高中数学培优讲义练习（人教A版2019选择性必修二）专题4.3等差数列的概念（重难点题型精讲）

专题4.3等差数列的概念（重难点题型精讲）1．等差数列的概念(1)等差数列的概念一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，常用字母d表示.

(2)对等差数列概念的理解

①“从第2项起”是因为首项没有“前一项”.

②由概念可知，如果()恒等于一个常数，那么数列{}就是等差数列.

③如果一个数列，不是从第2项起，而是从第3项或以后起，每一项与它的前一项的差是同一常数，那么这个数列不是等差数列.

④若数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管都等于常数，但这些常数不都相等，那么这个数列不是等差数列.

⑤对于公差d，需要强调的是它是从第2项起，每一项与其前一项的差，不要把被减数与减数弄颠倒.2．等差中项由三个数a,A,b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时A叫做a与b的等差中项，则有2A=a+b.反之，若2A=a+b，则a,A,b三个数成等差数列.3．等差数列的通项公式(1)等差数列的通项公式等差数列的通项公式为=+(n1)d，其中为首项，d为公差.(2)等差数列通项公式的变形已知等差数列{}中的任意两项，(n,m,m≠n)，则

=(nm)d4．等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式=+(n1)d，可得=dn+(d)，当d=0时，=为常数列，当d≠0时，=+(n1)d是关于n的一次函数，一次项系数就是等差数列的公差，因此等差数列{}的图象是直线y=dx+(d)上一群均匀分布的孤立的点.5．等差数列的单调性由等差数列的通项公式和一次函数的关系可知等差数列的单调性受公差d影响.

①当d>0时，数列为递增数列，如图①所示；

②当d<0时，数列为递减数列，如图②所示；

③当d=0时，数列为常数列，如图③所示.

因此，无论公差为何值，等差数列都不会是摆动数列.6．等差数列的性质设{}为等差数列，公差为d，则

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，则+=+.

(2)数列{+b}(,b是常数)是公差为d的等差数列.

(3)若{}是公差为d'的等差数列，{}与{}的项数一致，则数列{+(,为常数)是公差为d+d'的等差数列.

(4)下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列.

(5)在等差数列{}中，若=m，=n，m≠n，则有=0.【题型1等差数列的基本量的求解】【方法点拨】根据所给条件，求解等差数列的基本量，即可得解.【例1】（2022·河南商丘·高三阶段练习（文））已知an为等差数列，若a30=100，a100=30A．1 B．12 C．−1 D．【解题思路】根据等差数列对应的点都在一条直线上这个性质求公差．【解答过程】设an的公差为d，则d=故选：C.【变式11】（2022·河南安阳·高二期中）已知等差数列an中，a3+a5=18，A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】利用等差数列的通项公式得到关于a1,d的方程组，从而求得【解答过程】因为an所以a1+2d+a所以an的公差为2故选：B.【变式12】（2022·浙江台州·模拟预测）已知数列an满足：∀m，n∈N*，am+n=amA．1 B．2 C．3 D．2022【解题思路】令m=1，则an+1=a【解答过程】令m=1，则an+1故an+1−a故数列an∴a∴aa1故选：A.【变式13】（2022·甘肃·高二阶段练习）首项为−24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（

）．A．d>83 B．d<3 C．53【解题思路】根据给定条件，利用等差数列通项公式列式求解作答.【解答过程】依题意，令该等差数列为{an}因数列{an}从第10项开始为正数，因此a9≤0所以公差d的取值范围是83故选：D.【题型2等差中项】【方法点拨】根据题目条件，结合等差中项的定义，即可得解.【例2】（2022·陕西·高二阶段练习）已知a=4，b=8，则a，b的等差中项为（A．6 B．5 C．7 D．8【解题思路】利用等差中项的性质进行求解即可【解答过程】设a，b的等差中项为所以2m=a+b，因为a=4，b=8，所以m=6，故选：A.【变式21】（2022·全国·高二课时练习）已知a=13+2，b=13−A．3 B．2 C．33 D．【解题思路】利用等差中项的定义求解.【解答过程】由等差中项的定义得：则a，b的的等差中项为：a+b2=3故选：A．【变式22】（2022·四川省高二阶段练习（文））等差数列an的前三项依次为x，2x+1，4x+2，则x的值为（

