答案为：80°.

【点评】本题主要考查了利用三角形的内角和定理和角平分线的定义求解，熟练掌握定理和角平分线的定义是解题

的关键.

等腰三角形及直角三角形

选择题（共11小题）

1.如图，在aABC中，AB=AC,以点B为圆心，BC的长为半径画弧交AC于点C、E,再分别以点C与点E为圆心，大

于CE长的一半为半径画弧，两弧交于点F,连接BF交AC于点D,若NA=50°,则NCBD的大小是（）

A.25oB.40oC.50oD.65°

【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出NACB,再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求

出NCBE,即可解决问题.

【解答】解：YAB=AC,NA=解°,

.*.ZACB=（180o-50o）÷2=65o,

由题意可知，BC=BE,

.∙.NBEC=NACB=65°,

NCBE=180°-65oX2=50°,

...NCBD=工NCBE=25°.

2

故选:A.

【点评】本题考查基本作图、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活应用知识解决问题，

属于中考常考题型.

2.等腰三角形的一边为4,另一边为9,则这个三角形的周长为（）

A.17B.22C.13D.17或22

【分析】本题可先根据三角形三边关系，确定等腰三角形的腰和底的长，然后再计算三角形的周长.

【解答】解：当腰长为4时，则三角形的三边长为：4、4、9；

V4+4<9,不能构成三角形；

因此这个等腰三角形的腰长为9,则其周长=9+9+4=22.

故选：B.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于己知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情

况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键.

3.如图，DE=Il,FG=3,BF、CG分别平分/ABC、ZACB,DE∕/BC,则BD+CE=（）

A.3B.11C.7D.8

【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的判定和性质定理即可得到结论.

【解答】解：；BF、CG分别平分NABC、ZACB,

.∙.∕DBF=NCBF,ZECG=ZBCG,

VDE√BC,

ZDFB=NCBF,ZEGC=ZECG,

ZDBF=ZDFB,ZEGC=ZECG,

.∙.BD=DF,EG=CE,

ΛBD+CE=DF+EG=DE-FG=Il-3=8,

故选：D.

【点评】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性

质定理是解题的关键.

4.如图，AABC中，AB=AC,AD平分NBAC与BC相交于点D,点E是AB的中点，点F是DC的中点，连接EF交AD于

点P.若aABC的面积是24,PD=L5,则PE的长是（）

【分析】如图，过点E作EG±AD于G,证明aEGP会aFDP,得PG=PD=I.5,由三角形中位线定理可得AD的长,

由三角形ABC的面积是24,得BC的长，最后由勾股定理可得结论.

【解答】解：如图，过点E作EG,AD于G,

VAB=AC,AD平分NBAC,

ΛAD±BC,BD=CD1

.∙.NPDF=NEGP=90°,EG〃BC,

二点E是AB的中点,

.∙.G是AD的中点,

ΛEG=ABD,

2

∙.∙F是CD的中点，

.∙.DF=ACD,

2

ΛEG=DF,

VZEPG-ZDPF,

ΛΔEGP^ΔFDP(AAS),

ΛPG=PD=I.5,

ΛAD=2DG=6,

•..△ABC的面积是24,

.∙.A∙BC∙AD=24,

2

ΛBC=48÷6=8,

.∙.DF=ABC=2,

4

.∙.EG=DF=2,

由勾股定理得：PE=√22+1.52=2.5.

故选：A.

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，全等三角形的性质和判定，三角形的面积等知识,

作辅助线构建全等三角形是解本题的关键.

5.如图，Z∖ABC的面积为16CΠΛAP垂直NB的平分线BP于P,则aPBC的面积为()

【分析】延长AP交BC于E,根据AP垂直/B的平分线BP于P,即可求出AABP丝ABEP,又知aAPC和aCPE等底

同高，可以证明两三角形面积相等，即可证明三角形PBC的面积.

【解答】解：延长AP交BC于E,

VAP垂直NB的平分线BP于P,

.∙.NABP=NEBP,

又∙.∙BP=BP,ZAPB=ZEPB=90°,

Λ∆ABP^ΔEBP,

-SAVBP=SABEP,AP=PE,

.♦.△APC和ACPE等底同高,

∙,∙S∆ΛPC=S∆PCE>

2

∙*∙SΔPBC-SΔPBE+SΔPCE--⅛∙SΛΛBC=-ɪ-×16=8(cm),

22

故选：B.

