高三数学二轮复习学案函数第二讲

第二讲指数与指数函数知识点一根式与指数幂的运算1．根式的概念根式的概念符号备注如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根n>1且n∈N*当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数eq\r(n,a)零的n次方根是零当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数±eq\r(n,a)(a>0)负数没有偶次方根2.两个重要公式(1)eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(aa≥0，,－aa<0))n为偶数；))(2)(eq\r(n,a))n＝a(注意a必须使eq\r(n,a)有意义)．3．有理数指数幂(1)幂的有关概念③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的性质①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．知识点一根式与指数幂的运算1．(易错题)化简4aeq\f(2,3)·b－eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a－\f(1,3)b\f(2,3)))的结果为()A．－eq\f(2a,3b)B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b)D．－6ab2．化简eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.知识点二指数函数的图象与性质0<a<1a>1图象性质定义域：R值域：(0，＋∞)当x＝0时，y＝1，即过定点(0,1)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1在R上是减函数在R上是增函数题型一指数函数的图象及应用1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()2．(多选题)(2021·山东日照模拟)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是()A．x＝yB．1＜x＜yC．0＜x＜y＜1D．y＜x＜0题型二指数函数的性质及应用考法(一)比较大小或解不等式[例1](1)(2020·高考全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为________．考法(二)与指数函数有关的值域问题[例2](1)函数y＝eq\r(16－2x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)(2)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x)，则此函数的值域为________．考法(三)指数函数性质的应用[例3]已知函数f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a2.不等式的解集为________．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜a D．b＜a＜c(2021·临沂三校)函数f(x)＝2－2x(x＜0)的值域是()A(1,2)B(－∞，2)C(0,2)D(1，＋∞)5．函数单调递增区间是()A[1,2]B(－∞，－1)C(－∞，－2] D．[2，＋∞)6．(2021·青岛模拟)函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是()A．(0,0)B．(0，－1)C．(－2,0) D．(－2，－1)7．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))8．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值(2)若对任意x∈[0，＋∞)都有f(x)＞2－x成立，求实数k的取值范围．第二讲指数与指数函数(答案)知识点一根式与指数幂的运算1．(易错题)化简4aeq\f(2,3)·b－eq\f(1,3)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)a－\f(1,3)b\f(2,3)))的结果为()A．－eq\f(2a,3b)B．－eq\f(8a,b)C．－eq\f(6a,b)D．－6ab答案：C2．化简eq\r(4,16x8y4)(x＜0，y＜0)＝________.答案：－2x2y知识点二指数函数的图象与性质题型一指数函数的图象及应用1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案：A2．(多选题)(2021·山东日照模拟)若实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，则下列关系式中可能成立的是()A．x＝yB．1＜x＜yC．0＜x＜y＜1D．y＜x＜0解析：由题意，实数x，y满足5x－4y＝5y－4x，可化为4x＋5x＝5y＋4y，设f(x)＝4x＋5x，g(x)＝5x＋4x，由基本初等函数的性质，可得f(x)，g(x)在R上都是单调递增函数，画出函数y＝f(x)，y＝g(x)的大致图象，如图所示．根据图象可知，当x＝0时，f(0)＝g(0)＝1；当x＝1时，f(1)＝g(1)＝9.故当x＝y＝0或1时，f(x)＝g(y)，所以5x－4y＝5y－4x成立，故A正确；当1＜x＜y时，f(x)＜g(y)，故B不正确；当0＜x＜y＜1时，f(x)＝g(y)可能成立，故C正确；当y＜x＜0时，f(x)＝g(y)可能成立，故D正确．答案：ACD题型二指数函数的性质及应用考法(一)比较大小或解不等式[例1](1)(2020·高考全国卷Ⅱ)若2x－2y＜3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)＞0B．