江苏省扬州市高三上学期1月适应性练习数学试题

扬州市2020—2021学年度第一学期高三适应性练习试题高三数学2021.1（全卷满分150分，考试时间120分钟）一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合要求)．1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则的共轭复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．展开式中，含项的系数为（）A． B． C． D．4．如图是某品牌的商标图案，制作时以曲线段为分界线，裁去一部分图形而成，已知该分界线是一段半径为的圆弧，若圆弧的长度为，则两点间的距离为（）A． B． C． D．5．已知正的边长为，是边上一点，且，则（）A． B． C．D．6．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限），若直线的倾斜角为，则的值为（）A．B．C．D．7．已知数列是各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为（）A．40 B．20 C．10 D．58．已知函数，若且，则的最大值为（）A． B． C． D．二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.下列说法中正确的是（）A.“”是“”的既不充分又不必要条件;B.“”是“成等比数列”的充分不必要条件;C.“”是“方程表示双曲线”的必要不充分条件;D.对于函数，“”是“函数为奇函数”的充要条件.10.已知函数的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（）A. B.C. D.11．如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列说法中正确的是（）A．存在点使得B．异面直线与所成的角为C．三棱锥的体积为定值D．到平面的距离为 12．16世纪时，比利时数学家罗门向全世界数学家提出了一个具有挑战性的问题：“45次方程的根如何求？”，法国数学家韦达利用三角知识成功解决了该问题，并指出当时，此方程的全部根为，根据以上信息可得方程的根可以是（）A．B．C．D．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知长方体的长、宽、高分别为，则该长方体的外接球的半径．681012235614．某种型号的机器使用总时间（年）（其中）与所需支出的维修总费用（万元）的统计数据如下表：根据表中数据可得与之间的线性回归方程为，若该设备维修总费用超过12万元就报废，据此模型预测该设备最多可使用__________年.（填整数）15．几何学中有两件瑰宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，其中顶角为的等腰三角形被称为“黄金三角形”.如图，已知五角星是由5个“黄金三角形”与1个正五边形组成，且.记阴影部分的面积为，正五边形的面积为，则．16．已知双曲线的右顶点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于两点，若（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为．四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在中，角的对边分别为，的面积为，．（1）求；（2）若，，求．请在=1\*GB3①，=2\*GB3②，=3\*GB3③这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并加以解答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）若，且，求数列的前项和．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，四边形是长方形，，，（1）证明：平面；（2）若，为中点，求二面角的余弦值.20．（本小题满分12分）为了了解扬州市高中生周末运动时间，随机调查了名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：周末运动时间（分钟）人数（1）从周末运动时间在的学生中抽取人，在的学生中抽取人，现从这人中随机推荐人参加体能测试，记推荐的人中来自的人数为，求的分布列和数学期望；（2）由频率分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数，近似为样本的标准差，并已求得.可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为，求（精确到）；参考数据1：当时，.参考数据2：21．（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为,左右顶点分别为，上下顶点分别为，四边形的面积为，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点，直线、分别交直线于两点，判断是否为定值，并说明理由.22．（本小题满分12分）已知函数，（其中为参数）（1）若，且直线与的图象相切，求实数的值；（2）若对任意，不等式成立，求正实数的取值范围.2020—2021学年度第一学期高三适应性练习高三数学参考答案2021.11、B2、C3、A4、C5、D6、B7、A8、D9、AB10、AD11、BCD12、AC13、14、15、16、17、解：（1）在中，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，……………2分所以因为，所以，……………4分因为，所以……………5分（2）选=1\*GB3①:由正弦定理得，即，因为，所以，所以，所以是直角三角形，所以.…………10分选=2\*GB3②:由得，解得因为，所以，所以，所以是直角三角形，所以.…………10分选=3\*GB3③：因为，所以，因为，所以，又，所以为正三角形，所以…………10分18、解：（1）因为，所以，两式相减得，……………2分因为，，所以令，则可得所以又，，，所以（）所以，（），……………5分所以数列是首项为、公比为的等比数列，所以……………6分注：结果对，但没有说明的扣2分（2）因为，所以…………7分所以……………9分所以……………12分19、（1）证明：∵四边形为长方形，∴，∵，，∴平面……………3分∵∴.同理，又，∴平面.……………5分（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系…6分则设为平面的法向量，∵∴，令，则，∴平面的一个法向量.……………8分同理可求得平面的一个法向量，……………10分∴.∵二面角的大小为钝角∴二面角的余弦值为.……………12分注：错将二面角的余弦值写成的扣1分20、解：（1）随机变量的可能取值为，，……………3分所以……………5分（2）………7分又，所以……………9分所以或，所以，所以……………11分……………12分21、解：（1）由题意得，……………….2分解得，所以椭圆的方程为.……………….4分（2）方法1：若直线的斜率不存在，则直线方程为，此时可得，，，所以.……………….5分若直线的斜率存在，设直线的方程为,代入整理得，易得恒成立.设，则，………………7分由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以……………….8分所以……………….9分综上，为定值.……………….12分方法2：显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入整理得，易得恒成立.设，则，………………7分由直线的方程可得点，由直线的方程可得点，所以……………….8分所以……………….9分……………….12分22、解：（1）若，则，设切点，则，即……………….2分令，观察得，……………….4分又，所以在上递增，所以方程的根仅有，所以……………….5分注：观察出是的根但没有交待唯一性的扣1分（2）方法1：（直接研究差函数的最小值）令，则,令，则在上递增，且，，所以存在唯一，使得，所以当时，，故函数单调递减．当时，故函数单调递增．所以……………….7分……………….9分由恒成立得，即，令，则，所以在上递减．由得