抛物线定义及其标准方程课堂实录

《抛物线定义及其标准方程》课堂实录huanghongrlyz1、回忆旧知，发现问题师：通过前面的学习，我们知道椭圆和双曲线都是满足平面上到定点距离与到定直线距离的比为定值的动点的轨迹.这个定值我们称之为离心率.不同的是当时，轨迹为椭圆;当时，轨迹为双曲线，并且求出了它们的标准方程.(展示表格)观察图表，我们自然会想到这样一个问题:当时，轨迹是什么形状的曲线呢?曲线的方程如何求呢?是不是也有“标准”方程呢?(学生立刻被似曾有过但又未经意的问题吸引，很快进人对轨迹形状的猜想)师：下面我们就一起来探索:当时，轨迹是什么？2、情景引入，探索问题师：现在假设你有一片果园，而果园中有一口小井,果园旁边有一条水渠,现要给果树浇水,就取水路程远近这一角度而言,应如何选择取水地点?你能为该区域画一条合理的取水分界线吗？(供取水时参考).生1：分界线应为到小井的距离与到水渠距离相等的点轨迹.师：能把实际问题抽象成数学问题吗?生2：把水渠抽象成一条直线,小井抽象成一个点，那么取水路线就是到定点的距离与到定直线距离相等的点的轨迹.3、动画演示，形成定义师：现在我用几何画板演示满足条件的轨迹，请同学们注意观察这种曲线是什么？我们见过吗？(教师翻开几何画板，利用追踪功能，画出光滑连续的抛物线，让学生观察是否具有所作判断的特征)生3：这种曲线是抛物线，见过，二次函数的图像就是抛物线.只是方向不同.师：答复得很对，我们把到定直线与到定点(点不在线上)的距离相等的点的轨迹叫抛物线。当点在线上时，抛物线退化成一条直线，椭圆的退化图形是一条线段，双曲线的退化图形是两条射线，定点叫抛物线焦点，定直线叫抛物线的准线，定点到定直线的距离叫焦准距，通常用表示。师:如果我现在改变定点与定直线之间的距离,那请同学们观察抛物线的形状如何变化？(如图1)生4：当点到直线的距离越近，曲线开口越小，反之越大。师：很好，这里的点到直线的距离是就是的几何意义，也就是越小，抛物线的开口越小，反之越大。4、合理建系，推到方程师：如何推导抛物线的方程?生5:先建立直角坐标系,再把几何关系转化为代数关系……师：坐标系怎么建?〔学生提出了3种建系方案，学生口述，教师板书。如图2)师：建立坐标系从本质上讲是人为的，你想怎样建就怎样建,但是不同的建系，得到的方程繁简程度不一样，我们肯定要挑简单的建，请大家思考，选择哪种建法得到的方程最简单？为什么？〔教师巡视观察，让学生思考1分钟〕生6：我认为按照丙建立坐标系是最简单的，因为在二次函数中，顶点在坐标原点的抛物线方程最简单。生7：我也认为丙最简单，抛物线过原点，不含常数项，另外两个肯定含有常数项。师：两个同学，一个根据经验，一个凭借对特殊点的分析都得出方案丙最简单。确实是丙推出的方程最简单，大家动手推导方程吧。(教师巡视观察，指导学生将自己推导的方程与周围同学得出的方程进行比拟……，两分钟后，大局部学生已推导出抛物线标准方程)师：哪位同学愿意到黑板上展示一下你推到的过程。〔大局部都踊跃举手，我随机抽了一位不太积极的同学〕生8：在黑板上板书方程的推到过程。最后推出抛物线的方程是：)师：同学们，抛物线的标准方程有何特点？生众：左边是平方，右边是一次式.师：方程中有几个参数？参数意味这什么？生9：仅含一个参数一个参数也就意味着只需要一个条件就能够决定抛物线的形状，求出抛物线的标准方程.师：说的好，那在刚刚大家提出的三种建系方案中甲、乙两种建系方案〔如图2〕得到的方程是标准方程吗？请大家写出在甲、乙坐标系下抛物线的方程并观察与标准方程有何不同。生10：在甲中相当于将抛物线向右平移了，它的方程是.在乙中相当于将抛物线向左平移了，方程为师：答复得很好，其实际上坐标轴的平移相当于曲线往相反方向的移动。师：大家都知道椭圆、双曲线的标准方程不止一个，那么，抛物线的标准方程呢？还有其它形式?该如何推导?生11：还有焦点在其它三个半轴上的情形.生12：不必重新推证，根据位置特征，可由写出其它三个标准方程来.师:好!下面大家就用刚刚这位同学说的方法把方程写出来，并写出相应的焦点坐标、准线方程(黑板上画出表格)〔教师问，学生答，完成表格的填写〕5、精讲范例，加深理解师：下面我们来看几个与抛物线有关问题.〔板书题目)例1〔1〕抛物线标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程〔2〕抛物线的焦点坐标是F〔0，－2〕，求它的标准方程(教师着重讲解解题的标准性，强调先想图形再答题，指出两类问题都要正确地写出)生13：第〔1〕小题注意区分标准方程，求出，这样就可写出相应焦点坐标和准线方程了；第〔2〕小题由焦点坐标判断标准方程形式，求出，再写出相应方程生14(板书)：〔1〕p＝3，焦点坐标是〔，0〕准线方程是x＝－．〔2〕焦点在y轴负半轴上，＝2，所以所求抛物线的标准议程是．师：下面请同学们完成变式练习：变式练习：1、抛物线的标准方程是〔1〕y2＝12x，〔2〕y＝12x2，求它的焦点坐标和准线方程．2、求以下抛物线的标准方程：(1)焦点坐标是F(0,-2)；(2)抛物线的准线方程为x=1；(3)过点A(3,2).(教师巡视观察，指导有困难的同学完成变式练习，并简单点评)评析:课堂练习的设计;，既要稳固学生所学知识，又要深化对知识的理解.这组练习题的设计为后面引发学生讨论，进一步完善对抛物线的认识理下伏笔.4小结师:现在我们就可以把开始上课时的表格填完整了.从这个表格我们可以看到虽然定义相近，仅仅是比值的不同，曲线形状差异就如此之大.(翻开几何画板，引导学生观察，当连续变化时，轨迹是如何变化的，启发学生把前后知识联系起来，从整体上掌握五种圆锥曲线的特征)从这里我们进一步看到随着的变化，曲线由渐变到突变，体会用量变引起质变的辩证思维来认识事物的运动规律.评析:将抛物线放在国锥曲线大背景中，用辫证的观点来认识它，使学生对抛物线的理解进一步升华.总评价:本节课的教学设计表达了学生的思维特点，从学生已有的知识经验中引出问题，并按认知开展的逻辑顺序进行问题层次设计，到达知识开展和认知开展的协调同步.从课堂教学实践来看，学生的参与意识强，动手、动口、独立探究的积极性高，师生之间、生生之