ln(y－x＋1)＜0C．ln|x－y|＞0D．ln|x－y|＜0(2)若偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则不等式f(x－2)＞0的解集为________．[解析](1)∵2x－2y＜3－x－3－y，∴2x－3－x＜2y－3－y.∵y＝2x－3－x＝2x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x在R上单调递增，∴x＜y，∴y－x＋1＞1，∴ln(y－x＋1)＞ln1＝0.(2)f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4.∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－4，x≥0，,2－x－4，x＜0，))当f(x－2)＞0时，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2≥0，,2x－2－4＞0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2＜0，,2－x＋2－4＞0，,))解得x＞4或x＜0.∴不等式解集为{x|x＞4或x＜0}．1.比较两个指数幂大小时，尽量化为同底或同指，当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后比较大小；当指数相同，底数不同时，构造同一幂函数，利用图象比较大小．2．有关指数不等式问题，应注意a的取值，及结合指数函数的性质求解．考法(二)与指数函数有关的值域问题[例2](1)函数y＝eq\r(16－2x)的值域是()A．[0，＋∞)B．[0,4]C．[0,4)D．(0,4)(2)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－eq\f(1,4x)＋eq\f(1,2x)，则此函数的值域为________．[解析](1)函数y＝eq\r(16－2x)中，因为16－2x≥0，所以2x≤16.因此2x∈(0,16]，所以16－2x∈[0,16)．故y＝eq\r(16－2x)∈[0,4)．(2)设t＝eq\f(1,2x)，当x≥0时，2x≥1，∴0＜t≤1，f(t)＝－t2＋t＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,2)))2＋eq\f(1,4)，∴0≤f(t)≤eq\f(1,4)，故当x≥0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4))).∵y＝f(x)是定义在R上的奇函数，∴当x≤0时，f(x)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)).故函数的值域为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，\f(1,4))).考法(三)指数函数性质的应用[例3]已知函数f(x)＝a|x＋b|(a＞0，且a≠1，b∈R)．(1)若f(x)为偶函数，求b的值；(2)若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，试求a，b应满足的条件．[解析](1)因为f(x)为偶函数，所以对任意的x∈R，都有f(－x)＝f(x)，即a|x＋b|＝a|－x＋b|，|x＋b|＝|－x＋b|，解得b＝0.(2)记h(x)＝|x＋b|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋b，x≥－b，,－x－b，x＜－b.))①当a＞1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，所以－b≤2，b≥－2；②当0＜a＜1时，f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，即h(x)在区间[2，＋∞)上是减函数，但h(x)在区间[－b，＋∞)上是增函数，故不存在a，b的值，使f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数时，a，b应满足的条件为a＞1且b≥－2.1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案：C2.不等式的解集为________．答案：{x|－1＜x＜4}A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜a D．b＜a＜c答案：D4．(2021·临沂三校)函数f(x)＝2－2x(x＜0)的值域是()A(1,2)B(－∞，2)C(0,2)D(1，＋∞)案：A5．函数单调递增区间是()A[1,2]B(－∞，－1)C(－∞，－2] D．[2，＋∞)解析：令t＝－x2＋4x－5，其图象的对称轴方程为x＝2，单调递减区间为[2，＋∞)．又函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))t为减函数，所以函数的单调递增区间是[2，＋∞)．答案：D6．(2021·青岛模拟)函数y＝ax＋2－1(a＞0且a≠1)的图象恒过的点是()A．(0,0)B．(0，－1)C．(－2,0) D．(－2，－1)答案：C7．若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是()A．(0,1)∪(1，＋∞)B．(0,1)C．(1，＋∞)D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析：方程|ax－1|＝2a(a＞0且a≠1)有两个不等实数根⇔函数y＝|ax－1|与y＝2a的图象有两个交点．①当0＜a＜1时，如图①，所以0＜2a＜1，即0＜a＜eq\f(1,2)；②当a＞1时，如图②，2a＞1不符合要求．综上，0＜a＜eq\f(1,2).答案：D8．已知函数f(x)＝2x＋k·2－x，k∈R.(1)若函数f(x)为奇函数，求实数k的值(2)若对