A．5x+5 B．2x+1 C．2 D．0【解题思路】根据等差中项的性质得到方程，解得即可；【解答过程】解：依题意22x+1=x+4x+2，解得故选：D.【变式23】（2022·浙江·高三专题练习）设a、m是实数，则“m=5”是“m为a和10−a的等差中项”的（

）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．非充分也非必要条件【解题思路】利用等差中项的定义判断可得结论.【解答过程】m为a和10−a的等差中项⇔m=a+10−a因此，“m=5”是“m为a和10−a的等差中项”的充要条件.故选：C.【题型3等差数列的通项公式】【方法点拨】结合所给数列的递推公式，分析数列之间的规律关系，转化求解即可.【例3】（2022·甘肃·高二阶段练习）已知数列an为等差数列，a4=2,a7A．an=−2n+10 B．an=−2n+5 C．【解题思路】设数列an的首项为a1，公差为d，列方程组求出【解答过程】解：设数列an的首项为a1，公差为由题得a1+3d=2所以数列的通项为an故选：A.【变式31】（2022·陕西宝鸡·高二期中）已知等差数列an的前三项为a−1,a+1,2a+1，则此数列的通项公式为（

A．2n−5 B．2n−3C．2n−1 D．2n+1【解题思路】根据等差数列an的前三项为a−1,a+1,2a+1，由2a+1=【解答过程】因为等差数列an的前三项为a−1,a+1,2a+1所以2a+1解得a=2，所以a1所以an故选：C.【变式32】（2022·全国·高一课时练习）在等差数列an中，若a7=4,a19A．an=n+1C．an=【解题思路】利用等差数列的通项公式，列式求得数列的基本量，进而求得其通项公式.【解答过程】设等差数列an的公差为d，则a因为a7=4a19=2所以an的通项公式为a故选：A.【变式33】（2022·河南·二模（理））已知等差数列{an}各项均为正数，a1+A．2n B．n+2C．3n−2 D．n【解题思路】利用等差数列的性质及通项公式求得首项与公差，即可得到数列{a【解答过程】设等差数列{a由a1+a2+又a1∴a1⋅∴a1，a3是方程∴a1=2，a故数列{an故选A.【题型4等差数列的单调性】【方法点拨】判断单调性的方法：①转化为函数，借助函数的单调性，如基本初等函数的单调性等，研究数列的单调性.②利用定义判断：作差比较法，即作差比较与的大小；作商比较法，即作商比较与的大小，从而判断出数列{}的单调性.【例4】（2022·北京·高三阶段练习）已知等差数列an单调递增且满足a1+a8A．-∞,3 B．3,6 C．3，+∞ D．6,+∞【解题思路】设出公差，根据单调递增，得到d>0，结合等差数列的性质得到a1+【解答过程】因为an为等差数列，设公差为d因为数列an单调递增，所以d所以a1则2a6-6=3故选：C.【变式41】（2022·全国·高二课时练习）已知点1,5，2,3是等差数列an图象上的两点，则数列an为（A．递增数列 B．递减数列 C．常数列 D．无法确定【解题思路】利用等差数列的图象所在直线的斜率判断.【解答过程】等差数列an的图象所在直线的斜率k=则直线呈下降趋势，故数列an故选：B.【变式42】（2022·北京·高考真题）设an是公差不为0的无穷等差数列，则“an为递增数列”是“存在正整数N0，当n>N0A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解题思路】设等差数列an的公差为d，则d≠0【解答过程】设等差数列an的公差为d，则d≠0，记x为不超过x若an为单调递增数列，则d>0若a1≥0，则当n≥2时，an>a由an=a1+n−1d>0可得n>1−所以，“an是递增数列”⇒“存在正整数N0，当n>N若存在正整数N0，当n>N0时，an>0，取k∈假设d<0，令an=ak+当n>k−akd+1时，a所以，“an是递增数列”⇐“存在正整数N0，当n>N所以，“an是递增数列”是“存在正整数N0，当n>N故选：C.