【点评】本题主要考查面积及等积变换的知识点.证明出三角形PBC的面积和原三角形的面积之间的数量关系是解

题的难点.

6.如图，AB=AC,AE=EC=CD,NA=60°,若EF=2,则DF=()

A.3B.4C.5D.6

【分析】过点E作EGLBC,交BC于点G,先证明AABC是等边三角形，再证明NAFE=90°,然后利用等腰三角形

的“三线合一”性质及角平分线的性质定理求得EG的长，随后利用含30度角的直角三角形的性质求得DE的长，

最后将EF与DE相加即可.

【解答】解：如图，过点E作EGLBC,交BC于点G

VAB=AC,ZA=60σ,

ΛΔABC是等边三角形，

ΛZACB=60o,

VEC=CD,

NCED=∕CDE=∙1/ACB=30°，

2

ΛZAEF=30°,

ΛZAFE=90o,BPEF±AB,

•..△ABC是等边三角形，AE=CE,

,BE平分NABC,

.♦.EG=EF=2,

在RtZJ）EG中,DE=2EG=4,

ΛDF=EF+DE=2+4=6;

方法二、

VΛB=AC,ZA=60o,

.β.ΔABC是等边三角形，

ΛZACB=60o,

VEC=CD,

NCED=∕CDE=∙1∕ACB=3O°,

2

ZkABC是等边三角形，AE=CE,

BE平分NABC,

ΛZABE=ZCBE=30o=ZCDE,

ΛBE=DE,ZBFD=90o,

.∙.BE=2EF=4=DE,

ΛDF=DE+EF=6;

故选：D.

【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”性质及含30度角的直角三角形的性质,

熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.

7、已知一个等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形顶角的度数为（）

A.50oB.130oC.50°或130°D.65°或130°

【解答】解：①如图L等腰三角形为锐角三角形，

VBDlAC,NABD=40°,

ΛZA=50β.

即顶角的度数为50°.

②如图2,等腰三角形为钝角三角形，

∖'BD±ACtNDBA=40,

.∙.∕BAD=50°,

ΛZBAC=130o.

故选：C.

8.如图，点E是AABC内一点，ZAEB=90o,D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F,点F是边BC的中点.若

AB=6,EF=I,则线段AC的长为（）

【分析】根据直角三角形的性质求出DE,由EF=I,得到DF,再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长.

【解答】解：∙.∙NAEB=90°,D是边AB的中点，AB=6,

ΛDE=AAB=3,

2

ΛDF=DE+EF=3+1=4.

：D是边AB的中点，点F是边BC的中点,

.∙.DF是AABC的中位线，

.∙.AC=2DF=8.

故选：C.

【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的

关键.

正方形对角线的长为半径画弧交数轴于点P，则点P对应的实数为（）

C.√2-1D.l-√2

【分析】先根据勾股定理求出正方形对角线的长，再根据负半轴上点的坐标特点求出P点坐标即可.

【解答】解：•••正方形的边长为1,

.∙.其对角线长=√i2+12=√5,

Λ0P=√2-1,

•••点P在数轴的负半轴上，

...点P对应的实数为1-√2.

故选：D.

【点评】本题考查的是勾股定理，实数与数轴，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键.

10.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一

根竹子，原高一丈（一丈=十尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离

地面的高度为（）

3.2尺C.3.6尺D.4尺

【分析】竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面X尺，则斜边长为（IO-X）尺，利用勾股定理解

题即可.

【解答】解：设竹子折断处离地面X尺，则斜边长为（IO-X）尺，

根据勾股定理得：X2+62=（10-X）2,

解得：x=3.2,

，折断处离地面的高度为3.2尺，

故选：B.

【点评】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题.

11.如图,已知AB=AB在AAl的延长线上依次取A2、A3、A’……，并依次在三角形的外部作等腰三角形,使AB=AiA2,

A2B2=A2A3,A3B3—A3A4........）若NB=50,贝NA2022A2023B2022度数为（）

人第B∙弱C65。■黔

'22022

【分析】先根据等腰三角形的性质求出NBAlA的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出N

B1A2A1,NB2A3A2及NB3A4A3…的度数，从而找出规律.

o

【解答】解：・.・在aABAi中，ZB=30,AB=A1B,

oo

ΛZBA1A=A(180-ZB)=65,

2

<A]A2=AB,NBAlA是AAiAzB]的外角，

ΛZB1A2A1=A×ZBA1A=JLX75°:

22

O

/.ZB2A3A2=A×A×6