高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充与复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的概念优化练习新人教A版选修2-2

数系的扩充和复数的概念[课时作业][A组基础巩固]1．下面四个命题(1)0比－i大；(2)两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；(4)如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应，其中正确的命题个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：(1)0比－i大，实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但是两个复数的和为实数不一定是共轭复数；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有表明x，y是否是实数；(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．答案：A2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是()A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－bC．a＞0且a≠b D．a≤0解析：复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.答案：D3．a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的()A．充分条件但不是必要条件B．必要条件但不是充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a＝0且b≠0，则z＝a＋bi是纯虚数，若z＝a＋bi是纯虚数，则a＝0.∴a＝0是z＝a＋bi为纯虚数的必要但不充分条件．答案：B4．(i－i－1)3的虚部为()A．8i B．－8iC．8 D．－8解析：(i－i－1)3＝(i－eq\f(1,i))3＝(eq\f(i2－1,i))3＝(eq\f(－2,i))3＝(2i)3＝－8i，虚部为－8.答案：D5．若1＋eq\r(2)i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则()A．b＝2，c＝2 B．b＝－2，c＝3C．b＝－2，c＝－1 D．b＝2，c＝－1解析：由题意知1＋eq\r(2)i是实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个根，∴(1＋eq\r(2)i)2＋b(1＋eq\r(2)i)＋c＝0，即(2eq\r(2)＋eq\r(2)b)i＋b＋c－1＝0，∴2eq\r(2)＋eq\r(2)b＝0，b＋c－1＝0，解得b＝－2，c＝3.答案：B6．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m的值等于________．解析：∵z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，∴z为实数，∴m2－9＝0，得m＝±3，∴m＝－3.答案：－37．关于x的方程3x2－eq\f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________．解析：设方程的实数根为x＝m，则原方程可变为3m2－eq\f(a,2)m－1＝(10－m－2m2∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m2－\f(a,2)m－1＝0，,10－m－2m2＝0，))解得a＝11或a＝－eq\f(71,5).答案：11或－eq\f(71,5)8．若(x－2y)i＝2x＋1＋3i，则实数x，y的值分别为________．解析：依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1＝0，,x－2y＝3，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,2)，,y＝－\f(7,4).))答案：－eq\f(1,2)，－eq\f(7,4)9．已知m∈R，复数z＝eq\f(mm＋2,m－1)＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是虚数；(3)z是纯虚数；(4)z＝eq\f(1,2)＋4i.解析：(1)若z∈R，则m须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－3＝0，,m－1≠0.))解之得m＝－3.(2)若z是虚数，则m须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－3≠0,m－1≠0，))解之得m≠1且m≠－3.(3)若z是纯虚数，则m须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mm＋2,m－1)＝0，,m2＋2m－3≠0.))解之得m＝0或m＝－2.(4)若z＝eq\f(1,2)＋4i，则m须满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(mm＋2,m－1)＝\f(1,2)，,m2＋2m－3＝4，))方程组无解．所以m∈∅.10．已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1,4i}，若M∪P＝P，求实数m解析：∵M∪P＝P，∴MP.∴(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1或(m2－2m)＋(m2＋由(m2－2m)＋(m2＋m得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0.))解得m＝1.由(m2－2m)＋(m2＋m得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4.))解得m＝2.综上可知，实数m的值为1或2.[B组能力提升]1．已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数A．4 B．－1C．－1或4 D．－1或6解析：由M∩N＝{3}得3∈M，故(m2－3m－1)＋(m2－5因此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－3m－1＝3，,m2－5m－6＝0.)).解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝4或m＝－1，,m＝6或m＝－1.))，所以m的值为－1.答案：B2．若复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则点(x，y)的轨迹是()A．以原点为圆心，以2为半径的圆B．两个点，其坐标为(2,2)，(－2，－2)C．以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线D．以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(eq\r(2)，eq\r(2))，(－eq\r(2)，－eq\r(2))解析：因为复数(x2＋y2－4)＋(x－y)i是纯虚数，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x－y≠0，))即x2＋y2＝4且x≠y.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－4＝0，,x－y＝0，))可解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(2)，,y＝\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\r(2)，,y＝－\r(2).))故点(x，y)的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(eq\r(2)，eq\r(2))，(－eq\r(2)，－eq\r(2))．答案：D3．若x是实数，y是纯虚数，且满足3x＋1＋4i＝－y，则x＝________，y＝________.解析：设y＝bi(b∈R，b≠0)，则有3x＋1＋4i＝－bi，所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1＝0，,4＝－b.))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(1,3)，,b＝－4.))故y＝－4i.答案：－eq\f(1,3)－4i4．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1＞z解析：由z1＞z2，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a2＋3a＝0，,a2＋a＝0，,－4a＋1＞2a，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0或a＝－\f(3,2)，,a＝0或a＝－1，,a＜\f(1,6).))解得a＝0.答案：05．已知复数z＝eq\f(a2－7a＋6,a2－1)＋(a2－5a－6)i(a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析：(1)当z为实数时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6＝0，,a2－1≠0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1或a＝6，,a≠±1.))∴当a＝6时，z为实数．(2)当z为虚数时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0，,a2－1≠0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠－1且a≠6，,a≠±1，))即a≠±1且a≠6.∴当a≠±1且a≠6时，z为虚数．(3)当z为纯虚数时，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－5a－6≠0，,\f(a2－7a＋6,a2－1)＝0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠－1且a≠6，,a＝6且a≠±1.))∴不存在实数a使z为纯虚数．6．已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根以及实数k的值．解析：设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(xeq\o\al(2,0)＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0.由复数相等的条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x