一元函数的导数及其应用讲义-高三数学一轮复习

专题专题5一元函数的导数及其应用知识结构

单元目标：1感知微积分的基本思想，理解导数的内涵与思想，理解导数的几何意义，体会极限思想，提升数学抽象、直观想象素养。2强调利用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值等性质的一般步骤，体现程序化思想，体会导数是研究函数性质的基本工具，具有普适性。3通过利用导数定义求导数值，求简单初等函数导数，利用导数研究函数，体会极限思想，提升数学运算素养。4通过微积分创立的史实，让学生感受理性精神。知识清单1.导数的定义函数在点处的导数记作：2.导数的几何意义函数在处导数的几何意义：曲线在点处切线的斜率是。于是相应的切线方程是：。注意两种情况：①曲线在点处切线：。相应的切线方程是：②曲线过点处切线：先设切点，切点为,则斜率k=，切点在曲线上，切点在切线上，切点坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点，最后求斜率k=，确定切线方程。3.常见函数的导数公式①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧4.导数的四则运算和复合函数的求导法则（1）(2)（3）（4）5.导数的应用（1）利用导数判断函数单调性：

设函数在某个区间内可导，①在区间内单调递增；②在区间内单调递减；注意：当在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，在这个区间上仍是递增（或递减）的。=3\*GB3③在该区间内单调递增在该区间内恒成立；=4\*GB3④在该区间内单调递减在该区间内恒成立；（2）利用导数求极值：定义：设函数在点附近有定义，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极大值。记作＝，如果对附近所有的点，都有，就说是函数的一个极小值。记作＝。极大值和极小值统称为极值。求函数在某个区间上的极值的步骤：