【变式43】（2021·全国·高二课时练习）下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个结论：p1：数列{an}是递增数列；p2：数列{nan}是递增数列；p3：数列ann是递增数列；p4：数列{aA．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4【解题思路】公差d>0的等差数列an是递增数列；数列n  an不一定是递增数列；数列【解答过程】解：设等差数列首项a1，d>0，则an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∴数列{an}递增，故pnan＝dn2＋(a1－d)n，当n<d−a12dann＝d＋a1−dn，当[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，所以{an＋3nd}递增，故故选：D.【题型5等差数列的判定与证明】【方法点拨】判断一个数列是等差数列的方法：(1)定义法：=d(常数)(n){}是等差数列.(2)递推法(等差中项法)：=+(n){}是等差数列.(3)通项公式法：=pn+q(p,q为常数,n){}是等差数列.【例5】（2022·江苏·高二阶段练习）已知数列an满足an+1=(1)求a2(2)证明：数列1a【解题思路】（1）利用赋值法，由递推关系式依次求得a2（2）将推递关系式进行变形，得到1a【解答过程】（1）因为an+1=所以a2（2）因为an+1所以an+1则1a故1a又a1=3，所以所以数列1an−2是首项为1【变式51】（2022·全国·高三专题练习）在数列{an}中，a(1)求a2，a(2)证明：数列1an为等差数列，并求数列【解题思路】（1）利用赋值法得到关于a2（2）利用倒数法得到1an+1−1a【解答过程】（1）因为2a所以当n=1时，2a2a1=a1当n=2时，2a3a2=a2所以a2=1（2）因为2a所以1an+1−所以数列1a故1an=3+【变式52】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知数列an满足a1=1，a(1)证明：an(2)求数列an【解题思路】（1）依题意可得an−1（2）由（1）可得an2+1a【解答过程】（1）解：因为an所以an−1an所以an又a1=1，所以所以an2+1a（2）解：由（1）可得an所以an解得a因为a1=1且an+1>a所以an若an=n故an【变式53】（2022·全国·高三专题练习）若数列an的各项均为正数，对任意n∈N*，an+12=a(1)求a1(2)求证：数列an【解题思路】（1）由已知得a22=a1（2）由an+12=anan+2+t，【解答过程】（1）因为对任意n∈N*，an+1令n＝1，得a2令n＝2，得a3②－①得a32−所以a1（2）证明：an+12=两式相减得an+2∴an+22+所以数列an+an+2a所以an所以数列an【题型6利用等差数列的性质解题】【方法点拨】对于等差数列的运算问题，可观察已知项和待求项的序号之间的关系，利用等差数列的性质进行求解，这样可以减少运算量，提高运算速度.【例6】（2022·江苏·高二期中）已知数列{an}为等差数列，a2+A．8 B．12 C．15 D．24【解题思路】根据等差数列的性质得到a5【解答过程】a2+a8=2故选：B.【变式61】（2022·福建莆田·高二期中）公差不为0的等差数列an中，a3+A．10 B．18 C．22 D．28【解题思路】由等差数列下标和性质可得x+y=11，由此可得x,y所有可能的取值，进而确定xy所有可能的结果.【解答过程】由等差数列性质知：若a3+a又x∈N∗，y∈N∗，∴x=1y=10或x=2y=9或x=3y=8或x=4y=7或x=5y=6或∴xy可能