（i）求导数；

（ii）求方程的根；

（iii）检查在方程的根的左右的符号：

“左正右负”在处取极大值；“左负右正”在处取极小值

特别提醒：=1\*GB3①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。=2\*GB3②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！3.利用导数求最值：比较端点值和极值（1）定义：函数在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值”；函数在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点值中的“最小值”。（2）求函数在[]上的最大值与最小值的步骤：=1\*GB3①求函数在（）内的极值（极大值或极小值）；=2\*GB3②将的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。考点探究题型一导数（导函数）的理解【典例精讲】例1.已知：。计算：的值。解：根据导数的定义得到：。【变式训练】练11.已知函数在处的导数为1，则（）A．0 B． C．1 D．2【分析】因为函数在处的导数为1，则.故选：B.练12.若，则（）A．－4B．4C．－1 D．1【分析】因为，所以．故选：C练13.已知函数的导数为，且，则（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】由得，当时，，解得，所以，.故选：B题型二导数的几何意义【典例精讲】例2.已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－eq\f(1,4)x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．【分析】(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)=＋1，∴直线l的方程为又∵直线l过点(0，0)，∴0＝(3＋1)(－x0)＋＋x0－16.整理得，＝－8，∴x0＝－2.∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26.k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－eq\f(x,4)＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3＋1＝4，∴x0＝±1.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝1，,y0＝－14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－1，,y0＝－18.))即切点为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.【变式训练】练21.曲线在点处的切线方程为()A.B.C.D.【分析】由已知得，即，故选A练22.函数的图象在点处的切线与轴交点的横坐标为为正整数，，则_______.【分析】由已知，，点处的切线的斜率，在点处的切线方程为当时，解得，所以.【答案】21练23.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A.B.C.D.【解析】由已知得，所以，综合可得：，故选D练24.若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为_______.【答案】【分析】由已知，设点曲线上一点，则有，因为，所以，所以，所以曲线在处的切线斜率为，则曲线在处的切线方程为，即．要求得曲线上任意一点，到直线的最小距离即找到曲线上距离直线最近的点，即，解得或（舍去），此时，以点为切点，曲线的切线方程为：，此时，切点为曲线上距离直线最近的点，即点与点重合，最小距离为直线与直线之间的距离，设最小距离为，所以.故答案为：.题型三导数的运算【典例精讲】例3.求下列函数的导数：；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】（1）函数可以看作函数和的复合函数，∴．（2）函数可以看作函数和的复合函数，∴.（3）函数可以看作函数和的复合函数，∴．（4）函数可以看作函数和的复合函数，∴．（5）函数可以看作函数和的复合函数，∴．（6）函数可以看作函数和的复合函数，∴．【变式训练】练31．求下列函数的导数(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)练32.设若则（）A.B.C.D.【分析】由已知得，所以，故选B练33.等比数列中，，函数，则（）A．B.C.D.`【分析】观察函数，变形为所以所以，故选C练34.函数，满足，则________.【分析】由已知，所以所以题型四利用导数解决函数的单调性问题【典例精讲】例4.已知定义在上的函数满足，，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，则，所以在单调递减，不等式可以转化为，即，所以.故选：D.【变式训练】练41.求下列函数的单调区间.(1)；(2)(3)；(4).【答案】(1)增区间为，，减区间为；(2)增区间为，，减区间为，；(3)增区间为，，减区间为；(4)增区间为，，减区间为；【解析】（1）解：因为，所以，由，得或，由，得，所以函数的增区间为，，减区间为；（2）因为，所以，由，得或，由，得，，所以函数的增区间为，，减区间为，；（3）因为，所以，由，得或，由，得，所以函数的增区间为，，减区间为；（4）因为，所以，由，得或，由，得，所以函数的增区间为，，减区间为；练42.已知，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，则，当得：，当时，，所以在上单调递增，上单调递减，又，所以，即c<a<b．故选：D．练43.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是________．【答案】【分析】，若函数在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立，所以，故的取值范围是．故答案为：．练44.已知函数，则不等式的解集为__________．【答案】【分析】函数的定义域为，且，则是偶函数，，且，是奇函数，又，即是为增函数，当时，，即在上为增函数，则不等式等价于，，平方得，化简得，解得或，故答案为：题型五利用导数解决极值最值问题【典例精讲】例5已知函数在上有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】因为函数在上有最小值，所以函数在上先减后增，即在上先小于0，再大于0，令，得，，，故只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点，则切线方程为：，把代入切线方程可得，故切点为，切线斜率为，故只需.故选：A【变式训练】练51.函数的极小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【解析】因为，所以.令得，当时，，当时，.故的单调递增区间为和，单调递减区间为.则当时，取得极小值，且极小值为.故选：C练52．若函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围为______．【答案】【解析】函数在区间上有极值点，所以在区间上有变号零点．且函数在区间上单调，所以，即，解得．故答案为：．练53．已知函数.(1)求曲线在点处的切线的方程；(2)若函数在处取得极大值，求a的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，所以，，故曲线在点处的切线的方程；（2）由（1）可得当时，，当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以此时在处取得极大值，满足题意；当时，令，解得下面对进行分类讨论①当时，，在上单调递增，无极值点，舍去；②当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，此时在处取得极小值，故舍去；③当时，当或时，，单调递减；当时，，单调递增，此时在处取得极大值，满足题意；④当时，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，此时在处取得极大值，满足题意；综上：的取值范围为题型六函数零点与极值点的综合性问题【典例精讲】例6若函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【分析】函数的导函数．当时，恒成立，函数在R上单调递减，不可能有两个零点；当时，令，得，函数在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．令，则．当时，单调递增；当时，单调递减，所以，所以的最小值为，函数有两个零点．综上所述，实数的取值范围是．故选C【变式训练】练61.函数的零点个数为（）A．B．C．D．【分析】由题意，函数的定义域为，且，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以函数在定义域内没有零点．故选A．练62.已知在有零点．求实数的取值范围；【解析】（1），①当时，在时恒成立，在上递增，，不符合题意，②当时，，当时，；当时，，在上递增，在上递减，，当时，，满足题意；③当时，在时恒成立，在上递减，，不符合题意．综上所述，的取值范围是．练63.设函数，．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．【解析】（1），令得(舍负)，列表如下：0↘极小值↗综上：的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值为，无极大值；（2）由（1）知，在区间上的最小值为．因为存在零点，所以，从而．当时，在区间上单调递减，且，所以是在区间上的唯一零点．当时，在区间上单调递减，且，，所以在区间上仅有一个零点．综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点．题型七利用导数解决实际问题【典例精讲】例7某银行准备设一种新的定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为,则银行获得最大收益的存款利率为()A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%【解析】依题意知,存款量是,银行应支付的利息是,银行应获得的利息是0.048,所以银行的收益，所以令,得或(舍去).因为,所以当时,，当时,.因此,当时,取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为3.2%时,银行可获得最大收益.故选A.【变式训练】练71.如图，圆形纸片的圆心为，半径为5cm，该纸片上的等边的中心为.为圆上的点，分别是以为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以为折痕折起，使得重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.【分析】如图，连接交于点，设重合于点，正三角形的边长为，则.，三棱锥的体积.设，，则，令，则，解得，易知在处取得最大值.∴.【答案】练72.设为实数，函数.（Ⅰ）求的单调区间及极值；（Ⅱ）求证：当且时，【分析】（Ⅰ）由已知得由得，所以，由得，所以的变化如下表：－0＋单调递减极小值单调递增所以的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，（Ⅱ）证明：欲证，即证设，即证且时，可得（这个形式下不易解）令，则由，由所以当且时，，所以在上成立因此，即所以当且时，题型八隐零点问题、极值点偏移问题【典例精讲】例8已知函数．(1)当时，求的极值；(2)若不等式恒成立，求整数a的最小值．【详解】解：(1)当时，，令得(或舍去)，∵当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴，无极大值．(2)，即，即，∴，即，∴原问题等价于在上恒成立，设，则只需．由，令，∵，∴在上单调递增，∵，∴存在唯一的，使得，∵当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，∴，∴即可．∴，∴，故整数a的最小值为2练81已知函数f(x)＝lnx－ax(x>0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2>e2.证明：不妨设x1>x2>0，因为lnx1－ax1＝0，lnx2－ax2＝0，所以lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，lnx1－lnx2＝a(x1－x2)，所以eq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)＝a，欲证x1x2>e2，即证lnx1＋lnx2>2.因为lnx1＋lnx2＝a(x1＋x2)，所以即证a>eq\f(2,x1＋x2)，所以原问题等价于证明eq\f(lnx1－lnx2,x1－x2)>eq\f(2,x1＋x2)，即lneq\f(x1,x2)>eq\f(2（x1－x2）,x1＋x2)，令t＝eq\f(x1,x2)(t>1)，则不等式变为lnt>eq\f(2（t－1）,t＋1).令h(t)＝lnt－eq\f(2（t－1）,t＋1